题型四 “隐形圆”问题 课件2025年中考数学二轮题型精讲（河南）

题型四 “隐形圆”问题 1 新考法：2024年河南中考第15题首次考查了由相切引起的“隐形圆”最值问题. 知识铺垫 1.如图（1），点是上的动点，将沿直线 折叠， 则点的对应点 在以点①___为圆心，②____的长为半径的 圆上运动. 2.如图（2），动点在定线段外，且 ，则点 在以③____为直径的圆上运动. 2 3.如图（3），，点 为平面内一动点，且 ，则经过点，， 的圆是定圆，且该圆 的半径为④_ ____，劣弧 所对的圆心角的度数为 ⑤____ . 90 4.如图（4），，点 为平面内一动点，且 ，则经过点，， 的圆是定圆，且该 圆的半径为⑥_ ____，劣弧 所对的圆心角的度数为⑦ _____ . 120 3 类型1 由相切引起的“隐形圆”最值问题（2024河南中考新题型） 知识铺垫 图（1） 1.如图（1），的半径为，点为上一点，动直线 经过点，则点到直线的距离 的最大值为⑧___，此时 直线与 的位置关系为⑨______. 相切 4 图（2） 2.如图（2），定线段在外，动点在 上， 于点.已知， ，则 ⑩_______.当的值最小时， 的值最⑪____，此 时与的位置关系为⑫______;当 的值最大 时， 的值最⑬____，此时与 的位置关系为 ⑭______. 小 相切 大 相切 5 1.如图，在中，，，点是边上一动点，点 是 边上一动点，当时， 的最小值为( ) D （第1题） A.1 B. C. D. 6 [解析] 如图，以点为圆心, 的长为半径画圆，当 与相切切点为时， 的值最小. 过点A 作于点， ， , 与 相切， .设 ，则 ， ， ,故的最小值为 . 7 2.[2024苏州中考] 如图，矩形中，,,动点， 分别从 点,同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿,向终点, 运动，过点 ,作直线,过点作直线的垂线，垂足为,则 的最大值为( ) D （第2题） A. B. C.2 D.1 8 [解析] 如图，连接，交于点，取的中点 ， 连接 四边形是矩形， ， ， ， ， .易证 ，，三点共线.，点是的中点，， 点 在以点为圆心，为半径的圆上运动．易知当点与点重合时， 的值最 大，最大值为的长，即 ．故选D． 9 3.如图，在矩形中，，，点为 边上一动点（不与点，重合），沿直线折叠 ， 得到，连接并延长，交于点，则线段 的 最大值为___. 4 10 [解析] 由题意可知，点在以点为圆心， 的 长为半径的圆上，当与 相切，即 时，的值最大.又， 点 与点重合，如图所示. ， .又 ， , ， ，，即 的最 大值为4. 11 4.[2024扬州中考改编] 如图,已知两条平行线,, 是上的定点,于点,,分别是, 上的动点, 且满足,连接交线段于点, 于 点,则:, 的数量关系为_____________________ __________;当最大时, 的值为__. （填也对） 12 [解析] ，于点， 是 定点，为定点， 的长度为定值. ， ， .又 ， ，， ， 点 在以为直径的圆上运动，如图（1）,设圆心为 ，则 .当与相切时， 最大，如图（2），连接 ,则 ． 13 类型2 点圆最值模型 角度1 点、圆之间的最小距离问题 知识铺垫 1.如图（1），在上求作一点，使最短；在 上求作 一点，使 最长. [答案] 图略. 2.如图（2），在上求作一点，使最短；在 上求作一 点，使 最长. [答案] 图略. 14 5.如图，在正方形中，,点,分别是, 边上一动点，且 .连接,交于点,则点, 之间的距离的最小值为_________. 15 [解析] ， ， ,, ， ， , 点在以 为直径的圆上.设 圆心为，如图，连接交于点 ，易知此 时点, 之间的距离最小.易得 , . 16 6.[2024南昌一模改编] 如图，在平面直角坐标系 中，的顶点，的坐标分别为 ， ，点绕点顺时针旋转 到点，连接，，则： 的最小值为___；若 ，则点到 轴的距离为___． 4 2 [解析] 如图（1），，，， ， ，，, .由旋转可知 .又 ， 点在以点为圆心， 长为半径的半 圆上，的最小值为 . 17 当 时，点在 轴下方， 如图（2），易证 ， .过点 作 轴于点，则 ， .故点到 轴的距离为2． 18 7.如图，在矩形中，，，点为平面内一点，且 ， 点为上一个动点，则 的最小值为____. 11 19 [解析] 如图（1），作点关于 的对称 点，连接，则 , ， 点在以点 为圆心，2为半径的圆上.当点,,， 共线，且点在点， 之间时， 的值最小，即 的值最小， 如图（2），此时 ，,故 的最小值为11. 20 角度2 点、圆之间的最大距离问题 知识铺垫 如图，点为定点，的半径为，点为上的动点，点 为平面内动 点，且长为定长，则点， 之间的最大距离为⑮______. 21 8.[2024信阳二模] 如图,在平面直角坐标系中,边长 为4的菱形的顶点,分别在轴的正半轴和 轴的正半轴上,且 ,当在 轴的正半轴上 运动时,点随之在轴的正半轴上运动,菱形 的 形状保持不变,则在运动过程中,点与点 的距离的 最大值是( ) B A. B. C. D. 22 [解析] 如图，取的中点，连接， ,则 , 点在以点 为圆心，2 为半径的圆上运动.过点D作,交 的延 长线于点，则 ， ， ， ， . ，的长度不变， 当点D,,共线时，点 ，D之间的距离最大，最 大为 . 23 9.[2024宜宾中考] 如图,在 中, ,,以为边作 , ,点与点在的两侧,则 的最大 值为( ) D A. B. C.5 D.8 24 [解析] 如图，将绕点B顺时针旋转 ， 得到，连接， ， ， ，， ， ， ， ， 点 在以点D为圆心，2为半径的圆上运动. ， 当A，D，三点共线时，有最大值， 的最大值 为 .故选D． 25 10.[2024龙东地区中考改编] 如图，在 中， ， ， ，，线段绕点旋转，点 为的中点，则 的最大值是( ) A A. B. C. D. [解析] 取的中点，连接，则， 点在以点 为圆心， 为半径的圆上， 当点在的延长线上时， 最长，此时 .易知，，， . 26 11.[2024南充中考改编] 如图是我国汉代赵爽在注解 《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它由四 个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形 中, ,四个全等的直角三角形的直角边长度 不定.将绕点逆时针旋转 得到,则 的最大值为_________. 27 [解析] 如图，由旋转的性质得 ， 点在以为直径的圆上.取的中点，连接 , ，则.易得 ， ， ， 即的最大值为 . 28 12.如图，在四边形中， ， ，的长度不定，点为的中点，过点 作于点，连接，则当的值最大时， 的 长度为_____. [解析] 如图（1），连接，取 的中点 ， ， 点,, , 在以点为圆心， 长为半径的圆上，连 接，，则，当点 , ，共线时，等号成立，此时如图（2）所示， , ，.又， . 29 13.如图，在四边形中， ， ， ， ，点的位置不定，则点， 之间距离的最大值为____________. 30 [解析] 如图，过点,,作圆，设圆心为，易知 为定圆， 连接，，，则， 当点，， 共线 时，的值最大.设交于点，连接，则过点 ， ， ， ，.过点作于点 ，则 .又， .易知 ， ， ，的最大值为 . 31 类型3 点线最值模型 知识铺垫 1.如图（1），在上求作点，，使点到直线 的 距离最小，点到直线 的距离最大. [答案] 图略. 32 2.如图（2），在优弧上求作点，使点到直线的距离最大；在劣弧 上求作点，使点到直线 的距离最大. [答案] 图略. 33 14.[2023洛阳一模] 小明同学将一大一小两个三角 板按照如图所示的方式摆放.其中 ， ， ，，连接,取的中点 ;将三 角板绕点按顺时针方向旋转一周,则在旋转过程中，点到直线 的距 离的最大值是_ ___. 34 [解析] 如图（1），取的中点 ， 连接，则是 的中位线， ， 点在以点 为圆心， 为半径的圆上运动.如图 （2），当点在的下方，且时，点到 的距离最大，设此时 的垂足为 ，则 ， . 35 15.如图，在中，，，的度数不定.点为 上一 动点，且 ，则面积的最大值为_________, 的最小值为 _________. 36 [解析] 如图（1），在上方取一点 ，使 ， ，以点为圆心， 为 半径作圆，易得 . ， 点在上.过点 作于点，则.连接，当点 在 的延长线上时，点到 的距离最大，此时 最大，如图（2），此时 .当经过点时， 的长度最大， 如图（3），此时的值最小，最小值为 . 37 $$