专题03 一元二次方程（考点清单，5考点16题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

清单03 一元二次方程 （5个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 一元二次方程基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【补充说明】 1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，所以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断. 2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 清单02 解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法.形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 清单03 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 清单04 韦达定理 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 清单05 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【考点题型一】识别一元二次方程（） 1．（24-25八年级下·山东威海·期中）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】化成一元二次方程一般式（） 4．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为 ． 5．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【考点题型三】已知一元二次方程的解求参数或代数式的值（） 7．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 8．（2025·山东菏泽·一模）已知是关于的方程的解，则的值 ． 9．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 10．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知和是方程的两个解，则的值为 ． 【考点题型四】解一元二次方程-直接开平方法（） 11．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）解下列一元二次方程可以直接开平方的是（  ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·山东临沂·期末）若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 13．（23-24八年级下·广西百色·期中）下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 14．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型五】解一元二次方程-配方法（） 15．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（   ） A．38 B．37 C．36 D．35 16．（24-25九年级上·山东滨州·期末）一元二次方程，配方后变形为（　　） A． B． C． D． 17．（2023·山西大同·模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（22-23八年级下·山东泰安·期末）若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ． 19．（24-25九年级上·山东德州·期中）解方程： (1)；(2)． 【考点题型六】解一元二次方程-公式法（） 20．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 21．（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 22．（2020·山东临沂·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 23．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）解下列方程 (1) (2) 【考点题型七】解一元二次方程-因式分解法（） 24．（23-24八年级下·山东青岛·期末）下列方程的解正确的是（    ） A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为， 25．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·山东淄博·期中）三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（    ） A．1.5 B．13 C．12或14 D．12 27．（24-25八年级下·山东烟台·期中）三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 28．（23-24八年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【考点题型八】不解方程判断一元二次方程根的情况（） 29．（24-25八年级下·山东泰安·期中）下列方程一定没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·山东德州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 31．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】根据一元二次方程根的情况求参数（） 32．（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 33．（24-25九年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 34．（24-25九年级上·山东德州·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 35．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 36．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知等腰三角形的三边长为、、1，且，的长是关于的一元二次方程的两个根，求的值． 【考点题型十】一元二次方程根与系数的关系（） 37．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 38．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D． 39．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 40．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知，是方程的两个根，求： (1)的值； (2) 41．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）一元二次方程（）有两根，，则，，则__________，__________． 请运用上面你发现的结论，解答问题： 已知，是方程的两根，不解方程求下列式子的值： （1）；（2）；（3）． 【考点题型十一】已知一元二次方程的一个解，利用韦达定理求另一个解（） 42．（23-24八年级下·山东济南·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（    ） A．1 B． C．3 D． 43．（22-23九年级上·广西来宾·期中）已知关于的方程的一个根为，则它的另一个根及的值分别是（    ） A．和 B．和1 C．1和 D．1和1 44．（24-25八年级下·山东泰安·期中）关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 【考点题型十二】一元二次方程与实际应用-传播问题（） 45．（21-22九年级上·山东青岛·阶段练习）一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24九年级上·山东滨州·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， (1)用含x的解析式表示：第一轮后共有①______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有②______人患了流感； (2)根据题意，列出相应方程为③______； (3)解这个方程，得④______； (4)根据问题的实际意义，平均一个人传染了⑤______个人． 【考点题型十三】一元二次方程与实际应用-增长率问题（） 47．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）某购物今年二月份注册用户为50万人，四月份达到了72万人，解设二月份到四月份的月平均增长率为x． (1)求x的值． (2)若保持这个增长率不变，五月份注册用户能否达到85万人，并说明理由？ 48．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【考点题型十四】一元二次方程与实际应用-图形问题（） 49．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法，以方程即为例加以说明，数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如图1）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得方程的正数解．下列方程能用图2解释其几何解法的方程是（    ） A． B． C． D． 50．（2020·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 【考点题型十五】一元二次方程与实际应用-数字问题（） 51．（20-21八年级下·山东烟台·期中）一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是 ． 52．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是，则最大数是 ． 53．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【考点题型十六】一元二次方程与实际应用-动态几何问题（） 54．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图， 在中，，点P从点B开始沿边以的速度向点 A移动；同时，点Q也从点 B开始沿边以的速度向点 C移动．经过几秒后的面积为?此时之间的距离是多少？ 55．（22-23八年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 56．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一元二次方程 （5个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 一元二次方程基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【补充说明】 1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，所以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断. 2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 清单02 解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法.形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 清单03 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 清单04 韦达定理 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 清单05 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【考点题型一】识别一元二次方程（） 1．（24-25八年级下·山东威海·期中）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，熟练掌握其概念是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A、整理可得，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项正确，符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，表示形式，掌握其定义及表示方法是关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程”及形式“”判定即可． 【详解】解：A、不是方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、不是整式，不符合题意； 故选：C ． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A．未知数项的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程未知数有4个，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．，分母含有未知数，不是整式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【考点题型二】化成一元二次方程一般式（） 4．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为 (其中a、b、c是常数，)，其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项．根据一元二次方程的一般式可得答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式， 可得：． 一次项系数为： 故答案为∶ ． 5．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 【考点题型三】已知一元二次方程的解求参数或代数式的值（） 7．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·山东菏泽·一模）已知是关于的方程的解，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，代数式求值等知识，先把代入得出，再把代数式变形得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：把代入可得出：， 即， 即， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】根据、是方程的两个实数根，可得，从而代入，进行计算，即可求解．本题主要考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 10．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知和是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【考点题型四】解一元二次方程-直接开平方法（） 11．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）解下列一元二次方程可以直接开平方的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 形如的方程可以直接开平方法求解，据此，逐项判定即可． 【详解】解：A、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； B、方程可以直接开平方法求解，故此选项符合题意； C、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； D、方程，变形得，不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； 故选：B． 12．（23-24九年级上·山东临沂·期末）若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 【答案】B 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程、求代数式的值，可化为，两边直接开平方得出x的值，进而可得，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵一元二次方程的两个根是与， ∴， 解得． 故选：B． 13．（23-24八年级下·广西百色·期中）下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【详解】解：，即：， 开方，得：， 则计算步骤最先出错的是甲， 故选A． 14．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查利用直接开平方法解方程，熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）利用直接开平方法解方程即可； （4）利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：，即， ∴； （2）解：，即， ∴； （3）解：， ∴或， ∴或； （4）解：， ∴，即：或， ∴或． 【考点题型五】解一元二次方程-配方法（） 15．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（   ） A．38 B．37 C．36 D．35 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：D． 16．（24-25九年级上·山东滨州·期末）一元二次方程，配方后变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴ ，即， 故选：C． 17．（2023·山西大同·模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解：， 二次项化系数为1得：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：A． 18．（22-23八年级下·山东泰安·期末）若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到右边，再将二次项系数化为1，最后方程两边再加上一次项系数的一半的平方即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·山东德州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）等号左边直接利用完全平方公式配方即可； （2）方程两边同时加上4，再将等号左边的式子利用完全平方公式配方即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）， ， ， ， ． 【考点题型六】解一元二次方程-公式法（） 20．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 21．（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 22．（2020·山东临沂·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可. 【详解】解：∵中， a=1，b=-4，c=-8， ∴△=16-4×1×（-8）=48＞0， ∴方程有两个不相等的实数根 ∴x=， 即，， 故选B. 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型． 23．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，并能灵活运用是解题关键． （1）运用公式法求解即可； （2）运用公式法求解即可； 【详解】（1）解： ， ， ， ． （2）解：可化为， ， ， ， ． 【考点题型七】解一元二次方程-因式分解法（） 24．（23-24八年级下·山东青岛·期末）下列方程的解正确的是（    ） A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为， 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程等知识，根据直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程逐项验证即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：A、方程的解为，选项错误，不符合题意； B、方程的解为或，选项错误，不符合题意； C、方程的解为，选项正确，符合题意； D、方程的解为，，选项错误，不符合题意； 故选：C． 25．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式． 根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式．即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个根为． ∴原方程为：． ∴二次三项式可分解为． 故选：A． 26．（23-24八年级下·山东淄博·期中）三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（    ） A．1.5 B．13 C．12或14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，三角形三边关系，先利用因式分解的方法求出方程的两个根，根据三角形三边关系确定符合题意的边长，即可求出最后结果． 【详解】解：， ， ，， 角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根， （舍）， 则三角形周长， 故选：D． 27．（24-25八年级下·山东烟台·期中）三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形三边的关系．先利用因式分解法解方程得到，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， ， 或， 解得， 当时，，不符合三角形的三边关系，所以舍去， 当时，，符合三角形的三边关系， 则三角形三边分别为7、4、4，三角形的周长是， 故答案为：． 28．（23-24八年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （2）移项，提取公因式，根据解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 【考点题型八】不解方程判断一元二次方程根的情况（） 29．（24-25八年级下·山东泰安·期中）下列方程一定没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根的判别式的应用，熟练的利用“根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解题关键． 根据判别式依次计算判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，方程没有实数根，故符合题意； B、，即， ∴，方程有两个不相等是实数根，故不符合题意； C、， ∴，方程有两个不相等是实数根，故不符合题意； D、， ∴，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选：A 30．（24-25九年级上·山东德州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键：当时，一元二次方程（）有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程（）有两个相等的实数根；当时，一元二次方程（）没有实数根． 先计算判别式得到，然后根据判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式，得： ， ， 一元二次方程没有实数根， 故选：． 31．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式与根的个数关系，根据判别式的符号进行判断即可． 【详解】解：A、方程变形为，此时，此方程没有实数根，故不符合题意； B、方程，此时，此方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； C、方程变形为，此时，此方程有两个相等的实数根，故符合题意； D、 方程变形为，此时，此方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选：C． 【考点题型九】根据一元二次方程根的情况求参数（） 32．（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分情况讨论：当时，求出方程的解；当时根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解：当时， 原方程为， 解得，符合题意； 当时， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴且， 综上，， 故选：B． 33．（24-25九年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】B 【分析】本题主要考查利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键． 根据方程有两个相等的实数根，据此运用根的判别式列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根相等， ∴且，解得：． 故选B． 34．（24-25九年级上·山东德州·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根的情况来确定根的判别式且，通过解不等式来求k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且， 故选：B． 35．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解之即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 36．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知等腰三角形的三边长为、、1，且，的长是关于的一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】的值 【分析】本题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 分两种情况讨论，当腰1时，则或有一条边为腰，即的解为1，代入求出，再解出方程的根，根据三角形的三边关系验证；当1为底时，则为腰，得到，求出，求出方程的根，再根据三角形的三边关系验证． 【详解】解：∵ ， ∴无论取何值，此方程必有实数根； 当腰1时，则或有一条边为腰， 的解为1， ∴， 解得：， ∵时， 解得原方程两根为1和3，此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在， ∴不合题意，应舍去， 当1为底时，则为腰， 方程有两个相等的实数根， ，解得， ∴， 方程两根为，此时三角形三边为1，3，3，这样的三角形存在， 综上所述，的值． 【考点题型十】一元二次方程根与系数的关系（） 37．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：方程整理得：， a，b是方程的两个根， ，， ． 故选：C． 38．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系：把的系数代入，根m代入确定进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴ ∴， 故选：B． 39．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2018 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由题意得出，，将变形为，整体代数计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知，是方程的两个根，求： (1)的值； (2) 【答案】(1)10 (2)8 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入代数式即可求解． 【详解】（1）∵、是方程的两个根， ∴， ∴ ∴． （2）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．解题的关键是对代数式进行适当的变形，使已知两根之和与两根之积可以整体代入求值． 41．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）一元二次方程（）有两根，，则，，则__________，__________． 请运用上面你发现的结论，解答问题： 已知，是方程的两根，不解方程求下列式子的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】题干：，；（1）3；（2）；（3）1 【分析】题干：根据所给的，的值进行求解即可；先根据题干得到的结论得出，： （1）根据完全平方公式的变形进行求解即可； （2）把原式变形为进行求解即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则将原式变形为，然后代值计算即可． 【详解】解：题干：∵，， ∴， ； 故答案为：，； ∵，是方程的两根， ∴，， （1）∴； （2）∴ ； （3）∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解题的关键在于熟知对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【考点题型十一】已知一元二次方程的一个解，利用韦达定理求另一个解（） 42．（23-24八年级下·山东济南·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，则，即可求解． 【详解】解：设另一个根为，则， 解得：， 故选：C． 43．（22-23九年级上·广西来宾·期中）已知关于的方程的一个根为，则它的另一个根及的值分别是（    ） A．和 B．和1 C．1和 D．1和1 【答案】D 【分析】设另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系求出a及k的值． 【详解】解：设另一个根为a， ∵方程的一个根为， ∴， ∴； ∵， ∴， 即另一个为1，k的值为1， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系：，熟记两个关系式是解题的关键． 44．（24-25八年级下·山东泰安·期中）关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 即另一个根， 故答案为：1． 【考点题型十二】一元二次方程与实际应用-传播问题（） 45．（21-22九年级上·山东青岛·阶段练习）一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，由这个小组有人，则每人需送出贺卡张，根据全组共送出贺卡张，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：因为这个小组有人，则每人需送出贺卡张， 依题意得：． 故选：C． 46．（23-24九年级上·山东滨州·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， (1)用含x的解析式表示：第一轮后共有①______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有②______人患了流感； (2)根据题意，列出相应方程为③______； (3)解这个方程，得④______； (4)根据问题的实际意义，平均一个人传染了⑤______个人． 【答案】(1)， (2) (3) (4)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有人，一个人传染x个人，则第二轮又有人患病，则两轮后有人患病； （2）据两轮后有人患病，即可列方程求解； （3）利用直接开平方法解方程； （4）根据问题的实际意义得出答案． 【详解】（1）由题意可得，第一轮后共有人患了流感； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，第二轮后共有人患了流感； 故答案为：，； （2）根据题意，列出相应方程为，即． 故答案为：； （3），开平方得，， 解得， 故答案为：； （4）根据问题的实际意义，不符合题意，应该舍去，， 即平均一个人传染了10个人． 故答案为：10． 【考点题型十三】一元二次方程与实际应用-增长率问题（） 47．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）某购物今年二月份注册用户为50万人，四月份达到了72万人，解设二月份到四月份的月平均增长率为x． (1)求x的值． (2)若保持这个增长率不变，五月份注册用户能否达到85万人，并说明理由？ 【答案】(1) (2)能达到，理由见解析 【分析】（1）利用四月份注册用户人数二月份注册用户人数月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用五月份注册用户人数四月份注册用户人数月平均增长率），即可求出五月份注册用户人数，再将其与85万人比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为． （2）（万人），， 五月份注册用户能达到85万人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 48．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【答案】(1)2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为 (2)估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x， 2024年新能源汽车年销售量为万辆，据此列出方程并解方程即可解决． （2）根据（1）中所求增长率计算求出即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意舍去） 答：2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为． （2）解：若增长率保持不变为，估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆， 答：估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆． 【考点题型十四】一元二次方程与实际应用-图形问题（） 49．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法，以方程即为例加以说明，数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如图1）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得方程的正数解．下列方程能用图2解释其几何解法的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．仿照案例，构造含有面积是14的长方形的大正方形，逐一比较即可得解． 【详解】解：A.由 得，故每个小长方形的面积为30，这与图2的每个小长方形的面积为14不符，故A错误，不符合题意； B.由 得，故每个小长方形的面积为30，这与图2的每个小长方形的面积为14不符，故B错误，不符合题意； C.由 得，故每个小长方形的面积为9，这与图2的每个小长方形的面积为14不符，故C错误，不符合题意； D.由得，故每个小长方形的面积为14，这与图2的每个小长方形的面积为14相符，故D正确，符合题意； 故选:D． 50．（2020·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 【答案】30m，20m 【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答． 【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m， 根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600， 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去； 当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 【考点题型十五】一元二次方程与实际应用-数字问题（） 51．（20-21八年级下·山东烟台·期中）一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是 ． 【答案】 【分析】设个位数为x，则十位数为x+1，依据“个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小”列方程求解即可． 【详解】解：设个位数为x，则十位数为x+1，其中x为非负整数，依题意列方程得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴这个两位数为32， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，设好未知数，找准等量关系列方程是解题的关键． 52．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是，则最大数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 即， 解得（舍去）， 最大数为． 故答案为：． 53．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法． （1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可； （2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）依题意有：， 解得，负值舍去． 故的值是． 【考点题型十六】一元二次方程与实际应用-动态几何问题（） 54．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图， 在中，，点P从点B开始沿边以的速度向点 A移动；同时，点Q也从点 B开始沿边以的速度向点 C移动．经过几秒后的面积为?此时之间的距离是多少？ 【答案】， 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，设经过秒后的面积为，根据题意可得，，由三角形的面积公式可得：，代入即可得到的值，再根据勾股定理可得到的长度即之间的距离． 【详解】解：设经过秒后的面积为， ∵点P沿边以的速度向点 A移动；点Q沿边以的速度向点 C移动． ∴，， ∵， 解得：（负值舍去）， 此时，在中，由勾股定理得： ， 答：经过6秒后的面积为，此时之间的距离是． 55．（22-23八年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 【答案】1秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．利用时间路程速度，可分别求出点，到达终点所需时间，当运动时间为时，，，．根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合当时，点重合，即可得出结论． 【详解】．由（1）得：， ，，运动时间t的取值范围为：， ∵四边形APQC的面积等于， ∴， 整理得：， 解得，， ∴或4时，四边形APQC的面积等于． 答：1秒或4秒后，四边形APQC的面积等于． 56．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$