专题03 一元二次方程（考题猜想，12大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题03 一元二次方程（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据一元二次方程的定义求参数 题型二 选用合适的方法解一元二次方程 题型三 利用换元法解一元二次方程 题型四 利用配方法求最值问题 题型五 与解一元二次方程有关的新定义问题 题型六 根据判别式求证一元二次方程根的情况 题型七 根的判别式与根与系数关系综合 题型八 与根的判别式有关的新定义问题 题型九 已知一元二次方程的根满足的关系求参数 题型十 与一元二次方程根与系数的关系有关的新定义问题 题型十一 与解一元二次方程有关的材料阅读类问题 题型十二 一元二次方程与实际问题 题型一 根据一元二次方程的定义求参数 1．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 2．（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）若关于x的一元二次方程的一次项系数为0，则a的值是（     ） A． B．2 C．或2 D．0 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型二 选用合适的方法解一元二次方程 5．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 7．（23-24九年级上·山东日照·开学考试）用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 题型三 利用换元法解一元二次方程 8．（22-23八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设，则， 原方程可化为：， 请你将剩下的解题过程补充完整，并求出的值．    9．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知，求的值． 10．（20-21八年级下·山东烟台·期中）阅读下面材料： 方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，则， ∴原方程可化为，解方程求得的值，进而得到原方程的四个根，，，． 以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程； （2）已知实数满足，请直接写出的值． 11．（20-21八年级下·山东烟台·期中）阅读下面解方程的过程： 解方程． 设，则原方程可化为①，解得，． 当时，，解得；当时，，解得． 故原方程的解为，，，． 由方程得到①的过程，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 解答下列问题： （1）利用换元法解方程：； （2）三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 题型四 利用配方法求最值问题 12．（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 13．（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 14．（23-24八年级下·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 15．（23-24八年级下·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 题型五 与解一元二次方程有关的新定义问题 16．（23-24八年级下·山东泰安·期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 ． 17．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ． 18．（21-22八年级下·山东滨州·期末）（1）选择适当的方法解方程：； （2）对于任意实数a，b，定义，如，若，求实数x的值． 19．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大数，如． (1)填空：_______． (2)按照这个规定，解方程：． 题型六 根据判别式求证一元二次方程根的情况 20．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知关于x的—元二次方程． (1)若方程的一个根是0，求p的值； (2)求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 21．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 22．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 23．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知关于x的方程，求：当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 24．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，求代数式的值． 题型七 根的判别式与根与系数关系综合 25．（23-24八年级下·山东青岛·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的根，求的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 26．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 27．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 28．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 题型八 与根的判别式有关的新定义问题 29．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 30．（23-24八年级下·山东烟台·期中）对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 31．（23-24九年级上·四川巴中·期末）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 32．（24-25八年级下·山东烟台·期中）新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． 题型九 已知一元二次方程的根满足的关系求参数 33．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 34．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是和，且，求m的值． 35．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 36．（22-23八年级下·山东烟台·期末）实数使关于的方程有两个实数根．若，求的值． 题型十 与一元二次方程根与系数的关系有关的新定义问题 37．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 38．（23-24八年级下·山东济南·期末）请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 39．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 40．（22-23八年级下·江西南昌·阶段练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，；同样我们也可以化简读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程； (3)在复数范围内解方程：． 题型十一 与解一元二次方程有关的材料阅读类问题 41．（21-22八年级下·山东烟台·期中）阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果． 如：在实数范围内化简． 解：设（，为非负有理数），则． ∴ 由①得，，代入②得：，解得， ∴， ∴ 请根据以上阅读理解，解决下列问题： (1)请直接写出的化简结果是__________； (2)化简； (3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由． 42．（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． 43．（20-21八年级下·山东烟台·期末）先阅读，再解决问题： 【阅读材料】通过解一元二次方程，可得根是．由于一个根比另一个根大1，所以我们称一元二次方程为邻根方程．其实，不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程．方法如下： 若一元二次方程有两个不相等的实数根，设这两个根是和，则． ∵，∴． ∴ 显然，当时，原方程即为邻根方程． 【问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断是否为邻根方程． （1）； （2）． 题型十二 一元二次方程与实际问题 44．（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 45．（24-25八年级下·山东烟台·期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 46．（24-25八年级下·山东泰安·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 47．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由    可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 48．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动， 设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 49．（23-24八年级下·山东烟台·期末）科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升． (1)每次倒出溶液多少升？ (2)若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？ 50．（20-21八年级下·山东烟台·期末）列方程解应用题： 一个容器盛满了酒精溶液，此酒精溶液含纯酒精为80%．第一次倒出若干升后，用水加满；充分混合后第二次又倒出同样体积的酒精溶液，这时容器里纯酒精剩下．每次倒出的酒精溶液是多少升？ $$专题03 一元二次方程（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据一元二次方程的定义求参数 题型二 选用合适的方法解一元二次方程 题型三 利用换元法解一元二次方程 题型四 利用配方法求最值问题 题型五 与解一元二次方程有关的新定义问题 题型六 根据判别式求证一元二次方程根的情况 题型七 根的判别式与根与系数关系综合 题型八 与根的判别式有关的新定义问题 题型九 已知一元二次方程的根满足的关系求参数 题型十 与一元二次方程根与系数的关系有关的新定义问题 题型十一 与解一元二次方程有关的材料阅读类问题 题型十二 一元二次方程与实际问题 题型一 根据一元二次方程的定义求参数 1．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）若关于x的一元二次方程的一次项系数为0，则a的值是（     ） A． B．2 C．或2 D．0 【答案】A 【分析】由题意得且，解方程及不等式即可求出a的值． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型二 选用合适的方法解一元二次方程 5．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键． （1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （3）利用配方法把方程化为的形式，然后可用直接开平方解方程； （4）两边分别开平方，得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；． 【详解】（1）解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：； （2）解：， ，， ∴， 解得： （3）解：， 配方得：， ∴， 解得：； （4）解：， ∴或 ∴或 解得： 7．（23-24九年级上·山东日照·开学考试）用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法解一元二次方程，即可作答． （2）令每个因式等于0，进行计算，即可作答． （3）等号右边提取3，得，再移项，然后提取公因式，令每个因式等于0，进行计算，即可作答． （4）移项合并同类项，得，再运用因式分解，令每个因式等于0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 则 ∴ （2）解： ∴ （3）解： ∴ （4）解： ∴ ∴ 题型三 利用换元法解一元二次方程 8．（22-23八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设，则， 原方程可化为：， 请你将剩下的解题过程补充完整，并求出的值．    【答案】， 【分析】利用换元法思想设，将方程化为即可解答． 【详解】解：∵， 设，则， 原方程可化为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了利用换元法解方程，熟练运用换元思想是解题的关键． 9．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知，求的值． 【答案】3 【分析】先用换元法令，再解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：令，则原等式可化为： ， 解得：， ， ，即． 的值为3． 【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意为非负数是本题的关键． 10．（20-21八年级下·山东烟台·期中）阅读下面材料： 方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，则， ∴原方程可化为，解方程求得的值，进而得到原方程的四个根，，，． 以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程； （2）已知实数满足，请直接写出的值． 【答案】（1），，，；（2） 【分析】（1）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程； （2）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解即可． 【详解】解：（1）设， 则， 解得，， 当， 即时， 解得； 当， 即时， 解得； 综上所述，原方程的解为： ，，，； （2）解：（1）设，则由已知方程代入化简得到：， 解得，， 因为大于0，所以不符合， y值只能为5； 即有，解得 ， 综上所述： 【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 11．（20-21八年级下·山东烟台·期中）阅读下面解方程的过程： 解方程． 设，则原方程可化为①，解得，． 当时，，解得；当时，，解得． 故原方程的解为，，，． 由方程得到①的过程，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 解答下列问题： （1）利用换元法解方程：； （2）三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 【答案】（1），；（2）的面积为． 【分析】（1）设，然后解关于的方程；再根据值解关于的方程，最后确定原方程的解； （2）设，然后解关于的方程；再根据值求出，然后根据勾股定理可求得，据此可得到的面积． 【详解】解：（1）设，则方程可化为：， 解之得：，； ①当时，，即， 解得，，； ②当时，，即， △， 该方程无解； 综上所述，原方程的根是：，； （2）设，则方程可化为：， 即：， 解得，，； ∵，，是的三边，且斜边 ∴， ∴ 由勾股定理可得： ∴ ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理的运用．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 题型四 利用配方法求最值问题 12．（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【分析】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【详解】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 13．（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解题意，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）结合矩形和正方形面积公式，利用整式的乘法分别算出、，再运用的结果的正负来判断大小，即可解题； （3）根据题意得到，利用矩形面积公式表示出，再结合题干求解方法即可解题． 【详解】（1）解：由题知，， 故答案为：，． （2）解：由题知，， ， ， ， ． （3）解：， 由题知，， 矩形的面积；      ， ， ， 当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 14．（23-24八年级下·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；，大； (2)当为米，为米时，面积最大为平方米． 【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解； （）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； ∵， ∴当时，代数式有最大值， 故答案为：，大； （2）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意得，， 当时，有最大值，最大值为， ∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是． 15．（23-24八年级下·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）运用配方法解题即可； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 当，时，M有最小值为3； （2）如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度 当的值最小时，D、C、E三点共线， 所以最小值． 题型五 与解一元二次方程有关的新定义问题 16．（23-24八年级下·山东泰安·期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 17．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程得到，再根据新定义即可得到． 【详解】解：解方程得：， ∵， ∴， 故答案为：1． 18．（21-22八年级下·山东滨州·期末）（1）选择适当的方法解方程：； （2）对于任意实数a，b，定义，如，若，求实数x的值． 【答案】（1），；（2）1或-6 【分析】（1）利用配方法解答，即可求解； （2）根据新运算列出方程，再利用公式法解答，即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即． 直接开平方，得， ，．          （2）解：由题意知：， 整理得： ，，， ， 解得，． 所以实数x的值为1或-6 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． 19．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大数，如． (1)填空：_______． (2)按照这个规定，解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查新定义，解一元二次方程： （1）直接根据新定义求解即可； （2）当，即时，根据新定义可得方程，当，即时，根据新定义可得方程，分别解两个方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当，即时， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，或． 题型六 根据判别式求证一元二次方程根的情况 20．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知关于x的—元二次方程． (1)若方程的一个根是0，求p的值； (2)求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则利用非负数的性质得到△，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程得， 解得， 即的值为； （2）证明： ， 无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 21．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：方程中， ， 无论取何值，此方程总有两个实数根． （2）解：， ． ， 解得， 当时，方程有两个不相等的实数根，即， 的值为或3． 22．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）计算判别式的值，再利用配方法得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，而，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）由，得， ， ， ， ， 解得：  ， 或1． 23．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知关于x的方程，求：当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 【答案】当且时，方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． 24．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)0 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有实数根； （2）解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 题型七 根的判别式与根与系数关系综合 25．（23-24八年级下·山东青岛·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的根，求的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)的值为 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根及判别式的运用， （1）把代入原方程即可求出的值； （2）由于方程有两个不相等的实数根，根据判别式即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）把代入原方程，得 ， 解得：， 若是方程的根，的值为； （2）方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 26．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据韦达定理用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）解：和是的两个根 ， 是以为斜边的直角三角形 ，即 解得：，（，不合题意，舍去） 的值为3 27．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，则的周长为，设，可求，由此时的周长为7，不是偶数，不符合题意，舍去；设，则：，由三角形三边关系得，，，即，，可得，根据的周长为是偶数，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴此一元二次方程总有实数根； （2）解：由题意得：， ∴的周长为， 设，则， 解得，， 此时的周长为，不是偶数，不符合题意，舍去； 设，则：， 由三角形三边关系得，，，即，， 解得：， ∵周长m为偶数， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用是解题的关键． 28．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①m的取值范围为；②菱形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了根的判别式和菱形的性质，灵活运用所学知识是关键． （1）计算判别式的值即可判定方程实数根的情况； （2）①根据根与系数关系可得，即可求出m的取值范围；②根据菱形边长和对角线的关系即可求出，再根据根与系数关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵        ∴不论m为何实数，方程总有实数根。 （2）解：①由题意得：   解得：，   ∴m的取值范围为 ②设菱形的边长为a，则 ∵ ∴ ∴ （舍） 所以，菱形的边长为 题型八 与根的判别式有关的新定义问题 29．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 30．（23-24八年级下·山东烟台·期中）对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题中所给新定义运算可得方程，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意可得方程：， 即， ∵该方程没有实数根， ∴， 解得：； 故选：A． 31．（23-24九年级上·四川巴中·期末）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】， ， 方程化为一般式为， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故选：A． 32．（24-25八年级下·山东烟台·期中）新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算： （1）根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （2）根据题意，方程整理得：，即，利用一元二次方程判别式建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程整理得：，则， 解得：； （2）解：根据题意，方程整理得：，即， ∵方程没有实数根， ∴   解之得：， ∴实数m的取值范围是． 题型九 已知一元二次方程的根满足的关系求参数 33．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程的方法和根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可； （2）由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得  ． 34．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是和，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系即根的判别式．熟记一元二次方程的两个根分别为，那么，是解题关键．再根据根的判别式确定m的范围，由一元二次方程根与系数的关系可知，，再根据，，求解方程，即可． 【详解】解：，即， ， 可取任何数都满足关于x的一元二次方程有两个实数根， 根据题意得：，， ， ，即， ， ． 35．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式： （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由即可得出，即可得出m的值． 【详解】（1）解：这里，． ∵方程有两个实数根， ∴． ∴． （2）解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，同号． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即． ∴． 解得：． 所以，m的值为． 36．（22-23八年级下·山东烟台·期末）实数使关于的方程有两个实数根．若，求的值． 【答案】 或 【分析】根据根与系数的关系得，，再把变形为，则，接着解关于k的方程，然后利用k的取值范围确定k的值即可． 【详解】解：原方程整理为， 根据题意得，解得， 即k的取值范围为， 由一元二次方程根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或，经检验他们均符合题意． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握根的情况与根的判别式的关系以及熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为，则，． 题型十 与一元二次方程根与系数的关系有关的新定义问题 37．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 38．（23-24八年级下·山东济南·期末）请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）解：∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）解：， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 39．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 40．（22-23八年级下·江西南昌·阶段练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，；同样我们也可以化简读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，1，0 (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据，则，先找到规律：每4个一组，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案； （2）由得出、，据此可得答案； （3）由知，据此得出，再开方即可． 【详解】（1）， ∵，有2020个加数，， ∴． 故答案为：，1，0； （2）∵, ∴, ∴, ∴， ∴， ∴以a、b的值为解的一元二次方程可以是（答案不唯一）； （3）∵， ∴， ∴， ∴ 解得： 【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 题型十一 与解一元二次方程有关的材料阅读类问题 41．（21-22八年级下·山东烟台·期中）阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果． 如：在实数范围内化简． 解：设（，为非负有理数），则． ∴ 由①得，，代入②得：，解得， ∴， ∴ 请根据以上阅读理解，解决下列问题： (1)请直接写出的化简结果是__________； (2)化简； (3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解； （3）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的根的判别式求解． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：； （2）设（，为非负有理数），则， ∴， 由①得，，代入②得：， 解得，， ∴，， ∴， ∴； （3）不能，理由如下： 设（，为非负有理数），则， ∴， 由①得，，代入②得：， 即：， ， ∴关于的一元二次方程无解， ∴不能按照上面的方法化简． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，一元二次方程的解法和根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 42．（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)15 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 43．（20-21八年级下·山东烟台·期末）先阅读，再解决问题： 【阅读材料】通过解一元二次方程，可得根是．由于一个根比另一个根大1，所以我们称一元二次方程为邻根方程．其实，不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程．方法如下： 若一元二次方程有两个不相等的实数根，设这两个根是和，则． ∵，∴． ∴ 显然，当时，原方程即为邻根方程． 【问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断是否为邻根方程． （1）； （2）． 【答案】（1）是；（2）是 【分析】根据题意中的两根之差的公式计算即可． 【详解】解：（1）x2+x=0， 这里a=1，b=1，c=0， ∵， ∴x2+x=0是邻根方程． （2）4x2+16x+15=0， 这里a=4，b=16，c=15， ∵， ∴4x2+16x+15=0是邻根方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意根据公式计算是解题的关键． 题型十二 一元二次方程与实际问题 44．（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 45．（24-25八年级下·山东烟台·期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； (2)当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 46．（24-25八年级下·山东泰安·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)场地的宽为8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个增长率为x，由题意可得方程，然后进行求解即可； （2）由题意易得，设矩形空地的宽为y米，则的长为米，然后可得方程，进而求解即可 【详解】（1）解：设这个增长率为，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米， ， 设矩形空地的宽为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：，不合题意，舍去； 当时，的长为：，符合题意． 米． 答：场地的宽为8米． 47．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由    可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 【答案】(1)25 (2)不能，理由见解析 (3)能， 【分析】（1）直接由所给公式列一元二次方程求解即可； （2）由所给公式列方程整理后求解，根据为正整数判断即可； （3）根据题意列方程，提公因数3后利用所给公式和一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 即， 解得，（负值舍去）， 的值为25； （2）解：不能，理由为： 由得， ， ， 为正整数，是无理数， 不存在值，使前行的点数和是900． 即在第一问的三角点阵图形中，前行的点数不能是900； （3）解：能，，理由为： 由得， 则， ， 解得，（负值舍去）， 当时，前行的点数和是900． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题中公式，正确列出方程并会解一元二次方程是解答的关键． 48．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动， 设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 【答案】(1)当为1时，的面积是面积的 (2)当为或2时，的长度等于 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程， （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴当为1时，的面积是面积的； （2）解：设秒后，的长度等于， 根据勾股定理，得，即， 整理得，， 解得，． ∴当为或2时，的长度等于． 49．（23-24八年级下·山东烟台·期末）科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升． (1)每次倒出溶液多少升？ (2)若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？ 【答案】(1)每次倒出溶液2升 (2)纯药液还剩0.5升 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设每次倒出溶液x升．根据两次倒出后容器里溶液中的纯药液还剩下1升建立方程求解即可； （2）由剩下的再减去第三次倒出的即可得到答案； 【详解】（1）解：设每次倒出溶液x升． 由题意，得． 整理得． 解得，． ∵不合题意，故舍去． ∴． 所以，每次倒出溶液2升． （2）解：． 所以，纯药液还剩0.5升． 50．（20-21八年级下·山东烟台·期末）列方程解应用题： 一个容器盛满了酒精溶液，此酒精溶液含纯酒精为80%．第一次倒出若干升后，用水加满；充分混合后第二次又倒出同样体积的酒精溶液，这时容器里纯酒精剩下．每次倒出的酒精溶液是多少升？ 【答案】每次倒出的酒精溶液为5L 【分析】设每次倒出的酒精溶液为xL，然后根据第一次倒出若干升后，用水加满；充分混合后第二次又倒出同样体积的酒精溶液，这时容器里纯酒精剩下2L列出方程求解即可． 【详解】解：设每次倒出的酒精溶液为xL， 根据题意，得（10-x）80%-=2， 解这个方程，得x1=5，x2=15（不合题意，舍去），          ∴每次倒出的酒精溶液为5L， 答每次倒出的酒精溶液为5L． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解． $$