精品解析：江西省九江部分学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024−2025学年度下学期第一次阶段性学情评估 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意， C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键． 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示． 【详解】解：此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示；当；当； 当； 当解集不存在； 分别对应下图中的图1、2、3、4； 此题中原不等式组可以化为：，所以由图3可知，故选B． 【点睛】考核知识点：不等式组的解集． 3. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后与点B(3，－2)重合，则点A的坐标是(　　) A. (2，－3) B. (4，1) C. (4，－1) D. (2，－1) 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系上点的平移方法按照步骤解答即可. 【详解】将点A(x，y)向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后与点B(3，－2)重合； 采用逆向思维，将点先向上平移1个单位长度得到，再向左平移1个单位长度得到. 故选D. 【点睛】此题重点考查学生对平面直角坐标系上点的平移的理解，会平移点是解题的关键. 5. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以点， 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理求出∠ACD的度数，根据线段垂直平分线的性质得出∠BCD＝∠B，再由三角形外角的性质求出∠BCD的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵CD＝AC，∠A＝48°， ∴∠ADC＝∠A＝48°， ∴∠ACD＝180°−48°−48°＝84°． ∵由作图可知，MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∴∠BCD＝∠B＝∠ADC＝24°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝84°＋24°＝108°． 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 6. 如图，中，，， ，，垂足分别是下列结论：①平分；②平分；③；④上的点到两边距离相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，推出平分；得到上的点到两边距离相等；由，可推出，得到，，即可得到答案． 【详解】解：，， 平分， 故结论①正确； 上的点到两边距离相等， 故结论④正确； ，， ， 在和中， ， ，， 平分 故结论②③正确； 综上所述，结论正确的有个， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 如图，将线段平移到线段的位置，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移后坐标的变化，解题的关键在于能够知道从到和到的平移方式一样． 根据平移的性质可知，从到和到的平移方式一样，从而根据坐标的变化进行求出，计算即可得到答案． 【详解】解：， 根据平移的性质可知，从到和到的平移方式一样， 根据坐标的变化可以确定从到的平移方式为：先向左平移个单位，然后向上平移个单位 ，， ， ， 故答案为：． 8. 如图，已知函数与函数的图象相交于，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解题的关键．利用函数图象写出直线不在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解∶结合图象得， 当时， 直线不在直线上方， ∴不等式的解集是， 故答案为∶ ． 9. 若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于的不等式组只有一个整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 关于的不等式组只有一个整数解， ， 故答案为：． 10. 等腰三角形的一边等于5，另一边等于12，则它的周长是______． 【答案】29 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键在于掌握已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 题目给出等腰三角形有两条边长为5和12，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①因为等腰三角形，当腰为12时，，，所以能构成三角形，周长是：． ②当腰为5时，，所以不能构成三角形；不满足三边关系，舍掉． 故答案为：29． 11. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算． 【详解】如图， 根据题意，得 ∠AOB=45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角， 根据三角形的外角的性质，可得 三角板的斜边与射线OA的夹角为22°． 故答案为22． 【点睛】平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且对应角相等的性质． 12. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三、解答题（第13−17题每题6分，第18−20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分．） 13. （1）解不等式：，把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出整数解． 【答案】（1）， 在数轴上表示为： （2），不等式组的整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． （1）先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集，写出整数解即可． 【详解】解：（1） 解得：； （2） 解得； 解得； 原不等式组的解集为， 不等式组的整数解为． 14. 如图，是的平分线，于，于．求证：． 【答案】 证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，可证明，即可得到． 【详解】略． 15. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 【答案】（1）30°；（2）4． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 【点睛】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含30°角的直角三角形的性质． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____； （2）若点与点关于原点对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： 4 （2） （3）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用描点法在平面直角坐标系中描出即可得到，在网格中求出三角形面积即可得到答案； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据网格中三角形面积的求法，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中描点， 将放在矩形中求面积，如图所示： ； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：点与点关于原点对称，如图所示： ， 点坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示： ∵为轴上一点，若的面积为4， ∴ ， 设，则，即或， ∴点的横坐标为：或， P点坐标为：或． 【点睛】本题考查网格中作三角形、网格中求三角形面积、点关于原点对称、由网格中三角形面积求点的坐标等知识，熟练掌握网格中三角形面积的求法是解决问题的关键． 17. 如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． （1）若，求的度数． （2）若，在平移过程中，当时，求的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查平移的基本性质，平行四边形的性质和判定等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键． （1）根据平移的性质得到，，得到四边形是平行四边形，进而求解即可； （2）根据平移的性质得到，设，则，，分点E在点C左侧和点E在点C右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵沿射线方向平移，得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 ∵沿射线方向平移，得到， ∴， 设，则． ∵． ∴． ∵，当点E在点C左侧时， ∴， 解得，即的长为6． 当点E在点C右侧时，同理可得，， 解得， 综上所述，或12． 18. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD=，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°， ∴△ABD是等腰直角三角形． ∴AD=BD． ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°． ∴∠CAD=∠CBE． 在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°， ∴△ADC≌△BDF（ASA）． ∴BF=AC． ∵AB=BC，BE⊥AC， ∴AC=2AE． ∴BF=2AE． （2）2+ 【解析】 【详解】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证． （2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．　 解：（1）略 （2）∵△ADC≌△BDF， ∴DF=CD=． 在Rt△CDF中，． ∵BE⊥AC，AE=EC， ∴AF=CF=2． ∴AD=AF+DF=2+． 19. 为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） （1）求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； （2）该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 【答案】（1）50米 （2）3种方案，方案1：A工程队17人，B工程队3人；方案2：A工程队18人，B工程队2人；方案3：A工程队19人，B工程队1人 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是熟练正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出算式和不等式组． （1）用两工程队合作工作总量减去A工程队工作总量，再除以B工程队人数即可解答； （2）设A工程队派出x人，则B工程队派出人，根据“每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人”列出不等式组，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得： （米）， 答：B工程队每人每天能完成50米绿化带的建设． 【小问2详解】 解：设A工程队派出x人，则B工程队派出人， ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴该公司有3种方案： 方案1：A工程队17人，B工程队3人； 方案2：A工程队18人，B工程队2人； 方案3：A工程队19人，B工程队1人． 20. 阅读以下材料： 对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；； 解决下列问题： （1）填空： 如果，则的取值范围为______． （2）如果，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中的运算规则得出关于x的不等式组，解之即可； （2）先根据题中的运算规则求出，可得x+1是2、x+1、2x中最小的一个，则可根据题中运算法则列出不等式组，即可求解x值． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，． ∴， 即x+1是2、x+1、2x中最小的一个， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意正确列出不等式组进行求解． 21. 如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若于点，且，，求的周长． （3）若，，，求线段的长． 【答案】（1） ，理由如下， 在中，， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题得，由得到由垂直平分，得到推出，即可得到； （2）连接，，根据题意求出，可证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，即可得到答案； （3）连接，得到，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图，连接， 于点， ， ，， ， ， 由（1）知， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 由（1）知， ， ， 的周长； 【小问3详解】 解：如图，连接， ， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， 线段的长为． 22. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等 （2） 证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 【答案】（1）； （2）证明：， ， 即：， 由旋转知，； 在和中， ， ， ； （3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． ②如图： 当时， ， ， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ， ， 旋转角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度下学期第一次阶段性学情评估 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后与点B(3，－2)重合，则点A的坐标是(　　) A. (2，－3) B. (4，1) C. (4，－1) D. (2，－1) 5. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以点， 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，， ，，垂足分别是下列结论：①平分；②平分；③；④上的点到两边距离相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 如图，将线段平移到线段的位置，则的值为_______． 8. 如图，已知函数与函数的图象相交于，则不等式的解集是__________． 9. 若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是______． 10. 等腰三角形的一边等于5，另一边等于12，则它的周长是______． 11. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______． 12. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三、解答题（第13−17题每题6分，第18−20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分．） 13. （1）解不等式：，把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出整数解． 14. 如图，是的平分线，于，于．求证：． 15. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____； （2）若点与点关于原点对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 17. 如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． （1）若，求的度数． （2）若，在平移过程中，当时，求的长． 18. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD=，求AD的长． 19. 为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） （1）求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； （2）该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 20. 阅读以下材料： 对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；； 解决下列问题： （1）填空： 如果，则的取值范围为______． （2）如果，求． 21. 如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若于点，且，，求的周长． （3）若，，，求线段的长． 22. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 23. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $