精品解析：四川省成都市2024-2025学年 七年级下期期中集团多校联合监测数学试题

2024~2025学年度下期期中集团多校联合监测 七年级数学监测试卷 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填涂在答题卡上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点之间，垂线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 5. 将直角三角板和直尺如图放置、若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列乘法公式运用正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填涂在答题卡上） 9. 四月，柳絮如雪花般漫天飞舞，据测定，柳絮纤维的直径约0.000011m，该数值用科学记数法表示为 _____m． 10. 如图，，分别是的高线和角平分线，若，，则______． 11. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是_____． 12. 把一张长方形纸条按图中折叠后，若∠EFB= 65º，则∠AED’= _______度 . 13. 等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是______． 三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算或化简． （1）； （2）； （3）； 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 完成下面推理过程： 如图，，，，，．求的度数． 解：∵，，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（ ） ∴_________，（ ） ∵，（已知） ∴ ∵，（已知） ∴____________，（ ） ∵，（已知） ∴__________，（等量代换） ∴_____________________°． 17. 如图1为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． （1）小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ； （2）如图2，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗地雷． ①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是 ； ②小明与小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，试问这个约定对谁有利，请通过计算说明． 18. 已知中，平分． （1）如图1，若点P在射线上，，并且平分，求的度数； （2）如图2，在中，，BE平分，P为上一点，于P交延长线于点F，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）． （3）如图3，已知三角形三条角平分线交于一点O（点O在射线上），平分交于点P，过点O作交边于点D．若，将绕点A顺时针旋转一定角度后得，旋转后的三角形一边所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填涂在答题卡上） 19. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____ 20. 若，，则____________________ ． 21. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为______． 22. 如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值_______． 23. 如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则_________ ，____________________ ． 二、解答题（本大题共3小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 25. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则的值为______； （2）拓展：若，则______． （3）应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 26. 已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分． （1）如图1，当时，请求出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下期期中集团多校联合监测 七年级数学监测试卷 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填涂在答题卡上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方；选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可；选项C根据积的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可． 【详解】解：，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可． 【详解】A.，不符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 3. 如图，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，涉及同位角、内错角、同旁内角与平行线的关系．解题的关键是明确不同角的位置关系对应的判定定理，逐一分析选项是否能判定． 根据平行线判定定理，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可判定两直线平行；结合各选项中角的关系，判断哪个选项不能判定． 【详解】解：A、与非同位角、内错角或同旁内角关系，无法判断，此选项符合题意； B、与是内错角，内错角相等可判定，此选项不符合题意； C、与是同旁内角，同旁内角互补可判定，此选项不符合题意； D、与是同位角，同位角相等可判定，此选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点之间，垂线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：C． 5. 将直角三角板和直尺如图放置、若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，则，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过作， 则， ，， 由已知条件得， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6. 下列乘法公式运用正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，利用乘法公式计算即可得到答案． 【详解】解：A、，本选项错误； B、，本选项错误， C、，本选项错误； D、，本选项正确； 故选：D． 7. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，关键是熟练应用概率公式解题；先确定总基本款数量和符合“藕粉哪吒”的款数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵盲盒中共有个基本款，其中“藕粉哪吒”只有个， ∴买中“藕粉哪吒”的概率为， 故选：A． 8. 如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据的面积，依次得出、及的面积即可解决问题．熟知三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：，且点是的中点， ． 点是的中点， ． 点为的中点， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填涂在答题卡上） 9. 四月，柳絮如雪花般漫天飞舞，据测定，柳絮纤维的直径约0.000011m，该数值用科学记数法表示为 _____m． 【答案】 【解析】 【分析】将0.000011写成的形式即可，其中n为正整数． 【详解】解：将0.000011保留1位整数为1.1，小数点向后移动了5位， 因此， 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，掌握中n的取值方法是解题关键． 10. 如图，，分别是的高线和角平分线，若，，则______． 【答案】##16度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和三角形外角，解题的关键是熟练掌握角的变换． 由三角形内角和定理求得，则根据角平分线的定义易求，根据三角形外角定理，即可求得，在直角中，利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得，即可作答． 【详解】解：在中，，， ． 是的角平分线， ， ， 是的高线， 为直角三角形， ， 故答案为：． 11. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查补角和余角的概念，通过建立方程求解角度．设这个角为度，则补角为，余角为，再根据补角等于余角的3倍列方程求解． 【详解】解：设这个角为度，则补角为，余角为， 根据题意得： 解得， 即这个角的度数是． 故答案为：． 12. 把一张长方形纸条按图中折叠后，若∠EFB= 65º，则∠AED’= _______度 . 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据两直线平行内错角相等可得：∠DEF=∠EFB=65°，根据折叠图形的性质可得：∠D′EF=∠DEF=65°，根据补角的定义可知：∠AE D′=180°-65°×2=50°. 点睛：本题主要考查的就是折叠图形的性质以及平行线的性质问题.在解决折叠问题时，我们首先必须要明白折叠之后有哪些线段和哪些角是相等的，然后根据平行线的性质定理得出未知角的度数.在解决折叠问题的时候，我们很多时候也需要转化为直角三角形的问题来求某一条线段的长度(特别是矩形或正方形的折叠). 13. 等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形的三边关系即可得到答案． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别是和， 当腰长为，底长为，由三角形三边关系知，则该情况不成立； 当腰长为，底长为，该情况成立，则它的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形性质及三角形三边关系，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算或化简． （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题综合考查有理数的混合运算、整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂、乘方化简，再计算即可； （2）先算乘方，再计算乘除，再算加减即可； （3）利用完全平方公式和多项式乘多项式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，根据完全平方公式和整式的计算法则进行化简；再将数值代入求出结果即可．解题的关键是根据公式法和计算法则来解答． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 16. 完成下面推理过程： 如图，，，，，．求的度数． 解：∵，，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（ ） ∴_________，（ ） ∵，（已知） ∴ ∵，（已知） ∴____________，（ ） ∵，（已知） ∴__________，（等量代换） ∴_____________________°． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等；；50；20 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，先证明，得到，得到，由得到，进一步求出的度数． 【详解】解：∵，，（已知） ∴，（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵，（已知） ∴ ∵，（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等；；50；20． 17. 如图1为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． （1）小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ； （2）如图2，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗地雷． ①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是 ； ②小明与小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，试问这个约定对谁有利，请通过计算说明． 【答案】（1） （2）①；②这个约定对小亮有利 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算； （2）①直接利用概率公式计算； ②根据概率公式，分别计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后比较两概率的大小即可得到这个约定对谁有利． 【小问1详解】 解：∵一共有的小方格，其中埋藏地雷的小方格有10个，且每个小方格被选择的概率相同， ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是； 【小问2详解】 解：①∵一共有8个小方格，其中埋藏地雷的小方格有2个，且每个小方格被选择的概率相同， ∴小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是； ②小明胜的概率，小亮胜的概率， ∵， ∴小亮胜的机会大， 即这个约定对小亮有利． 18. 已知中，平分． （1）如图1，若点P在射线上，，并且平分，求的度数； （2）如图2，在中，，BE平分，P为上一点，于P交延长线于点F，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）． （3）如图3，已知三角形三条角平分线交于一点O（点O在射线上），平分交于点P，过点O作交边于点D．若，将绕点A顺时针旋转一定角度后得，旋转后的三角形一边所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值． 【答案】（1） （2）； （3）的值为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形角平分线的定义，外角的性质以及三角形内角和定理等知识． （1）由可得，由是的平分线可得，由三角形外角的性质可求出； （2）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，根据三角形外角的性质得，再由直角三角形两锐角互余可得结论； （3）分，，，三种情况五个位置讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：∵且，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴，， ∴， 又是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； ①如图1，当时，则， ∵， ∴， ∴旋转角度； ②如图2，当， 同理可得，， ∴旋转角的度数； ③当时，延长交于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数； ④如图4，当时，则， ∴旋转角的度数； ⑤如图5，当时，则， ∴旋转角的度数（舍去）； 综上，旋转角度数的值为：或或或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填涂在答题卡上） 19. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____ 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式． 用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴落入黑色部分的概率是． ∴据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：12． 20. 若，，则____________________ ． 【答案】##0.128 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方及同底数幂的除法运算法则进行计算．掌握幂的乘方，同底数幂的除法（底数不变，指数相减）运算法则是解题关键． 【详解】解：原式， ，， 原式， 故答案为：． 21. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用分类讨论的思想是解答此题的关键． 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数． 【详解】 解：①若是锐角三角形， 在中，设，于D， ∴，， ∴顶角； ②若是钝角三角形， 在中，设，于D，，， 则， ∴顶角 所以等腰三角形顶角的度数是或． 故答案为：或． 22. 如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：6． 23. 如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则_________ ，____________________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴， 故答案为：；． 二、解答题（本大题共3小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 25. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则的值为______； （2）拓展：若，则______． （3）应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）12 （2）10 （3）384 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后完全平方公式进行计算，即可解答； （3）根据题意可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ，， ， ． 【小问2详解】 解：设，， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：四边形是长方形， ，， ， ，， 设，， ， 长方形的面积为160， ， 正方形的面积正方形的面积 ， 图中阴影部分的面积和为384． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键． 26. 已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分． （1）如图1，当时，请求出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1） （2） （3）或5.5或11.5 【解析】 【分析】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程． （1）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的性质计算角度即可； （2）按照（1）的思路即可解答； （3）分为的三边分别与平行，当时，与同的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，同样的方法求得当和，当时的结果． 【小问1详解】 解：如图，过点作， ， ， 设， ， ， ， 平分，平分， ，， 如图，过点作， ， ， ， ， ; 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作， 则可得，， 设，， 根据上述原理可得，， ，， ， 即； 【小问3详解】 解：如图，当时， 设交于， ， ，， ， 由题意可得， ， ， ，即， ， 如图，当时， 同理可得：， ， 如图，当时， 设的延长线交于， ，， ， ， ， 由，得， ， 综上所述：或5.5或11.5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $