精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年八年级下学期数学试题定时练习

重庆八中2025年初二下数学试题定时练习 A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可得出答案，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：．当时，不满足题意，故本选项不符合题意； ．含有两个未知数，故本选项不符合题意； ．含有分式，故本选项不符合题意； ．满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选：． 2. 如果－2是方程的一个根，则m的值为（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】把－2代入方程，解方程即可． 【详解】解：把－2代入方程得，， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是明确方程的根满足方程，代入求值即可． 3. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，是假命题，不合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，是假命题，不合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，是假命题，不合题意； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：由可得 ∴原方程有两个相等的实数根， 故选：D． 6. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1)，整理化简即得答案． 【详解】 移项得， 配方得，，即． 故选：B． 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是明确当根的判别式等于0时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 根据一元二次方程根的判别式列出算式不等式，即可解答． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 故选：B． 8. 解方程最适当的方法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 求根公式法 D. 因式分解法 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据解方程的过程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 9. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 10. 如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，，推出由，得到，继而得到，推出，得到，推出，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解： 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 二、选择题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 【答案】a = 2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】由是一元二次方程，得 =2，且a+2≠0， 解得a=2， 故答案为 2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 12. 若a是关于x的方程的一个根，则=_______ 【答案】2022 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． 将代入得出，再作为整体代入即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2022 ． 13. 如图，在矩形中，和相交于点，于点，若，则的度数为_______（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握矩形的性质．由矩形的性质可得：，，得到，，结合，推出，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：在四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是边延长线上一点，连接，，，若，， ，则的面积为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得出，证明，得出，由勾股定理得出，，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ，即， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共3个小题，15题24分，16、17题每小题10分，共44分） 15. 用适当的方法求解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）， （2）无实数根 （3）， （4）， （5） （6） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法和分式方程的验根是解题的关键， （1）先移项、化简，再利用直接开平方法求解． （2）根据一元二次方程判别式判断根的情况． （3）将通过移项，提取公因式，选择因式分解法，即可解得答案． （4）选择公式法求解即可． （5）利用完全平方公式因式分解求解． （6）先对分式变形，然后去分母化为整式方程，因式分解求解，最后检验增根． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：， ∴． ∵， ∴此方程无实数根． 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：， ； 【小问4详解】 解：， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴，； 【小问5详解】 解； ， ∴， 解得； 【小问6详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 检验，当时，，是增根，舍去； 当时，， 所以原方程的解是． 16. 如图，在中，D、E是、的中点，连接． （1）在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是、的中点 ∴是的中位线 ∴且 ① ∵ ∴② ∴四边形是平行四边形 ∵E是中点 ∴ ③ 又∵ ∴ ④ ∴ ⑤ 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2），，，，四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角求解即可； （2）首先证明出四边形是平行四边形，然后推出，即可得到四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵D、E是、的中点 ∴是的中位线 ∴且 ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵E是中点 ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了尺规作一个角等于已知角，菱形的判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 17. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及方程根的应用．解题的关键是利用判别式确定参数的取值范围，并通过代入相同根求解方程中的未知参数，同时要注意一元二次方程二次项系数不为零的条件． （1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，，分别代入一元二次方程求出对应的m，同时满足即可． 【小问1详解】 解：x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵； ∴k的最大整数为2， 方程则为， 解得，， ∵与方程有一个相同的根， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 而， ∴m的值为． B卷 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 18. 若已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 19. 若a是方程的一个根，则的值为_________ 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到，然后根据等式的性质易得，代入原式即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：11． 20. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则等于_________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 根据正方形的性质可得，，将绕点A顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点A顺时针旋转，得，G、B、E三点共线，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，C为平面内一点且，连接，点P为的中点，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线，三角形中位线，连接，取中点，连接，，根据勾股定理求出，利用斜边中线得到，利用为中位线，得到，最后根据求最大值即可． 【详解】解：连接，取中点，连接，， ∵在平面直角坐标系中，点，， ∴，，， ∴， ∵为斜边中点， ∴， ∵点P为的中点， ∴为中位线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，最大， 故答案为：． 22. 对于一个三位数M，其百位、十位、个位上的数字分别是a、b、c，（a、b、c均不为0），若使得关于x的一元二次方程有实数根，则称M为“有根数”．例如：，有实数根，是“有根数”．则最大的“有根数”为_________；将一个“有根数”M的百位数字和个位数字交换位置，得到一个新的三位数，若和都能被整除，则所有满足条件的M的和为_________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，新定义，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键； 根据题意，可得，当最大为，讨论求解即可；分别计算和的关系式，求解即可； 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 则最大为， 则，， 当时，，解得：，不满足题意； 当时，，解得：，不满足题意； 当时，，解得：，不满足题意； 当时，，解得：，不满足题意； 当时，，解得：，不满足题意； 当时，则，解得：，不满足题意； 当时，，解得：，不满足题意； 当时，，解得：成立； 当时，，解得：有效； 当时，该数为； 当时，该数为； 最大为； 根据和都能被整除， 则被整除， ，； 则能被整除； 又， 能被整除； 则能被整除； 和都是的正整数； ， 故没有满足题意的数； 故所有满足条件的M的和为； 故答案为：； 五、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 23. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，得到或，当时，解得；当时，方程无实数解；即可得到答案； （2）整理方程得到，用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 设，则原方程化为， 解得或， 当时，解得； 当时，方程无实数解； ； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 24. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， 方程总有两个实数根； （2）或6或15 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键． （1）计算方程的判别式得出即可证明结论； （2）设方程的两个根为，，得，．由求根公式得．进而得必须是整数． 设（k为整数），则．可得，即，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得，再验证即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 设方程的两个根为，． ，． 方程的求根公式为． ，则． 因为方程的两个实数根均为整数，且p为非负整数，所以必须是整数． 设（k为整数），则． 当（m，n为整数，且），两式相减得，． ， ， ， ， m，n，k均为整数，且p为非负整数， ， 当时，，此时． 当，，（舍负）， 当，时， ，，（舍负）， 其它情况不合题意， 综上，的值为0或6或15． 25. 在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当时，连接，请用含有的代数式表示； （2）如图2，若点F恰好落在边上，点G、H分别在上，，求证：； （3）如图3，当，，时，点M、N分别是线段上的动点，且，过A作，，连接，直接写出的最大值． 【答案】（1）； （2） 解：在上取点，使，连接， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 连接，由旋转的性质知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质结合等边对等角求得，再利用垂直的定义求解即可； （2）在上取点，使，连接，证明，求得，求得，推出，根据，求得；证明是等边三角形，推出，即可证明； （3）先求得，过点作交直线于点，连接，证明，推出，，即是等腰直角三角形，作于点，求得，作于点，作交直线于点，得到四边形是正方形，得到，求得，推出，则当在同一直线上时，有最大值，最大值为的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，，， ∴， 由旋转的性质得， 过点作交直线于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，即是等腰直角三角形， 作于点， ∴， 作于点，作交直线于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴当在同一直线上时，有最大值，最大值为的长， 在中，，，， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2025年初二下数学试题定时练习 A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果－2是方程的一个根，则m的值为（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 3. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 6. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 4 8. 解方程最适当的方法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 求根公式法 D. 因式分解法 9. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 10. 如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 12. 若a是关于x的方程的一个根，则=_______ 13. 如图，在矩形中，和相交于点，于点，若，则的度数为_______（用含的式子表示）． 14. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是边延长线上一点，连接，，，若，， ，则的面积为___________ 三、解答题（本大题共3个小题，15题24分，16、17题每小题10分，共44分） 15. 用适当的方法求解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 16. 如图，在中，D、E是、的中点，连接． （1）在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是、的中点 ∴是的中位线 ∴且 ① ∵ ∴② ∴四边形是平行四边形 ∵E是中点 ∴ ③ 又∵ ∴ ④ ∴ ⑤ 17. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． B卷 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 18. 若已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_________． 19. 若a是方程的一个根，则的值为_________ 20. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则等于_________（用含的式子表示）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，C为平面内一点且，连接，点P为的中点，则的最大值为_________． 22. 对于一个三位数M，其百位、十位、个位上的数字分别是a、b、c，（a、b、c均不为0），若使得关于x的一元二次方程有实数根，则称M为“有根数”．例如：，有实数根，是“有根数”．则最大的“有根数”为_________；将一个“有根数”M的百位数字和个位数字交换位置，得到一个新的三位数，若和都能被整除，则所有满足条件的M的和为_________ 五、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 23. 计算： （1） （2） 24. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值． 25. 在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当时，连接，请用含有的代数式表示； （2）如图2，若点F恰好落在边上，点G、H分别在上，，求证：； （3）如图3，当，，时，点M、N分别是线段上的动点，且，过A作，，连接，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $