精品解析：北京市十一学校2024-2025学年 第3学段常规八年级级初中数学（III）课程 教与学诊断

北京市十一学校2024～2025学年第3学段初二年级数学III课程 教与学诊断 考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 菱形的边长是，一条对角线的长是，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，点、、都在函数的图象上，那么（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2028 B. 2026 C. 2024 D. 2022 8. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 9. 有两个一元二次方程，，其中，下列四个结论中，错误的是（ ） A. 如果方程有两个不相等的实数根，那么方程也有两个不相等的实数根 B. 时，方程和方程有一个相同的根，那么这个根是 C. 如果是方程的一个根，那么是方程的一个根 D. 10. 已知对于满足，，，对于范围内的任意一个，都取，中的最大值，则的最小值为（ ） A. 6 B. 14 C. D. 二、填空题（本题共30分，每小题3分） 11. 二次函数满足：当自变量时，函数值随的增大而增大，请写出满足条件的二次函数的解析式_____．（写出一个即可） 12. 若点在函数的图象上，则点P应在平面直角坐标系中的第_________象限． 13. 在平面直角坐标系，将直线向左平移3个单位后，得到的直线的解析式是______． 14. 关于函数，给出下列结论： ①此函数一定是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则的取值范围是； 其中正确的是_____；（填序号） 15. 若是方程的根，则代数式的值是__________． 16. 四边形中，、分别是、的中点，连接、，已知，，，则的长为_____． 17. 如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ______ ． 18. 当原点到直线的距离最大时，则_____． 19. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法的序号是_____． 20. 当，是正实数，且满足时，就称点为“完美点”．已知与点的坐标满足，且点是“完美点”，则点坐标为_____． 三、解答题（本题共50分，第21题12分，第22题5分，第23－25题，每题6分，第26题7分，27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 21. 用适当的方法解下列关于的方程： （1） （2） （3） （4）； 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 23. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点． （1）当该函数图象过点时，求这个一次函数表达式； （2）当时，求k的取值范围； （3）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于的值，直接写出m的取值范围． 25. 节日期间草莓采摘园推出优惠促销方案，采摘的草莓每千克销售单价（元）与一次性采摘量（千克）之间满足如图所示的函数关系．活动期间，采摘园对不同顾客的销售单价进行了记录，部分数值如下表．采摘园的草莓每千克的成本为13元． 一次性采摘量（千克） 5 8 14 24 31 40 销售单价（元） 30 30 28 23 20 20 （1）求和的值． （2）某顾客在采摘园一次性采摘千克，顾客采摘下来的草莓需全部买走，求当为何值时，采摘园获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，在正方形中，P为的延长线上一点，连接，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F． （1）直接写出图中与相等的一个角 ． （2）求证： ①； ②写出、之间的数量关系，并证明． 27. 已知点M和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点M的双倍点．在平面直角坐标系中，点、、、． （1）如图1，若点的坐标为，则，，中，是线段关于点的双倍点的是 ； （2）如图2， ①若点的坐标为，若存在点是四边形关于点的双倍点，直接写出点横坐标的取值范围． ②若点若的坐标为，在二、四象限角平分线上存在四边形关于点的双倍点，直接写出的取值范围； （3）如图3，点为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交轴于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2024～2025学年第3学段初二年级数学III课程 教与学诊断 考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，在两边加上一次项系数的一半的平方，把左边转化为完全平方式即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， 故选：． 3. 菱形的边长是，一条对角线的长是，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据勾股定理求出菱形的另一条对角线的长度，即可求出菱形的面积． 【详解】解：如图，，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：D． 4. 已知，点、、都在函数的图象上，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据的范围确定的范围，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，， ∴关于的对称点为：， ∵， ∴； 故选C 5. 关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有实数根得出△≥0且m-5≠0，求出不等式的解集即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根， ∴△=22-4（m-5）×2≥0且m-5≠0， 解得：m≤5.5且m≠5， m的最大整数解为4， 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 6. 已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是，， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：B． 7. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2028 B. 2026 C. 2024 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．先根据，是一元二次方程的两个实数根，得出，，整体代入求出结果即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ． 故选：A． 8. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【详解】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解． 【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48， 故选：D． 【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 9. 有两个一元二次方程，，其中，下列四个结论中，错误的是（ ） A. 如果方程有两个不相等的实数根，那么方程也有两个不相等的实数根 B. 时，方程和方程有一个相同的根，那么这个根是 C. 如果是方程的一个根，那么是方程的一个根 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义可对A进行判断；把两方程相减得的，解得，则可对B进行判断；根据方程根的定义对C进行判断；根据方程的定义可对D进行判断． 【详解】解：A、方程M有两个不相等的实数根，则，所以方程N也有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、因为方程M和方程N有一个相同的根，则，解得，故本选项符合题意； C、因为是方程M的一个根，则，即，所以是方程N的一个根，故本选项不符合题意； D、根据一元二次方程的定义得到，，则，故本选项不符合题意； 故选：B． 10. 已知对于满足，，，对于范围内的任意一个，都取，中的最大值，则的最小值为（ ） A. 6 B. 14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，根据题意，求出两个函数的交点，即可得出结果． 【详解】解：令，则：， 解得：或， 当时，， 当时，， ∵对于范围内的任意一个，都取，中的最大值， ∴的最小值为两个交点中，值的较小值，即为：； 故选C． 二、填空题（本题共30分，每小题3分） 11. 二次函数满足：当自变量时，函数值随的增大而增大，请写出满足条件的二次函数的解析式_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据自变量时，函数值随的增大而增大，可以写出一个开口向上，对称轴在左侧的二次函数的解析式即可． 【详解】解：由题意，满足条件的二次函数的解析式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若点在函数的图象上，则点P应在平面直角坐标系中的第_________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．从而可以得到，由，可以得到，可得，即求出点所在的象限． 【详解】解：由题意可得：， ， ，即， 应在平面直角坐标系中的第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，难点是判断出所求的点的横、纵坐标的符号． 13. 在平面直角坐标系，将直线向左平移3个单位后，得到的直线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向左平移个单位长度得， 故答案为：． 14. 关于函数，给出下列结论： ①此函数一定是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则的取值范围是； 其中正确的是_____；（填序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值的运用．①当时，函数是一次函数；②，当时，，过函数过点，即可求解；③函数经过二，三，四象限，可得，从而可以求得k的取值范围． 【详解】解：①当时，函数是一次函数；故①不符合题意； ②， 当时，，过函数过点，故②符合题意； ③函数经过二，三，四象限，则， 解得：，故③符合题意； 故答案为：②③． 15. 若是方程的根，则代数式的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 16. 四边形中，、分别是、的中点，连接、，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理．作交延长线于点，作于点，连接，推出四边形是矩形，设，在和中，利用勾股定理列式得到，求得，再在中，求得的长，再在中，求得，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，作交延长线于点，作于点，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵、分别是、的中点， ∴， 故答案为：． 17. 如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 18. 当原点到直线的距离最大时，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质．先求得直线的图象过定点，再求得点到直线的距离即为，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵， 当时，无论k为何值，， ∴直线的图象过定点， 又∵点到直线的距离等于点到直线的垂线段的长， ∴原点到过所有直线的距离h小于等于到的距离， ∴到的距离为， 如图，此时直线与线段垂直， 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 19. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法的序号是_____． 【答案】②④． 【解析】 【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：①如图1， ∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， 即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形， 故选项①正确； ②如图2， 四边形AECF不是矩形，故选项②错误． ③如图3， 当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确． ④如 图4 ， 如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故选项④错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 20. 当，是正实数，且满足时，就称点为“完美点”．已知与点的坐标满足，且点是“完美点”，则点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算．先根据点A坐标确定一次函数的解析式为，设点，根据题意，，结合m，n是正实数，且满足m，n是正实数，得，得到，据此计算即可求解． 【详解】解：∵点与点B的坐标满足，且点B是“完美点”， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， 设点， 根据题意，， ∵m，n是正实数，且满足m，n是正实数，， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共50分，第21题12分，第22题5分，第23－25题，每题6分，第26题7分，27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 21. 用适当的方法解下列关于的方程： （1） （2） （3） （4）； 【答案】（1），； （2），，； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先因式分解法求得，再利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 变形为， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 分解因式得， ∴或， 解得：， 解， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， 分解因式得， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， 设， 则方程变形为， 分解因式得， ∴或， ∴或， 当时，， 即， ∵， 没有实数解； 当时，， 即， ∵， ∴， 解得：，． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是该方程的两个根， ∴， ∴， 解得：或； 由（1）可知：， ∴． 23. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 【答案】（1） 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）的长度为1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质推出是的中位线，利用证明，根据全等三角形的性质得到，结合，即可判定四边形是平行四边形； （2）根据矩形的性质得到，，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 若四边形是矩形，则 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，平行四边的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点． （1）当该函数图象过点时，求这个一次函数表达式； （2）当时，求k的取值范围； （3）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合问题，求一次函数关系式，对于（1），将坐标代入关系式可得答案； 对于（2），将点A的坐标代入关系式，可得关于m，k的关系式，进而得出不等式，求出解集即可； 对于（3），将代入，求出交点坐标，进而求出m的值，即可得出答案． 【小问1详解】 将点代入，得， 解得． 所以一次函数关系式为； 【小问2详解】 将点代入，得， 即． ∵， ∴， 当时，． 即； 当时，（舍）. 所以k的取值范围为； 【小问3详解】 ． 当时，． 将代入，得， ∴当时，一次函数的值大于的值， 解得． 25. 节日期间草莓采摘园推出优惠促销方案，采摘的草莓每千克销售单价（元）与一次性采摘量（千克）之间满足如图所示的函数关系．活动期间，采摘园对不同顾客的销售单价进行了记录，部分数值如下表．采摘园的草莓每千克的成本为13元． 一次性采摘量（千克） 5 8 14 24 31 40 销售单价（元） 30 30 28 23 20 20 （1）求和的值． （2）某顾客在采摘园一次性采摘千克，顾客采摘下来的草莓需全部买走，求当为何值时，采摘园获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；； （2）当时，有最大值，最大值为元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用． （1）利用待定系数法求得当时，设与之间的函数表达式为，再求得当时，的值，当时，的值； （2）分当和时，两种情况讨论，当时，根据，列式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数表达式为， 将，和，代入得， ， 解得：． ∴与之间的函数表达式为． 当时，，解得； 当时，； 【小问2详解】 解：采摘园获得的利润为元， 当时，采摘的草莓每千克销售单价， 采摘园获得的利润， ∵，∴当时，有最大值，最大值为元， 当时，采摘的草莓每千克销售单价， 采摘园获得的利润， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元． 26. 如图，在正方形中，P为的延长线上一点，连接，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F． （1）直接写出图中与相等的一个角 ． （2）求证： ①； ②写出、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ①证明：如图1，在上取一点，使，连接，，，连接交于点， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， ，，， 由勾股定理得，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ； ②， 证明：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∴， ，即， ， ， 由勾股定理得，， ． 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等即可求得； （2）①在上取一点，使，连接，，，连接交于点，先证明，进而证明，证明四边形是平行四边形，求得，由勾股定理得，，据此即可证明； ②先根据四边形是正方形，证明四边形是矩形，再根据全等三角形的性质证明即可；再根据平行四边形的判定和性质得到，，最后根据勾股定理即可证明； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了垂直的定义，正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质以及平行四边形的判定和性质是解题的关键． 27. 已知点M和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点M的双倍点．在平面直角坐标系中，点、、、． （1）如图1，若点的坐标为，则，，中，是线段关于点的双倍点的是 ； （2）如图2， ①若点的坐标为，若存在点是四边形关于点的双倍点，直接写出点横坐标的取值范围． ②若点若的坐标为，在二、四象限角平分线上存在四边形关于点的双倍点，直接写出的取值范围； （3）如图3，点为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交轴于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①② （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及新定义“双倍点”等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“双倍点”的定义，逐一判断即可； （2）①分别求出点关于点的对称点的坐标即可解答问题； ②设直线上存在的点的坐标为，四边形上的点的坐标为，再根据“双倍点”的定义得出，可得，由可得答案； （3）利用图象法解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵、， ∴设在线段上，且， ∵， ∴的中点为， 若点的坐标是的中点，则， ∴， 故不是线段关于点的双倍点 ∵， ∴的中点为， 若点的坐标是的中点，则， ∴， 故不是线段关于点的双倍点； ∵， ∴的中点为， 若点的坐标是的中点，则， ∴， 故是线段关于点的双倍点； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵点、、、， ∴点关于点的对称点的坐标为； 点关于点的对称点的坐标为； 点关于点的对称点的坐标为； 点关于点的对称点的坐标为； ∴点横坐标的取值范围． ②设直线上存在的点的坐标为，四边形上的点的坐标为，则 ， 解得：， ∵点在直线上， ∴， ∴， 由、、、知：，， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：如图：是平行于的一组直线， 当经过时，则， ∴， 此时，直线与轴、轴的交点分别为，，此时线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点， 当经过时，则， ∴， 此时，直线与轴、轴的交点分别为，，此时线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点， 当时，交点不可能成为四边形关于的双倍点， 当经过四边形内部时，即时交点不可能成为四边形关于的双倍点， 同理，当时，线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点， 当时，交点不可能成为四边形关于的双倍点， 综上，当或时，线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $