2025年海南省海口九中等学校联考中考数学一模试题

试卷第 1 页，共 6 页 2025 年海南省海口九中等学校联考中考数学一模试题 （考试时间 100 分钟 试卷满分 120 分） 一、选择题（本大题满分 36 分，每小题 3 分）在下列各题的四个备选答案中， 有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求 用 2B 铅笔涂黑． 1． 2025的相反数是（ ） A． 2025 B． 2025 C． 1 2025 D． 1 2025  2．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至 2024 年 6 月上旬，上线慕课数量超 过 7.8 万门，学习人次达 1290000000 建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据 1290000000 表示为（ ） A． 81.29 10´ B． 812.9 10´ C． 91.29 10´ D． 7129 10´ 3．当 3x =  时，代数式 2 1x + 的值是（ ） A．0 B． 5 C．5 D．7 4．下列计算正确的是（ ） A． 2 2 4a a a+ = B． 3 2a a a = C． 3 2 6a a a× = D．  23 6a a = 5．如图是一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后的示意图，该立体图的俯视图可能是 （ ） A． B． C． D． 6．方程 3 1 2 x x =  的解是（ ） A． 5x = B． 1x = C． 1x =  D．原方程无解 试卷第 2 页，共 6 页 7．在平面直角坐标系中，将线段 AB 先向左平移 2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到线段CD，已知点  3,1A ，则点A 的对应点C 的坐标是（　　） A．  1, 2 B．  1, 4 C．  5, 2 D．  5,4 8．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F 在 AC 上，其中 90ACBÐ = °， 60ABCÐ = °， 90EFDÐ = °， 45DEFÐ = °， / /AB DE ，则 AFDÐ 的度数是（ ） A．15° B．30° C． 45° D．60° 9．已知双曲线 ky x = 经过点  3,5 ，下列各点在双曲线 3ky x + = 上的是（ ） A．  3, 5 B．  4, 3  C．  3,4 D．  3,4 10．如图，若 AB 是 Oe 的直径，CD是 Oe 的弦， 65CDBÐ = °，则 ABCÐ 度数为（ ） A． 25° B． 45° C．65° D．90° 11．如图，在矩形 ABCD中， 6AB = ， 8BC = ．连接 AC ，按下列方法作图；以点 C 为圆心， 适当长为半径画弧．分别交CA CD， 于点 E，F；分别以点 E，F 为圆心，大于 1 2 EF 的长为 半径画弧，两弧交于点 G；连接CG 交 AD 于点 H，则 ACHSV 的面积是（ ） A．10 B．12 C．15 D．30 试卷第 3 页，共 6 页 12．如图， ABCV 和 ADEV 都是等腰直角三角形， 90BAC DAEÐ = Ð = °，点 C 在边 DE 上， : 1: 2EC CD = ， 3 2DE = ，则 AC 的长为（ ） A．2 B． 2 2 C． 3 D． 5 二、填空题（本大题满分 9 分，每小题 3 分） 13．分解因式： 22 4x x = ． 14．若代数式 1x  有意义，则实数 x 的取值范围是 ． 15．如图，在菱形 ABCD中，点O为对角线 BD的中点，点 P 为平面内一点，且 1 2 OP BD= ， 则 BPDÐ = °，若 2, 2 3AB BD= = ．连接 AP ，则 AP 的最大值为 ． 三、解答题（本大题满分 75 分） 16．（1）计算：   1 012 12 3 3 1 2  æ ö + ´ +  ç ÷ è ø ； （2）解不等式组 5 1 3 4 1 2 3 3 x x x x  > ì ï í  £ ïî ． 17．2024 年 10 月 30 日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准 商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知 1 个“神舟”模型和 3 个“天宫”模型的进价共 150 元；3 个“神舟”模型和 2 个“天宫”模型的进价共 240 元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进 价各为多少元？ 18．已知：如图，在 ABCV 中，D是BC 边中点，CE AD^ 于点E ， BF AD^ 于点F ， 试卷第 4 页，共 6 页 (1)求证： BDF CDE△ △≌ ； (2)若 4=AD ， 2CE = ，求 ABCV 的面积． 19．学校为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机 抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，形成如下报告： 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了______名学生，其中“基本了解”安全知识的学生人数是______； (2)若该校有 1000 名初中生，请估计该校“非常了解”安全知识的人数约有______； (3)某班有 3 名男生和 1 名女生参加“防溺水安全比赛”的选拔，两名学生被选中，则恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率是______； (4)请你就如何提高防溺水安全意识向该校提一条合理建议． 20．综合与实践 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算骑楼老街某建筑物的边长 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活 动 模型抽象 海南骑楼老街即海口骑楼建筑历史文化街区，是海口城市的重要 发源地，如图，老街当中有一座特色建筑的底座为矩形 ABCD 试卷第 5 页，共 6 页 过 程 测绘过程 与数据信 息 ①在建筑外取一点E ，使得点C ， B ，E 在同一条直线上； ②过点E 作GH CE^ ，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF 的 长为 4米； ③在点F 处用测角仪测得 60.3CFGÐ = °， 45BFGÐ = °， 21.8AFGÐ = °； ④用计算器计算得： sin60.3 0.87° » ， cos60.3 0.50° » ， tan60.3 1.75° » ． sin21.8 0.37° » ， cos21.8 0.93° » ， tan21.8 0.40° » ． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求线段CE的长； (2)求该建筑底座 ABCD的边 AB 和BC 的长． 21．如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 2 4( 0)y ax bx a= +  ¹ 的图象与 x 轴交于 (4,0), ( 1,0)A B  两点，与 y 轴交于点C ． (1)求二次函数的解析式； (2)当 0y > 时， x 的取值范围是______； (3)如图 2，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的一个动点，连接 AP 、AC 、BP、BC ，线段 AC 与BP交于点Q，设 PAQ△ 的面积为 1,△S BCQ 的面积为 2S ，当 1 2S S 取最大值时，求点 P 的坐标； 试卷第 6 页，共 6 页 (4)当 1 x m £ < 时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，求m 的取值范围． 22．已知四边形 ABCD是矩形，E 是 AB 边上的一点，连接DE CE， ，点 P 是 EC 上一动点 （不与E C、 重合），连接 PB，过点 P 作PF PB^ ，交DC 于点F ． 【问题感知】 （1）如图（1），当 3AD = ， 5EC DC= = 时，则 AE = ______； 【探究发现】 （ 2）在（1）的条件下，如图（ 2）当点 P 运动到 EC 的中点时，求PF 的长． 【拓展提升】 （3）如图（3）当 45BCEÐ = °时，探究线段CF BC CP， ， 之间的数量关系，并说明理由． 答案第 1 页，共 15 页 1．B 【分析】本题考查了相反数的定义的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据相反数的定义，进行作答，即可求解； 【详解】解： 2025的相反数是 2025 ， 故选：B； 2．C 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为 10na ´ ，其中1 10a£ < ，n 为整 数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动 的位数相同．当原数绝对值 10³ 时，n 是正整数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负整数． 【详解】解：用科学记数法将数据 1290000000 表示为 91.29 10´ ， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了代数式求值，将 3x =  代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：当 3x =  时，  2 1 2 3 1 5x + = ´  + =  故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂相乘，幂的乘方运算法则是解题的关 键．根据合并同类项，同底数相乘，幂的乘方逐项计算即可求解． 【详解】解：A、 2 2 22a a a+ = ，故本选项错误，不符合题意； B、 3a 与 2a 不是同类项，不能合并，故本选错误，不符合题意； C、 3 2 5a a a× = ，故本选项错误，不符合题意； D、  23 6a a = ，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 5．C 【分析】根据图形的摆放位置，判断俯视角度，进而可以判断出俯视图． 【详解】A 项为主视图； B 项为不是俯视图； C 项为俯视图； D 项不是俯视图； 答案第 2 页，共 15 页 故选：C． 【点睛】本题考查了立体图形的三视图内容，培养学生的立体空间想象能力是解决问题的关 键． 6．C 【分析】方程两边同时乘 ( 2)x  ，化为整式方程，按照整式方程的解法求解，经检验即可得 到分式方程的解． 【详解】解： 3 1 2 x x =  ， 方程两边同时乘 ( 2)x  得：3 2x x=  ， 解得： 1x =  ， 经检验， 1x =  是原方程的解， ∴方程的解为： 1x =  ， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 7．A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移 减；纵坐标上移加，下移减，据此进行解答，即可． 【详解】解：∵点  3,1A 向左平移 2个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移以后点A 对应的点  1, 2C  ． 故选：A． 8．A 【分析】设 AB 与 EF 交于点 M，根据 / /AB DE ，得到 45AMF EÐ = Ð = °，再根据三角形的 内角和定理求出结果． 【详解】解：设 AB 与 EF 交于点 M， ∵ / /AB DE ， ∴ 45AMF EÐ = Ð = °， ∵ 90ACBÐ = °， 60ABCÐ = °， ∴ 30AÐ = °， ∴ 180 30 45 105AFMÐ = °  °  ° = ° , ∵ 90EFDÐ = ° , 答案第 3 页，共 15 页 ∴ AFDÐ =15°， 故选：A． ． 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的 关键． 9．D 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，判断点坐标是否在反比例函数上．根据 题意先计算出 15k =  ，再得到 15 3 12y x x  +  = = ，再逐一将选项坐标代入判断即可． 【详解】解：∵双曲线 ky x = 经过点  3,5 ， ∴ 15k =  ，即： 15 3 12y x x  +  = = ， ∵当 3x = 时， 124 3   = ，即 A 选项中坐标不在双曲线上， ∵当 4x =  时， 123 4  =  ，即 B 选项中坐标不在双曲线上， ∵当 3x = 时， 124 3   = ，即 C 选项中坐标不在双曲线上， ∵当 3x =  时， 124 3  =  ，即 D 选项中坐标在双曲线上， 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关 键是熟记圆周角定理．由同弧所对的圆周角相等可知 65A BDCÐ = Ð = °，而由圆周角的推论 不难得知 90ACBÐ = °，则由 90ABC BÐ = °  Ð 即可求得． 【详解】解：∵ 65CDBÐ = °， BDCÐ 与 AÐ 所对的弧相同， ∴ 65A BDCÐ = Ð = °， ∵ AB 是 Oe 的直径， ∴ 90ACBÐ = °， 答案第 4 页，共 15 页 ∴ 90 25ABC BÐ = °  Ð = °， 故选：A． 11．C 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性 质．证明 6AB CD= = ， 8AD BC= = ， 90DÐ = °，如图，过 H 点作HM AC^ 于 M，可得 HM HD= ，证明 CD DH AC AH = ，求解 10AC = ，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形 ABCD中 6AB = ， 8BC = ， ∴ 6AB CD= = ， 8AD BC= = ， 90DÐ = °， 如图，过 H 点作HM AC^ 于 M， 由作法得CH 平分 ACDÐ ， ∵ HM AC^ ，HD CD^ ， ∴ HM HD= ， ∴ 1 1 2 2 1 1 2 2 DCH ACH CD DH CD DHS S AC MH AH CD ´ ´ = = ´ ´ V V ， ∴ CD DH AC AH = ， ∵ 6AB = ， 8BC = ， ∴ 2 2 2 26 8 10AC AB BC= + = + = ， ∴ 3 5 DH AH = ，而 8DH AH+ = ， ∴ 3DH HM= = ． 1 10 3 15 2ACH S = ´ ´ =△ ， 故选：C． 12．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；连接 答案第 5 页，共 15 页 BD，由 ADEV 是等腰直角三角形， 3 2DE = ，得 3AD = ， 45E ADEÐ = Ð = °，再证明  SASACE ABDV V≌ ，最后由解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵ ADEV 是等腰直角三角形， 3 2DE = ， ∴ 2DE AD= ， 45E ADEÐ = Ð = °， ∴ 3AD = ， ∵ : 1: 2EC CD = ， ∴ 2EC = ， 2 2CD = ， ∵ ABCV 和 ADEV 都是等腰直角三角形， 90BAC DAEÐ = Ð = °， ∴ AB AC= ， AD AE= ， BAD CAEÐ = Ð ， ∴  SASACE ABDV V≌ ， ∴ 2CE BD= = ， 45E ADBÐ = Ð = °， ∴ 90BDC ADB ADEÐ = Ð + Ð = °， ∴    2 22 2 2 10BC = + = ， ∴ 5 2 BCAC = = ， 故选：D． 13．  2 1 2x x 【分析】本题考查了因式分解，利用提取公因式法分解因式即可得． 【详解】解：  22 4 2 1 2x x x x =  故答案为：  2 1 2x x ． 14． 1x ³ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握被开方数为非负数是解题的关 键． 根据二次根式中被开方数为非负数列式求解即可． 答案第 6 页，共 15 页 【详解】解：代数式 1x  有意义， ∴ 1 0x  ³ ， 解得， 1x ³ ， 故答案为： 1x ³ ． 15． 90 3 1+ ##1 3+ 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质结合勾股定理求得 1OA = ，当 点 P 在 AO 的延长线上时， AP 有最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接 AC ， ∵点 O 为对角线BD的中点， ∴ AC 经过点O， ∵菱形 ABCD， ∴ AC BD^ ， 1 3 2 BO BD= = ， ∵ 2AB = ， ∴ 2 2 1OA AB BO=  = ， ∵ 1 3 2 OP BD= = ， ∴点 P 在以点 O 为圆心，长度为 3的 Oe ， ∴ 90BPDÐ = ° ∴当点 P 在 AO 的延长线上时， AP 有最大值，最大值为 3 1+ ； 故答案为：90； 3 1+ ． 16．（1）9；（2） 3 1 2  < £x 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解不等式组，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运 算法则，二次根式乘法运算法则，熟练求出两个不等式的解集，是解题的关键． 答案第 7 页，共 15 页 （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式乘法运算法则，进行计算即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：   1 012 12 3 3 1 2  æ ö + ´ +  ç ÷ è ø 2 1 2 36 11= + +  2 6 2 1= + +  9= ； （2） 5 1 3 4 1 2 3 3 x x x x  > ì ï í  £ ïî ① ② 解不等式①得： 3 2 x >  ； 解不等式②得： 1x £ ； ∴不等式组的解是 3 1 2  < £x 17．每个“神舟”模型的进价为 60 元，每个“天宫”模型的进价为 30 元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、准确找出等量关系，列出二元一次方程是解 题的关键； 设每个“神舟”模型的进货价格为 x 元，每个“天宫”模型的进货价格为 y 元，根据 1 个“神舟” 模型和 3 个“天宫”模型的进价共 150 元；3 个“神舟”模型和 2 个“天宫”模型的进价共 240 元， 列出二元一次方程组求解即可； 【详解】解：（1）设每个“神舟”模型的进价为 x 元，每个“天宫”模型的进价为 y 元，由题意 得 3 150 3 2 240 x y x y + =ì í + =î 解得 60 30 x y =ì í =î ． 答：每个“神舟”模型的进价为 60 元，每个“天宫”模型的进价为 30 元． 18．(1)证明见解析 (2) 8ABCS =△ 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及中点定义、三角形面积公式等知识，熟练 答案第 8 页，共 15 页 掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由中点定义得到BD CD= ，再由三角形全等的判定即可得到  AASBDF CDE≌V V ； （2）由（1）知 BDF CDE△ △≌ ，结合全等性质得到 2BF CE= = ，数形结合由 1 1 2 2ABC ABD ACD AD BF AD CES S S+ = × + ×=△ △ △ ，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点D是BC 边中点， ∴ BD CD= ， ∵ CE AD^ ， BF AD^ ， ∴ 90BFD CEDÐ = Ð = °， 在 BDFV 和 CDEV 中， BFD CED BDF CDE BD CD Ð = Ðì ïÐ = Ðí ï =î ∴  AASBDF CDE≌V V ； （2）解：由（1）知： BDF CDE△ △≌ ， ∴ 2BF CE= = ， ∴   2 81 1 1 4 2 2 2 2ABC ABD ACD S AD BF AD CES S+ = × + × = ´ ´ == +△ △ △ ． 19．(1) 200，80 (2)100 (3) 1 2 (4)见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，画树状图 法求概率； （1）根据条形统计图得出基本了解的人数，用基本了解的人数除以其人数占比可求出参与 调查的人数； （2）根据扇形统计图与条形统计图得出“非常了解”安全知识的人数，再根据样本估计总体 即可求解； （3）画树状图求概率即可求解； （4）根据统计图可得了解很少和不了解的人数占比较大，加大安全教育，言之合理即可求 答案第 9 页，共 15 页 解． 【详解】（1）解： 80 40% 200¸ = 人，故此次抽查的学生总数为 200 人， 基本了解的人数为 80 人， 故答案为： 200，80． （2）解：不了解的占比为 20%，人数为 200 20% 40´ = 人， ∴非常了解的人数为：200 80 60 40 20   = 人 201000 100 200 ´ = （人） 故答案为：100． （3）解：画树状图如图， 总共有 12 种等可能情况，满足一男一女的有 6 种情况， 6 1= 12 2 ； 恰好有 1 名男生和 1 名女生的概率为 12 ． 故答案为： 1 2 ． （4）由统计图可知，了解很少和不了解的人数占比较大，建议学校加大宣传，开展好“防溺 水”安全教育．（答案不唯一）． 20．(1) 7CE = 米 (2) 6AB = 米， 3BC = 米 【分析】本题考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得 tan tan60.3 1.75 CECFE EF Ð = ° = » ，即可确定CE长度， （2）由 45BFGÐ = °得出 4BE EF= = 米，过点 A 作 AM GH^ 于点 M，继续利用正切函数确 定 6AB ME= = 米，即可求解． 【详解】（1）解：∵ GH CE^ ，EF 的长为 4 米， 60.3CFGÐ = °， ∴ tan tan60.3 1.75 CECFE EF Ð = ° = » ， ∴ 7CE = 米； （2）在Rt BEF△ 中，∵ 45BFGÐ = °， 答案第 10 页，共 15 页 ∴ 4BE EF= = 米， ∵ 7CE = ∴ 3CB CE BE=  = 米； 过点 A 作 AM GH^ 于点 M，如图所示： ∵ 21.8AFGÐ = °， ∴ tan tan21.8 0.4 AMAFG MF Ð = ° = » ， ∵ 4AM BE= = 米， ∴ 10MF = 米， ∴ 10 4 6AB ME= =  = 米， ∴ 6AB = ， 3BC = ． 21．(1) 2 3 4y x x=   (2) 1x <  或 4x > (3) 3 25, 2 4 æ öç ÷ è ø (4) 3 4 2 m< £ 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面 积问题，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）将  4,0A ，  1,0B  代入解析式，利用待定系数法求解； （2）根据  4,0A ，  1,0B  ，结合函数图象，即可求解； （3）由    1 2 1 2ABQ ABQ ABP ABCS S S S S S S S = +  + = V V V V 可得当点 P 与二次函数图象的顶点 重合时， Py 取最大值， 1 2S S 取最大值，由此可解； （4）分 31 2 m < £ ， 3 4 2 m< £ ， 4m > 三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值， 答案第 11 页，共 15 页 作差判断是否为定值即可． 【详解】（1）解：将  4,0A ，  1,0B  代入  2 4 0y ax bx a= +  ¹ ， 得： 16 4 4 0 4 0 a b a b +  =ì í   =î ， 解得 1 3 a b =ì í = î ， \二次函数的解析式为 2 3 4y x x=   ； （2）解：∵二次函数 2 4( 0)y ax bx a= +  ¹ 的图象与 x 轴交于 (4,0), ( 1,0)A B  两点，抛物线开 口向上， ∴当 0y > 时， x 的取值范围是 1x <  或 4x > ， 故答案为： 1x <  或 4x > ． （3）解：由（1）知 2 3 4y x x=   ， 当 0x = 时， 4y =  ， \  0, 4C  ， \ 4OC = ， Q  4,0A ，  1,0B  ， \  4 1 5AB =   = ； Q 2 2 3 253 4 2 4 y x x xæ ö=   =  ç ÷ è ø ， \二次函数图象的顶点坐标为 3 25, 2 4 æ öç ÷ è ø ；        1 2 1 2 1 1 5 42 2ABQ ABQ ABP ABC P PS S S S S S S S AB y OC y = +  + =  = ×  = ´ ´ V V V V ， 当点 P 与二次函数图象的顶点重合时， Py 取最大值， 1 2S S 取最大值， 此时点 P 的坐标为 3 25, 2 4 æ öç ÷ è ø ； （4）解：由（3）得 2 2 3 253 4 2 4 y x x xæ ö=   =  ç ÷ è ø ， 答案第 12 页，共 15 页 \二次函数图象的对称轴为直线 3 2 x = ， ①当 31 2 m < £ 时， 1x =  ，y 有最大值 0， x m= ，y 有最小值 2 3 4m m  ， 最大值与最小值的差为：  2 20 3 4 3 4m m m m   =  + + ，不是定值，不合题意； ②当 3 4 2 m< £ 时， 3 2 x = ，y 有最小值 25 4  ， = 1x  ，y 有最大值 0， 最大值与最小值的差为： 25 250 4 4 æ ö  =ç ÷ è ø ，是定值，符合题意； ③当 4m > 时， 3 2 x = ，y 有最小值 25 4  ， x m= ，y 有最大值 2 3 4m m  ， 最大值与最小值的差为：  2 225 93 4 34 4m m m m æ ö    =  +ç ÷ è ø ，不是定值，不合题意； 综上可知，当 3 4 2 m< £ 时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值． 22．（1）1；（ 2） 15 8 PF = ；（3） 2BC CF PC+ = ，理由见解析． 【分析】（1）由矩形的性质得 3BC AD= = ， 5AB DC= = ， 90ABCÐ = °，即可由勾股定理 得 2 2 4BE EC BC=  = ，再根据线段和差的关系即可求解； （ 2）作 PM AB^ 于点M ，延长MP 交DC 于点 N ，由直角三角形的性质可得 1 5 2 2 PB EP PC EC= = = = ，由M 为 BE 的中点可得 1 2 2 BM BE= = ，进而得到PM 是 EBCV 的中位线，即得 1 3 2 2 PM BC= = ，又可得四边形MNCB 是矩形，得到 3MN BC= = ，即可得 3 2 PN MN PM=  = ，最后证明 PMB FNP∽△ △ ，得到 BM BP PN PF = ，据此即可求解； （3）过点 P 作PH DC^ 于 H ，作PG BC^ 于G ，由角平分线的性质可得PH PG= ，即可 得四边形 PHCG 是正方形，得到 90HPGÐ = °，CH CG= ，进而可证明  ASAPGB PHFV V≌ ，即得HF BG= ，得到 2BC CF CG BG CF CG HF CF CG CH CG+ = + + = + + = + = ，再在Rt PCG△ 中，由勾股定 理得 2 2PC CG= ，即可得到 2BC CF PC+ = ． 【详解】解：（1）∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 3BC AD= = ， 5AB DC= = ， 90ABCÐ = °， 答案第 13 页，共 15 页 ∵ 5EC = ， ∴ 2 2 2 25 3 4BE EC BC=  =  = ， ∴ 5 4 1AE AB BE=  =  = ， 故答案为：1； （ 2）作 PM AB^ 于点M ，延长MP 交DC 于点 N ， ∵四边形 ABCD是矩形． ∴ 90ABCÐ = °， AB CD∥ ， 又∵ P 为 EC 的中点， ∴ 1 5 2 2 PB EP PC EC= = = = ， ∵ PM AB^ ， ∴ 90PMBÐ = °， ∵ M 为 BE 的中点， ∴ 1 2 2 BM BE= = ， ∴ PM 是 EBCV 的中位线， ∴ 1 3 2 2 PM BC= = ， 又∵ AB CD∥ ， 90BMPÐ = °， ∴ 90PNCÐ = °， ∴四边形MNCB 是矩形， ∴ 3MN BC= = ， ∴ 3 33 2 2 PN MN PM=  =  = ， ∵ PF PB^ ， ∴ 90BPFÐ = °， ∴ 1 2 180 90BPFÐ + Ð = °  Ð = °， ∵ 3 2 90Ð + Ð = °， 答案第 14 页，共 15 页 ∴ 1 3Ð = Ð ， ∴ PMB FNP∽△ △ ， ∴ BM BP PN PF = ， ∴ 2 2.5 1.5 PF = ， ∴ 15 8 PF = ； （3） 2BC CF PC+ = ，理由如下： 过点 P 作PH DC^ 于 H ，作PG BC^ 于G ， ∴ 90PHC PGC °Ð = Ð = ， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 90BCDÐ = °， ∵ 45BCEÐ = °， ∴ CE平分 DCBÐ ， ∴ PH PG= ， ∴四边形 PHCG 是正方形， ∴ 90HPGÐ = °，CH CG= ， 又∵ PF PB^ ， ∴ 90BPFÐ = °， ∴ 1 2 90FPG FPGÐ + Ð = Ð + Ð = °， ∴ 1 2Ð = Ð ， ∴  ASAPGB PHFV V≌ ， ∴ HF BG= ， ∴ 2BC CF CG BG CF CG HF CF CG CH CG+ = + + = + + = + = ， 在Rt PCG△ 中， 45BCEÐ = °，PG CG= ， 由勾股定理得： 2PC CG= ， 答案第 15 页，共 15 页 ∴ 2 2PC CG= ， ∴ 2BC CF PC+ = ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性 质，余角性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的判定和性质，全等三 角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．