2025年海南省澄迈县第三中学中考模拟数学试题

试卷第 1 页，共 7 页 2025 年初中毕业生学业水平模拟考试 数学科试题（四） （全卷满分 120 分，考试时间 100 分钟） 一、选择题（本大题满分 36 分，每小题 3 分） 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认 为正确的答案的字母代号按要求用 2B 铅笔涂黑． 1．下列四个数中，无理数是（ ） A． 3.14- B． 2- C． 12 D． 2 2．当 2x = - 时，代数式3 1x + 的值是（ ） A． 5- B． 7- C．5 D．7 3．据海南省旅文厅 2 月 5 日发布的数据显示，2025 年春节假日海南接待游客约9550000人 次，9550000用科学记数法可表示为（ ） A． 4955 10 B． 59.55 10 C． 69.55 10 D． 79.55 10 4．如图是由 5 个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（ ） A． 2 23 3a a- = B． 2 4 8a a a = C． 3 2 6( )a a= D． 6 2 3a a a¸ = 6．若代数式 1 2x - 和 3 2x 1+ 的值相等，则 x 的值是（ ） A． 5x = B． 5x = - C． 7x = D． 7x = - 7．在反比例函数 3my x + = 的图象在某象限内 y 随着 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 （ ） A． — 3m > B． — 3m < C． 3m > D． 3m < 8．如图，在 ABCV 中， 28AB AC A= Ð = °， ，直线 a bP ，顶点 C 在直线 b 上，直线 a 交 AB 试卷第 2 页，共 7 页 于点 D，交 AC 于点 E，若 1 136Ð = °，则 2Ð 的度数是（　　） A．32° B．36° C． 40° D．42° 9．如图， ABCV 的三个顶点的坐标分别为  1,1A 、  2, 1B - 、  0, 2C - ，将 ABCV 绕 C 逆 时针旋转90°后，A 的对应点 A¢的坐标为（ ） A．  1,2- B．  2,2- C．  3,0- D．  3, 1- - 10．如图，在矩形 ABCD中， 6AB = ， 8BC = ，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当 长为半径作弧，分别交 AB 、 AC 于M 、 N 两点；②分别以点M 、 N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径作弧，两弧在矩形 ABCD的内部交于点 P ；③连接 AP 并延长交BC 于点E ，则 BE =（ ） A． 2 B． 2.5 C．3 D． 4 11．如图， ,AB AC 是 Oe 的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BDC 上的点，若 80BACÐ = °， 则 BDCÐ = （ ） A．70° B．60° C．50° D． 40° 试卷第 3 页，共 7 页 12．下表是小颖填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 1.8mBE = ， 2mCD = ， 20Ð = °， 60bÐ = ° 根据以上信息，可求出孔子像 AE 的高度约为（ ）（结果精确到0.1m，参考数据： tan 20 0.36° » ， tan 60 1.73°≈ ） A． 2.8m B．3.0m C．3.2m D．3.4m 二、填空题（本大题满分 9 分，每小题 3 分） 13．分解因式：x2y-4y= ． 14．如图，一种弹簧秤最大能称不超过10kg 的物体，不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重 1kg 物体，弹簧伸长 0.5cm ．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度  cmy 与所挂物体的质量  kgx 之间的函数关系式为 ． 15．如图，在矩形 ABCD中， 4AB = ，点E 为边 AD 上一点， 3AE = ，则 BE = ．若F 为BE的中点，CF BE^ ，CE与DF 相交于点G ，则 EG GC = ． 试卷第 4 页，共 7 页 三、解答题（本大题满分 75 分） 16．（1）计算： 2 2025 11 2 3 4 2 -  - - - + -     ¸ ； （2）解不等式组 4 3 2 22 3 3 x x xx - > -ì ï -í - >ïî 17．某快递公司为了提高工作效率，计划购买 A，B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每 台 A 型机器人比每台 B 型机器人每天多搬运 20吨，并且 3 台 A 型机器人和 2 台 B 型机器人 每天共搬运货物 460吨．求每台 A 型机器人和每台 B 型机器人每天分别搬运货物多少吨? 18．如图，在 ABCV 中，点 D 是边 AB 上一点，点 E 是边 AC 的中点，过 C 作CF AB∥ ， 交DE 的延长线于点 F． (1)求证： ADE CFEV V≌ ； (2)若 5 3AB CF= =， ，求BD的长． 19．某校为了解全校 3000 名学生参加学校兴趣活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调 查，形成了如下调查报告： 学生参加学校兴趣活动的情况调查报告 主题 学生参加学校兴趣活动的情况调查 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学 生 数据的收集、整理 与描述 第一 项 你每周参与兴趣小组活动的时间是 （单选） A．8 小时 B．6 小时 C．4 小时 试卷第 5 页，共 7 页 D．2 小时 E．0 小时 第二 项 你每周参与兴趣小组活动的主要类型 是（可多选） F．发明制作 G．劳动实践 H．音乐类 M．体育类 N．美术类 第三 项 … … 调查结论 … 请根据以上调查报告的统计分析，解答下列问题： (1)参与本次抽样调查的学生有______人； (2)若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，则扇形统计图中选项“兴 趣活动时间 6 小时”对应扇形的圆心角度数是______； (3)已知样本中每周参与兴趣小组活动的时间 8 小时的 36 名学生中有 27 名女生，若从这 36 名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概 率是______； (4)估计该校 3000 名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数约为______人； (5)如果你是该校学生，为鼓励同学们积极地参与兴趣小组活动，请你面向全体同学写出一 条建议． 20．阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617 年），纳皮尔发明对数是在指数 书写方式之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783 年）才发现指数与对数之 间的联系． 对数的定义：一般地，若  0, 1xa N a a= > ¹ ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作： 试卷第 6 页，共 7 页 logax N= ．比如指数式 42 16= 可以转化为 24 log 16= ，对数式 52 log 25= 可以转化为 25 25= ． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：    log log log 0, 1, 0, 0a a aM N M N a a M N = + > ¹ > > ；理由如下： 设 loga M m= ， loga N n= ，则 mM a= ， nN a= ∴ m n m nM N a a a + =  = ，由对数的定义得  logam n M N+ =  又∵ log loga am n M N+ = + ∴  log log loga a aM N M N = + 解决以下问题： (1)将指数 34 64= 转化为对数式：______． (2)仿照上面的材料，试证明：  log log log 0, 1, 0, 0a a a M M N a a M N N = - > ¹ > > ． (3)拓展运用：计算 3 3 3log 2 log 6 log 4+ - ． 21．已知抛物线  2 2 3 0y ax ax a a= - + - > ． (1)当抛物线经过坐标原点时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线在 3 0x- < < 这一段位于 x 轴下方，在5 6x< < 这一段位于 x 轴上方，求 a 的值； (3)当 1a = 时，若  1,A m y 、  21,B m y+ 是抛物线上两点，记抛物线在 A、B 之间的部分为图 象 M（包含 A、B 两点），若图象 M 上最高点与最低点的纵坐标之差为 3，求 m 的值． 22．如图，在 ABCV 中， 90BACÐ = °， AB AC= ，点 D 为射线BC 上一动点（与点 B、C 不重合），连接 AD ，以 AD 为一边在 AD 右侧作正方形 ADEF ． (1)当点 D 在线段BC 上，且BD CD> 时， ①连接CF ，判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由； 试卷第 7 页，共 7 页 ②连接CE，求证： 2AB CE BD+ = ； (2)设正方形 ADEF 的边DE 所在直线与直线CF 相交于点 P，若 8BC = ， 2CD = ，求线段CP 的长． 答案第 1 页，共 15 页 1．D 【分析】本题考查的是无理数的概念，无理数即无限不循环小数，它的表现形式为：开方开 不尽的数，与 π 有关的数，无限不循环小数． 根据无理数的定义，即可得出符合题意的选项． 【详解】解： 3.14- ， 2- ， 12 是有理数， 2 是无理数， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查的是代数式的求值，把 2x = - 代入代数式3 1x + 进行计算即可求解． 【详解】解：当 2x = - 时，  3 1 3 2 1 5x + =  - + = - ， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为 10na 的形式，其中1 10a≤ ＜ ，n 为整数是关键，科学记数法的表示形式为 10na  的形式， 其中1 10a≤ ＜ ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：9550000用科学记数法表示为 69.55 10 ， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据从左边看 得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左往右看，得到从左往右 2 列正方形的个数依次为 1，2．如下： 故选：B． 5．C 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，然 后作出判断． 【详解】解：A． 2 2 23 2a a a- = ，故此选项不符合题意； 答案第 2 页，共 15 页 B． 2 4 6a a a = ，故此选项不符合题意； C.  23 6a a= ，正确，故此选项符合题意； D. 6 2 4a a a¸ = ，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法 则是解题基础． 6．C 【分析】此题考查了解分式方程.根据代数式的值相等得到关于 x 的分式方程，去分母把分 式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：代数式 1 2x - 和 3 2x 1+ 的值相等， 则 1 3 2 2 1x x = - + ， 去分母得，  2 1 3 2x x+ = - 解得 7x = ， 经检验， 7x = 是分式方程的解， 故选：C 7．B 【分析】先根据反比例函数的性质得出 m+3＜0，再解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y 随着 x 的增大而增大， ∴m+3＜0， m＜-3． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数 ( 0) ky k x = ¹ 的图象和性质：①当 k＞0 时，图象分别位于 第一、三象限；当 k＜0 时，图象分别位于第二、四象限．②当 k＞0 时，在同一个象限内， y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在同一个象限，y 随 x 的增大而增大． 8．A 【分析】先根据平角的定义得到 44ADE = °∠ ，进而根据三角形外角的性质得到 72CEDÐ = °， 利用等边对等角和三角形内角和定理得到 76ACB ABC= = °∠ ∠ ，再由平行线的性质得到 2 180 108ECB CED+ = ° - = °∠ ∠ ∠ ，由此即可得到答案． 答案第 3 页，共 15 页 【详解】解：∵ 1 136Ð = °， ∴ 180 1 44ADE = ° - Ð = °∠ ， ∴ 72CED A ADE= + = °∠ ∠ ∠ ， ∵ AB AC= ， ∴ 180 76 2 AACB ABC ° -= = = °∠∠ ∠ ， ∵ a bP ， ∴ 2 180 108ECB CED+ = ° - = °∠ ∠ ∠ ， ∴ 2 32Ð = °， 故选 A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等 角，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．D 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解 即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图可知：A 的对应点 A¢的坐标为  3, 1- - ； 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了矩形的性质，作角平分线以及角平分线的性质，过点E 作EF AC^ 于 点F ，根据作图可得 AE 是 BACÐ 的角平分线，则EB EF= ，勾股定理求得 10AC = ，设 BE EF x= = ，进而根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图，过点E 作EF AC^ 于点F ， 答案第 4 页，共 15 页 根据作图可得 AE 是 BACÐ 的角平分线， 又∵四边形 ABCD是矩形 ∴ AB BC^ ， ∴ EB EF= ， 在Rt ABC△ 中， 2 2 10AC AB BC= + = ， 设 BE EF x= = ∵ ABE AEC ABCS S S+ =V V V ∴ 1 1 1 2 2 2 AB BE AC EF AB BC +  =  ∴ 1 1 16 10 6 8 2 2 2 x x +  =   解得： 3x = 故选：C． 11．C 【分析】此题考查了切线的性质定理、圆周角定理等知识．连接 ,OB OC ，根据切线性质得 到 90ABO ACOÐ = Ð = °，由四边形内角和求出 100BOCÐ = °，由圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：连接 ,OB OC ， ∵ ,AB AC 是 Oe 的两条切线， ,OB AB OC AC\ ^ ^ ， ∴ 90ABO ACOÐ = Ð = °， 答案第 5 页，共 15 页 根据四边形内角和得到 360BOC ABO ACO BACÐ = ° - Ð - Ð - Ð 360 90 90 80 100= ° - ° - ° - ° = °， 根据圆周角定理得出 1 50 2 BDC BOCÐ = Ð = °． 故选：C 12．B 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出BC 和 AB 的长，根据 AE AB BE= - 即可得 到答案. 【详解】解：∵ 1.8mBE = ， 20Ð = °， 60bÐ = °， 90ABCÐ = °， ∴ 1.8 1.8 5m tan tan 20 0.36 BEBD  = = » = ° ∵ 2mCD = ， ∴ 5 2 3mBC BD CD= - = - = ∵ tan AB BC b = ， ∴ tan 3tan 60 3 1.73 5.19mAB BC b= = ° »  = ， ∴ 5.19 1.8 3.0mAE AB BE= - = - » ， 故选：B 13．y(x+2)(x-2) 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则 把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分 解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 14．  15 0.5 0 10y x x= + £ £ 【分析】本题考查了列函数关系式，根据题意列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，  15 0.5 0 10y x x= + £ £ ， 故答案为：  15 0.5 0 10y x x= + £ £ ． 15． 5 7 32 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等 答案第 6 页，共 15 页 于斜边的一半，正弦的定义，相似三角形的性质与判定；根据勾股定理求得 BE ，取 EC 的中 点 H ，连接FH ，根据中位线的性质以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出 EC BC= ，进而根据 sin sinABE FCBÐ = Ð ，求得BC 的长，证明 EGD HGFV V∽ ，根据相似 三角形的性质求得EG 的长，再求比值即可求解． 【详解】解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 90AÐ = ° 在Rt ABE△ 中， 4, 3AB AE= = ∴ 2 2 5BE AE AB= + = ， 如图，取 EC 的中点 H ，连接FH ∵ F 是 BE 的中点， H 是 EC 的中点 ∴ 1 2 FH BC= , FH BC∥ ， 1 5 2 2 BF BE= = ， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴ AD BC= ，ED BC∥ 设 2AD BC a= = ∴ FH a= ， ∵ CF BE^ ，在Rt EFC△ 中，FH 是斜边 EC 的中点 ∴ 2 2EC FH a= = ， ∴ EC BC= ， ∴ EBC BECÐ = Ð ∵ 90ABE FBC FCBÐ = ° - Ð = Ð ∴ sin sinABE FCBÐ = Ð ∴ AE BF EB BC = 答案第 7 页，共 15 页 ∴ 55 252 3 6 EB BFBC AE  = = = ∴ 252 6 a = 即 25 12 a = ∴ 25 25 25 7, , 3 12 6 6 6 FH EC BC ED AD AE= = = = - = - = ∵ ED BC∥ ，FH BC∥ ∴ EGD HGFV V∽ ∴ EG ED GH FH = ∴ 7 146 25 25 12 EG GH = = 设 14 , 25EG k GH k= = ∴ 14 7 14 25 25 32 EG k GC k k k = = + + 故答案为：5， 7 32 ． 16．（1） 5- （2）0 2x< < 【分析】本题考查了负整数指数幂，算术平方根、乘方，解不等式组，正确掌握相关性质内 容是解题的关键． （1）先化简乘方，绝对值，负整数指数幂，算术平方根，再运算乘除，最后运算加减，即 可作答． （2）先分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分的解集，即可作答． 【详解】解：（1） 2 2025 11 2 3 4 2 -  - -  - + - ¸    1 2 3 4 2= - -  + ¸ 1 6 2= - - + = 5- ； （2） 4 3 2 22 3 3 x x xx - > -ì ï í - - >ïî ① ② 由①得 4 3x x> - + ，解得 2x < ； 答案第 8 页，共 15 页 由②得6 2 2x x- + > ，解得 0x > ； ∴不等式组的解为0 2x< < ． 17．每台 A 型机器人每天搬运货物100吨，每台 B 型机器人每天搬运货物80吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出正确的数量关系是解题的关键． 根据题意列出方程组，最后求解即可． 【详解】解：设每台 A 型机器人每天搬运货物 x 吨，每台 B 型机器人每天搬运货物 y 吨， 则 20 3 2 460 x y x y - =ì í + =î ， 解得 100 80 x y =ì í =î ， 答：每台 A 型机器人每天搬运货物100吨，每台 B 型机器人每天搬运货物80吨． 18．(1)见解析 (2) 2 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用AAS证明三角形全等及利用全 等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键. （1）先证明 ,AE CE= 再证明 , ,A FCE ADE FÐ =Ð Ð =Ð 从而可得结论； （2）利用全等三角形的性质证明 3,AD CF\ = = 从而可得答案. 【详解】（1）证明：Q点 E 是边 AC 的中点， ,AE CE\ = ∵ CF AB∥ , ,A FCE ADE F\Ð =Ð Ð =Ð \  AASADE CFE≌△ △ ； （2）Q ADE CFEV V≌ ， 3CF = ， 3,AD CF\ = = Q 5AB = ， 5 3 2BD AB AD= - = - =∴ 19．(1)200 (2)144° (3) 1 4 答案第 9 页，共 15 页 (4)估计该校 1500 名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数为1680人 (5)见解析 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，求扇形统计图的圆心角度数，概率公式求 概率． （1）把第一项的条形统计图中各组数据相加得到调查的总人数； （2）用360°乘 B 组人数的占比即可求解； （3）先求得男生人数，根据概率公式即可求解； （4）用3000乘以参与劳动实践人数的占比即可； （5）根据两项调查的情况，建议如下：合理安排学习时间，多参加兴趣小组活动．答案合 理即可． 【详解】（1）解：参加调查的总人数为：36 80 64 12 8 200+ + + + = （人） 故答案为：200； （2）解： 80360 144 200  =° °， 故选项“兴趣活动时间 6 小时”对应扇形的圆心角度数为144°； 故答案为：144°． （3）解：∵36 名学生中有 27 名女生，则男生有9人 ∴从这 36 名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽 到男生的概率是 9 1 36 4 = 故答案为： 1 4 ． （4）解：3000 56% 1680 = （人） 即估计该校3000名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数为1680人； （5）解：建议如下：合理安排学习时间，多参加兴趣小组活动．答案合理即可． 20．(1) 43 log 64= (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据对数式的形式进行求解即可； （2）仿照上面的材料，进行证明即可； （3）结合对数式的性质进行求解即可． 答案第 10 页，共 15 页 【详解】（1）43=64 转化为对数式为：3=log464， 故答案为： 43 log 64= ； （2）证明：设 log loga aM m N n= =， ，则 m nM a N a= =， ， ∴ m n m nM N a a a -¸ = ¸ = ，由对数的定义得 logam n M N- = ¸（ ）， 又∵ log loga am n M N- = - ， ∴ log log loga a aM N M N¸ = -（ ） ， 即 log log loga a a M M N N = - (a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)． （3） 3 3 3log 2 log 6 log 4+ - 2 6 4log3  ¸= = 3log 3 =1． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算 法则的掌握． 21．(1) 23 6y x x= - (2) 3 16 a = (3) 1m = - 或 2 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值等知识，分类讨论是解题的关 键． （1）把原点坐标代入即可求出答案； （2）由题意可知，当 3x = - 时， 0y £ ，当 5x = 时， 0y ³ ，据此列出不等式组，求出答案 即可； （3）根据m 的取值范围分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：当抛物线经过坐标原点时， 20 0 2 0 3a a a=  -  + - ， 解得 3a = ， ∴抛物线的解析式为 23 6y x x= - ； 答案第 11 页，共 15 页 （2）∵  22 2 3 1 3y ax ax a a x= - + - = - - ， 0a > ∴抛物线的顶点坐标为  1, 3- ，抛物线开口向上， ∵抛物线在 3 0x- < < 这一段位于 x 轴下方，在5 6x< < 这一段位于 x 轴上方， ∴当 3x = - 时， 0y £ ，当 5x = 时， 0y ³ ， ∴ 9 6 3 0 25 10 3 0 a a a a a a + + - £ì í - + - ³î 解得 3 16 a = ， （3）当 1a = 时，  22 2 2 1 3y x x x= - - = - - ， 当 1 1m + £ ，即 0m £ 时， 在 1x m= + 时取最小值，即 2 3y m= - ， 在 x m= 时取最大值，即  21 3y m= - - ， 由题意可得，    2 21 3 3 2 1 3m m m- - - - = - + = 解得 1m = - ，符合题意； 当 1 1 1 m m £ì í + >î 即0 1m< £ ，在顶点  1, 3- 处取最小值 3- ，在 1x m= + 处取最大值，即 2 3y m= - ， 由题意可得，  2 3 3 3m - - - = ， 解得 3m = 或 3m = - ， ∵ 0 1m< £ ， ∴ 3m = 或 3m = - 不符合题意，舍去， 当 1m > 时， 在 1x m= + 时取最大值，即 2 3y m= - ， 在 x m= 时取最小值，即  21 3y m= - - ， 由题意可得，  22 3 1 3 2 1 3m m mé ù- - - - = - =ë û 解得 2m = ，符合题意； 答案第 12 页，共 15 页 综上可知， 1m = - 或 2． 22．(1)① CF BC^ ，理由见解析；②见解析 (2) 1CP = 或 3 【分析】（1）①利用SAS证 ABD ACF△ ≌△ ，从而得到 ACF ABDÐ = Ð ，继而得到 90FCB ACF A B ACCB A D BÐ = Ð + Ð = Ð =Ð + °，即可得证； ②如图所示，过 F 作FG BC∥ 交CA延长线于点 G，连接 AE ，求出 45GÐ = °，证明出点 A，C，E，F 四点共圆，得到 45FAE FCE GÐ = Ð = ° = Ð ，证明出  AASFGA FCEV V≌ ，得 到 AG CE= ，然后结合等腰直角三角形的性质等量代换证明即可； （2）分类讨论点D在线段BC 上运动和点D在线段BC 延长线上运动，证 AQD DCPV V∽ 即可 求解． 【详解】（1）解：① CF BC^ ，理由如下： ∵ AB AC= ， 90BACÐ = ° ∴ 45ABCÐ = °， 45ACBÐ = ° ∵四边形 ADEF 是正方形 ∴ AD AF= ∴ 90DAF DAC FAC BAC DAC BADÐ = Ð + Ð = Ð = Ð + Ð = ° ∴ DAB FACÐ = Ð ∵ AD AF= ， DAB FACÐ = Ð ， AB AC= ， ∴  SASABD ACFV V≌ ∴ 45ACF ABDÐ = Ð = ° ∴ 90Ð = Ð + Ð = °FCB ACF ACB ∴ CF BC^ ； ②如图所示，过 F 作FG BC∥ 交CA延长线于点 G，连接 AE ∵ FG BC∥ 答案第 13 页，共 15 页 ∴ 180 90GFC BCFÐ = ° - Ð = ° ∵ 45ACF BÐ = Ð = ° ∴ 45GÐ = ° ∵四边形 ADEF 是正方形 ∴ 90AFEÐ = °， AF EF= ∴ AFG CFEÐ = Ð ∵ 45ACF AEFÐ = Ð = ° ∴点 A，C，E，F 四点共圆 ∴ 45FAE FCE GÐ = Ð = ° = Ð ∴  AASFGA FCEV V≌ ∴ AG CE= ∵ GFCV 是等腰直角三角形 ∴ 2GC CF= ∴ 2AG AC BD+ = ∴ 2CE AB BD+ = ； （2）解：过点A 作 AQ BC^ 于点Q ①当点D在线段BC 上运动时： ∵ 8BC = ， 90BACÐ = °， AB AC= ， ∴ 2 4 2 2 AC BC= = ∵ 45BCAÐ = °， 90AQCÐ = ° ∴ 2 4 2 AQ CQ AC= = = ∴ 4 2 2DQ CQ CD= - = - = ∴ 2 2 2 5AD AQ QD= + = ， ∵ 90ADEÐ = ° 答案第 14 页，共 15 页 ∴ 90ADQ PDCÐ + Ð = ° ∵ 90ADQ QADÐ + Ð = ° ∴ QAD PDCÐ = Ð 由（1）可得 90PCDÐ = ° ∴ 90ADQ DAQ ADQ PDCÐ + Ð = Ð + Ð = ° ∴ DAQ PDCÐ = Ð 又∵ 90AQD DCPÐ = Ð = ° ∴ AQD DCPV V∽ ∴ CP CD DQ AQ = ，即 2 2 4 CP = ∴ 1CP = ； ②点D在线段BC 延长线上运动时： ∵ 45 , 90 , 4 2BCA AQC ACÐ = ° Ð = ° = ∴ 2 4 2 AQ CQ AC= = = ∴ 4 2 6DQ = + = ∴ 2 2 2 13DE AD AQ QD= = + = ， ∵ 90FAD ADPÐ = Ð = ° ∴ AFP CPDÐ = Ð ∵ 90FAD FCDÐ = Ð = ° ∴ AFP ADQÐ = Ð ∵ AF EPP ∴ CPD AFP ADQÐ = Ð = Ð ∴ AQD DCPV V∽ 答案第 15 页，共 15 页 ∴ CP CD DQ AQ = ，即 2 6 4 CP = 解得： 3CP = ， 综上所述： 1CP = 或 3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，相 似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题关键．