专题02 函数的概念与基本初等函数（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题02 函数的概念与基本初等函数 题型概览 题型01函数的性质 题型02指对幂函数 函数的性质题型01 1．（2025·辽宁·三模）已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（    ） A． B． C． D．当时，可能为偶函数 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·一模）下列函数中同时满足：①在上是增函数；②最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知数列，不为常数列且各项均不相同，设，，下列正确的是（   ） A．若为等差数列且为等比数列，则方程最多有三个解 B．若，均为等差数列，则方程最多一个解 C．单调递增，单调递减，则方程最多有一个解 D．若，均为等比数列，则方程最多有三个解 6．（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁·一模）若，若为偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．2 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．在单调递增 C．有且仅有1个零点 D．的最小值为 10．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 11．（2025·辽宁沈阳·一模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．是非奇非偶函数 C．的最小值为 D．关于x的方程有无数个实数解 14．（2025·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 15．（2025·辽宁沈阳·一模）对于函数，下列结论中正确的是（    ） A．任取，都有 B．，其中 C．对一切恒成立 D．方程有两个相异实根，则 指对幂函数题型02 16．（2025·辽宁·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025·辽宁·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 18．（2025·辽宁·一模）记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ． 19．（2025·辽宁辽阳·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 20．（2025·辽宁·三模）已知为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025·辽宁·一模）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 22．（2025·辽宁·一模）已知函数，则（   ） A．有两个零点 B．在上是增函数 C．有极小值 D．若， 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数的概念与基本初等函数 题型概览 题型01函数的性质 题型02指对幂函数 ( 题型01 ) 函数的性质 1．（2025·辽宁·三模）已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（    ） A． B． C． D．当时，可能为偶函数 【答案】BCD 【知识点】求函数值、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】采用赋值法，令，可判断A的真假；利用赋值法先求，设辅助函数，根据函数的单调性可得，可判断B的真假；利用B的结论，结合可判断C的真假；取函数，可判断D的真假. 【详解】对A：令，得，即，A错误. 对B：令，得，得. 由，得，构造函数， 则，则为减函数，则， 即，则，所以，故B正确； 对C：令，得. 根据B的结论，得：， 所以，故C正确； 对D：若，则可取满足， 则为偶函数，故D正确. 故选：BCD 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，，所以，， 又因为，所以， ， ，， ，， ，， ，， ，， ， 故C正确，A错误，且无证据表明BD正确. 故选：C. 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】先由换元法求得函数的解析式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，所以，即， 则 故选：D． 4．（2025·辽宁·一模）下列函数中同时满足：①在上是增函数；②最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的解析式结合函数图像变换的规则逐个选项判断即可. 【详解】对于选项A，在上是增函数，但不具有周期性， 不合题意，A错误； 对于选项B，在上是增函数，最小正周期为， 符合题意，B正确； 对于选项C，，最小正周期为，但在上是减函数， 不符合题意，C错误； 对于D选项，在上是增函数，最小正周期为，符合题意， D正确. 故选：BD 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知数列，不为常数列且各项均不相同，设，，下列正确的是（   ） A．若为等差数列且为等比数列，则方程最多有三个解 B．若，均为等差数列，则方程最多一个解 C．单调递增，单调递减，则方程最多有一个解 D．若，均为等比数列，则方程最多有三个解 【答案】ABC 【知识点】函数与方程的综合应用、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】首先，选项A利用反证法与导数可判断，选项B中两等差数列对应的一次函数至多一个交点，选项C由单调性结合反证法可判断，选项D举反例可判断. 【详解】对于A，等差数列的通项公式是线性的，可表示为（其中为公差）， 而等比数列的通项公式是指数型的，可表示为（其中为公比且）， 由得，令， （1）当时，， 若，则，所以是增函数， 若恒大于零或恒小于零，则单调，至多有一个零点， 若既不恒大于零又不恒小于零，则恰有一个零点，不妨记为， 那么，当单调递减，当单调递增，是的极小值点,所以，至多有两个零点（在和至多各有一个零点）. 当时，同理至多有两解； （2）当公比为负时，记为， 当为偶数时，，由（1）知方程至多有两解； 当为奇数时，由（1）知方程至多有两解； 为偶数时，与为奇数时，它们的单调性相反， 直线与，至多有三个交点（可见C的推理）， 下面举例如下，方程恰有三解时，方程无解,故A正确; 对于B，因为当和均为等差数列时，它们的通项公式分别为 和（其中，且数列不为常数列）， 方程可化简为， 若两数列公差不同，方程等价于关于的一元一次方程， 解为，由于方程至多有一个实数解，且题目中为自然数， 因此方程要么存在唯一的自然数解，要么无解（例如解为负数或非整数）， 若两数列公差相同，方程化简为， 由于题目规定两数列不为常数列且各项均不同， 若，则方程无解，若，则两数列完全相同（即对所有成立）， 但题目明确要求数列“不为常数列且各项均不相同“，因此这种情况被排除. 综上，无论公差是否相等，方程在自然数范围内最多存在一个解，故B正确； 对于C，首先，取，方程只有一解， 当时，，当时，方程无解， 所以，方程只有一解， 假设方程方程有两个不同的解，记为， 所以，，，因为数列单调递增，，即①， 又因为数列单调递减，得②， 则①与②矛盾，所以方程至多有一个解，故C正确； 对于D，取，方程， 即为偶数都是方程的解，方程可以有无数多个解，故D错误. 故选：ABC. 6．（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性 【分析】利用赋值法可得，进而可求的值. 【详解】令，可得，所以， 令，可得， 因为不恒为0，所以，所以是奇函数， 因为， 所以. 故选：B. 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、区间的定义与表示 【分析】解不等式可求得，再由交集运算可得结果. 【详解】易知，又， 可得. 故选：A 8．（2025·辽宁·一模）若，若为偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】先令解得的值，再利用定义检验为偶函数. 【详解】， ， 若为偶函数，则， 左右两边同时乘以得，，即， 得，解得； 检验：当时，， ，则，故为偶函数. 故选：A 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．在单调递增 C．有且仅有1个零点 D．的最小值为 【答案】ABC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据解析式以及函数奇偶性定义可判断A正确，对函数求导并由对勾函数性质以及三角函数值域可判断B正确，结合函数单调性可知C正确，由指数函数性质可得D错误. 【详解】对于A，易知的定义域为，定义域关于原点对称， 可知，即为奇函数，可得A正确； 对于B，当时， 可得恒成立， 因此在单调递增，即B正确； 对于C，由B可知在上单调递增，且， 因此有且仅有1个零点，即C正确； 对于D，当时，可得趋近于，因此D错误. 故选：ABC 10．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由函数的图象关于点中心对称可知具有对称轴，再由得，再根据为上的偶函数且具有对称轴可得答案. 【详解】由函数的图象关于点中心对称可知， ，即， 可得，因此函数具有对称轴， 由，可得， 由为上的偶函数且具有对称轴，可得． 故选：B． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、正弦函数图象的应用 【分析】根据函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断. 【详解】因为的定义域为，且， 所以是奇函数，故排除BC， 又，则，故排除D， 故选：A 12．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域 【分析】由函数定义域可化简集合B，然后由交集定义可得答案. 【详解】. 则. 故选：B 13．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．是非奇非偶函数 C．的最小值为 D．关于x的方程有无数个实数解 【答案】BD 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由已知结合三角函数的周期性检验，可得A的正误；结合三角函数的奇偶性检验，可得B的正误；根据三角函数取得最值得条件检验，可得C的正误；先对方程进行化简，然后结合正弦函数的周期性与对称性，可得D的正误. 【详解】对于A，由 ，则不是函数的一个周期，故A错误； 对于B，由，则其定义域为， 因为， 所以函数是非奇非偶函数，故B正确； 对于C，，当且仅当，，等号成立； ，当且仅当，，等号成立， 由，则，故C错误； 对于D，由， 则， 可得，整理可得， 解得或，， 化简可得或，，故D正确. 故选：BD. 14．（2025·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用导数的几何意义由可计算，由可计算； （2）利用导数求出的单调性，判断的奇偶性，利用奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】（1）， 所以， 由题意可得，所以， 所以，所以. 所以. （2）由（1）知，所以， 所以在上单调递增， ， 所以为奇函数， ，即， 即， 所以，即， 即，解得, 所以不等式的解集为. 15．（2025·辽宁沈阳·一模）对于函数，下列结论中正确的是（    ） A．任取，都有 B．，其中 C．对一切恒成立 D．方程有两个相异实根，则 【答案】ACD 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求等比数列前n项和 【分析】分析函数的性质并作出图象，利用其图象性质，结合数列相关知识逐项分析判断即可. 【详解】当时，函数在时取最大值1，在时取最小值， 当时，可视为的图象向右每2个单位一平移， 其函数值为相邻上一个区间对应值的，因此， 作出函数的图象，如图， 对于A，当时，，任取， ，A正确； 对于B，，数列是 以为首项，为公比的等比数列，， 因此，B错误； 对于C，由，得，则，， 因此，C正确； 对于D，方程有两个相异实根，则， 由，解得或，于是， 所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题选项BC，利用函数的性质，构造数列，再利用数列相关知识求解是关键. 16．（2025·辽宁·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】分别求出集合和，然后，利用交集的运算可得答案. 【详解】， ， . 故选：C 17．（2025·辽宁·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先根据对数运算得出集合B，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为， 又因为集合， 则. 故选：B. 18．（2025·辽宁·一模）记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、由不等式的性质比较数（式）大小、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】先由值域为得到不等式，再利用不等式的性质比较三者大小，再借助分数的性质及不等式放缩求解最值可得. 【详解】若函数的值域为， 记， 则，故， 由，得，且， 所以，又， 所以， 故. 则由且， 可得， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值. 19．（2025·辽宁辽阳·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数运算易得，，，根据对数函数的单调性可得，进而结合换底公式得到，进而判断即可. 【详解】， ，， 因为， 所以，则. 故选：A. 20．（2025·辽宁·三模）已知为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、指数幂的运算 【分析】由复数的模长公式以及复数的周期性即可得到的值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，则，故. 故选：D 21．（2025·辽宁·一模）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 【答案】3或4（写对一个即可） 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、分式不等式 【分析】根据为幂函数，得到，再解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得，则， 不等式可化为， 解得，所以符合条件的自然数可以是3或4. 故答案为：3或4（写对一个即可） 22．（2025·辽宁·一模）已知函数，则（   ） A．有两个零点 B．在上是增函数 C．有极小值 D．若， 【答案】BCD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、求已知函数的极值、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，得到出方程解的个数，然后判断A选项；对函数求导，然后得到函数的递增区间，判断B选项；由函数的单调区间得到函数的极值判断C选项；构造函数，由导函数得到函数的单调性，从而求出当时，的最小值，即能判断D选项. 【详解】令，即，∵，∴只有一个解，即函数有一个零点，A选项错误; ，令，，∵，∴，∴在上是增函数，B选项正确； 在上单调减，在上单调递增，∴函数有极小值，C选项正确； 令，，， 令，则，，， ∴当时，，即在单调递增，∴， 即，在单调递增，∴，即，D选项正确. 故选：BCD. 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$