专题01-13汇总（导图+知识梳理+江苏地区真题重组培优卷）-2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（学生版+教师版）

专题培优讲练—真题重组 2025 年小升初数学复习讲义（学生版） 十三大专题知识讲练全覆盖 江苏专版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 作者寄语 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。本书籍将 小升初复习内容划分为 13 个的专题，主要强化数与代数，图形与几何，统计与 概率三部分内容专题！ 讲义包含三部分： 【思维导图】精编彩图一目了然，对专题知识点统筹讲解，更加能够具体化考纲 内容，精确学习目标； 【知识点全盘覆盖】深入挖掘重难点考查内容，查漏补缺，梳理细致考察点； 【江苏省全市真题重组培优卷】精选近两年全市各地名校真题，专题汇编整理， 百分制检测卷，更能够直接了当获取考察方向，重点考察易错点，难度中上，适 合所有学生复习使用！ 相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：考试顺利，再创佳绩！ 1 / 151 目 录 专题 01 数的认识 ....................................................................... 2 专题 02 数的运算 ...................................................................... 14 专题 03 常见的量 ...................................................................... 23 专题 04 式与方程 ...................................................................... 30 专题 05 比和比例 ...................................................................... 38 专题 06 解决问题 ...................................................................... 49 专题 07 探索规律 ...................................................................... 62 专题 08 图形的认识 .................................................................... 78 专题 09 几何图形的周长、体积与表面积 .................................................. 90 专题 10 图形的运动-轴对称、平移与旋转、缩放与折叠 .................................... 103 专题 11 图形与位置-方向、位置、比例尺与路线图 ........................................ 115 专题 12 统计 ......................................................................... 128 专题 13 概率 ......................................................................... 143 2 / 151 2025 年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题 01 数的认识 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理 01：整数 1.整数的意义和分类：像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数统称为（整数）。整数分为正整数、0、负 整数（整数也可以分为自然数和负整数） 易错点拨：0 既不是正数，也不是负数 2.整数的读法：读一个多位数，从高级到低级，一级一级地读。每级都按照个级的读法来读，读亿级、万 级时，必须加上“亿”字或“万”字。每级末尾的“0"都不读，其他数位有一个或连续几个“0"的都只读 一个零。（读数时，可以先画出分级线，再读数，这样可以快速、准确地读出一个多位数 3 / 151 3.整数的写法：写数时，按从高位到低位的顺序，一级一级地写。亿级和万级都按个级的写法来写。哪个 数位上一个单位也没有，就在那一位上写 0（写完后，画上分级线检查，每一级都只能写四位，不要多写或 少写 0） ４.整数的大小比较: ○1 比较两个整数的大小，首先数一下多位数的位数，位数多的大于位数少的 ○2 如果位数相同，就比较最高位，最高位上的数大的那个数就大；最高位上的数相同，次高位上的数大那 个数就大，如果还相同，则继续依次比较，直到比较出大小为止。 ５．整数的改写和近似数 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要， 省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 （１）数的改写： ①把整万、整亿数改写成用“万”或“亿”作单位的数：把万位或亿位后面的 4个 0或个 0 去掉，换成一 个“万”字或 “亿”字就可以了 ②把非整万、整亿数改写成用“万”或“化”作单位的数：先把原数的小数点向左移动 4位或 8 位（小数 部分末尾是 0 的要划掉），再在数的后面写上 “万”字或“亿”字，中间用“=”连接 （２）近似数：省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数，再在数的后面 写上“万”或“亿”字，中间用约等号连接 易错点拨：近似数常用词：精确到哪位小数、保留几位小数等。 ａ.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是４或者比 4 小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数 是５或者比５大，就把尾数舍去，并向它的前一位进１。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省 略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 ｂ.进一法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，都向前进 1。这种求近似数的方法，叫做进一 法。 ｃ.去尾法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，一概去掉。这种求近似数的方法，叫做去尾法。 知识点梳理 02：小数 1.小数的意义：把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份…得到的十分之几、百分之几、千分之几…可以 用小数表示。一位小数表示十分之儿，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…. 2.小数的计数单位： 整数部分 小 小数部分 4 / 151 数 点 。 … 亿级 万级 个级 数 位 … 千 亿 位 百 亿 位 十 亿 位 亿 位 千 万 位 百 万 位 十 万 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 十 分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 … 计 数 单 位 千 亿 百 亿 十 亿 亿 千 万 百 万 十 万 万 千 百 十 个 十 分 之 一 百 分 之 一 千 分 之 一 万 分 之 一 3.小数的分类：按小数部分的不同情况小数可分为有限小数和无限小数 ①有限小数：小数部分的位数是有限的.例如：134.56，9.001，2.222 是有限小数 ②无限小数：小数部分的位数是无限的.无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数。 ○3 循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数，叫做循环小 数。例如：0.3333…，1．242424…，9.0531531531… ○4 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 33.333…的循环节是“3”，记作 33. 。 3；4.32727…的循环节是“27”，记 4.3 。 2 。 7；0.1809809…的循环节是 “809”，记作 0.1 。 80 。 9。 ○5 无限不循环小数：一个没有循环节的无限小数，叫做无限不循环小数。无限不循环小数也叫做无理数。 例如： ＝3.1415926…是无限不循环小数。 易错点拨：循环小数一定是无限小数，不要误以为小数部分有重复出现的数就是循环小数 4.小数的读法：读小数时，小数的整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按照顺序读 出每一个数位上的数字。 易错点拨：小数部分不要按照整数的读法来读。 5.小数的写法：写小数时，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每 一个数位上的数字 易错点拨：整数部分是零的写作”0” 6.小数的基本性质：小数的末尾添上 0或者去掉 0，小数的大小不变。 易错点拨：把一个小数写成指定位数的小数，大小不变，而计数单位和意义都不同。 7.小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的那个小数就大；如果整数部分相同，就比较十分位， 5 / 151 十分位大的那个小数就大；如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的那个小数就大，直到比较出大小 为止 8.小数点的移动规律 （1）小数点向右 移动一位，原数就扩大到原数的 10 倍 移动两位，原数就扩大到原数的 100 倍 移动三位，原数就扩大到原数的 1000 倍 （2）小数点向左 移动一位，小数就缩小 10 倍，即小数就缩小到原数的十分之一 ； 移动两位，小数就缩小 100 倍，即小数就缩小到原数的百分之一 ； 移动三位，小数就缩小 1000 倍，即小数就缩小到原数的千分之一 ；…… （3）小数点移动要记牢右移扩大、左移缩小 移动一（二、三、……）位是 10（100、1000……）倍，位数不够“0”补位。 9.小数的近似数： 01. 保留整数，表示精确到个位，就是要把小数部分省略，要看十分位，如果十分位的数字大于或等于 5 则向前一位进一。如果小于五则舍去 02. 保留一位小数，表示精确到十分位，就要把第一位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第二位， 如果第二位的数字比 5 小则全部舍。反之，要向前一位进一。 03. 保留两位小数，表示精确到百分位，就要把第二位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第三位， 如果第三位的数字比 5 小则全部舍。反之，要向前一位进一。 04. 为了读写的方便，常把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。改写成“万”作单 位的数就是小数点向左移 4 位，即在万位的右边点上小数点，在数的后面加上“万”字。改写成“亿”作 单位的数就是小数点往左移 8位即在亿位的右边点上小数点，在数的后面加上“亿”字。注意：带上单位。 然后再根据小数的性质把小数末尾的零去掉即可 知识点梳理 03：分数 1.分数的意义：①把单位“1"平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫作分数。②把单位"1"平均 分成若干份，表示其中的一份的数，叫作分数单位。 易错点拨：描述一个分数时，不要忘记“平均分”。 6 / 151 2.分数与除法的关系：①被除数÷除数= → ②因为 0 不能作除数，所以分数的分母不能为 0， ③被除数相当于分子，除数相当于分母 易错点拨：注意数量与分率的区别 3.分数的分类： ①真分数：分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于 1。 ②假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。假分数大于或等于 1。 ③带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫作带分数。 易错点拨：假分数大于 1或等于 1，它的倒数小于或等于 1 4.分数的基本性质： ①意义：分数的分子和分母都乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。 ②约分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫作约分。（分子、分母是互为质数 的分数，叫作最简分数。） ③通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。 易错点拨：把一个分数改写成指定分母的分数后，只是大小不变，而分数单位却发生了变化。 5.分数的大小比较：①分母相同，分子大的分数大；②分子相同，分母小的分数大③分子分母都不同，先 通分，在比较或都化成小数再比较大小 6. 倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数；1 的倒数是 1，0没有倒数。 易错点拨：①倒数是相对于两个数来说的，它们互相依存，可以说一个数是另一个数的倒数，不能孤立地 说某一个数是倒数②求一个数的倒数的方法：分子、分母交换位置。求整数的倒数，可以先把整数看成分 母是 1的分数，再交换分子、分母的位置。求小数的倒数，可以先把小数化成分数，再交换分子、分母的 位置。 7.分数和小数的互化 1.把分数化成小数的方法：用分数的分子除以分母。 2.把小数化成分数的方法：如果是一位小数就写成十分之几，是两位小数就写成百分之几，是三位小数就 写成千分之几，…… 知识点梳理 04：百分数 1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数（也叫百分比或百分率） 2.百分数的读写：一个百分数，百分号（%）前面的数是几就把它读作百分之儿。百分数通常不写成分数的 7 / 151 形式，而在原来的分子后面加上百分号（%）来表示。 3．百分数与分数的联系和区别： （1）联系：百分数表示两个数的倍比关系，分数也可以表示两个数的倍比关系。 （2）区别：百分数不能表示具体数量，也不能带计量单位；但分数可以表示具体数量，也可以带计量单位 4．百分数和小数的互化 （1）把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；也可以先把小数写成分母 是 100 的分数，然后去掉分母和分数线，在分子后面添上百分号。 （2）把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 5．百分数和分数的互化 （1）把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。 （2）百分数化成分数，先把百分数改写成分母是 100 的分数，能约分的要约成最简分数。 6．折扣和成数 （1）折扣：商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分 之几十。例如，九折就是原价的 90％，八五折就是原价的 85%。 （2）成数：农业收成，经常用“成数”来表示。成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”。 例如，“一成”就是十分之一，改写成百分数是 10%；“三成五”是十分之三点五，改写成百分数就是 35% 试题来源：江苏省 13 市 2023-2024 各地名校真题 试题难度系数：0.59（中等） 一．选择题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分） 1．（2 分）（2024•崇川区）下列图（ ）中的涂色部分不能表示一个正方形的 1 4 。（图中点 Q 均为正方 形对角线的交点） A． B． C． D． 8 / 151 2．（2分）（2024•崇川区）在介绍下面的生活事件时，可能用到 0.6 这个数的是（ ） A．一本数学书封面的大小 B．一双运动鞋的价钱 C．一个鸡蛋的质量 D．一张学生课桌的桌面长度 3．（2分）（2024•鼓楼区）m 是一个奇数，n 是一个偶数，下面（ ）的值一定是奇数。 A．4m+3n B．2（m+n） C．2m+7n D．3m+2n 4．（2分）（2024•玄武区）著名的哥德巴赫猜想：“任何不小于 7 的奇数都可以写成三个质数的和”。通 过举例来验证这个猜想，下面举例正确的是（ ） A．21＝3+7+11 B．14＝2+5+7 C．11＝1+3+7 5．（2分）（2024•泉山区）4 位同学用不同的方式表示了对“ 4 3 ”的理解，其中正确的有（ ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2 分）（2024•海门区）数学上把相差 2 的两个质数叫“孪（luán）生质数”，如 3和 5都是质数，且 3和 5相差 2，那么 3 和 5 就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（ ） A．2和 3 B．9和 11 C．11 和 13 D．13 和 15 7．（2 分）（2024•鼓楼区）小熊遮住了甲、乙的一部分（如图），原来的甲、乙长度比较，则（ ） A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．甲和乙一样长 D．无法比较 8．（2分）（2024•鼓楼区）大于 2 5 而小于 4 5 的最简分数有（ ）个。 A．1 B．5 C．3 D．无数 9 / 151 二．填空题（共 11 小题，满分 28 分） 9．（2 分）（2024•崇川区）6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中 2 号小朋友跳了 100 下，王老 师把比赛成绩记录成表。那么这组小朋友平均每人实际跳了 下；如果将 1 号小朋友的成绩 记作 0，那么 3号小朋友的成绩应记作 。 编号 1 号 2号 3号 4 号 5号 6号 成绩/下 +4 0 +6 ﹣7 +12 ﹣3 10．（2 分）（2024•通州区）今年的五一假期，南通市的生态观光、休闲度假、科普研学等旅游路线深受 长三角周边城市游客的青睐。五一期间，各旅游景区共吸引游客人数满足：十万位、万位上的数既是偶 数也是质数，千位上的非零数既不是质数也不是合数，十位上的数的最大因数是 5，个位上的数是 2和 3 的最小公倍数，其余各位上是 0，这个数是 。这个数精确到“万”位约是 万。 11．（2分）（2024•通州区）（1）如图中的直线上，点 A 表示的数是 ；点 C 表示的数是 5 2 在直 线上标出点 C。 （2）如图中 OB 所在的四边形是正方形。以 O 为圆心，OB 为半径作如图所示的扇形。估一估，正方形对 角线 OB 的长大约是边长的 倍。（用一位小数表示） 12．（2分）（2024•鼓楼区）哈尔滨冬天会开展“冰雕节”，户外温度为零下 15℃，记作 ℃。 2024 年春节期间哈尔滨累计接待游客 10093000 人次，横线上的数改写成用“万”作单位的数是 万。 13．（3 分）（2024•天宁区）5 月 30 日，神舟十六号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火升空，神十六 乘组奔赴苍穹。 （1）发射中心所在的酒泉市总面积约为 192000 平方千米，横线上的数读作 ，改写成用 “万”作单位的数约 万平方千米。 （2）常州到酒泉的实际距离约 2550 千米，在比例尺为 1：50000000 的地图上，两地的图上距离约为 厘米。 14．（2 分）（2024•常州）2023 年五一假期，国内旅游出游合计约 274000000 人次，将横线上的数改写成 用“亿”作单位的数是 亿，其中常州各大旅游景区共接待约 4755100 人次，将横线上的数 省略“万”后面的尾数约是 万。 10 / 151 15．（3 分）（2024•宿迁）据统计，2024 年“五一”假期国内旅游出游约为二亿九千五百万人次，出游人 次写作 ；“五一”假期实现国内旅游收入约一千六百六十八亿九千万元，旅游收入 改写成用“亿”作单位的数是 ，省略“亿”后面的尾数约是 亿。 16．（2 分）（2024•张家港市）在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做 45 个 为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。其中第一小队 8 名男生的成绩记录如 下：﹣2，4，﹣1，0，3，﹣3，6，1。那么，该小队男生的平均成绩是 个，优秀率为 %。 17．（6 分）（2024•崇川区）2023 年第十九届亚运会在中国浙江省杭州市举行。 （1）杭州奥体中心体育场俗称“大莲花”，是继“鸟巢”后国内第二大体育场馆，总建筑面积约 216000 平方米，即 公顷，共有 80800 个座位。横线上的数改写成用“万”作单位的数是 万。 （2）开幕式中，由 105791208 位数字火炬手汇聚而成的巨型“数字人”，点燃了主火炬，科技感十足， 惊艳全世界。横线上的数省略“亿”后面的尾数约为 亿。 （3）杭州亚运会发行我国第一枚 2 元彩色银币。这枚银币的厚度约 2 毫米，质量为 5 克，假设发行了 100 万枚银币，则共重 吨。如果把这 100 万枚银币叠在一起，那么会高达 千米，这 个高度比黄山主峰莲花峰约 1865 米还要高 米。 18．（2 分）（2024•海门区）看图填空。 （1）如果点 B表示的数是 1 5 ，那么点 C 表示的数是 。 （2）如果点 D表示的数是 50，那么点 A 表示的数是 。 19．（2分）（2024•海门区）2024 年“五一”假期，我国文化和旅游行业持续火热。经测算，2024 年“五 一”假期全国国内出游共计约 295000000 人次，横线上的数读作 ；“五一”假期实现 国内旅游收入约 166890000000 元，省略“亿”后面的尾数约是 亿元。 三．判断题（共 5 小题，满分 10 分，每小题 2 分） 20．（2 分）（2023•阜宁县）一个自然数不是质数就是合数． （判断对错）． 21．（2 分）（2024•吴江区）质数一定是奇数，但合数不一定是偶数。 （判断对错） 22．（2 分）（2023•淮安）一种商品打五折销售正好保本，如果不打折销售，则可获得 50%的利 润． ．（判断对错） 23．（2 分）（2024•溧阳市） 7 10 千克也就是 70%千克。 （判断对错） 24．（2 分）（2024•溧阳市）某班女生平均身高是 1.42m，若把平均身高记为 0，小花的身高是 135cm，应 11 / 151 记作﹣7。 （判断对错） 四．操作题（共 1 小题，满分 6 分，每小题 6 分） 25．（6 分）（2023•苏州）已知如图 2个长方形的面积都是 2平方分米。 （1）涂色表示出这个长方形的 3 4 。 （2）涂色表示出 3 4 平方分米。 五．解答题（共 11 小题，满分 40 分） 26．（6 分）（2024•盐城）用分数表示如图各图中的涂色部分。 27．（4 分）（2023•宿城区）如图，阴影部分面积占整个图形的 ( ) ( ) ，用百分数表示为 %。 28．（4 分）（2024•京口区）数学辩论题． 观察下面的数学现象：3与 5互质，5与 8互质，3 与 8 也互质；4 与 7 互质，7 与 9 互质，4 与 9 也互质…… 正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若 A 与 B 互质，B 与 C 互质，则 A与 C一定互质． 你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论． 29．（4 分）（2024•海门区）根据如图涂色部分的面积与整个图形面积的关系填空。 ( ) ( ) = ：16＝ （填小数）＝ % 12 / 151 30．（2 分）（2024•仪征市）勤劳智慧的中国人“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”。自 2011 年首次实现“神 舟号”飞船与“天宫号”空间站交会对接以来，我国的交会对接技术经历了从 44 小时到约 6 小时快速对 接的跨越，创造了世界纪录。现在快速对接时间约占原来对接时间的 ( ) ( ) 。 31．（4 分）（2024 •仪征市）用分数表示图中的涂色部分，或在图中涂色表示下面的分数。 32．（2 分）（2024•兴化市）看图理解题意，在括号里填上适当的数。（注意：本题有 3 个括号，不要遗 漏哦!）这 3 根彩带的平均长度是 ( ) ( ) 米。 33．（4分）（2024•京口区）根据国家发布的《2022 年二氧化碳排放报告》，2022 年我国的二氧化碳总排 放量为 114.79 亿吨，与 2021 年比下降了 0.25 亿吨。其中电力行业二氧化碳排放量增长有所放缓，但仍 是我国碳排放的重要来源，数据显示，2022 年整个电力行业碳排放量约占全社会碳总排放量的 40%。 （1）2022 年我国二氧化碳总排放量为 114.79 亿吨，将横线上的数精确到十分位约为 亿吨。 A.115 B.114.7 C.114.8 D.114.80 （2）2022 年整个电力行业的二氧化碳排放量约为 亿吨。 A.45.916 B.287 C.0.1 D.0.63 34．（3 分）（2023•鼓楼区）1 4 9 的分数单位是 ( ) ( ) ，它有 个这样的分数单位，再添上 个 这样的分数单位就是最小的质数。 35．（4 分）（2023•锡山区）根据如图阴影部分的面积与整个图形面积的关系填空： ( ) ( ) = ：15＝ %＝ （填小数） 13 / 151 36．（3 分）（2023•鼓楼区）用 7米长的长绳正好做了 4根同样长的短绳，每根短绳长 米，每根短绳是原来绳长的 ( ) ( ) 。如果这根长绳的质量为 0.315 千克，那么十万根这样的 长绳重 吨。 14 / 151 2025 年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题 02 数的运算 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理 01：四则混合运算的运算顺序 1.分级的标准 四则混合运算分为两级，加法和减法叫作第一级运算；乘法和除法叫作第二级运算。 2.四则混合运算的运算顺序 （1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第 二级运算，再算第一级运算（也就是先算乘除法，再算加减法）。 （2）算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的 15 / 151 知识点梳理 02：四则混合运算定律 运算定律 文字叙述 用字母表示 加 法 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数 相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c) 乘 法 乘法交换律 两个数相乘，交换两个乘数的位置积不变 ab =ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数 相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与 这个数相乘，再把它们的积相加 (a+b)c=ac+bc 知识点梳理 03：运算性质 1.减法的性质：a-b-c=a-(b+c) a-b+c=a-(b-c) 2.除法的性质（除数不等于 0）: a÷（b×c）=a÷b÷c a÷b÷c=a÷c÷b 3.商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 a÷b=（a×m）÷（b×m）（m 0，b 0） a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（m 0，b 0） 重点提示：在利用减法和除法的运算性质进行简便计算时，等式的两边可以颠倒过来，要根据算式的特点 灵活地进行去括号或添括号。 知识点梳理 04：四则混合运算中的速算技巧： 1.加减法中的速算与巧算 （1）分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相 同尾数的减数．（ “补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫 做另一个数的“补数”） （2）加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整． （3）数值原理法：先把加在一起为整十、整百、整千…的数相加，再与其它的数相加． （4）“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把 多加的数减去，把少加的数加上） 2.乘法凑整技巧：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使 得运 算简便。例如： 4 25 100  ，8 125 1000  ， 5 20 100  16 / 151 3.分数与小数混合运算的技巧 在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程 的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法： 小数化成分数，或分数化成小数。 技巧 1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。 技巧 2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小 数在内的所有小数都化为分数。 技巧 3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。 技巧 4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。 技巧 5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的转化，掌握这些常用的数互化数方法 对学习非常重要 知识点梳理 05：定义新运算 1.定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。注意： （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式 中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、 ◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 2.一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 试题来源：江苏省 13 市 2023-2024 各地名校真题 试题难度系数：0.58（中等） 一．选择题（共 5 小题，满分 10 分，每小题 2 分） 1．（2分）（2024•崇川区）如图表示的算式是（ ） 17 / 151 A． 2 3 × 1 2 B． 2 3 × 2 3 C． 2 3 × 3 4 D． 1 2 × 3 4 2．（2 分）（2024•如皋市）如图，小明在计算三位数除以两位数的过程中发现，初商 4偏小了，改商 5 就 正好。这道除法竖式中的除数是（ ） A．26 B．28 C．36 D．38 3．（2分）（2024•江阴市）如图竖式中，箭头所指部分的数值可用图（ ）表示。 A． B． C． D． 4．（2 分）（2024•阜宁县）学校舞蹈社团准备购买 12 个手鼓，每个手鼓 14 元。在竖式中，虚线框画出部 分对应的是点子图中的第____部分。（ ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（2 分）（2024•盐城）某人在计算 4 5 ， 5 6 ， 6 7 ， 7 8 这四个分数的平均值时，误将其中一个分数看成了它的 倒数，他计算出的平均值与正确的结果最多相差（ ） A． 9 80 B． 11 120 C． 13 168 D． 15 224 18 / 151 二．填空题（共 6 小题，满分 12 分，每小题 2 分） 6．（2 分）（2024•宿迁）比 21 千克少 1 3 千克的是 千克； 比 20 吨 少 25%。 7．（3分）（2024•海陵区）有 1，2，5，7四个数。 （1）从中任选两个数组成两位数，一共能组成 个不同的两位数，其中质数有 个。 （2）用这四个数组成一道两位数乘两位数的乘法算式，乘积最大是 。 8．（1分）（2024•崇川区）□.□□是一个两位小数，列竖式计算□.□□×2.4 时，笔算过程如图所示， 则□.□□×2.4 的积是 。 9．（2 分）（2024•徐州）我国古代数学名著《九章算术》中有一道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人 送来 1206 石米，检验发现米里掺杂着谷子，抽样取一把，数得 252 粒米里有谷子 28 粒。照这样算，送 来的这批米里一共掺杂了 石的谷子。（石是古代的一种计量单位） 10．（2分）（2024•高港区）数学是思维的体操，思维是数学的灵魂。仔细观察如图的三道计算题，整数、 小数和分数加、减法计算方法的相同点是 。 11．（2 分）（2024•江宁区） 千克比 32 千克少 1 4 ；48 平方厘米比 平方厘米多 20%。 三．计算题（共 11 小题，满分 78 分） 12．（8 分）（2024•启东市）计算下面各题，注意使计算简便。 （1）2.7 − 6 13 + 7.3 − 7 13 （2）4.8 × 3 4 + 75% × 5.2 19 / 151 （3）( 7 15 + 1 3 − 3 5 ) ÷ 1 30 （4） 9 10 ÷ [ 1 3 × ( 4 5 − 1 2 )] 13．（8 分）（2024•淮安）计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 5 14 ÷ [ 6 7 × ( 4 9 + 1 6 )] 798+805+801+795+802 7 4 × 5 8 + 1 4 ÷ 8 5 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 14．（8 分）（2024•苏州）计算下面各题，能简便的要用简便方法计算。 13.79 − 7 9 + 6.21 − 2 9 ( 7 8 − 5 12 + 1 4 ) ÷ 1 24 [9.2 + 4 5 × (9 − 7.75)] ÷ 40% 2020+2022×2021 2023×2021−1 20 / 151 15．（4 分）（2024•高港区）计算。 用 6 5 、0.5、 2 3 这三个数可以组成下面四个算式。 ① 6 5 × 2 3 ② 6 5 ÷ 2 3 ③ 6 5 × 0.5 ④ 6 5 ÷ 0.5 不计算，请你在如图直线上标出这些算式得数的位置。（填序号） 16．（6 分）（2024•徐州）怎样算简便就怎样算。 3.2×0.25×1.25 19.6 − 18 ÷ 7 − 3 × 1 7 9 10 ÷ [ 1 2 ×（6 5 + 3 10 ）] 17．（8 分）（2024•海门区）脱式计算，能简算的要用简便方法计算。 ①560÷16÷5 ②4×0.39×25 ③ 1 13 × 8 15 + 7 15 ÷ 13 ④9 8 ÷ [ 3 4 × ( 7 16 − 1 4 )] 21 / 151 18．（6 分）（2024•崇川区）计算下面各题，能简便计算的用简便方法计算。 540÷30+24×5 4.5×99+45×0.1 3 10 ÷ [1 − ( 1 3 + 2 5 )] 19．（8 分）（2024•通州区）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 12.7﹣3.6﹣5.4 32 ÷ 5 4 ÷ 8 3 0.125×32×2.5 23 11 × 5 + 23 × 6 11 20．（8 分）（2024•天宁区）下面各题，怎样算简便就怎样算。 7 4 × 1.25 × 5 7 ×0.8 76×62.5%+25× 5 8 −0.625 8.57﹣（2.57+4.38）﹣0.62 5 21 ×[7 9 ÷（1 6 + 4 9 ）] 21．（6 分）（2024•赣榆区）简便计算。 3 × ( 2 15 + 1 12 ) − 2 5 24 × ( 1 4 + 1 6 − 1 8 ) 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 22 / 151 22．（8 分）（2024•吴江区）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 （1）18.6﹣3.89+2.4﹣6.11 （2） 5 17 ÷ 9+ 1 9 × 12 17 （3）( 1 24 + 2 23 ) × 23 （4）0.4×（2.5×12.5） （5） 5 8 × [1 ÷ ( 3 4 − 3 8 )] （6）1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 23 / 151 2025 年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题 03 常见的量 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理 01：长度、面积与体积单位 1. 量、计量和计量单位的意义：事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的性 质叫作量。把一个要测定的量作为同一个标准的量相比较叫作计量。用来作为计量标准的量叫作计量单位。 2. 计量单位： （1）长度单位：千米（km） 米（m） 分米（dm） 厘米（cm） 毫米（mm） （2）面积单位：平方千米（km2）公顷（hm2） 平方米（m2）平方分米（dm2） 平方厘米（cm2） 平方毫米（mm2） （3）体积单位：立方米（m3） 立方分米（dm3） 立方厘米（cm3） 24 / 151 立方毫米（mm3） （4）容积单位：一般用体积单位，液体用升（L） 或毫升（mL）作单位。 3. 计量单位之间的换算关系： （1）长度单位：1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1分米=10 厘米 1 米=100 厘米 1 厘米=10 毫米 （2）面积单位：1 平方千米=100 公顷 1公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米 1平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米 （3）体积单位：1 立方米=1000 立方分米 1立方分米=1000 立方厘米 （4）容积单位：1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升 1 立方米=1000 升 （5）相邻两个长度单位间的进率是 10；相邻两个面积单位间的进率是 100；相邻两个体积单位间的进率是 1000 知识点梳理 02：质量、时间与人民币单位 1. 质量：（1）常用的单位有： 吨（t） 千克（kg） 克（g） （2）进率：1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 2.时间： （1）常用的单位（一）：世纪、年、月、日 进率：1 世纪=100 年 1 年=12 个月 大月（31 天）有：1.3，5，7.8、10，12 月 小月（30 天）有：4.6.9.11 月平年 2 月 28 天，闰年 2 月 29 天 平年全年 365 天，闰年全年 366 天 公历年份是 4 的倍数的一般都是闰年；但公历年份是整百数的必须是 400 的倍数才是闰年。如：1900 年不是闰年，而 2000 年是闰年。 （2）常用的单位（二）：时、分、秒 进率：1日=24 时 1 时=60 分 1 分=60 秒 1 时=3600 秒 （3）24 时记时法： ○1 24 时记时法的意义：24 时记时法是 指采用从 0 时到 24 时的记时法 ○2 普通记时法与 24 时记时法的转换 半夜 12 时，也叫 0 时，是一天的开始。从 0时到下午 1 时以前，两种计时法对时间的表示是相同的。从下 午 1 时起，24 时计时法在表示时间时比普通计时法多 12 小时，普通计时法加 12 小时就是 24 时计时法，24 25 / 151 时计时法减去 12 小时就是普通计时法。注意使用普通计时法表示时间时，前面要加上“下午”或“晚上” 等限制词。 ○3 计算经过的时间：如果是同一天，可以先化成 24 时记时法，再用结束时间减去开始时间；如果涉及两 天或两天以上，可以以晚上 12 时为界，分段计算，再把每段时间加起来。 3. 人民币：（1）常用的单位：元、角、分 （2）进率：1元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分 知识点梳理 03：名数的改写 1.名数的意义： 计量的结果要用数来表示，并且还要带上单位名称，通常把它们合起来叫作名数。只带一个单位名称的， 叫作单名数，如 1 千克、5 时等；带两个或两个以上单位名称的，叫作复名数，如 3 吨 50 千克、1 时 30 分 等。 2.名数的改写： （1）单名数化成单名数：高级单位的数换算成低级单位的数乘以进率，低级单位的数换算成高级单位的数 除以进率 （2）复名数化成低级单位的名数：高级单位部分×进率十低级单位部分 （3）复名数化成高级单位的名数：低级单位部分÷进率十高级单位部分 （4）单名数化成复名数：用单名数 进率，商是高级单 试题来源：江苏省 13 市 2023-2024 各地名校真题 试题难度系数：0.54（中等） 一．选择题（共 15 小题，满分 40 分） 1．（2分）（2024•张家港市）对下面的生活数据估计最合理的是（ ） A．一幢 11 层的居民住宅楼，它的高度大约是 18 米。 B．小红家装修新房，在卫生间配置了一个舒适的大浴缸，容积大约是 30 升。 C．28 名同学手拉手围成的正方形面积大约是 100 平方米，100 个这样的正方形大约是 1公顷。 D．小明每天早上坚持喝一杯 250 毫升的牛奶，吃一个 0.5 千克的鸡蛋，再搭配碳水类食物。 2．（3分）（2024•常州）以下说法正确的是（ ） ①2200 年有 365 天。 ②有两根长 2 米的铁丝，第一根剪去 1 5 米，第二根剪去 1 5 ，这两根剩下的长度一样。 26 / 151 ③1 个底面直径 6 米、高 4 米的圆锥形麦堆，如果堆成底面直径 2米的圆柱形，高为 4 米。 ④六（1）班男生人数比女生多 20%，女生人数就比男生少 1 5 。 A．① B．①③ C．②④ D．①②③④ 3．（2分）（2024•吴江区）一场电影 90 分钟，到下午 4：20 结束。这场电影是下午（ ）开始的。 A．5时 10 分 B．2时 10 分 C．2时 50 分 D．14 时 50 分 4．（2分）（2024•海陵区）下面的节日都在小月的一组是（ ） A．妇女节、国庆节 B．清明节、劳动节 C．儿童节、教师节 D．元旦、建军节 5．（2分）（2024•海陵区）下面说法不符合实际的是（ ） A．一个苹果重约 300 克。 B．天安门城楼高约 35 米。 C．长江长约 6300 千米。 D．100 米赛跑用时约 5秒。 6．（2分）（2024•兴化市）2024 年 6 月，我们将小学毕业。今年第一季度共有（ ）天。 A．90 B．91 C．92 D．无法确定 7．（3分）（2024•宿迁）以下是发生在闰年的大事是（ ） A．2018 年嫦娥四号探测器发射成功。 B．2022 年第 24 届北京冬奥会成功举办。 C．2023 年第 19 届亚运会在杭州举行。 D．2024 年我国第三代自主超导量子计算机上线。 8．（3分）（2024•宿迁）宿迁市的占地面积约为 8555（ ） A．平方米 B．公顷 C．平方千米 D．亩 9．（3分）（2024•苏州）某一个月中，星期一、二、三、四、五都只有 4个，星期六和星期天都有 5个， 这个月的 1 号是（ ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 10．（3 分）（2023•武进区）对下面数据的估计，准确的是（ ） A．100 万枚 1元的硬币大约是 6千克 B．格兰仕烤箱的容量约 40 毫升 C．比亚迪电动宋 ev 系列续航里程是 40km 27 / 151 D．容纳 100 个小朋友做操的草坪约 150 平方米 11．（3 分）（2023•清江浦区）下面的节日在第二季度的是（ ） A．元旦 B．妇女节 C．儿童节 D．国庆节 12．（3分）（2023•金湖县）同学们 8：50 开始上第二节课，每节课 40 分钟，第二节课下课的时间是（ ） A．8：90 B．9：20 C．9：30 13．（3 分）（2023•通州区）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费；半小时 以上，每过 1小时收费 8元，不足 1 小时按 1 小时算。一辆汽车付停车费 24 元，那么它的停车时间段可 能是（ ） A．7：25～11：00 B．13：30～15：30 C．10：35～13：55 D．9：55～12：25 14．（3 分）（2023•灌云县）下面说法中，不符合实际的是（ ） A．一个苹果重 300 克。 B．一瓶矿泉水的净含量是 380 毫升。 C．今年 2月有 28 天。 D．运动会，明明获一百米短跑冠军，成绩为 6秒。 15．（3 分）（2023•武进区）少年宫的开放时间是 8：00﹣17：00．小玲下午 1：30 进入少年宫活动，她 在少年宫最多可以活动的时间是（ ） A．2.5 小时 B．3.5 小时 C．4.5 小时 D．5.5 小时 二．填空题（共 20 小题，满分 60 分） 16．（5 分）（2024•通州区）在横线内填合适的数或单位名称。 体育老师季老师的体重约 56 ，一次能喝 0.2 的水。她每天晚上跑步 1.1 小时，也 就 分钟；她的速度大约是 80 ，每天大约跑 5 。 17．（3 分）（2024•鼓楼区） 3吨 40 千克＝ 吨 12.04 平方米＝ 平方米 平方分米 18．（2 分）（2023•江阴市）中国和英国的时差为 8 小时，当北京时间 18：00 时，英国才只有上午 10： 00。一架飞机 11 月 24 日 17 时从伦敦希斯罗机场起飞，经过 12 小时飞行抵达北京首都国际机场，这时 北京是 11 月 日 时。 19．（4 分）（2024•常州）在横线上填合适的单位或数。 28 / 151 2023 年 5 月 28 日，国产大飞机 C919 完成全球首次商业载客飞行。10 时 32 分，C919 从上海虹桥机场起 飞，12 时 31 分抵达北京首都机场，途中经历了 时 分。国产大飞机 C919 机高 12 ，机身总长 389 ，最大飞行高度约为 12 。 20．（4 分）（2024•鼓楼区） 4米 5厘米＝ 米 13 吨 20 千克＝ 千克 16 公顷＝ 平方千米 0.6 分＝ 秒 21．（4 分）（2024•江宁区）在横线上填上合适的单位。 （1）一节火车集装箱的容积大约是 40 ；一所小学的面积大约是 4 。 （2）南京地铁 5 号线（Nanjing Metro Line 5）是中国江苏省南京市第十三条开通的地铁线路。于 2024 年 3 月 31 日开通运营南段（吉印大道站一文靖路站），标志色为鹅黄色；截至 2024 年 4 月，南京地铁 5号线全长 37.4 ，全部为地下线；共设置 30 座车站，最高运行速度 80 。 22．（2 分）（2024•江宁区）2024 年全年有 天，2024 年 6 月 1日是星期六，这一年你将升入 初中，9 月 1 日入学这一天是星期 。 23．（3 分）（2024•启东市）1.05 升＝ 毫升 25 分＝ 时 8平方分米＝ 平方米 24．（2 分）（2024•徐州）5.04 吨＝ 吨 千克 3时 25 分＝ 时 25．（3 分）（2024•泗洪县）200 厘米＝ 米 3 4 千克＝ 克 3小时 45 分＝ 时 26．（2 分）（2024•盐城）在横线上填上合适的数。 45 秒＝ 分 2 5 立方米＝ 升 27．（2 分）（2023•滨湖区）一辆小汽车的自身重量为 1.82 吨，合 千克； 一场电影的放映时间是 105 分钟，合 小时。 28．（3 分）（2023•鼓楼区）填合适的单位：北京时间 2023 年 5 月 30 日 9 时 31 分，搭载神舟十六号载人 飞船的长征二号 F 遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射升空 6.5 后，神舟十 六号以快速交会对接模式，共同形成“三舱三船”超级组合体，由此构成中国空间站最大吨位和最大构 专题培优讲练—真题重组 2025年小升初数学复习讲义（教师版） 十三大专题知识讲练全覆盖 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 江苏专版 学科网（北京）股份有限公司 作者寄语 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。本书籍将小升初复习内容划分为13个的专题，主要强化数与代数，图形与几何，统计与概率三部分内容专题！ 讲义包含三部分： 【思维导图】精编彩图一目了然，对专题知识点统筹讲解，更加能够具体化考纲内容，精确学习目标； 【知识点全盘覆盖】深入挖掘重难点考查内容，查漏补缺，梳理细致考察点； 【江苏省全市真题重组培优卷】精选近两年全市各地名校真题，专题汇编整理，百分制检测卷，更能够直接了当获取考察方向，重点考察易错点，难度中上，适合所有学生复习使用！ 相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：考试顺利，再创佳绩！ 学科网（北京）股份有限公司 目 录 专题01 数的认识 3 专题02 数的运算 25 专题03 常见的量 46 专题04 式与方程 63 专题05 比和比例 85 专题06 解决问题 105 专题07 探索规律 128 专题08 图形的认识 160 专题09 几何图形的周长、体积与表面积 183 专题10 图形的运动-轴对称、平移与旋转、缩放与折叠 210 专题11 图形与位置-方向、位置、比例尺与路线图 241 专题12 统计 269 专题13 概率 303 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题01 数的认识 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：整数 1.整数的意义和分类：像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数统称为（整数）。整数分为正整数、0、负整数（整数也可以分为自然数和负整数） 易错点拨：0既不是正数，也不是负数 2.整数的读法：读一个多位数，从高级到低级，一级一级地读。每级都按照个级的读法来读，读亿级、万级时，必须加上“亿”字或“万”字。每级末尾的“0"都不读，其他数位有一个或连续几个“0"的都只读一个零。（读数时，可以先画出分级线，再读数，这样可以快速、准确地读出一个多位数 3.整数的写法：写数时，按从高位到低位的顺序，一级一级地写。亿级和万级都按个级的写法来写。哪个数位上一个单位也没有，就在那一位上写0（写完后，画上分级线检查，每一级都只能写四位，不要多写或少写0） ４.整数的大小比较: 比较两个整数的大小，首先数一下多位数的位数，位数多的大于位数少的 如果位数相同，就比较最高位，最高位上的数大的那个数就大；最高位上的数相同，次高位上的数大那个数就大，如果还相同，则继续依次比较，直到比较出大小为止。 ５．整数的改写和近似数 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 （１）数的改写： ①把整万、整亿数改写成用“万”或“亿”作单位的数：把万位或亿位后面的4个0或个0去掉，换成一个“万”字或 “亿”字就可以了 ②把非整万、整亿数改写成用“万”或“化”作单位的数：先把原数的小数点向左移动4位或8位（小数部分末尾是0的要划掉），再在数的后面写上 “万”字或“亿”字，中间用“=”连接 （２）近似数：省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数，再在数的后面写上“万”或“亿”字，中间用约等号连接 易错点拨：近似数常用词：精确到哪位小数、保留几位小数等。 ａ.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是４或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是５或者比５大，就把尾数舍去，并向它的前一位进１。例如：省略345900万后面的尾数约是35万。省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。 ｂ.进一法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，都向前进1。这种求近似数的方法，叫做进一法。 ｃ.去尾法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，一概去掉。这种求近似数的方法，叫做去尾法。 知识点梳理02：小数 1.小数的意义：把整数1平均分成10份、100份、1000份…得到的十分之几、百分之几、千分之几…可以用小数表示。一位小数表示十分之儿，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…. 2.小数的计数单位： 整数部分 小数点 。 小数部分 … 亿级 万级 个级 数位 … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 十分位 百分位 千分位 万分位 … 计数单位 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个 十分之一 百分之一 千分之一 万分之一 3.小数的分类：按小数部分的不同情况小数可分为有限小数和无限小数 ①有限小数：小数部分的位数是有限的.例如：134.56，9.001，2.222是有限小数 ②无限小数：小数部分的位数是无限的.无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数。 循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数，叫做循环小数。例如：0.3333…，1．242424…，9.0531531531… 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：33.333…的循环节是“3”，记作33.3 (。)；4.32727…的循环节是“27”，记4.32 (。)7 (。)；0.1809809…的循环节是“809”，记作0.18 (。)09 (。)。 无限不循环小数：一个没有循环节的无限小数，叫做无限不循环小数。无限不循环小数也叫做无理数。例如：＝3.1415926…是无限不循环小数。 易错点拨：循环小数一定是无限小数，不要误以为小数部分有重复出现的数就是循环小数 4.小数的读法：读小数时，小数的整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按照顺序读出每一个数位上的数字。 易错点拨：小数部分不要按照整数的读法来读。 5.小数的写法：写小数时，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字 易错点拨：整数部分是零的写作”0” 6.小数的基本性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 易错点拨：把一个小数写成指定位数的小数，大小不变，而计数单位和意义都不同。 7.小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的那个小数就大；如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的那个小数就大；如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的那个小数就大，直到比较出大小为止 8.小数点的移动规律 （1）小数点向右 移动一位，原数就扩大到原数的10倍 移动两位，原数就扩大到原数的100倍 移动三位，原数就扩大到原数的1000倍 （2）小数点向左 移动一位，小数就缩小10倍，即小数就缩小到原数的十分之一 ； 移动两位，小数就缩小100倍，即小数就缩小到原数的百分之一 ； 移动三位，小数就缩小1000倍，即小数就缩小到原数的千分之一 ；…… （3）小数点移动要记牢右移扩大、左移缩小 移动一（二、三、……）位是10（100、1000……）倍，位数不够“0”补位。 9.小数的近似数： 01. 保留整数，表示精确到个位，就是要把小数部分省略，要看十分位，如果十分位的数字大于或等于5则向前一位进一。如果小于五则舍去 02. 保留一位小数，表示精确到十分位，就要把第一位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第二位，如果第二位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。 03. 保留两位小数，表示精确到百分位，就要把第二位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第三位，如果第三位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。 04. 为了读写的方便，常把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。改写成“万”作单位的数就是小数点向左移4位，即在万位的右边点上小数点，在数的后面加上“万”字。改写成“亿”作单位的数就是小数点往左移8位即在亿位的右边点上小数点，在数的后面加上“亿”字。注意：带上单位。然后再根据小数的性质把小数末尾的零去掉即可 知识点梳理03：分数 1.分数的意义：①把单位“1"平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫作分数。②把单位"1"平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫作分数单位。 易错点拨：描述一个分数时，不要忘记“平均分”。 2.分数与除法的关系：①被除数÷除数=→ ②因为0不能作除数，所以分数的分母不能为0，③被除数相当于分子，除数相当于分母 易错点拨：注意数量与分率的区别 3.分数的分类： ①真分数：分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1。 ②假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。假分数大于或等于1。 ③带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫作带分数。 易错点拨：假分数大于1或等于1，它的倒数小于或等于1 4.分数的基本性质： ①意义：分数的分子和分母都乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 ②约分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫作约分。（分子、分母是互为质数的分数，叫作最简分数。） ③通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。 易错点拨：把一个分数改写成指定分母的分数后，只是大小不变，而分数单位却发生了变化。 5.分数的大小比较：①分母相同，分子大的分数大；②分子相同，分母小的分数大③分子分母都不同，先通分，在比较或都化成小数再比较大小 6. 倒数：乘积是1的两个数互为倒数；1的倒数是1，0没有倒数。 易错点拨：①倒数是相对于两个数来说的，它们互相依存，可以说一个数是另一个数的倒数，不能孤立地说某一个数是倒数②求一个数的倒数的方法：分子、分母交换位置。求整数的倒数，可以先把整数看成分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。求小数的倒数，可以先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置。 7.分数和小数的互化 1.把分数化成小数的方法：用分数的分子除以分母。 2.把小数化成分数的方法：如果是一位小数就写成十分之几，是两位小数就写成百分之几，是三位小数就写成千分之几，…… 知识点梳理04：百分数 1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数（也叫百分比或百分率） 2.百分数的读写：一个百分数，百分号（%）前面的数是几就把它读作百分之儿。百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后面加上百分号（%）来表示。 3．百分数与分数的联系和区别： （1）联系：百分数表示两个数的倍比关系，分数也可以表示两个数的倍比关系。 （2）区别：百分数不能表示具体数量，也不能带计量单位；但分数可以表示具体数量，也可以带计量单位 4．百分数和小数的互化 （1）把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；也可以先把小数写成分母是100的分数，然后去掉分母和分数线，在分子后面添上百分号。 （2）把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 5．百分数和分数的互化 （1）把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。 （2）百分数化成分数，先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。 6．折扣和成数 （1）折扣：商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如，九折就是原价的90％，八五折就是原价的85%。 （2）成数：农业收成，经常用“成数”来表示。成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”。例如，“一成”就是十分之一，改写成百分数是10%；“三成五”是十分之三点五，改写成百分数就是35% 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.59（中等） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．（2分）（2024•崇川区）下列图（　　）中的涂色部分不能表示一个正方形的。（图中点Q均为正方形对角线的交点） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，逐项分析进行解答。 【规范解答】解：A．将正方形分成两种图形，每种图形平均分成4份，每份占相同图形的，所以2份涂色部分占正方形的； B．将正方形分成4个相同的小正方形，涂色部分的面积正好等于个正方形的面积，所以涂色部分占正方形的； C．通过图形旋转、平移可得，涂色部分与半径等于正方形边长的扇形组成了正方形，设正方形的边长是1，可得正方形的面积是1，扇形的面积是涂色部分的面积是，涂色部分的面积是正方形的（1π）； D．当正方形的1个顶点在另一个正方形的中心时，无论怎么旋转，重叠形成的涂色部分都等于不动的正方形的。 故选：C。 【考点评析】考查了组合图形的面积与分数的意义的运用。 2．（2分）（2024•崇川区）在介绍下面的生活事件时，可能用到0.6这个数的是（　　） A．一本数学书封面的大小 B．一双运动鞋的价钱 C．一个鸡蛋的质量 D．一张学生课桌的桌面长度 【思路点拨】结合生活实际，一张学生课桌的桌面长度大约是0.6米。据此解答即可。 【规范解答】解：一张学生课桌的桌面长度大约是0.6米。 故选：D。 【考点评析】本题考查了小数的应用，结合题意分析解答即可。 3．（2分）（2024•鼓楼区）m是一个奇数，n是一个偶数，下面（　　）的值一定是奇数。 A．4m+3n B．2（m+n） C．2m+7n D．3m+2n 【思路点拨】因为m是一个奇数，所以3m一定是奇数；又n是一个偶数，所以2n一定是偶数．那么“奇数+偶数”一定是奇数，即3m+2n一定为奇数。 【规范解答】解：3m一定是奇数，2n一定是偶数，因为奇数+偶数＝奇数，所以3m+2n一定为奇数。 故选：D。 【考点评析】此题应根据数的奇偶性原理来解答。奇数+偶数＝奇数。 4．（2分）（2024•玄武区）著名的哥德巴赫猜想：“任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和”。通过举例来验证这个猜想，下面举例正确的是（　　） A．21＝3+7+11 B．14＝2+5+7 C．11＝1+3+7 【思路点拨】奇数：不是2的倍数的数叫作奇数。 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 【规范解答】解：A.21＝3+7+11，21是奇数，3，7，11是质数，符合题意； B.14＝2+5+7，14是偶数，2，5，7是质数，不符合题意； C.11＝1+3+7，11是奇数，1不是质数，3，7是质数，不符合题意。 故选：A。 【考点评析】本题考查了奇数、质数的认识。 5．（2分）（2024•泉山区）4位同学用不同的方式表示了对“”的理解，其中正确的有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据题意，把整个图形看作单位“1”，平均分成了3份，阴影部分占4份，用分数表示是； 黄丝带占3份，红丝带占4份，红丝带的长度是黄丝带的； 把4张饼看作单位“1”，平均分成了3份，每份分得张饼； 把4米看作单位“1”，平均分成了3份，1份表示4米的。 【规范解答】解：把整个图形看作单位“1”，平均分成了3份，阴影部分占4份，用分数表示是；故原说法正确； 黄丝带占3份，红丝带占4份，红丝带的长度是黄丝带的；故原说法正确； 把4张饼看作单位“1”，平均分成了3份，每份分得张饼；故原说法正确； 把4米看作单位“1”，平均分成了3份，1份表示4米的。故原说法正确。 4位同学用不同的方式表示了对“”的理解，其中正确的有4个。 故选：D。 【考点评析】此题考查了分数的意义，要求学生掌握。 6．（2分）（2024•海门区）数学上把相差2的两个质数叫“孪（luán）生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（　　） A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 【思路点拨】两个数都是质数，且相差为2，叫孪生质数，据此判断各选项即可。 【规范解答】解：A.3﹣2＝1，相差为1，不符合题意； B.9是合数，不符合题意； C.13﹣11＝2，11和13都是质数，相差为2，是孪生质数，符合题意； D.15是合数，不符合题意。 故选：C。 【考点评析】本题主要考查了学生对孪生质数定义的掌握。 7．（2分）（2024•鼓楼区）小熊遮住了甲、乙的一部分（如图），原来的甲、乙长度比较，则（　　） A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．甲和乙一样长 D．无法比较 【思路点拨】把甲看作单位“1”，把它平均分成2份，每份是它的，把乙看作单位“1”，把它平均分成3份，每份是它的。甲的与乙的相等，求原来的甲，乙相比，谁长，3份比2份长。 【规范解答】解：甲、乙各被遮住了一部分，原来的甲，乙相比，乙长。 故选：B。 【考点评析】把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。由分数的意义可知，甲是2份，乙是3份，甲的1份与乙的1份相等，当然份数多的长。 8．（2分）（2024•鼓楼区）大于而小于的最简分数有（　　）个。 A．1 B．5 C．3 D．无数 【思路点拨】根据题意，根据最简分数的意义，分数的分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。再根据分数的基本性质，分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。 所以，大于而小于的最简分数有无数个，如：、、、…… 【规范解答】解：根据分析解答如下： 大于而小于的最简分数有无数个。 故选：D。 【考点评析】此题考查了最简分数的知识等，要求学生掌握。 二．填空题（共11小题，满分28分） 9．（2分）（2024•崇川区）6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表。那么这组小朋友平均每人实际跳了 　102　 下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作 　+2　 。 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 +4 0 +6 ﹣7 +12 ﹣3 【思路点拨】2号小朋友跳了100个，记作0，就是把100个看作基准点，可以求出6个小朋友一共跳了100×6+4+6﹣7+12﹣3＝612（个），平均每个小朋友跳612÷6＝102（个）；3号比1号多跳6﹣4＝2（个），若1号的成绩记作0，则3号的成绩记作+2。 【规范解答】解：100×6+4+6﹣7+12﹣3＝612（个） 612÷6＝102（个） 答：平均每个小朋友跳102个。 （+6）﹣（+4）＝+2 如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作+2。 故答案为：102；+2。 【考点评析】本题考查了正负数的意义。 10．（2分）（2024•通州区）今年的五一假期，南通市的生态观光、休闲度假、科普研学等旅游路线深受长三角周边城市游客的青睐。五一期间，各旅游景区共吸引游客人数满足：十万位、万位上的数既是偶数也是质数，千位上的非零数既不是质数也不是合数，十位上的数的最大因数是5，个位上的数是2和3的最小公倍数，其余各位上是0，这个数是 　221056　 。这个数精确到“万”位约是 　22　 万。 【思路点拨】根据题意，结合数位顺序表，既是偶数也是质数的数是2，1既不是质数也不是合数，最大因数是5的数是5，2和3的最小公倍数是6，据此解答；数精确到“万”位就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。 【规范解答】解：十万位、万位上的数既是偶数也是质数，千位上的非零数既不是质数也不是合数，十位上的数的最大因数是5，个位上的数是2和3的最小公倍数，其余各位上是0，这个数是221056。这个数精确到“万”位约是22万。 故答案为：221056；22。 【考点评析】此题考查了亿以上数的读写与求近似数。 11．（2分）（2024•通州区）（1）如图中的直线上，点A表示的数是 　﹣3　 ；点C表示的数是在直线上标出点C。 （2）如图中OB所在的四边形是正方形。以O为圆心，OB为半径作如图所示的扇形。估一估，正方形对角线OB的长大约是边长的 　1.4　 倍。（用一位小数表示） 【思路点拨】（1）找到“0”点，“0”右边的数为正数，左边的数为负数。点A在0点的左边，3个单位长度，表示﹣3；点C在0点的右边，个单位长度。 （2）先用尺子测量出正方形边长及对角线OB的长度，再进行计算。 【规范解答】解：（1）如图中的直线上，点A表示的数是﹣3；﹣3 图略 （2）OB＝1.4，1.4÷1＝1.4 正方形对角线OB的长大约是边长的1.4倍。 故答案为：﹣3；1.4。 【考点评析】本题考查了正负数的意义及倍的认识。 12．（2分）（2024•鼓楼区）哈尔滨冬天会开展“冰雕节”，户外温度为零下15℃，记作 　﹣15　 ℃。2024年春节期间哈尔滨累计接待游客10093000人次，横线上的数改写成用“万”作单位的数是 　1009.3　 万。 【思路点拨】温度为零上记作正数，则温度为零下记作负数，直接得出结论即可； 10093000改写成用“万”作单位的数，先分级，在万位的后面添上小数点，小数末尾的0要去掉，再加上”万“字。 【规范解答】解：哈尔滨冬天会开展“冰雕节”，户外温度为零下15℃，记作﹣15℃。2024年春节期间哈尔滨累计接待游客10093000人次，横线上的数改写成用“万”作单位的数是1009.3万。 故答案为：﹣15；1009.3。 【考点评析】本题考查了正负数的意义，亿以内数的改写。 13．（3分）（2024•天宁区）5月30日，神舟十六号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火升空，神十六乘组奔赴苍穹。 （1）发射中心所在的酒泉市总面积约为192000平方千米，横线上的数读作 　十九万两千　 ，改写成用“万”作单位的数约 　19.2　 万平方千米。 （2）常州到酒泉的实际距离约2550千米，在比例尺为1：50000000的地图上，两地的图上距离约为 　5.1　 厘米。 【思路点拨】（1）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级；先读万级，再读个级；万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0；整数的改写，找到万位，在万位后点上小数点即可。 （2）先统一单位，再利用除法计算。 【规范解答】解：（1）192000读作：十九万两千；192000＝19.2万； （2）2550千米＝255000000厘米 255000000÷50000000＝5.1（厘米） 答：两地的图上距离约为 5.1厘米。 故答案为：十九万两千，19.2；5.1。 【考点评析】本题考查了整数的读法改写方法及比例的应用。 14．（2分）（2024•常州）2023年五一假期，国内旅游出游合计约274000000人次，将横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 　2.74　 亿，其中常州各大旅游景区共接待约4755100人次，将横线上的数省略“万”后面的尾数约是 　476　 万。 【思路点拨】改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字；省略“万”后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。 【规范解答】解：274000000＝2.74亿，4755100≈476万。 故答案为：2.74，476。 【考点评析】本题主要考查整数的改写和求近似数，改写和求近似数时要注意带计数单位。 15．（3分）（2024•宿迁）据统计，2024年“五一”假期国内旅游出游约为二亿九千五百万人次，出游人次写作 　295000000　 ；“五一”假期实现国内旅游收入约一千六百六十八亿九千万元，旅游收入改写成用“亿”作单位的数是 　1668.9亿　 ，省略“亿”后面的尾数约是 　1669　 亿。 【思路点拨】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数； 改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字； 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【规范解答】解：二亿九千五百万读作：295000000；一千六百六十八亿九千万写作：166890000000，166890000000＝1668.9亿，166890000000≈1669亿。 故答案为：295000000，1668.9亿，1669。 【考点评析】本题主要考查整数的写法、改写和求近似数，分级写或借助数位表写数能较好地避免写错数的情况，改写和求近似数时要注意带计数单位。 16．（2分）（2024•张家港市）在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做45个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。其中第一小队8名男生的成绩记录如下：﹣2，4，﹣1，0，3，﹣3，6，1。那么，该小队男生的平均成绩是 　46　 个，优秀率为 　62.5　 %。 【思路点拨】平均数＝总分数÷人数；优秀率用负数的个数除以8即可。 【规范解答】解：45﹣2＝43（个） 45+4＝49（个） 45﹣1＝44（个） 45+0＝45（个） 45+3＝48（个） 45﹣3＝42（个） 45+6＝51（个） 45+1＝46（个） （43+49+44+45+48+42+51+46）÷8 ＝368÷8 ＝46（个） 5÷8×100% ＝0.625×100% ＝62.5% 答：小队男生的平均成绩是46个，优秀率为62.5%。 故答案为：46；62.5。 【考点评析】熟练掌握求平均数的方法和求百分率的方法，是解答本题的关键。 17．（6分）（2024•崇川区）2023年第十九届亚运会在中国浙江省杭州市举行。 （1）杭州奥体中心体育场俗称“大莲花”，是继“鸟巢”后国内第二大体育场馆，总建筑面积约216000平方米，即 　21.6　 公顷，共有80800个座位。横线上的数改写成用“万”作单位的数是 　8.08　 万。 （2）开幕式中，由105791208位数字火炬手汇聚而成的巨型“数字人”，点燃了主火炬，科技感十足，惊艳全世界。横线上的数省略“亿”后面的尾数约为 　1　 亿。 （3）杭州亚运会发行我国第一枚2元彩色银币。这枚银币的厚度约2毫米，质量为5克，假设发行了100万枚银币，则共重 　5　 吨。如果把这100万枚银币叠在一起，那么会高达 　2　 千米，这个高度比黄山主峰莲花峰约1865米还要高 　135　 米。 【思路点拨】（1）1 公顷＝10000平方米；将一个数改写成用“万”作单位的数，可以在万位右下角点上小数点，数末尾的0可以省略，最后在数的末尾加上“万”即可。 （2）用“四舍五入”法省略“亿”后面的尾数，再在后面加上“亿”字。 （3）求100万枚银币，则共重多少吨，用100万乘5克，再转化单位即可解答；求100万枚银币，高达多少千米，用100万乘2毫米，再转化单位即可解答；求这个高度比黄山主峰莲花峰约1865米还要高多少米，用100万枚银币的高度减黄山主峰莲花峰的高度即可解答。 【规范解答】解：（1）杭州奥体中心体育场俗称“大莲花”，是继“鸟巢”后国内第二大体育场馆，总建筑面积约216000平方米，即21.6公顷，共有80800个座位。这个数改写成用“万”作单位的数是8.08万。 （2）105791208省略“亿”后面的尾数约为1亿。 （3）100万＝1000000，5×1000000＝5000000（克），5000000克＝5吨； 2×1000000＝2000000（毫米），2000000毫米＝2 千米＝2000米，2000﹣1865＝135（米）。 杭州亚运会发行我国第一枚2元彩色银币。这枚银币的厚度约2毫米，质量为5克，假设发行了100万枚银币，则共重5吨。如果把这100万枚银币叠在一起，那么会高达2千米，这个高度比黄山主峰莲花峰约1865米还要高135米。 故答案为：（1）21.6，8.08；（2）1；（3）5，2，135。 【考点评析】此题考查了亿以内数的改写与近似等知识，要求学生掌握。 18．（2分）（2024•海门区）看图填空。 （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是 　　 。 （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是 　﹣10　 。 【思路点拨】（1）是把0点右边的单位长度平均分成5份，其中的1份就用表示，那么C点就在第二个单位长度表示； （2）是把0点右边的单位长度平均分成5份，其中的1份表示10，0左边的一个单位长度就表示负数﹣10，据此解答。 【规范解答】解：根据分析可知（1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是。 （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是﹣10。 故答案为：，﹣10。 【考点评析】本题考查了分数和负数的意义的表示方法。 19．（2分）（2024•海门区）2024年“五一”假期，我国文化和旅游行业持续火热。经测算，2024年“五一”假期全国国内出游共计约295000000人次，横线上的数读作 　二亿九千五百万　 ；“五一”假期实现国内旅游收入约166890000000元，省略“亿”后面的尾数约是 　1669　 亿元。 【思路点拨】根据整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，据此读出此数；省略“亿”位后面的尾数求近似数，根据千万位上数字的大小来确定用“四舍”法、还是用“五入”法，再在数的后面写上“亿”字”。据此进行解答。 【规范解答】解：295000000读作：二亿九千五百万 166890000000≈1669亿 故答案为：二亿九千五百万，1669。 【考点评析】本题主要考查整数的读法和求近似数，注意求近似数时要带计数单位。 三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分） 20．（2分）（2023•阜宁县）一个自然数不是质数就是合数． 　×　 （判断对错）． 【思路点拨】根据质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数．1既不是质数也不是合数． 【规范解答】解：根据分析：质数与合数是按照一个自然数的因数的个数的多少进行分类，因为1只有一个因数是它本身，所以1既不是质数也不是合数． 因此所有的自然数不是质数就是合数．这种说法是错误的． 故答案为：×． 【考点评析】此题考查的目的是理解质数与合数的意义，明确：质数与合数是按照一个自然数的因数的个数的多少进行分类． 21．（2分）（2024•吴江区）质数一定是奇数，但合数不一定是偶数。 　×　 （判断对错） 【思路点拨】根据它们的定义，可以进行比较，找到它们相同之处，做出正确的判断。 【规范解答】解：质数只有1与它本身两个因数，2是最小的质数，但2是偶数， 所以质数不一定是奇数，故原题表述错误。 故答案为：×。 【考点评析】本道题目比较综合的比较了质数与奇数，合数与偶数之间的异同点，是个很好的题目，只要我们严格按照定义，进行分析找到特殊的数字即可。 22．（2分）（2023•淮安）一种商品打五折销售正好保本，如果不打折销售，则可获得50%的利润． 　×　 ．（判断对错） 【思路点拨】设原价是1；打五折是指现价是原价的50%，是把原价看成单位“1”，由此用乘法求出现价，现价正好保本，说明现价就是成本价；用原价减去成本价再除以成本价就是获取的利润． 【规范解答】解：设原价是1，则成本价是： 1×50%＝0.5； （1﹣0.5）÷0.5， ＝0.5÷0.5， ＝100%； 可获得100%的利润； 故答案为：×． 【考点评析】解决本题关键是要分清楚单位“1”的不同，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据基本的数量关系求解． 23．（2分）（2024•溧阳市）千克也就是70%千克。 　×　 （判断对错） 【思路点拨】百分数（又叫作百分率或百分比）与分数的意义截然不同。百分数是“表示一个数是另一个数百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。因此，百分数后面不能带单位名称，分数可带具体名称。 【规范解答】解：千克也就是70%千克。此说法是错误的。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查了百分数的意义。 24．（2分）（2024•溧阳市）某班女生平均身高是1.42m，若把平均身高记为0，小花的身高是135cm，应记作﹣7。 　√　 （判断对错） 【思路点拨】根据题意，正负数表示一组相反意义的量，高于平均身高用正数表示，低于平均身高用负数表示。 【规范解答】解：1.42m＝142cm 142﹣135＝7（cm） 则某班女生平均身高是1.42m，若把平均身高记为0，小花的身高是135cm，应记作﹣7。故原说法正确。 故答案为：√。 【考点评析】此题考查了负数的意义，要求学生掌握。 四．操作题（共1小题，满分6分，每小题6分） 25．（6分）（2023•苏州）已知如图2个长方形的面积都是2平方分米。 （1）涂色表示出这个长方形的。 （2）涂色表示出平方分米。 【思路点拨】（1）将长方形平均分成4份，将其中的3份涂色即可； （2）将长方形平均分成8份，将其中的3份涂色即可。 【规范解答】解：（1） （画法不唯一） （2） （画法不唯一） 【考点评析】解答本题需熟练掌握分数的意义，灵活解答。 五．解答题（共11小题，满分40分） 26．（6分）（2024•盐城）用分数表示如图各图中的涂色部分。 【思路点拨】第一个图，把正方形平均分成9份，涂色部分占了5份，用分数表示为； 第二个图，把整体平均分成3份，涂色部分占了2份，用分数表示为； 第三个图，把整体平均分成6份，通过平移涂色部分占了1份，用分数表示为。 【规范解答】解：根据分数的意义，填写如下： 【考点评析】掌握分数的意义是解答本题的关键。 27．（4分）（2023•宿城区）如图，阴影部分面积占整个图形的，用百分数表示为 　37.5　 %。 【思路点拨】通过观察图形发现，我们利用拼一拼，移一移的方法去解决问题：如图所示：我们把阴影1和3拼在一起就占整个平行四边形面积的，而阴影2占整个平行四边形面积的的，也就是，合起来就占整个图形的，化成百分数就是37.5%。 【规范解答】解：阴影部分面积占整个图形的，用百分数表示为37.5%。 故答案为：，37.5%。 【考点评析】本题借助直观图形考查分数及百分数的意义。 28．（4分）（2024•京口区）数学辩论题． 观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质……正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若A与B互质，B与C互质，则A与C一定互质． 你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论． 【思路点拨】若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质，并举例说明即可． 【规范解答】解：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质， 例如：3与5互质，5与9互质，但3与9不互质，3和9的公因数有：1、3． 【考点评析】此题主要考查了合数与质数的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质． 29．（4分）（2024•海门区）根据如图涂色部分的面积与整个图形面积的关系填空。 　12　 ：16＝ 　0.75　 （填小数）＝ 　75　 % 【思路点拨】把整个图形的面积看作单位“1”，把它平均分成4份，每份是它的，其中3份涂色，表示；根据比与分数的关系3：4，再根据比的性质，比的前、后项都乘4就是12：16；根据分数与除法的关系3÷4＝0.75；把0.75的小数点向右移动两位添上百分号就是75%。 【规范解答】解：12：16＝0.75＝75% 故答案为：，12，0.75，75。 【考点评析】此题考查了分数的意义及分数、小数、比、百分数之间的关系及转化。 30．（2分）（2024•仪征市）勤劳智慧的中国人“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”。自2011年首次实现“神舟号”飞船与“天宫号”空间站交会对接以来，我国的交会对接技术经历了从44小时到约6小时快速对接的跨越，创造了世界纪录。现在快速对接时间约占原来对接时间的。 【思路点拨】利用现在的时间除以原来的时间即可，注意约分。 【规范解答】解：6÷44 答：现在快速对接时间约占原来对接时间的。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了一个数占另一个数的几分之几的问题应用。 31．（4分）（2024•仪征市）用分数表示图中的涂色部分，或在图中涂色表示下面的分数。 【思路点拨】把整个图形看作单位“1”，分母表示分的总份数，分子表示取得的份数，据此解答。 【规范解答】解： （答案不唯一） 【考点评析】此题考查了分数的意义，要求学生能够掌握。 32．（2分）（2024•兴化市）看图理解题意，在括号里填上适当的数。（注意：本题有3个括号，不要遗漏哦!）这3根彩带的平均长度是 米。 【思路点拨】根据题意，红彩带是5米，在数轴上占1份，1米在数轴上就是0.2，12米在数轴上就是12×0.2＝2.4；3.6表示几米，用3.6除以0.2即可解答。 【规范解答】解：1÷5＝0.2 12×0.2＝2.4 3.6÷0.2＝18（米） 故答案为：2.4；18。 【考点评析】此题考查了分数的意义，要求学生掌握。 33．（4分）（2024•京口区）根据国家发布的《2022年二氧化碳排放报告》，2022年我国的二氧化碳总排放量为114.79亿吨，与2021年比下降了0.25亿吨。其中电力行业二氧化碳排放量增长有所放缓，但仍是我国碳排放的重要来源，数据显示，2022年整个电力行业碳排放量约占全社会碳总排放量的40%。 （1）2022年我国二氧化碳总排放量为114.79亿吨，将横线上的数精确到十分位约为 　C　 亿吨。 A.115 B.114.7 C.114.8 D.114.80 （2）2022年整个电力行业的二氧化碳排放量约为 　A　 亿吨。 A.45.916 B.287 C.0.1 D.0.63 【思路点拨】（1）数精确到十分位，要看百分位，根据四舍五入求近似数的方法解答即可； （2）根据求一个数的百分之几是多少的方法，用乘法解答即可。 【规范解答】解：（1）2022年我国二氧化碳总排放量为114.79亿吨，将横线上的数精确到十分位约为114.8亿吨。 （2）114.79×40%＝45.916（亿吨） 答：2022年整个电力行业的二氧化碳排放量约为45.916亿吨。 故答案为：C；A。 【考点评析】本题考查了求小数近似数以及百分数应用题知识，结合题意分析解答即可。 34．（3分）（2023•鼓楼区）1的分数单位是，它有 　13　 个这样的分数单位，再添上 　5　 个这样的分数单位就是最小的质数。 【思路点拨】（1）判定一个分数的单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一； （2）判定一个分数有几个单位看分子（如果是带分数，要先化成假分数），分子是几，就有几个分数单位； （3）最小的质数是2，用2减去原分数的结果，再根据分子的大小，判断再减去几个分数单位就成了最小的质数。 【规范解答】解：（1）的分母是9，所以分数单位是； （2），的分子是13，所以它包含13个这样的分数单位； （3）最小的质数是2，2﹣1，即再加5个这样的单位就是最小的质数。 故答案为：，13，5。 【考点评析】此题主要考查辨识一个分数的单位和有几个分数单位的方法，也考查了最小的质数是2。 35．（4分）（2023•锡山区）根据如图阴影部分的面积与整个图形面积的关系填空： 　9　 ：15＝　60　 %＝　0.6　 （填小数） 【思路点拨】把整个长方形的面积看作单位“1”，把它平均分成5份，每份是它的，其中3份涂色，表示；根据比与分数的关系3：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘3就是9：15；根据分数与除法的关系3÷5＝0.6；把0.6的小数点向右移动两位添上百分号就是60%。 【规范解答】解：9：15＝60%＝0.6 故答案为：，9，60，0.6。 【考点评析】此题考查了分数的意义及分数、小数、百分数、比之间的关系及转化。 36．（3分）（2023•鼓楼区）用7米长的长绳正好做了4根同样长的短绳，每根短绳长 　　 米，每根短绳是原来绳长的。如果这根长绳的质量为0.315千克，那么十万根这样的长绳重 　31.5　 吨。 【思路点拨】用1除以4，求出每根短绳是原来绳长的几分之几，7米除以4，求出每根短绳长多少米，用一根的长度乘十万，再根据1吨＝1000千克进行单位换算。 【规范解答】解：7÷4（米） 1÷4 0.315×100000＝31500（千克） 31500千克＝31.5吨 故答案为：；；31.5。 【考点评析】本题考查的主要内容是分数的认识问题 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题02 数的运算 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：四则混合运算的运算顺序 1.分级的标准 四则混合运算分为两级，加法和减法叫作第一级运算；乘法和除法叫作第二级运算。 2.四则混合运算的运算顺序 （1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算（也就是先算乘除法，再算加减法）。 （2）算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的 知识点梳理02：四则混合运算定律 运算定律 文字叙述 用字母表示 加法 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法 乘法交换律 两个数相乘，交换两个乘数的位置积不变 ab =ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把它们的积相加 (a+b)c=ac+bc 知识点梳理03：运算性质 1.减法的性质：a-b-c=a-(b+c) a-b+c=a-(b-c) 2.除法的性质（除数不等于0）: a÷（b×c）=a÷b÷c a÷b÷c=a÷c÷b 3.商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 a÷b=（a×m）÷（b×m）（m0，b0） a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（m0，b0） 重点提示：在利用减法和除法的运算性质进行简便计算时，等式的两边可以颠倒过来，要根据算式的特点灵活地进行去括号或添括号。 知识点梳理04：四则混合运算中的速算技巧： 1.加减法中的速算与巧算 （1）分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．（ “补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”） （2）加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整． （3）数值原理法：先把加在一起为整十、整百、整千…的数相加，再与其它的数相加． （4）“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上） 2.乘法凑整技巧：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使 得运算简便。例如：，， 3.分数与小数混合运算的技巧 在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。 技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。 技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。 技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。 技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。 技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的转化，掌握这些常用的数互化数方法对学习非常重要 知识点梳理05：定义新运算 1.定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。注意： （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 2.一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.58（中等） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•崇川区）如图表示的算式是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】涂色部分表示把图形平均分成3份，取其中的2份；画线部分表示把涂色部分平均分成4份，取其中的3份，用算式表示是。 【规范解答】解：根据分析可知，如图表示的算式是：。 故选：C。 【考点评析】此题考查了分数乘法的意义。 2．（2分）（2024•如皋市）如图，小明在计算三位数除以两位数的过程中发现，初商4偏小了，改商5就正好。这道除法竖式中的除数是（　　） A．26 B．28 C．36 D．38 【思路点拨】当除数不变的时候，5个除数比4个除数与倍数的差少了32﹣6＝26，据此可知除数就是26。据此解答即可。 【规范解答】解：32﹣6＝26 答：这道除法竖式中的除数是26。 故选：A。 【考点评析】本题考查有余数的除法的计算。 3．（2分）（2024•江阴市）如图竖式中，箭头所指部分的数值可用图（　　）表示。 A． B． C． D． 【思路点拨】根据有余数的小数除法计算法则，余数3在百分位，表示3个0.01，据此解答。 【规范解答】解：竖式中的箭头所指的这个3表示3个0.01。 故选：C。 【考点评析】本题主要考查了小数除法的竖式计算，明确各步的意义是解答本题的关键。 4．（2分）（2024•阜宁县）学校舞蹈社团准备购买12个手鼓，每个手鼓14元。在竖式中，虚线框画出部分对应的是点子图中的第____部分。（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】单价×数量＝总价，每个手鼓的钱数×购买的个数＝总钱数。两位数乘两位数的计算方法：先用第二个乘数的个位与第一个乘数相乘，所得的积末尾与个位对齐，再用第二个乘数的十位与第一个乘数相乘，所得的积末尾对齐十位，最后把两次乘得的积相加。 【规范解答】解：由两位数乘两位数的计算方法可知，“28”表示2个手鼓28元，“140”表示10个手鼓140元；虚线框画出部分表示“10×4”，对应的是点子图中的第②部分。 故选：B。 【考点评析】考查的是两位数乘两位数。 5．（2分）（2024•盐城）某人在计算这四个分数的平均值时，误将其中一个分数看成了它的倒数，他计算出的平均值与正确的结果最多相差（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】这四个分数越来越大，也越接近于1，它们与它们倒数的差也就越来越小，所以要使错误的结果与正确的结果相差最大，那么看错的数应是把看成，四个数的和就多算出来（），再把多算出的部分除以4就是平均值多算出了多少． 【规范解答】解：与它的倒数的差最大，看错的数应是把看成； （）÷4， 4， ； 答：他计算出的平均值与正确的结果最多相差． 故选：A． 【考点评析】本题关键是找出哪一个数看成了它的倒数了，然后根据平均数的求法解决问题． 二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 6．（2分）（2024•宿迁）比21千克少千克的是 　20　 千克； 　15吨　 比20吨少25%。 【思路点拨】求比21千克少千克的数，用21减去即可解答； 把20吨看作单位“1”，求比单位“1”少25%的数，用20乘（1﹣25%）即可解答。 【规范解答】解：21（千克） 20×（1﹣25%） ＝20×0.75 ＝15（吨） 所以：比21千克少千克的是千克；15吨比20吨少25%。 故答案为：，15吨。 【考点评析】此题重在区分分数在具体的题目中的区别：在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几。 7．（3分）（2024•海陵区）有1，2，5，7四个数。 （1）从中任选两个数组成两位数，一共能组成 　12　 个不同的两位数，其中质数有 　2　 个。 （2）用这四个数组成一道两位数乘两位数的乘法算式，乘积最大是 　3692　 。 【思路点拨】（1）分两步完成，第一步，十位数字有4种选择，余下的3个数字放在个位有3种选择，根据乘法原理有4×3＝12个不同的两位数。只有1和它本身的数是质数。 （2）要想积最大，则组成的两个两位数最接近；根据组数的方法、整数大小的比较方法进行解答即可。 【规范解答】解：（1）4×3＝12（个） 质数有：17，71，一共2个。 （2）52×71＝3692 故答案为：12，2；3692。 【考点评析】本题主要考查了学生组数的能力。 8．（1分）（2024•崇川区）□.□□是一个两位小数，列竖式计算□.□□×2.4时，笔算过程如图所示，则□.□□×2.4的积是 　6.192　 。 【思路点拨】竖式中的1032是4与第一个乘数各个数位上数字相乘的结果，可以求出第一个乘数是1032÷4＝258（不看小数点），据此可求出这个式子的积是2.58×2.4＝6.192。 【规范解答】解：1032÷4＝258 2.58×2.4＝6.192。 答：□.□□×2.4的积是6.192。 故答案为：6.192。 【考点评析】本题解题的关键是熟练掌握乘除法的互逆关系和小数乘、除法的计算方法。 9．（2分）（2024•徐州）我国古代数学名著《九章算术》中有一道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1206石米，检验发现米里掺杂着谷子，抽样取一把，数得252粒米里有谷子28粒。照这样算，送来的这批米里一共掺杂了 　134　 石的谷子。（石是古代的一种计量单位） 【思路点拨】先算出样本中谷子占米的几分之几，再乘总数量即可解答。 【规范解答】解：28÷252 1206134（石） 答：送来的这批米里一共掺杂了134石的谷子。 故答案为：134。 【考点评析】先求出样本中谷子占米的几分之几是关键。 10．（2分）（2024•高港区）数学是思维的体操，思维是数学的灵魂。仔细观察如图的三道计算题，整数、小数和分数加、减法计算方法的相同点是 　相同计数单位的数相加减　 。 【思路点拨】整数加减法的计算法则是相同数位对齐，小数加减法的计算法则是小数点对齐，也就是相同数位对齐，数位相同了，也就是计数单位相同；分数加减法的计算法则是先通分，是把不同的分数单位化成相同的分数单位，再计算的，所以这些计算法则都是相同计数单位个数相加减，由此求解。 【规范解答】解：根据算式可知：整数、小数、分数加减法的计算法则看上去不同，其实本质是相同的，都是相同计数单位的数相加减。 故答案为：相同计数单位的数相加减。 【考点评析】无论是整数加减法、小数加减法，还是分数加减法，都是相同计数单位相加减。 11．（2分）（2024•江宁区）　24　 千克比32千克少；48平方厘米比 　40　 平方厘米多20%。 【思路点拨】把32千克看作单位“1”，则未知的质量是32千克的（1），根据分数乘法的意义，即可计算出未知的质量。 把未知的面积看作单位“1”，则48平方厘米所对应的分率是（1+20%），根据百分数除法的意义，即可计算出未知的面积。 【规范解答】解： ＝32 ＝24（千克） 48÷（1+20%） ＝48÷1.2 ＝40（平方厘米） 答：24千克比32千克少；48平方厘米比40平方厘米多20%。 故答案为：24；40。 【考点评析】本题考查百分数应用题的解题方法，解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量，再根据分数、百分数乘、除法的意义，列式计算。 三．计算题（共11小题，满分78分） 12．（8分）（2024•启东市）计算下面各题，注意使计算简便。 （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】（1）按照加法交换律和减法的性质计算； （2）按照乘法分配律计算； （3）按照乘法分配律计算； （4）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算除法。 【规范解答】解：（1） ＝2.7+7.3﹣（） ＝10﹣1 ＝9 （2） ＝0.75×（4.8+5.2） ＝0.75×10 ＝7.5 （3） ＝（）×30 303030 ＝14+10﹣18 ＝6 （4） （） ＝9 【考点评析】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。 13．（8分）（2024•淮安）计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 798+805+801+795+802 【思路点拨】先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算除法； 按照凑整法计算； 按照乘法分配律计算； 把分数写成两数相减的形式，然后再抵消计算即可。 【规范解答】解： [] 798+805+801+795+802 ＝800﹣2+800+5+800+1+800﹣5+800+2 ＝800×5+（5+1+2﹣5﹣2） ＝4000+1 ＝4001 （） 2 ＝1 ＝1 【考点评析】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。 14．（8分）（2024•苏州）计算下面各题，能简便的要用简便方法计算。 【思路点拨】第一题：先算13.79与6.21的和，再算与的和，最后相减即可简算； 第二题：（）写为（）×24，再运用乘法分配律进行计算即可简算； 第三题：先算小括号里的减法，再算中括号中的乘法和加法，最后算括号外的除法； 第四题：先将分数的分母中2023改写为（2022+1），将2021改写成（2022﹣1），则（2022+1）×（2022﹣1）＝20222﹣1，20222﹣1﹣1＝20222﹣2，再将分数的分子中2021改写为（2022﹣1），进而分数的分子为20222﹣2，由此即可简算。 【规范解答】解：13.796.21 ＝（13.79+6.21）﹣（） ＝20﹣1 ＝19 （） ＝（）×24 242424 ＝21﹣10+6 ＝11+6 ＝17 [9.2（9﹣7.75）]÷40% ＝[9.21.25]÷40% ＝[9.2+1]÷40% ＝10.2÷0.4 ＝25.5 ＝1 【考点评析】此题主要考查运算定律与简便运算。解答时要熟练掌握并灵活运用运算定律。 15．（4分）（2024•高港区）计算。 用、0.5、这三个数可以组成下面四个算式。 ① ② ③ ④ 不计算，请你在如图直线上标出这些算式得数的位置。（填序号） 【思路点拨】①一个数（0除外）乘小于1的数，则积小于这个数； ②一个数（0除外）除以小于1的数，则积大于这个数； ③一个数（0除外）乘0.5，则积是这个数的一半； ④一个数（0除外）除以0.5，则商是这个数的2倍。据此再数轴上标出位置即可。 【规范解答】解：根据分析可得： 【考点评析】根据商和积的变化规律，解答此题即可，要能够灵活掌握。 16．（6分）（2024•徐州）怎样算简便就怎样算。 3.2×0.25×1.25 （）] 【思路点拨】3.2×0.25×1.25。把3.2分成4乘0.8，根据乘法交换律、乘法结合律进行简算； ，先算乘法、除法，再根据减法的性质进行简算； （）]，先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 【规范解答】解：3.2×0.25×1.25 ＝（4×0.25）×（0.8×1.25） ＝1×1 ＝1 ＝19.6 ＝19.6﹣（） ＝19.6﹣3 ＝16.6 （）] 【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。 17．（8分）（2024•海门区）脱式计算，能简算的要用简便方法计算。 ①560÷16÷5 ②4×0.39×25 ③ ④ 【思路点拨】①根据除法的性质进行计算； ②根据乘法交换律进行计算； ③根据乘法分配律进行计算； ④先算减法，再算乘法，最后算除法。 【规范解答】解：①560÷16÷5 ＝560÷（16×5） ＝560÷80 ＝7 ②4×0.39×25 ＝4×25×0.39 ＝100×0.39 ＝39 ③ 1 ④ [] ＝8 【考点评析】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。 18．（6分）（2024•崇川区）计算下面各题，能简便计算的用简便方法计算。 540÷30+24×5 4.5×99+45×0.1 【思路点拨】（1）先算除法和乘法，再算加法； （2）根据乘法分配律进行计算； （3）先算加法，再算减法，最后算除法。 【规范解答】解：（1）540÷30+24×5 ＝18+120 ＝138 （2）4.5×99+45×0.1 ＝45×9.9+45×0.1 ＝45×（9.9+0.1） ＝45×10 ＝450 （3） [1] 【考点评析】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。 19．（8分）（2024•通州区）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 12.7﹣3.6﹣5.4 0.125×32×2.5 【思路点拨】（1）根据减法的性质进行计算； （2）根据除法的性质进行计算； （3）根据乘法交换律和结合律进行计算； （4）根据乘法分配律进行计算。 【规范解答】解：（1）12.7﹣3.6﹣5.4 ＝12.7﹣（3.6+5.4） ＝12.7﹣9 ＝3.7 （2） ＝32 ＝12 （3）0.125×32×2.5 ＝0.125×（4×8）×2.5 ＝（0.125×8）×（4×2.5） ＝1×10 ＝10 （4） 23+23 ＝（）×23 ＝1×23 ＝23 【考点评析】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。 20．（8分）（2024•天宁区）下面各题，怎样算简便就怎样算。 0.8 76×62.5%+250.625 8.57﹣（2.57+4.38）﹣0.62 [（）] 【思路点拨】（1）根据乘法交换律和结合律进行计算； （2）根据乘法分配律进行计算； （3）根据减法的性质进行计算； （4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法。 【规范解答】解：（1）0.8 ＝（）×（1.25×0.8） 1 （2）76×62.5%+250.625 ＝76×0.625+25×0.625﹣0.625 ＝（76+25﹣1）×0.625 ＝100×0.625 ＝62.5 （3）8.57﹣（2.57+4.38）﹣0.62 ＝8.57﹣2.57﹣4.38﹣0.62 ＝（8.57﹣2.57）﹣（4.38+0.62） ＝6﹣5 ＝1 （4）[（）] [] 【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。 21．（6分）（2024•赣榆区）简便计算。 【思路点拨】①先根据乘法的分配律计算，再根据加法交换律解答即可； ②根据乘法的分配律计算，再计算加法，最后计算减法； ③利用分数的巧算解答。 【规范解答】解： ＝33 ＝242424 ＝6+4﹣3 ＝10﹣3 ＝7 ＝1 ＝1 ＝1 ＝1 ＝1 ＝1 【考点评析】此题考查了分数的简便计算，要求学生掌握。 22．（8分）（2024•吴江区）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 （1）18.6﹣3.89+2.4﹣6.11 （2） （3） （4）0.4×（2.5×12.5） （5） （6） 【思路点拨】（1）根据加法交换律和结合律以及减法的性质进行计算； （2）根据乘法分配律进行计算； （3）根据乘法分配律进行计算； （4）根据乘法结合律进行计算； （5）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的乘法； （6）根据分数的拆项公式进行计算。 【规范解答】解：（1）18.6﹣3.89+2.4﹣6.11 ＝（18.6+2.4）﹣（3.89+6.11） ＝21﹣10 ＝11 （2）9 ＝（） ＝1 （3）（）×23 2323 2 ＝2 （4）0.4×（2.5×12.5） ＝（0.4×2.5）×12.5 ＝1×12.5 ＝12.5 （5）[1÷（）] [1] （6） ＝（1）+（）+（）+（）+（） ＝1 ＝1 【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题03 常见的量 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：长度、面积与体积单位 1. 量、计量和计量单位的意义：事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的性质叫作量。把一个要测定的量作为同一个标准的量相比较叫作计量。用来作为计量标准的量叫作计量单位。 2. 计量单位： （1）长度单位：千米（km） 米（m） 分米（dm） 厘米（cm） 毫米（mm） （2）面积单位：平方千米（km2）公顷（hm2） 平方米（m2）平方分米（dm2） 平方厘米（cm2） 平方毫米（mm2） （3）体积单位：立方米（m3） 立方分米（dm3） 立方厘米（cm3） 立方毫米（mm3） （4）容积单位：一般用体积单位，液体用升（L）或毫升（mL）作单位。 3. 计量单位之间的换算关系： （1）长度单位：1千米=1000米 1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米 （2）面积单位：1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 （3）体积单位：1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 （4）容积单位：1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 （5）相邻两个长度单位间的进率是10；相邻两个面积单位间的进率是100；相邻两个体积单位间的进率是1000 知识点梳理02：质量、时间与人民币单位 1. 质量：（1）常用的单位有： 吨（t） 千克（kg） 克（g） （2）进率：1吨=1000千克 1千克=1000克 2.时间： （1）常用的单位（一）：世纪、年、月、日 进率：1世纪=100年 1年=12个月 大月（31天）有：1.3，5，7.8、10，12月 小月（30天）有：4.6.9.11月平年2月28天，闰年2月29天 平年全年365天，闰年全年366天 公历年份是4的倍数的一般都是闰年；但公历年份是整百数的必须是400的倍数才是闰年。如：1900年不是闰年，而2000年是闰年。 （2）常用的单位（二）：时、分、秒 进率：1日=24时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 （3）24时记时法： 24时记时法的意义：24时记时法是指采用从0时到24时的记时法 普通记时法与24时记时法的转换 半夜12时，也叫0时，是一天的开始。从0时到下午1时以前，两种计时法对时间的表示是相同的。从下午1时起，24时计时法在表示时间时比普通计时法多12小时，普通计时法加12小时就是24时计时法，24时计时法减去12小时就是普通计时法。注意使用普通计时法表示时间时，前面要加上“下午”或“晚上”等限制词。 计算经过的时间：如果是同一天，可以先化成24时记时法，再用结束时间减去开始时间；如果涉及两天或两天以上，可以以晚上12时为界，分段计算，再把每段时间加起来。 3. 人民币：（1）常用的单位：元、角、分 （2）进率：1元=10角 1角=10分 1元=100分 知识点梳理03：名数的改写 1.名数的意义： 计量的结果要用数来表示，并且还要带上单位名称，通常把它们合起来叫作名数。只带一个单位名称的，叫作单名数，如1千克、5时等；带两个或两个以上单位名称的，叫作复名数，如3吨50千克、1时30分等。 2.名数的改写： （1）单名数化成单名数：高级单位的数换算成低级单位的数乘以进率，低级单位的数换算成高级单位的数除以进率 （2）复名数化成低级单位的名数：高级单位部分×进率十低级单位部分 （3）复名数化成高级单位的名数：低级单位部分÷进率十高级单位部分 （4）单名数化成复名数：用单名数进率，商是高级单 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.54（中等） 一．选择题（共15小题，满分40分） 1．（2分）（2024•张家港市）对下面的生活数据估计最合理的是（　　） A．一幢11层的居民住宅楼，它的高度大约是18米。 B．小红家装修新房，在卫生间配置了一个舒适的大浴缸，容积大约是30升。 C．28名同学手拉手围成的正方形面积大约是100平方米，100个这样的正方形大约是1公顷。 D．小明每天早上坚持喝一杯250毫升的牛奶，吃一个0.5千克的鸡蛋，再搭配碳水类食物。 【思路点拨】联系生活实际，以及对长度单位、容积单位、面积单位、质量单位和数据大小的认识解答即可。 【规范解答】解：A、一幢11层的居民住宅楼，它的高度大约是30米； B、小红家装修新房，在卫生间配置了一个舒适的大浴缸，容积大约是300升； C、28名同学手拉手围成的正方形面积大约是100平方米，联系实际，不太相符； D、小明每天早上坚持喝一杯250毫升的牛奶，吃一个0.5千克的鸡蛋，再搭配碳水类食物。 故选：D。 【考点评析】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 2．（3分）（2024•常州）以下说法正确的是（　　） ①2200年有365天。 ②有两根长2米的铁丝，第一根剪去米，第二根剪去，这两根剩下的长度一样。 ③1个底面直径6米、高4米的圆锥形麦堆，如果堆成底面直径2米的圆柱形，高为4米。 ④六（1）班男生人数比女生多20%，女生人数就比男生少。 A．① B．①③ C．②④ D．①②③④ 【思路点拨】①平年、闰年的判断方法：公元年数可被4整除为闰年，但是整百的年数必须是可以被400整除的才是闰年．其他都是平年。 ②有两根长2米的铁丝，第一根剪去米，剩下21（米）；第二根剪去，剩下2﹣221（米），比较大小即可解答。 ③根据圆锥的体积公式和圆柱的体积公式计算即可解答。 ④把女生人数看作单位“1”，男生人数就是女生的1+20%；然后用男生的人数减去女生的人数，得到的差除以男生人数就是女生人数比男生人数少几分之几 【规范解答】解：①2200÷400＝5......200，所以2200年是平年，全有365天。原题说法是正确的。 ②21（米） 2﹣221（米） 这两根剩下的长度不一样，原题说法是错误的。 ③π×（）2×4 π×9×4 ＝12π π×（）2×h ＝π×h 12π＝πh h＝12π÷π ＝12（米） 如果堆成底面直径2米的圆柱形，高为12米。原题说法是错误的。 ④（1+20%﹣1）÷（1+20%） ＝0.2÷1.2 女生比男生少，原题说法是错误的。 故选：A。 【考点评析】本题考查了平年、闰年的判断方法，分数乘法的意义，圆柱、圆锥的体积计算，百分数的意义。 3．（2分）（2024•吴江区）一场电影90分钟，到下午4：20结束。这场电影是下午（　　）开始的。 A．5时10分 B．2时10分 C．2时50分 D．14时50分 【思路点拨】用电影结束的时刻减去放映的时间，即可求出电影开始的时刻。 【规范解答】解：4时20分﹣90分钟＝2时50分 故选：C。 【考点评析】本题考查了时间的推算，开始时刻＝结束时刻﹣经过时间。 4．（2分）（2024•海陵区）下面的节日都在小月的一组是（　　） A．妇女节、国庆节 B．清明节、劳动节 C．儿童节、教师节 D．元旦、建军节 【思路点拨】结合各选项中各个节日的日期，即可判断，注意：清明节要根据农历的日期推算出公历日期，再确定其所在的月是大月还是小月。 【规范解答】解：一年中，4月，6月，9月，11月都是小月。 A，妇女节是3月8日，3月份是大月，国庆节节在10月1日，10月是大月，本选项不正确； B，劳动节是5月1日，5月份是大月，青年节是5月4日，5月份也是大月，本选项不正确； C，儿童节是6月1日，6月份是小月，教师节是9月10日，9月份也是小月，本选项正确； D，元旦是1月1日，1月是大月，建军节是8月1日，8月是大月，本选项不正确． 故选C。 【考点评析】本题是一道关于小月的问题，解题的关键是明确哪几个月是小月；一年中，4月，6月，9月，11月都是小月。 5．（2分）（2024•海陵区）下面说法不符合实际的是（　　） A．一个苹果重约300克。 B．天安门城楼高约35米。 C．长江长约6300千米。 D．100米赛跑用时约5秒。 【思路点拨】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，找出不符合实际的选项即可。 【规范解答】解：A．一个苹果重约300克。符合实际； B．天安门城楼高约35米。符合实际； C．长江长约6300千米。符合实际； D．100米赛跑用时约10秒。原题不符合实际。 故选：D。 【考点评析】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 6．（2分）（2024•兴化市）2024年6月，我们将小学毕业。今年第一季度共有（　　）天。 A．90 B．91 C．92 D．无法确定 【思路点拨】第一季度是1、2、3月，平年2月有28天，闰年2月有29天，1、3月是大月有31天，把这3个月天数相加即可。 【规范解答】解：2024÷4＝506，没有余数，是闰年，所以2月有29天， 31+29+31＝91（天） 故选：B。 【考点评析】本题主要考查年月日的知识，注意掌握平年和闰年的判断方法：年份除以4（整百的年份除以400），如果有余数就是平年，没有余数就是闰年。 7．（3分）（2024•宿迁）以下是发生在闰年的大事是（　　） A．2018年嫦娥四号探测器发射成功。 B．2022年第24届北京冬奥会成功举办。 C．2023年第19届亚运会在杭州举行。 D．2024年我国第三代自主超导量子计算机上线。 【思路点拨】根据平闰年的判断方法：公元年数可被4整除为闰年，但是整百的年数必须是可以被400整除的才是闰年，其他都是平年，对选项年份逐一判断即可。 【规范解答】解：A．2018÷4＝504……2，2018年不是闰年，不符合题意； B．2022÷4＝505……2，2022年不是闰年，不符合题意； C．2023÷4＝505……3，2023年不是闰年，不符合题意； D．2024÷4＝506，2024年是闰年，符合题意； 故选：D。 【考点评析】本题是考查平年、闰年的判断方法。 8．（3分）（2024•宿迁）宿迁市的占地面积约为8555（　　） A．平方米 B．公顷 C．平方千米 D．亩 【思路点拨】根据生活经验以及对面积单位和数据大小的认识可知，边长是1千米的正方形的面积是1平方千米，1平方千米的面积比2个天安门广场的面积还要大一些，所以计量宿迁市的占地面积用“平方千米”作单位比较合适。 【规范解答】解：由分析可得：宿迁市的占地面积约为8555平方千米。 故选：C。 【考点评析】此题考查的是结合数据选择合适的单位名称，熟练掌握对面积单位的认识是解答此题的关键。 9．（3分）（2024•苏州）某一个月中，星期一、二、三、四、五都只有4个，星期六和星期天都有5个，这个月的1号是（　　） A．星期五 B．星期六 C．星期天 【思路点拨】每周有7天，星期一、二、三、四、五都只有4个，星期六和星期天都有5个，即该月有4×7+2＝30（天），要满足星期六和星期天有5天，星期一、二、三、四、五有4天，则该月的1日是星期六。据此判断。 【规范解答】解：某一个月中，星期一、二、三、四、五都只有4个，星期六和星期天都有5个，这个月的1号是星期六。 故选：B。 【考点评析】本题考查了时间的推算。 10．（3分）（2023•武进区）对下面数据的估计，准确的是（　　） A．100万枚1元的硬币大约是6千克 B．格兰仕烤箱的容量约40毫升 C．比亚迪电动宋ev系列续航里程是40km D．容纳100个小朋友做操的草坪约150平方米 【思路点拨】根据生活经验以及数据的大小，逐项分析，选择合适的计量单位，即可解答。 【规范解答】解：A．100万枚1元的硬币大约是6吨，原题不符合实际。 B．格兰仕烤箱的容量约40升，原题不符合实际。 C．比亚迪电动宋ev系列续航里程是400km，原题不符合实际。 D．容纳100个小朋友做操的草坪约150平方米，原题符合实际。 故选：D。 【考点评析】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 11．（3分）（2023•清江浦区）下面的节日在第二季度的是（　　） A．元旦 B．妇女节 C．儿童节 D．国庆节 【思路点拨】根据年月日的知识一年又分为4个季度，一个季度3个月，第一季度有：1、2、3月；第二季度有：4、5、6月；第三季度有：7、8、9月；第四季度有：10、11、12月；据此分析解答。 【规范解答】解：A．元旦；元旦是1月1日，在第一季度； B．妇女节；妇女节是3月8日，在第一季度； C．儿童节；儿童节是6月1日，在第二季度； D．国庆节；国庆节是10月1日，在第四季度。 节日在第二季度的是儿童节。 故选：C。 【考点评析】解答此题的关键是理解第二季度指4月，5月，6月。 12．（3分）（2023•金湖县）同学们8：50开始上第二节课，每节课40分钟，第二节课下课的时间是（　　） A．8：90 B．9：20 C．9：30 【思路点拨】第二节课开始时间+每节课的时间＝第二节课结束时间；据此解答。 【规范解答】解：8时50分+40分＝9时30分 答：第二节课下课的时间是9：30。 故选：C。 【考点评析】本题考查时间的推算，在时间推算过程中，注意正确的书写格式。 13．（3分）（2023•通州区）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费；半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算。一辆汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（　　） A．7：25～11：00 B．13：30～15：30 C．10：35～13：55 D．9：55～12：25 【思路点拨】半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算，那么24元说明是按照3小时收费的，所以它的停车时长大于2个半小时，小于等于3个半小时，由于前半小时是免费的，所以停车时间应该在2个半小时到3个半小时之间，根据时间推算的方法，用结束的时刻减去开始的时刻，得出选项中的时长都是多少，再找出符合的即可。 【规范解答】解：24÷8＝3（小时） 则它的停车时长2个半小时到3个半小时之间； A.11时﹣7时25分＝3小时35分＞3小时，不合题意； B.15时30分﹣13时30分＝2小时，不大于2小时，不合题意； C.13时55分﹣10时35分＝3小时20分，在2个半小时到3个半小时之间，符合题意； D.12时25分﹣9时55分＝2小时30分，不在2个半小时到3个半小时之间，不符合题意。 它的停车时间段可能是10：35～13：55。 故选：C。 【考点评析】解决本题首先要理解收费的方法，然后根据时间的推算的方法求解：经过的时间＝结束的时刻﹣开始的时刻。 14．（3分）（2023•灌云县）下面说法中，不符合实际的是（　　） A．一个苹果重300克。 B．一瓶矿泉水的净含量是380毫升。 C．今年2月有28天。 D．运动会，明明获一百米短跑冠军，成绩为6秒。 【思路点拨】根据生活经验、对质量单位、时间单位和数据的大小判断即可。 【规范解答】解：A.一个苹果重300克，所以原题干这个说法符合实际； B.一瓶矿泉水的净含量是380毫升，所以原题干这个说法符合实际； C.今年2月有28天。今年是2023（试卷年份是2023年，不要以现在答题的年份计算）年，是平年，平年的2月有28天，所以原题干这个说法符合实际； D.运动会，明明获一百米短跑冠军，成绩为6秒。世界百米飞人冠军博尔特的成绩是百米9秒58，所以原题干这个说法不符合实际。 综上，只有D选项不符合实际。 故选：D。 【考点评析】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。 15．（3分）（2023•武进区）少年宫的开放时间是8：00﹣17：00．小玲下午1：30进入少年宫活动，她在少年宫最多可以活动的时间是（　　） A．2.5小时 B．3.5小时 C．4.5小时 D．5.5小时 【思路点拨】下午1：30用24时计时法计时是13：30．即13时30分＝13.5时，开放时间是8：00﹣17：00即上午8时﹣17时，她在少年宫最多可以活动的时间是17﹣13.5＝3.5小时． 【规范解答】解：13时30分＝13.5时； 17﹣13.5＝3.5（小时）； 故选：B． 【考点评析】本题主要考查时间的计算．注意把下午的1：30转化成13.5时． 二．填空题（共20小题，满分60分） 16．（5分）（2024•通州区）在横线内填合适的数或单位名称。 体育老师季老师的体重约56 　千克　 ，一次能喝0.2 　升　 的水。她每天晚上跑步1.1小时，也就 　66　 分钟；她的速度大约是80 　米/分　 ，每天大约跑5 　千米　 。 【思路点拨】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【规范解答】解：体育老师季老师的体重约56千克，一次能喝0.2升的水。她每天晚上跑步1.1小时，也就66分钟；她的速度大约是80米/分，每天大约跑5千米。 故答案为：千克，升，66，米/分，千米。 【考点评析】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 17．（3分）（2024•鼓楼区） 3吨40千克＝ 　3.04　 吨 12.04平方米＝ 　12　 平方米 　4　 平方分米 【思路点拨】1吨＝1000千克，1平方米＝1000平方分米，根据低级单位换算成高级单位用除法计算，高级单位换算成低级单位用乘法计算完成填空。 【规范解答】解： 3吨40千克＝3.04吨 12.04平方米＝12平方米4平方分米 故答案为：3.04；12；4。 【考点评析】本题考查面积单位、质量单位之间的换算，要牢记这些单位之间的进率和换算规则。 18．（2分）（2023•江阴市）中国和英国的时差为8小时，当北京时间18：00时，英国才只有上午10：00。一架飞机11月24日17时从伦敦希斯罗机场起飞，经过12小时飞行抵达北京首都国际机场，这时北京是11月 　25　 日 　13　 时。 【思路点拨】根据时间和日期的推算方法，先计算飞机抵达北京首都国际机场时的伦敦时间，再加上8小时即可。 【规范解答】解：17：00+12：00＝5：00（第二天） 5：00+8：00＝13：00（第二天） 答：这时北京是11月25日13时。 故答案为：25，13。 【考点评析】本题主要考查时间和日期的推算，关键培养学生的逻辑推理能力。 19．（4分）（2024•常州）在横线上填合适的单位或数。 2023年5月28日，国产大飞机C919完成全球首次商业载客飞行。10时32分，C919从上海虹桥机场起飞，12时31分抵达北京首都机场，途中经历了 　1　 时 　59　 分。国产大飞机C919机高12 　米　 ，机身总长389 　米　 ，最大飞行高度约为12 　千米　 。 【思路点拨】根据结束时刻﹣开始时刻＝经过时间求解；然后根据生活经验以及数据的大小可知：计量国产大飞机C919机的高度用“米”作单位；国产大飞机C919机机身总长用“米”作单位；计量最大飞行高度用“千米作单位，由此求解。 【规范解答】解：12时31分﹣10时32分＝1时59分 国产大飞机C919机高12米，机身总长389米，最大飞行高度约为12千米。 故答案为：1；59；米；米；千米。 【考点评析】本题主要考查了时间的推算以及根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 20．（4分）（2024•鼓楼区） 4米5厘米＝ 　4.05　 米 13吨20千克＝ 　13020　 千克 16公顷＝ 　0.16　 平方千米 0.6分＝ 　36　 秒 【思路点拨】根据1米＝100厘米，1吨＝1000千克，1平方千米＝100公顷，1分＝60秒进行单位换算。大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。 【规范解答】解： 4米5厘米＝4.05米 13吨20千克＝13020千克 16公顷＝0.16平方千米 0.6分＝36秒 故答案为：4.05；13020；0.16；36。 【考点评析】本题考查了单位间的换算，记住单位间的进率是解答的关键。 21．（4分）（2024•江宁区）在横线上填上合适的单位。 （1）一节火车集装箱的容积大约是40 　立方米　 ；一所小学的面积大约是4 　公顷　 。 （2）南京地铁5号线（Nanjing Metro Line 5）是中国江苏省南京市第十三条开通的地铁线路。于2024年3月31日开通运营南段（吉印大道站一文靖路站），标志色为鹅黄色；截至2024年4月，南京地铁5号线全长37.4 　千米　 ，全部为地下线；共设置30座车站，最高运行速度80 　千米　 。 【思路点拨】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【规范解答】解：（1）一节火车集装箱的容积大约是40立方米；一所小学的面积大约是4公顷。 （2）南京地铁5号线（Nanjing Metro Line 5）是中国江苏省南京市第十三条开通的地铁线路。于2024年3月31日开通运营南段（吉印大道站一文靖路站），标志色为鹅黄色；截至2024年4月，南京地铁5号线全长37.4千米，全部为地下线；共设置30座车站，最高运行速度80千米。 故答案为：立方米；公顷；千米；千米。 【考点评析】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 22．（2分）（2024•江宁区）2024年全年有 　366　 天，2024年6月1日是星期六，这一年你将升入初中，9月1日入学这一天是星期 　天　 。 【思路点拨】先看2024是平年还是闰年，如果是闰年则2月有29天，平年2月有28天，2024不是整百年，能被4整除就是闰年；闰年一年有366天；6月有30天，7月有31天，8月有31天。计算出六月一日到九月一日共多少天，然后除以7计算出共多少星期余几天，计算出9月1日入学这一天是星期几，据此解答。 【规范解答】解：2024÷4＝506，2024是闰年，2月有29天，一年有366天； 30+31+31+1＝93（天） 93÷7＝13（周）……2（天） 则从周六起算第2天为星期天。 答：9月1日入学这一天是星期天。 故答案为：366，天。 【考点评析】此题主要考查日期的计算。 23．（3分）（2024•启东市）1.05升＝ 　1050　 毫升 25分＝ 　　 时 8平方分米＝ 　0.08　 平方米 【思路点拨】根据1升＝1000毫升，1小时＝60分，1平方米＝100平方分米，解答此题即可。 【规范解答】解：1.05升＝1050毫升 25分时 8平方分米＝0.08平方米 故答案为：1050；；0.08。 【考点评析】熟练掌握各单位的换算，是解答此题的关键。 24．（2分）（2024•徐州）5.04吨＝　5　 吨 　40　 千克 3时25分＝　3　 时 【思路点拨】1吨＝1000千克，1时＝60分，单位换算：大单位换小单位乘它们之间的进率，小单位换大单位除以它们之间的进率。 【规范解答】解：5.04吨＝5吨40千克 3时25分＝3时 故答案为：5，40；3。 【考点评析】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之则除以进率。 25．（3分）（2024•泗洪县）200厘米＝　2　 米 千克＝　750　 克 3小时45分＝　3.75　 时 【思路点拨】1米＝100厘米，1千克＝1000克，1时＝60分，单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。 【规范解答】解：200厘米＝2米 千克＝750克 3小时45分＝3.75时 故答案为：2，750，3.75。 【考点评析】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之则除以进率。 26．（2分）（2024•盐城）在横线上填上合适的数。 45秒＝　　 分 立方米＝　400　 升 【思路点拨】根据1分＝60秒，1立方米＝1000升，解答此题即可。 【规范解答】解：45秒分 立方米＝400升 故答案为：；400。 【考点评析】熟练掌握各单位的换算，是解答此题的关键。 27．（2分）（2023•滨湖区）一辆小汽车的自身重量为1.82吨，合 　1820　 千克； 一场电影的放映时间是105分钟，合 　1.75　 小时。 【思路点拨】根据1吨＝1000千克，1小时＝60分，解答此题即可。 【规范解答】解：一辆小汽车的自身重量为1.82吨，合1820千克； 一场电影的放映时间是105分钟，合1.75小时。 读答案为：1820；1.75。 【考点评析】熟练掌握质量单位、时间单位的换算，是解答此题的关键。 28．（3分）（2023•鼓楼区）填合适的单位：北京时间2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射升空6.5 　小时　 后，神舟十六号以快速交会对接模式，共同形成“三舱三船”超级组合体，由此构成中国空间站最大吨位和最大构型，总质量接近100 　吨　 。从2003年神舟五号成功发射到2023年，恰逢中国载人航天飞行圆满成功20 　年　 。 【思路点拨】根据时间单位、质量单位、年的单位和数据大小的认识，结合实际生活经验，动车运行的时间用时，发射时间比动车运行时间要快，所以发射升空的时间用时比较合数；卡车运送货物一般用吨，中国空间站最大吨位和最大构型的总质量比卡车运算货物还多，所以用吨比较合适；每个人成长年龄都是用年，所以中国载人航天飞行用年比较合适。 【规范解答】解：北京时间2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射升空6.5小时后，神舟十六号以快速交会对接模式，共同形成“三舱三船”超级组合体，由此构成中国空间站最大吨位和最大构型，总质量接近100吨。从2003年神舟五号成功发射到2023年，恰逢中国载人航天飞行圆满成功20年。 故答案为：小时；吨；年。 【考点评析】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 29．（3分）（2023•苏州）在横线里填上合适的数。 3吨40千克＝　3.04　 吨 24分＝　0.4　 时 4.05立方米＝　4050　 升 【思路点拨】根据1吨＝1000千克，1小时＝60分，1立方米＝1000升，解答此题即可。 【规范解答】解： 3吨40千克＝3.04吨 24分＝0.4时 4.05立方米＝4050升 故答案为：3.04；0.4；4050。 【考点评析】熟练掌握各单位的换算，是解答此题的关键。 30．（2分）（2023•工业园区）在横线里填“＜”、“＞”、“＝”。 3.2时 　＜　 3小时20分 0.04平方千米 　＝　 4公顷 【思路点拨】根据1小时＝60分，1平方千米＝100公顷，解答此题即可。 【规范解答】解：3.2时＜3小时20分 0.04平方千米＝4公顷 故答案为：＜；＝。 【考点评析】熟练掌握时间单位、面积单位的换算，是解答此题的关键。 31．（4分）（2023•海陵区）在横线上填上合适的单位名称。 李伟的数学课本封面大约是480 　平方厘米　 ，他的保温杯大约可以装水500 　毫升　 。 马拉松是一项考验耐力的长跑比赛项目，其全长大约是42 　千米　 ，一名职业运动员跑完全程大约需要2.5 　小时　 。 【思路点拨】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【规范解答】解：李伟的数学课本封面大约是480平方厘米，他的保温杯大约可以装水500毫升。 马拉松是一项考验耐力的长跑比赛项目，其全长大约是42千米，一名职业运动员跑完全程大约需要2.5小时。 故答案为：平方厘米；毫升；千米；小时。 【考点评析】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 32．（3分）（2023•江都区）25分＝　　 时；平方千米＝　80　 公顷；千克＝　850　 克。 【思路点拨】根据1小时＝60分，1平方千米＝100公顷，1千克＝1000克，解答此题即可。 【规范解答】解：25分时；平方千米＝80公顷；千克＝850克。 故答案为：；80；850。 【考点评析】熟练掌握时间单位、面积单位、质量单位的换算，是解答此题的关键。 33．（2分）（2023•广陵区）2023年5约30日9时31分，神舟十六号载人飞船发射升空，飞船入轨后，于16时29分成功对接于空间站天和核心舱径向端口，18时22分，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎环道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”，整个过程历时 　8　 时 　51　 分。 【思路点拨】用结束的时刻减开始的时刻即可。 【规范解答】解：18时2（2分）﹣9时3（1分）＝8小时5（1分） 答：整个过程历时8时5（1分）。 故答案为：8，51。 【考点评析】本题主要考查了时间的推算，用到经过时间＝结束的时刻﹣开始的时刻。 34．（3分）（2023•惠山区）750千克＝　0.75　 吨； 时＝　96　 分； 3.06公顷＝　30600　 平方米。 【思路点拨】根据1吨＝1000千克，1小时＝60分，1公顷＝10000平方米，解答此题即可。 【规范解答】解：750千克＝0.75吨； 时＝96分； 3.06公顷＝30600平方米。 故答案为：0.75；96；30600。 【考点评析】熟练掌握质量单位、时间单位、面积单位的换算，是解答此题的关键。 35．（4分）（2023•阜宁县）在横线里填上合适的数 （1）520平方米＝　0.052　 公顷 （2）25分＝　　 时 （3） 升＝　600　 立方厘米 （4）2吨30千克＝　2.03　 吨 【思路点拨】根据1公顷＝10000平方米，1小时＝60分，1升＝1000立方厘米，1吨＝1000千克，解答此题即可。 【规范解答】解：（1）520平方米＝0.052公顷 （2）25分时 （3） 升＝600立方厘米 （4）2吨30千克＝2.03吨 故答案为：0.052；；600；2.03。 【考点评析】熟练掌握面积单位、时间单位、体积和容积单位、质量单位的换算，是解答此题的关键 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题04 式与方程 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 重点提示： 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点梳理02：等式与方程 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点梳理03：列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤。 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.55（中等） 一．选择题（共12小题，满分24分，每小题2分） 1．（2分）（2024•启东市）如果今年小宁和哥哥的年龄和是偶数，那么再过x年，他俩的年龄和是（　　） A．奇数 B．偶数 C．可能是奇数，也可能是偶数 D．无法确定 【思路点拨】今年年龄和是偶数，增长的年龄和是2x，2x是偶数，偶数+偶数＝偶数，据此解答即可。 【规范解答】解：今年年龄和是偶数，增长的年龄和是2x，2x是偶数，偶数+偶数＝偶数，所以再过x年，他们的年龄和还是偶数。 故选：B。 【考点评析】此题考查用字母表示数及偶数的认识。 2．（2分）（2024•崇川区）如图所示：有两根长度均为x的木条重叠在一起，两端分别固定在点M和点N。将叠在上方的木条从中锯开，分为长度分别为a和b的两根小木条，两根小木条可分别绕点M和点N旋转。现有一根可变长度为c的皮筋，一端固定于点N处，另一端固定于长度为a小木条的另一端（非点M）。这样，长为a的木条、长为x的木条和可变长度为c的皮筋可围成不同的三角形。那么，下列说法中错误的是（　　） A．a＝x﹣b B．c＞b C．c＞x﹣a D．a+b＞c 【思路点拨】逐一分析各个选项，再选出错误的选项即可。 【规范解答】解：A、长度为x的木条分为a和b，a＝x﹣b，正确； B、a、c、x围成三角形，a+c＞x，又因为a+b＝x，所以 c＞b，正确； C、因为x﹣a＝b，所以c＞x﹣a，正确； D、a+b＝x，x不一定大于c，错误。 故选：D。 【考点评析】此题考查哟个字母表示数及三角形三边的关系。 3．（2分）（2024•启东市）计算如图中最大的正方形的面积，不正确的是（　　） A．a2+b2+2ab B．（a+b）（a+b） C．（a+b）2 D．a2+b2 【思路点拨】选项D的算式中，a2求的是左下角小正方形的面积，b2求的是右上角小正方形的面积，相加之后不是最大正方形的面积。 【规范解答】解：根据分析可知，选项D的算式不能计算出最大正方形的面积。 故选：D。 【考点评析】此题考查了用字母表示数的意义。 4．（2分）（2024•海门区）\如图，幸福村计划修一条路，求剩下的还要修多少天，列式正确的是（　　） A．a÷b﹣6 B．a÷（b÷6） C．6b D．a﹣6b 【思路点拨】用a除以b求出修完这条路一共需要多少天，再减6即可求出剩下的还要修多少天。 【规范解答】解：根据分析可知，正确列式为：a÷b﹣6。 故选：A。 【考点评析】此题考查了用字母表示数的应用。 5．（2分）（2024•高港区）仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+b2+2ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝2ab 【思路点拨】根据正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽，解答此题即可。 【规范解答】解：与图意相符的式子是：（a+b）2＝a2+b2+2ab。 故选：B。 【考点评析】大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个小长方形的面积。 6．（2分）（2023•通州区）数x所在的位置如图，则x在（　　）的位置。 A．点A B．点B C．点C D．点D 【思路点拨】根据题意，xx，A、B不合题意，D表示x，C表示x，只有C符合题意，据此解答。 【规范解答】解：数x所在的位置如图，则x在C的位置。 故选：C。 【考点评析】此题考查了用字母表示数的知识，要求学生能够掌握。 7．（2分）（2023•靖江市）已知a是奇数，下面哪个式子的结果是奇数？（　　） A．a+7 B．a+a﹣2 C． D．a2 【思路点拨】根据奇数和偶数的意义，逐一分析各个选项即可得出答案。 【规范解答】解：A、a是奇数，a+7表示偶数，不符合题意； B、a是奇数，a+a﹣2表示偶数，不符合题意； C、a是奇数，22个a是偶数，不符合题意； D、a是奇数，a×a的结果是奇数，符合题意。 故选：D。 【考点评析】此题考查用字母表示数及奇数和偶数的认识。掌握奇数和偶数的意义是解答的关键。 8．（2分）（2023•高邮市）m是一个偶数，n是一个奇数，下面的算式中，结果是奇数的是（　　） A．2（m+n） B．m+n2 C．5m+4n D．3mn+2 【思路点拨】已知m是一个偶数，n是一个奇数，根据“偶数的奇数倍、偶数倍都是偶数，奇数的偶数倍是偶数、奇数倍是奇数，偶数与奇数之和是奇数，偶数与奇数之积是偶数，奇数的平方仍为奇数，奇数与奇数之和是偶数，奇数与偶数之和为奇数，偶数与奇数之积为偶数。”即可解答。 【规范解答】解：A、因为m是一个偶数，n是一个奇数， 所以m+n为奇数，2（m+n）是偶数。 B、因为m是一个偶数，n是一个奇数， 所以n2为奇数，m+n2为奇数。 C、因为m是一个偶数，n是一个奇数， 所以5m为偶数，4n为偶数，5m+4n为偶数。 D、因为m是一个偶数，n是一个奇数， 所以mn为偶数，3mn为偶数，3mn+2为偶数。 故选：B。 【考点评析】关键是弄清偶数与偶数、偶数与奇数、奇数与奇数的和、积之间的关系。 9．（2分）（2023•灌云县）如图集合图所表示的，正确的有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】等式也是方程；等式包含方程。正方体是特殊的长方体，因数与倍数，正比例与反比例不能用包含关系表示。据此解答。 【规范解答】解：由分析可得：等式包含方程，长方体包含正方体正确。 故选：B。 【考点评析】此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累。 10．（2分）（2023•广陵区）如图，3个杯子叠起来高15厘米，5个杯子叠起来高19厘米。n个杯子叠起来的高度是（　　）厘米。 A．11+2n B．9+2n C．15+2n D．19+2n 【思路点拨】由图可知，3个杯子叠在一起的总高度是一个杯子的高度与2个杯口上升高度的和，5个杯子叠在一起的总高度是一个杯子的高度与4个杯口上升高度的和；用19减去15即为两个杯口上升的高度，用除法计算即可求得一个杯口上升的高度，进而可以求出一个杯子的高度；根据总高度＝一个杯口上升的高度×（杯子个数﹣1）+一个杯子的高度，用字母表示即可得解。 【规范解答】解：3个杯子叠在一起的总高度是一个杯子的高度与2个杯口上升高度的和，5个杯子叠在一起的总高度是一个杯子的高度与4个杯口上升高度的和。 根据这两组信息可以先求出一个杯口上升的高度为： （19﹣15）÷（5﹣3） ＝4÷2 ＝2（厘米） 15﹣2×2 ＝15﹣4 ＝11（厘米） 2（n﹣1）+11 ＝2n﹣2+11 ＝（9+2n）（厘米） 答：n个杯子叠起来的高度是（9+2n）厘米。 故选：B。 【考点评析】本题解题关键是先计算出一个叠加部分的高度和最下面一个杯子的高度，最后计算出n个杯子叠起来的高度是多少厘米。 11．（2分）（2023•无锡）某商店先进货7辆自行车，平均每辆自行车a元，后来又进货5辆自行车，平均每辆自行车b元。商店促销活动，王老板准备以每辆元的价格把自行车全部卖掉，聪明的店员小王想了想对王老板说：“老板，这样定价会亏钱的。”亏钱的原因是（　　） A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．与a、b大小无关 【思路点拨】根据题意，赔钱的原因是：第一次进货数量比第二次多，另一个原因是a＞b。 【规范解答】解：7a+5b﹣12 ＝7a+5b﹣6a﹣6b ＝a﹣b 因为赔了钱，所以a﹣b＞0，即a＞b。 答：亏钱的原因是a＞b。 故选：B。 【考点评析】要分析赔钱的原因，首先比较两次进货的数量，再比较两次定的价格，结合题意分析解答即可。 12．（2分）（2024•鼓楼区）下列对2a+4这个式子的解释，正确的是（　　） A． B． C． 【思路点拨】根据图示，逐一列出算式，选出符合题意的即可。 【规范解答】解：A、线段AB＝2+a+4，不符合题意； B、长方形的周长＝（a+2）×2＝2a+4，符合题意； C、圆柱体积＝a×4＝4a，不符合题意。 故选：B。 【考点评析】此题考查用字母表示数。 二．填空题（共11小题，满分16分） 13．（1分）（2024•鼓楼区）工地上有a吨水泥，每天用去3.5吨，用b天后，剩下的吨数用式子表示是　a﹣3.5b　 ． 【思路点拨】要求剩下的吨数，首先要根据“每天用去3.5吨，用b天”这两个条件算出用去的吨数，再根据“总数量﹣用去的吨数＝剩下的吨数”这个等量关系式算出答案即可． 【规范解答】解：a﹣3.5×b ＝a﹣3.5b 故填a﹣3.5b． 【考点评析】做这道题的关键是要先求出用去的吨数这个中间的量． 14．（2分）（2024•虎丘区）果园里有桃树x棵，梨树棵数比桃树棵数的3倍少20棵．梨树有 　（3x﹣20）　 棵．当x＝120时，梨树有 　340　 棵． 【思路点拨】（1）根据“梨树棵数比桃树棵数的3倍少20棵．”知道梨树棵数＝桃树棵数×3倍﹣20，把桃树的棵数代入，即可求出梨树的棵数； （2）把x＝120代入（1）中即可求出梨树的棵数． 【规范解答】解：（1）x×3﹣20＝3x﹣20（棵）； （2）把x＝120时，代入3x﹣20可得： 3x﹣20 ＝3×120﹣20 ＝360﹣20 ＝340（棵） 答：当x＝120时，梨树有340棵． 故答案为：（3x﹣20）；340． 【考点评析】解答此题的关键是根据题意得出数量关系式，即可求出梨树的棵数；把字母所表示的数代入含字母的式子解答即可． 15．（2分）（2023•鼓楼区）一种贺卡的单价是a元/张，小英买8张，用去 　8a　 元；小明买n张，付出10元，应找回 　（10﹣an）　 元。 【思路点拨】根据单价×数量＝总价，用含有字母的式子表示小英用去的钱；再用小明付的钱减去用去的钱，用含有字母的式子表示小明应找回的钱。 【规范解答】解：一种贺卡的单价是a元/张，小英买8张，用去8a元；小明买n张，付出10元，应找回（10﹣an）元。 故答案为：8a；（10﹣an）。 【考点评析】本题考查用字母表示数，明确数量间的关系是解题的关键。 16．（1分）（2023•丹阳市）小明在数学实践课中，利用硬纸条做了一个平衡支架开展数学实验。如果在支架左侧第4个孔挂3颗珠，右侧第3个孔应 　4　 颗珠才能保持平衡。 【思路点拨】根据题意可知，支架平衡时，左边的孔数×挂的珠子数量＝右边的孔数×挂的珠子数量，据此列反比例解答。 【规范解答】解：设支架右侧第3个孔挂x个珠子。 3x＝3×4 3x＝12 x＝4 答：右侧第2个孔应挂4个这样的珠才能保持平衡。 故答案为：4。 【考点评析】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 17．（2分）（2024•崇川区）如图是一个计算机计算程序，当输入数据后，计算机会按照程序从左往右进行计算，得出结果a，只有当a≤1时，计算机才会输出数据。当输入x＝2时，输出的数为 　　 ；当输出的数最大时，x＝ 　6　 。 【思路点拨】当输入x＝2时，代入计算即可；当输出的数最大时，也就是a＝1，运用倒推的方法求出x的值；据此解答。 【规范解答】解：当输入x＝2时； （23） ＝（23） ＝（23） 1 所以当输入x＝2时，输出的数为。 当输出的数最大时，也就是a＝1； 14 4+3＝7 76 66 所以当输出的数最大时，x＝6。 故答案为：；6。 【考点评析】本题考查了运用代入求值以及倒推的方法解决实际问题的能力。 18．（1分）（2024•高港区）六年级的哥哥和二年级的弟弟同时做一道除法题“a÷b”（a、b都是自然数）。哥哥的计算结果是a÷b，弟弟的计算结果是a÷b＝3……2，他俩的计算结果都是正确的。b表示的数是 　4　 。 【思路点拨】根据被除数＝除数×商，被除数＝除数×商+余数，解答即可。 【规范解答】解：3.5b＝3b+2 0.5b＝2 b＝4 答：b表示的数是4。 故答案为：4。 【考点评析】熟练掌握被除数、除数、商和余数的关系，是解答此题的关键。 19．（2分）（2024•常熟市）中国南方人的标准体重可按下面的公式计算：b＝（a﹣150）×0.6+48，其中b表示标准体重（千克），a表示身高（厘米）。身高160厘米，标准体重是 　54　 千克；身高 　180　 厘米，标准体重是66千克。 【思路点拨】先将身高160厘米代入公式，计算出标准体重；再将体重66千克代入公式，解关于a的方程即可。 【规范解答】解：当a＝160时， （a﹣150）×0.6+48 ＝（160﹣150）×0.6+48 ＝6+48 ＝54（千克） 当b＝66时， （a﹣150）×0.6+48＝66 （a﹣150）×0.6+48﹣48＝66﹣48 （a﹣150）×0.6÷0.6＝18÷0.6 a﹣150＝30 a﹣150+150＝30+150 a＝180 答：身高160厘米，标准体重是54千克；身高180厘米，标准体重是66千克。 故答案为：54；180。 【考点评析】解答本题需熟练掌握利用代入法求值及利用方程解决问题的方法，灵活解答。 20．（1分）（2024•昆山市）小马虎在计算时，把括号漏看了，这样算出结果与正确结果相差 　4a　 。 【思路点拨】把括号漏看了，计算的顺序变成了先算乘法，再算加法。根据乘法分配律，正确的结果比错误的结果少算了（5a﹣a）＝4a。 【规范解答】解：（a5） ＝5a5﹣a5 ＝5a﹣a ＝4a 小马虎在计算时，把括号漏看了，这样算出结果与正确结果相差4a。 故答案为：4a。 【考点评析】本题考查了乘法分配律的计算。 21．（1分）（2024•常州）小王在计算（47+m）×5时误算成了“47+m×5”，小王所算结果与正确结果相差 　188　 。 【思路点拨】用（47+m）×5减去47+m×5，即可解答。 【规范解答】解：（47+m）×5﹣47+m×5 ＝47×5+m×5﹣47+m×5 ＝47×4 ＝188 答：小王所算结果与正确结果相差188。 故答案为：188。 【考点评析】本题考查的是用字母表示数，把字母看作数是解答关键。 22．（2分）（2023•溧阳市）同学们在手工课上折千纸鹤迎接熊猫丫丫回国，晶晶折了a个，东东折的个数比晶晶的多8个，东东折了 　（a8）　 个。当a＝64时，东东比晶晶少折了 　8　 个。 【思路点拨】用a乘再加上8，求出东东折的数量，再把a＝64代入式子，求出东东折的数量，再用64减去东东折的数量，据此解答。 【规范解答】解：（a8）个 把a＝64代入a8得： 648 ＝48+8 ＝56（个） 64﹣56＝8（个） 答：东东折了（a8）个。当a＝64时，东东比晶晶少折了8个。 故答案为：（a8），8。 【考点评析】本题考查的是用字母表示数，把字母看作数是解答关键。 23．（1分）（2024•泉山区）正方形的边长为a厘米，当边长增加2厘米时，它的周长是 　（4a+8）　 厘米。 【思路点拨】正方形的边长为a厘米，当边长增加2厘米时，边长等于（a+2）厘米，根据正方形的周长＝边长×4，列式即可。 【规范解答】解：（a+2）×4＝4a+8 答：它的周长是（4a+8）厘米。 故答案为：（4a+8）。 【考点评析】本题考查了用字母表示边长，再根据正方形的周长公式列式。 三．计算题（共10小题，满分60分，每小题6分） 24．（6分）（2024•天宁区）解下列方程。 50%xx＝12.5 0.6x﹣11.9＝18.58 7：24 【思路点拨】先化简，然后再根据等式的性质，方程两边同时除以1.25求解； 根据等式的性质，方程两边同时加上11.9，然后再同时除以0.6求解； 根据比例的基本性质，把比例化成普通方程，然后再根据等式的性质求解。 【规范解答】解：50%xx＝12.5 1.25x＝12.5 x＝10 0.6x﹣11.9＝18.58 0.6x﹣11.9+11.9＝18.58+11.9 0.6x＝30.48 x＝50.8 7：24 24x＝7×12 24x＝84 x 【考点评析】此题考查解比例和解方程。掌握比例的基本性质和熟练运用等式的性质是解答的关键。 25．（6分）（2023•鼓楼区）解方程或解比例。 1.8x﹣5.8＝3.2 x+60%x＝7.2 【思路点拨】根据等式的性质，方程两边同时加上5.8，然后再同时除以1.8求解； 先化简，然后再根据等式的性质，方程两边同时除以1.6求解； 根据比例的基本性质，把比例化成普通方程，然后再根据等式的性质求解。 【规范解答】解：1.8x﹣5.8＝3.2 1.8x﹣5.8+5.8＝3.2+5.8 1.8x＝9 x＝5 x+60%x＝7.2 1.6x＝7.2 1.6x÷1.6＝7.2÷1.6 x＝4.5 x＝12×7.5 x＝90 x＝56.25 【考点评析】熟练掌握等式的基本性质以及比例的基本性质是解题的关键，注意等号要对齐。 26．（6分）（2023•泉山区）解方程。 （1） （2） （3）4：x＝2：1.6 【思路点拨】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上求解； （2）先化简，然后根据等式的性质，方程两边除以求解； （3）根据比例的基本性质，把比例化成普通方程，然后再根据等式的性质，方程两边同时除以2求解。 【规范解答】解：（1） x x （2） x x （3）4：x＝2：1.6 2x＝4×1.6 2x＝6.4 x＝3.2 【考点评析】熟练掌握等式的基本性质和比例的基本性质是解题的关键。 27．（6分）（2024•张家港市）解方程或者解比例。 1 3（x﹣0.24）＝2.1 0.75：x：8 【思路点拨】（1）首先根据等式的性质，两边同时减去1，然后两边再同时乘3即可； （2）首先根据等式的性质，两边同时除以3，然后两边再同时加上0.24即可； （3）首先根据比例的基本性质化简，可得x＝0.75×8，然后根据等式的性质，两边同时乘即可。 【规范解答】解：（1）1 1x﹣11 x x×33 x＝2 （2）3（x﹣0.24）＝2.1 3（x﹣0.24）÷3＝2.1÷3 x﹣0.24＝0.7 x﹣0.24+0.24＝0.7+0.24 x＝0.94 （3）0.75：x：8 x＝0.75×8 x＝6 x6 x 【考点评析】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等，以及解比例问题，注意比例的基本性质的应用。 28．（6分）（2023•金坛区）解方程或解比例。 12x﹣15＝9 2x+250%＝11.5 【思路点拨】12x﹣15＝9，根据等式性质1，方程两边同时加15，再根据等式性质2，方程两边同时除以12，据此解方程； 2x+250%＝11.5，先把百分数化成小数，得2x+2.5＝11.5，根据等式性质1，方程两边同时减2.5，再根据等式性质2，方程两边同时除以2，据此解方程； ，根据比例的基本性质，得，根据等式性质2，方程两边同时除以，据此解方程。 【规范解答】解：12x﹣15＝9 12x﹣15+15＝9+15 12x＝24 12x÷12＝24÷12 x＝2 2x+250%＝11.5 2x+2.5＝11.5 2x+2.5﹣2.5＝11.5﹣2.5 2x＝9 2x÷2＝9÷2 x＝4.5 【考点评析】本题考查解方程，解方程的依据是等式的性质，根据比例的基本性质可以解比例。 29．（6分）（2023•工业园区）解方程。 0.8x﹣8.5×2＝7 【思路点拨】0.8x﹣8.5×2＝7，先进行乘法运算，接着利用等式性质1，然后利用等式性质2去计算方程的解； ，利用比的性质去计算方程的解； ，把分数化成小数，利用等式性质2去计算方程的解。 【规范解答】解：0.8x﹣8.5×2＝7 0.8x﹣17＝7 0.8x﹣17+17＝7+17 0.8x＝24 0.8x÷0.8＝24÷0.8 x＝30 7.5x＝15×1.8 7.5x＝27 7.5x÷7.5＝27÷7.5 x＝3.6 0.75x﹣0.2x＝0.95 0.55x＝0.95 0.55x÷0.55＝0.95÷0.55 x 【考点评析】此题考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同加上、同减去、同乘上或同除以一个不为0的数，等式仍相等，同时注意“＝”上下对齐。 30．（6分）（2024•启东市）解方程或比例。 （1） （2） （3） 【思路点拨】（1），先计算x，然后根据等式的基本性质，方程两边同时乘，最后计算求出x的值； （2），根据比例的基本性质可得，根据等式的基本性质，方程两边同时乘3，最后计算求出x的值； （3），根据比例的基本性质可得3.6x＝3×0.5，根据等式的基本性质，方程两边同时除以3.6，最后计算求出x的值。 【规范解答】（1） x （2） x （3） 3.6x＝3×0.5 3.6x＝1.5 3.6x÷3.6＝1.5÷3.6 x 【考点评析】解答此题要运用比例的基本性质和等式的基本性质。 31．（6分）（2024•通州区）解方程或比例。 1+0.4x＝3.4 【思路点拨】先化简等式左边的算式，再根据等式的性质等式的两边同时乘，求解即可； 根据等式的性质等式的两边同时减1，再同时除以0.4，求解即可； 先根据比例的基本性质转化成方程，再根据等式的性质等式的两边同时除以2，求解即可。 【规范解答】解： 1+0.4x＝3.4 1+0.4x﹣1＝3.4﹣1 0.4x＝2.4 0.4x÷0.4＝2.4÷0.4 x＝6 2x＝2.5×0.4 2x＝1 2x÷2＝1÷2 x＝0.5 【考点评析】熟练掌握根据等式的性质求方程的解是解答本题的关键。 32．（6分）（2024•虎丘区）解方程。 13+9x＝112 ：x x 【思路点拨】根据等式的性质，方程两边同时减13，再同时除以9。 根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例式转化成一般方程x，再根据等式的性质，方程两边同时除以。 先计算出方程左边xxx，再根据等式的性质，方程两边同时除以。 【规范解答】解：13+9x＝112 13+9x﹣13＝112﹣13 9x＝99 9x÷9＝99÷9 x＝11 ：：x x x x xx＝5 x＝5 x5 x＝25 【考点评析】解方程的依据是等式的性质。解答过程要注意书写格式：上、下行等号对齐；不能连等。解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例式转化成一般方程，然后再根据解方程的方法解答。 33．（6分）（2023•雨花台区）解方程或解比例。 （1）； （2）； （3）3﹣x＝6x﹣2（x+1）。 【思路点拨】（1）根据除数＝被除数÷商，所以原式等于 ，先计算4，所以，再用10除以即可解答。 （2）根据比例的基本性质，得到 x＝18%×6.5，先算18%×6.5＝1.17，再用1.17除以即可解答。 （3）先计算6x﹣2（x+1）＝6x﹣2x﹣2，得到3﹣x＝6x﹣2x﹣2，再进一步化简计算即可解答。 【规范解答】解：（1） x＝15 （2） x＝18%×6.5 x＝1.17 x＝7.8 （3）3﹣x＝6x﹣2（x+1） 3﹣x＝6x﹣2x﹣2 5x＝5 x＝1 【考点评析】本题考查了解方程、解比例的方法的灵活掌握情况 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题05 比和比例 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：比 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点梳理02：比例 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点梳理03：正比例和反比例 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点梳理04：比例尺 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.53（较难） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•崇川区）图中有一个三角形ABC，它和三角形BOD的面积比不可能是（　　） A．1：2 B．1：1 C．3：1 D．2：1 【思路点拨】AB为直径，C为圆上一点；令C为动点，当C离A或B点足够近时，三角形ABC的面积比三角形BOD的面积小；当C在弧AB的中点时，三角形ABC的面积为最大值，据此确定三角形ABC的面积的最大值，进而找到不符合题意的选项得解。 【规范解答】解：三角形BOD 的面积： r×r÷2r2， 当C在弧AB的中点时，三角形ABC的面积： 2r×r÷2＝r2， 三角形ABC和三角形BOD的面积比： r2：r2 ＝（r2×2÷r2）：（r2×2÷r2） ＝2：1。 综上，三角形ABC和三角形BOD的面积之比的最大值为2：1，不可能是3：1。 故选：C。 【考点评析】本题考查了比的意义的理解与应用问题，同时考查了三角形面积计算的应用问题。 2．（2分）（2024•通州区）如图，三角形a边上的高是b，m边上的高是n。下面的比例中，正确的是（　　） A．a：b＝m：n B．a：m＝b：n C．a：n＝m：b D．a：b＝n：m 【思路点拨】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2；三角形的面积＝ab÷2＝mn÷2；即ab＝mn，再根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，逐项分析，据此解答。 【规范解答】解：A．a：b＝m：n；an＝bm；不符合题意； B．a：m＝b：n；an＝bm，不符合题意； C．a：n＝m：b；ab＝mn，符合题意； D．a：b＝n：m；am＝bn，不符合题意。 三角形a边上的高是b，m边上的高是n。下面的比例中，正确的是a：n＝m：b。 故选：C。 【考点评析】本题考查了比例的意义和基本性质，熟练掌握三角形面积公式以及比例的基本性质是解答本题的关键。 3．（2分）（2024•雨花台区）在判断9：6和18：12能否组成比例时，如图是四位同学的判断过程，（　　）是根据比例的基本性质判断的。 A．乐乐 B．安安 C．笑笑 D．兰兰 【思路点拨】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫作比例。 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。 【规范解答】解：9：6和18：12能否组成比例，根据比例的基本性质得：9×12＝108，6×18＝108，故9：6和18：12能组成比例。 故选：B。 【考点评析】本题考查了比例的性质。 4．（2分）（2024•盐城）盒子里有黑白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑白棋子的比是2：5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑白棋子的比是3：5．如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3：7，那么原来盒子中黑白棋子的数量之比是（　　） A．6：5 B．5：6 C．4：3 D．3：4 【思路点拨】设原来盒子中黑棋子有x个，白棋子有y个，第一次放入白棋子，黑棋子不变，所以这时白棋子有个，放入了个白棋子；同理，第二次放入黑棋子，白棋子不变，所以这时黑棋子有个，放入了x个白棋子；然后根据放入的黑棋子和白棋子的数量比是3：7，列比例式解答即可． 【规范解答】解：设原来盒子中黑棋子有x个，白棋子有y个， （x）：（）＝3：7 整理得：3y＝4x x：y＝3：4 答：原来盒子中黑白棋子的数量之比是3：4． 故选：D． 【考点评析】本题属于比较复杂的比例的应用，关键理解每次变化中谁是不变的量，用不变的量表示变化的量，这是解答的难点． 5．（2分）（2024•苏州）如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2：1，空白部分甲和乙的面积比是（　　） A．4：1 B．6：1 C．8：1 D．3：1 【思路点拨】假设小正方形的边长是2，则小正方形的面积是（2×2），因为小正方形阴影部分的面积是小正方形面积的一半，则小正方形阴影部分的面积＝小正方形面积÷2；已知两个正方形中阴影部分的面积比是2：1，则大正方形阴影部分的面积＝2×小正方形阴影部分的面积，然后根据三角形的面积公式，求得大正方形阴影部分的底，即大正方形的边长；根据正方形的面积公式可得大正方形的面积，然后可得空白部分甲和乙的面积比＝（大正方形的面积﹣大正方形阴影部分的面积）：（小正方形的面积﹣阴影部分的面积）。据此解答。 【规范解答】解：假设小正方形的边长是2， 小正方形的面积：2×2＝4 小正方形阴影部分的面积：4÷2＝2 大正方形阴影部分的面积：2×2＝4 大正方形边长：4×2÷2＝4 大正方形面积：4×4＝16 空白部分甲和乙的面积比： （16﹣4）：（4﹣2） ＝12：2 ＝（12÷2）：（2÷2） ＝6：1 答：空白部分甲和乙的面积比是6：1。 故答案为：B。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用，正方形、三角形的面积公式及应用，关键是求出大小正方形的边长。 二．填空题（共8小题，满分19分） 6．（1分）（2024•崇川区）袋子里原来红球和白球的数量之比是19：13，放入若干个红球后，红球与白球数量之比变为5：3。再放入若干个白球后，红球与白球数量之比变为13：11。已知放入的红球比白球少32个，那么原来袋子里共有 　384　 个球。 【思路点拨】原来袋子里红球与白球数量之比是19：13＝57：39，放入若干个红球后，红球与白球数量之比变为5：3＝65：39，再放入若干个白球后，红球与白球的数量之比变为13：11＝65：55，所以先后红球增加了65﹣57＝8（份），白球增加了55﹣39＝16（份）。因为放入的红球比白球少32个，所以每份是32+（16﹣8）＝4（个），因此原来一共有4×（57+39）＝384（个）球。据此解答。 【规范解答】解：原来袋子里红球与白球数量之比为19：13＝57：39 放入若干个红球后，红球与白球数量之比为5：3＝65：39 再放入若干个白球后，红球与白球的数量之比为13：11＝65：55 所以先后红球增加：65﹣57＝8（份） 白球增加：55﹣39＝16（份） 因为放入的红球比白球少32个，所以每份为：32+（16﹣8）＝4（个） 因此原来袋子的球个数：4×（57+39）＝384（个） 答：原来袋子里共有384个球。 故答案为：384。 【考点评析】本题考查了比的应用。 7．（4分）（2024•通州区）　16　 ：2024÷　30　 ＝　80　 %＝　0.8　 （填小数）。 【思路点拨】根据分数与除法的关系4÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘4就是16：20；根据比与分数的关系4：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘6就是24÷30；4÷5＝0.8；把0.8的小数点向右移动两位添上百分号就是80%． 【规范解答】解：16：2024÷30＝80%＝0.8。 故答案为：16，30，80，0.8。 【考点评析】本题考查了分数、比、百分数、小数的关系，掌握分数的基本性质，分数和除法的关系，以及四者的互化方法是解题的关键。 8．（2分）（2024•鼓楼区）如图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成 　正　 比例。照这样计算，该汽车5.5小时行驶 　550　 km。 【思路点拨】（1）根据正比例的意义和反比例的意义进行解答即可； （2）先根据“路程÷时间＝速度”求出汽车的速度，进而根据“速度×时间＝路程”进行解答即可。 【规范解答】解：（1）根据图可知：500÷5＝100；400÷4＝100；300÷3＝100；200÷2＝100；100÷1＝100；即路程÷时间＝速度（一定），所以路程和时间成正比例关系； （2）100÷1×5.5＝550（千米） 答：该汽车5.5小时行驶550千米。 故答案为：正，550。 【考点评析】解答此题的关键是：（1）看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例； （2）根据路程、时间和速度三者之间的关系，进行解答。 9．（1分）（2024•玄武区）小明和小红所集邮票张数的比是5：6，小明给小红30张邮票后，小明和小红邮票张数的比是4：5，他俩一共有 　2970　 邮票。 【思路点拨】由题意可知：二人所集邮票的总张数不变，小明原有的邮票张数占二人所集的邮票总张数的，给小红30张邮票后，小明现有的邮票张数占二人所集的邮票总张数的，据此先求出30张邮票占二人所集的邮票总张数的分率，然后用30除以这个分率即可。 【规范解答】解：30÷（） ＝30 ＝2970（张） 答：他俩一共有2970张邮票。 故答案为：2970。 【考点评析】本题考查了利用整数与分数除减混合运算解决问题，分析出30张邮票占二人所集的邮票总张数的分率是关键。 10．（2分）（2024•赣榆区）王大爷家养的公鸡与母鸡的只数比2：5，母鸡比公鸡多养了36只，公鸡养了 　24　 只，母鸡养了 　60只　 。 【思路点拨】根据题意可知，王大爷家养的公鸡与母鸡的只数比2：5，那么母鸡份数比公鸡份数多3份，然后用36除以3求出每份是多少，然后用每份数分别乘公鸡和母鸡的份数即可。 【规范解答】解；36÷（5﹣2） ＝36÷3 ＝12（只） 12×2＝24（只） 12×5＝60（只） 答：公鸡养了24只，母鸡养了60只。 故答案为：24；60只。 【考点评析】首先求出每份是多少只是解答此题的关键。 11．（4分）（2024•宿迁）如果A：5＝4：B，那么A和B成 　反　 比例，AB﹣8＝　12　 ；如果A：5＝B：4（A、B均不为0），那么A和B成 　正　 比例，1＝　1　 。 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。结合题意分析解答即可。 【规范解答】解：如果A：5＝4：B，那么AB＝5×4，AB＝20，是乘积一定，所以A和B成反比例，因为AB＝20，所以AB﹣8＝12； 如果A：5＝B：4（A、B均不为0），那么，是比值一定，所以A和B成正比例，因为，所以1＝1。 故答案为：反，12，正，1。 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。结合题意分析解答即可。 12．（3分）（2024•赣榆区）如果A：8＝B：11，那么A×　11　 ＝B×　8　 ；如果7a＝10b，那么a：b＝　10　 ：　7　 。 【思路点拨】比例的基本性质：比例中，两个外项的积等于两个内项的积；对于A：8＝B：11，两内项分别是8和B，两外项分别是A和11，由此即可解答，同理解答后两空。 【规范解答】解：如果A：8＝B：11，那么A×11＝B×8；如果7a＝10b，那么a：b＝10：7。 故答案为：11；8；10；7。 【考点评析】本题考查比例的基本性质。掌握比例的基本性质是解答的关键。 13．（2分）（2024•泰兴市）小明调制了一杯糖水，糖与水的比是1：10。①糖比水少 　90　 %，②这杯糖水的含糖率是 　9.1　 %。 【思路点拨】①用水的份数减去糖的份数除以水的份数即可求解； ②用糖的份数除以糖加水的份数之和即可求解。 【规范解答】解：①（10﹣1）÷10×100% ＝9÷10×100% ＝90% ②1÷（1+10）×100% ＝1÷11×100% ≈9.1% 故答案为：①90；②9.1。 【考点评析】本题考查了比的应用。 三．判断题（共3小题，满分6分，每小题2分） 14．（2分）（2024•溧阳市）在一个比例中，两个外项的积与两个内项的积的差为0。 　√　 （判断对错） 【思路点拨】根据比例的基本性质直接判断即可，在比例里，两内项的积等于两外项的积。 【规范解答】解：根据比例的基本性质可得：在一个比例中，两个外项的积与两个内项的积相等，所以原题说法正确。 故答案为：√。 【考点评析】此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积。 15．（2分）（2024•阜宁县）已知红花的朵数比黄花多，那么黄花和红花的朵数比是6：7。 　√　 （判断对错） 【思路点拨】把黄花的朵数看作单位“1“。为了计算方便，假设黄花有6朵，依据“求比一个数多几分之几的数是多少，用这个数乘”计算红花的朵数。再用黄花朵数比上红花朵数，即可判断解答。 【规范解答】解：假设黄花有6朵。 6×（1） ＝6 ＝7（朵） 黄花朵数：红花朵数＝6：7，所以题目说法是正确的。 故答案为：√。 【考点评析】本题考查了分数乘法问题和比的问题的解答方法的应用。 16．（2分）（2024•吴江区）若ab﹣8＝125，则a与b成反比例。 　√　 （判断对错） 【思路点拨】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例；据此进行判断。 【规范解答】解：若ab﹣8＝125，即ab＝133，是乘积一定，则a与b成反比例；故原题说法正确。 故答案为：√。 【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择。 四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分） 17．（6分）（2024•玄武区）解方程。 2y﹣30%y＝34 【思路点拨】先化简，然后根据等式的性质，方程两边同时除以求解； 先化简，然后根据等式的性质，方程两边同时除以1.7求解； 根据比例的基本性质，把比例化成普通方程，然后再根据等式的性质求解。 【规范解答】解： x＝8 x 2y﹣30%y＝34 1.7y＝34 y＝20 75x＝25×1.2 75x＝30 x＝0.4 【考点评析】熟练掌握等式的基本性质以及比例的基本性质是解题的关键，注意等号要对齐。 五．应用题（共8小题，满分37分） 18．（4分）（2024•常州）酸梅汤是夏天最受大家欢迎的解暑饮品。小宇用180毫升酸梅原汁和部分水调制了530毫升酸梅汤，此时，他看到说明书上写酸梅原汁与水的比是3：7时口感最好。小宇应该再往已调制的酸梅汤里加多少毫升水？ 【思路点拨】小宇调制的酸梅汤的量减去酸梅原汁的量，求出已加水的量；然后根据说明书上酸梅原汁与水的比，列比例式求出180毫升酸梅原汁需要加水的量，再减去已加水的量，即可求出需要再加水的量。 【规范解答】解：530﹣180＝350（毫升） 解：设180毫升酸梅原汁需要加水x毫升。 180：x＝3：7 3x＝180×7 3x＝1260 x＝420 420﹣350＝70（毫升） 答：小宇应该再往已调制的酸梅汤里加70毫升水。 【考点评析】本题考查比的应用，根据酸梅原汁与水的比列比例式求出180毫升酸梅原汁需要加水的量是解题的关键。 19．（4分）（2024•鼓楼区）五月份第一车间与第二车间的产量比是4：7，第一车间与第三车间的产量比是5：3。若五月份第二车间生产1400件产品，则五月份第三车间生产多少件产品？ 【思路点拨】由题可知，第一车间的产量是第二车间的，第一车间的产量是第三车间的号。已知五月份第二车间的产量是1400件，可求出五月份第一车间的产量，进而求得五月份第三车间的产量。 【规范解答】解：1400800（件） 800480（件） 答：五月份第三车间生产480件产品。 【考点评析】此题考查比的应用。 20．（4分）（2024•姑苏区）有一种小瓶装的消毒液净重50克。小明妈妈买回8千克瓜果，现需将这些生吃的瓜果进行消毒，取出10克消毒液，需加水多少克？ 【思路点拨】根据消毒参考值可知清洗瓜果时消毒液与水的比是1：500，即消毒液1份，水就需要这样的500份，据此求出需要加水多少克。 【规范解答】解：10×500＝5000（克） 答：需加水5000克。 【考点评析】此题考查比的应用。 21．（4分）（2024•天宁区）张华参加“秋白读书节”全民阅读活动，第一周看了一本书的，　①　 ，这本书共有多少页？请从下面选择一个合适的条件将序号填在横线上，再解答问题。 ①第二周看了这本书的25%，还剩下110页。 ②第二周看了50页，第一周看的页数与第二周看的页数比是4：5。 ③再看20页，则已读的页数是未读页数的。 【思路点拨】答案不唯一，可以选择①，把这本书的页数看作单位“1”，还剩下的页数占这本书页数的（125%），根据已知比一个少几分之几（百分之几）的数是多少，求这个数，用除法解答。 【规范解答】解：答案不唯一，可以选择①。 110÷（125%） ＝110÷（1） ＝110÷（1） ＝110 ＝110 ＝200（页） 答：这本书共有200页。 故答案为：①。 【考点评析】解答这类问题，首先要弄清已知的条件与所求问题之间的关系，再根据题意选择相应的信息并解答。 22．（5分）（2024•玄武区）“黄金分割比”被称为世界上最美的比例，其比值的近似值为0.618。已知妈妈的身高为165厘米，下半身长与身高的比值是0.6，为了尽可能达到美的效果，妈妈穿的高跟鞋高度大约为多少厘米？ 【思路点拨】已知妈妈的身高为165厘米，下半身长与身高的比值是0.6，据此求出妈妈下半身的长度，根据“黄金分割比”，用（妈妈下半身的身长+高跟鞋的高度）÷（妈妈的身高+高跟鞋的高度）＝黄金分割比，即可求解高跟鞋的高度。 【规范解答】解：165×0.6＝99（厘米） 设妈妈穿的高跟鞋的高度为x厘米。 0.618 解得x≈7.78 答：妈妈穿的高跟鞋高度大约为7.78厘米。 【考点评析】本题考查了比的应用。 23．（5分）（2024•苏州）一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑棋子与白棋子的个数比是2：1，再拿走45枚黑棋子后，黑棋子与白棋子的个数比为1：5，原来黑棋子有多少枚？ 【思路点拨】拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数比为2：1，再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，由于再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，白棋子的枚数不变，黑、白棋子的枚数由2：1＝10：5变为1：5（白棋子的枚数不变，把两个比中表示白棋子的项化成相同的值），黑棋子由原来的10份变为1份，减少了9份，这9份所对应的枚数是45枚，用除法求出1份的枚数，再用乘法求出10份的枚数。 【规范解答】解：拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数比为2：1＝10：5 再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5 45÷（10﹣1）×10 ＝45÷9×10 ＝5×10 ＝50（枚） 答：原来黑棋子有50枚。 【考点评析】关键抓住再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比变了，白棋子的枚数没变，求出黑棋子两次比所占的份数之差，用拿走黑棋子的枚数除以份数之差求出1份的枚数。 24．（5分）（2024•苏州）A、B两个圆柱形容器底面积的比为4：3，A容器水深20厘米，B容器水深10厘米，现在分别向两个容器内倒入同样多的水，使两个容器水深相同，这时的水深多少厘米？ 【思路点拨】A、B两个圆柱形容器底面积的比为4：3，把A容器的底面积看成4份，则B容器的底面积就是3份。根据圆柱的体积＝底面积×高，设此时水深为x厘米，则（x﹣20）乘A的底面积就是注入A容器的水的体积；（x﹣10）乘B的底面积就是注入B容器的水的体积；依据注入两容器的水的体积相等，即可得到等式（x﹣20）×A的底面积＝（x﹣10）×B的底面积，据此列方程解方程即可。 【规范解答】解：设此时水深为x厘米。 4×（x﹣20）＝3×（x﹣10） 4x﹣80＝3x﹣30 x＝50 答：这时水深50厘米． 【考点评析】本题考查比的应用，解答此题的关键是：依据圆柱的体积公式，以及注入两容器的水的体积相等，列出方程。 25．（6分）（2024•苏州）六年级（1）班阅读角有两个书架，原来第一个书架与第二个书架图书本数的比是4：5，现在第一个书架借走20本书，这时第一个书架的图书占第二个书架的。第二个书架有多少本图书？ 【思路点拨】根据题意，第二个书架图书本数不变，原来第一个书架的图书本数相当于它的，借走20本书后，则相当于它的，则（）对应的就是20本书；由此列式计算即可。 【规范解答】解：20÷（） ＝20 ＝150（本） 答：第二个书架有150本图书。 【考点评析】此题主要考查了比的应用，抓住第二个书架图书本数不变是解题的关键。 六．解答题（共5小题，满分22分） 26．（4分）（2024•启东市）“圆的面积与半径成比例关系吗？”小芳想到了用列表法研究。请帮她先把表格填写完整，再写出结论和理由。 S 3.14 …… r 1 …… 结论：　圆的面积和半径不成正比例。　 理由：　圆的面积与半径比值不相等。　 【思路点拨】两个相关联的量，若两个量的比值一定，两个量成正比例关系；若两个量的乘积一定，两个量成反比例关系。 【规范解答】解：当r＝2时，3.14×22＝12.56 当r＝3时，3.14×32＝28.26 S 3.14 12.56 28.26 …… r 1 2 3 …… 3.14：1＝3.14，12.56：2＝6.28，28.26：3＝9.42； 圆的面积与半径比值不相等，所以圆的面积和半径不成正比例。 故答案为：圆的面积和半径不成正比例；圆的面积与半径比值不相等。 【考点评析】本题属于辨识两个相关联的量成正比例关系还是成反比例关系，就看两个量是比值一定还是乘积一定。 27．（4分）（2024•玄武区）甲、乙、丙三个工程队合作修完了一条水渠。如图是完工后三位队长的一段对话。 甲队 乙队 丙队 我们队一共修了全长的。 水渠全长1200米。 甲队修的与我们队的比是3：2。 选择文中或对话中提供的信息，请提出一个数学问题并解答。 我提出的问题：　丙队修了多少米　 ？ 【思路点拨】利用水渠的全长乘即可求出两队一共修了多少米，再把它按3：2进行比例分配即可。 【规范解答】解：丙队修了多少米？ 12003×2＝160（米） 答：丙队修了160米。 【考点评析】本题考查了比的应用及分数乘法的应用。 28．（4分）（2024•苏州）一本故事书售价4元．如果小明买了这本故事书，那么小明与小强的钱数之比是2：3；如果小强买了这本故事书，那么两人的钱数之比是4：5，小明原来有多少元钱？ 【思路点拨】根据条件可知，小明买，小明剩下的钱是两人剩下的钱的，如果小强买，那么小明的钱是两人剩下的钱的 因此用除法可求出小明剩下的钱占他自己原来的钱的几分之几；把小明原来的钱看作单位“1”，用1减去小明剩下的钱占他自己原来的钱的几分之几，就得出4元就是几分之几，4除以这个几分之几就算出答案． 【规范解答】解：小明买，小明剩下的钱是两人剩下的钱的2÷（2+3）， 如果小强买，那么小明的钱是两人剩下的钱的4÷（4+5）， 所以小明剩下的钱占他自己原来的钱的． 所以小明原来的钱有4÷（1）＝40元． 答：小明原来有40元． 【考点评析】此题解题关键是用什么方法求出小明剩下的钱占他自己原来的钱的几分之几． 29．（6分）（2024•张家港市）阅读材料，按要求完成填空。 材料：“水钟”中的数学问题 水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，是用来计时的工具。图1为一种多级漏刻，使用时让漏壶中的水慢慢滴入箭壶，随着箭壶内的水逐渐增多，箭杆被下方的浮子托着慢慢浮起，箭杆上的标记也就随着变化，古人看箭杆上的标记，就能知道具体的时刻。 为了探索箭杆上的标记与所经历的时间之间的关系，育才小学六年级数学兴趣小组的同学们制作了如图所示的简易漏刻装置，并记录箭杆上的数据如表： 箭杆上的标记/厘米 5 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 …… 所经历的时间/分钟 0 1 2 3 4 5 …… （1）请你根据上表的数据，填写空格中箭杆的上升高度。 箭杆的上升高度/厘米 0.4 0.8 1.2 1.6 　2.0　 2.4 …… 所经历的时间/分钟 1 2 3 4 5 6 …… （2）根据上述表格中的数据，你认为，箭杆的上升高度和所经历的时间成 　正比例　 关系（填“正比例”或“反比例”）。 （3）照这样推算，经过 　9　 分钟，箭杆会上升3.6厘米。用t表示经历的时间，h表示箭杆上升的高度，那么表示h与t之间关系的等式是 　h＝0.4t　 。 【思路点拨】（1）用0分钟时箭杆上标的厘米数减去经过5分钟时箭杆上标的厘米数即可； （2）两个相关联的量，一种量变化，另一种量也跟着变化，这两种量比值一定成正比例关系，积一定成反比例关系； （3）用3.6厘米除以每分钟上升的高度即可；箭杆上升的高度h＝经历的时间t×每分钟上升的高度0.4，据此解答即可。 【规范解答】解：（1）5﹣3.0＝2.0（厘米） 箭杆的上升高度/厘米 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 …… 所经历的时间/分钟 1 2 3 4 5 6 …… （2）0.4÷1＝0.4（厘米） 0.8÷2＝0.4（厘米） 1.2÷3＝0.4（厘米） 1.6÷4＝0.4（厘米） 2.0÷5＝0.4（厘米） 2.4÷6＝0.4（厘米） ⋯⋯ 箭杆的上升高度和所经历的时间比值一定，箭杆的上升高度和所经历的时间成正比例关系。 （3）3.6÷0.4＝9（分钟） 照这样推算，经过9分钟，箭杆会上升3.6厘米。用t表示经历的时间，h表示箭杆上升的高度，那么表示h与t之间关系的等式h＝0.4t。 故答案为：（1）2.0；（2）正比例；（3）9；h＝0.4t。 【考点评析】本题考查正比例关系的判断，结合题意分析解答即可。 30．（4分）（2024•淮安）无障碍设施建设体现了城市“以人为本”的理念。无障碍出入口应设计盲人坡道，根据相关规定，盲人坡道的坡度一般不应大于1：12，即坡道高度与水平长度的比值不大于。 （1）坡度是指坡道高度与水平长度的比。公园里有一处盲人坡道设计如下图，该处盲人坡道的坡度是多少？ （2）请你判断一下这个坡道的设计是否符合规定？请说明理由。 【思路点拨】（1）坡度＝垂直高度：水平长度，据此求出这条坡道的坡度； （2）比较该处盲人坡道的坡度与规定坡度，即可得出结论。 【规范解答】解：（1）0.36：5.4＝1：15 答：该处盲人坡道的坡度是1：15。 （2）1：15 答：这个坡道的设计符合规定。因为盲人坡道的坡度小于1：12。 【考点评析】此题首先理解坡度的意义，然后判定垂直高度与水平长度成正比例，再设出未知数，列出比例式进行解答即可 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题06 解决问题 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 复合应用题 知识点梳理01：复合应用题的解题方法及解题步骤 解题方法 解题步骤 分析法 就是从问题入手，逐步分析题目中已知条件 1.审题：审清题意，并找出已知条件和所求问题； 2.分析：分析题目的数量间的关系，从而确定先算什么，再算什么…最后算什么； 3.列式计算：列出算式，算出得数；4，检验作答：进行检验，写出答案。 综合法 就是从应用题的已知条件，逐步推向末知，直到求出解 分析综合法 就是将分析法，综合法结合起来交替使用的方法 知识点梳理02：一般复合应用题中常见的数量关系 类型 数量关系 类型 数量关系 价钱问题 单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 产量问题 单产量×数量=总产量 总产量÷数量=单产量 总产量÷单产量=数量 行程问题 速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 收支问题 收入-支出=结余 收入-结余=支出 支出+结余=收入 工程问题 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 打折问题 现价÷原价=折数 原价×折数=现价 现价÷折数=原价 知识点梳理03：典型应用题 类型 特征 数量关系 关键点 平均数问题 已知几个不相等的同类数量以及份数，求每份数 总数量÷总份数=平均数 找准总数量和总份数 归一问题 题中每份的量保持不变，解题时先求出不变的单位量，再求未知量 总数量÷份数=单位量 单位量×单位量份数=总数量 总数量÷单位量=单位量份数 确定不变的每份量 归总问题 题中的总量保持不变，解题时先求总量，再求未知量 每份量×份数=总数量 确定不变的总数量 相遇问题 两个物体同时做相向运动，经过一段时间后在途中相遇 速度和×相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间 路程÷相遇时间=速度和 弄清物体运动的方向和时间等 追及问题 两个物体同时做同向运动，后者在一段时间内追及前者 路程差÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=路程差[来源] 路程差÷追及时间=速度差 弄清物体运动的方向和时间等 水中行船 问题 一般船是匀速运动，水速在船逆行和顺行中的作用不同 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 分清是顺水速度还是逆水速度 过桥问题 涉及车长、桥长等问题 路程=桥长+车长 路程÷速度=时间 分清路程是否包含车长 和差问题 已知两个量的和与差，求这两个量 较大数=（和十差）÷2 较小数=（和一差）÷2 移多补少 和倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 和÷（倍数+1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 差倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 差÷（倍数-1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 年龄问题 有关人的岁数问题，常与和倍、差倍等问题结合在一起 参照和倍、差倍的数量关系 年龄差始终保持不变 类型 特征 数量关系 关键点 盈亏问题 一定数量的物品分成若干份，在不同的分配中，有余（盈）或不足 （亏），已知余或不足的数量，求物品的总数或份数 （盈数+亏数）÷两次分得的差=份数 找出两次分得的差与盈亏的总数 鸡兔同笼问题 已知鸡与兔的总头数和总腿数，求鸡与兔各有多少只的应用题 兔的只数=（总腿数-2×总头数）÷2 鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 假设法、方程法 植树问题 不封闭 图形 两端都植树 棵数=段数+1 分清封闭还是不封闭，两端都植树还是都不植 两端都不植树 棵数=段数-1 封闭图形 在圆、正方形等边上植树 棵数=段数 说明：分数百分数应用题放在第10讲主讲；工程问题放在第11讲主讲；行程问题（相遇，追及，流水行船，火车过桥）放在第12讲主讲；列方程解应用题放在第8讲主讲，比和比例应用题放在第9讲主讲；经济问题放在第13讲主讲；本讲重点复习讲解平均数问题、归一归总问题、和差倍问题、盈亏问题、年龄问题、鸡兔同笼问题、植树问题 分数应用题 一、解决分数应用题的关键: 关键——找出“量”与“率”的对应. 要点——“标准量”，即单位“1”的寻找. 二、单位“1”的标志与线索: 1.明显标志：“占”、“是”、“比”、“相当于”这些词语后面的对象. 例：a是（占、相当于）b的几分之几，就把b看作单位“1”． 甲比乙多（少）几分之几，就把乙看作单位“1”. 2.隐含线索：题目没有明确给出比较对象，需要分析增加（减少）了谁的几分之几，一般是指增加（减少）了前面那种状态的几分之几，也就是说前面那种状态下的量就是单位“1”. 例：水结成冰后体积增加了几分之几，意思是增加了原来状态（水）的几分之几. 三、“率”的寻找方法：明示的“率”自不必说. 没有明确指出的“率”，一般可以画线段图，通过分析整体的组成来找出. 四、常用数量关系式和解题模式： 1.常用的数量关系式：在分数（百分数）应用题中存在着三个量，即标准量（单位“１”的量）、比较量（部分量）和分率（百分率）。 分数（百分数）应用题基本的数量关系式： 标准量（单位“１”的量）×分率（百分率）＝比较量（部分量） 比较量（部分量）÷标准量（单位“１”的量）＝分率（百分率） 比较量（部分量）÷分率（百分率）＝标准量（单位“１”的量） 2.解题模式：（1）量÷对应率＝单位“1” （2）分数即份数，设数法解决 （3）多对象多状态多维度，列表解决 五、分数应用题的基本类型及方法： 1.求一个数的几（或百）分之几是多少？ 解题方法：已知数×几（或百）分之几 2.已知一个数的几（或百）分之几是多少，求这个数. 解题方法：已知数÷几（或百）分之几 3.求甲数比乙数多（或少）几（或百）分之几。解题方法：两数之差÷乙数。 4.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1+几（或百）分之几） （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1一几（或百）分之几） 5.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1+几（或百）分之几）。 （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1一几（或百）分之几） 6. 求甲数是乙数的几分之几（百分之几） 解题方法：甲数÷乙数（求百分之几需转化为百分数） 六、单位“1”的转化及应用：把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化；如果甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的；如果甲是乙的，则乙是甲的；如果甲的等于乙的，则甲是乙的÷＝，乙是甲的÷＝ 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.44（较难） 一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分） 1．（1分）（2024•海门区）数学课上，赵老师利用“智慧课堂”系统的互动功能发布了一道练习题，在全班同学提交答案后，数据统计显示此题正确率为80%。若要解决“错误的有多少人”，则你选择的条件是（　　） A．错误的人数与正确人数的比是1：4 B．赵老师表扬了做正确的36位同学 C．认为此题有难度的同学有12人 D．此题错误的人数占了总人数的 【思路点拨】已知此题正确率为80%，则做错的人数占全班总人数的（1﹣80%），要解决“错误的有多少人”，就要知道全班人数，要知道全班人数，就要知道做对的人数，据此解答。 【规范解答】解：我选择的条件是赵老师表扬了做正确的36位同学。 36÷80%×（1﹣80%） ＝40×20% ＝8（人） 答：错误的有8人。 故选：B。 【考点评析】解答本题需准确分析题目中的数量关系，灵活解答。 2．（1分）（2024•高港区）根据规定，图书出版后，稿费超过800元的部分要缴纳20%的个人所得税。王叔叔一份稿费要缴纳的个人所得税可以用（3600﹣800）×20%来计算，以下表达正确的是（　　） A．王叔叔能领取的税后稿费是3600元。 B．王叔叔这份稿费不需要缴税。 C．王叔叔最后能领到560元稿费。 D．稿费中需要缴税的部分是2800元。 【思路点拨】根据个人所得税的规定，稿费超过800元的部分要缴纳20%的个人所得税，王叔叔一份稿费要缴纳的个人所得税可以用（3600﹣800）×20%来计算，也就是稿费中需要缴税的部分是2800元。据此解答。 【规范解答】解：3600﹣800＝2800（元） 所以稿费中需要缴税的部分是2800元。 故选：D。 【考点评析】此题考查的目的是理解个人所得税的意义，掌握求个人所得税的方法及应用。 3．（1分）（2024•常熟市）下面能用表示或解决问题的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】①将一个正方形平均分成四个小长方形，涂浅色部分占其中的3个小长方形，涂浅色部分表示为，涂深色部分是浅色部分的，涂深色部分占整个图形的为：。 ②一条线段被平均分成4份，一份表示小时走了千米，所以线段全程表示1小时行了多少千米，表示为（千米）。 ③一条线段全长示米，被平均分成4份，其中的示3份表示全长的，也就是求示米的是多少，表示为（米）。 ④长方形的面积为，阴影部分的面积占长方形面积的，阴影部分的面积是。 【规范解答】解：①阴影部分的面积表示为： 故①符合题意。 ②全程表示为： （千米） 故②不符合题意。 ③要求的线段长为： （米） 故③符合题意。④阴影部分的面积表示为： 故④符合题意。 所以正确的选项有①③④。 故选：C。 【考点评析】本题考查了分数的应用，解决本题的关键是求一个量的几分之几是多少用乘法。 4．（1分）（2024•常州）体育老师对六（1）班的8名男生进行引体向上测试，以能连续做5下为达标，超过的用正数表示，不足的用负数表示。记录成绩（单位：下）如下：2、﹣1、2、3、1、0、﹣2、﹣3。这8人的达标率是（　　） A．40% B．50% C．62.5% D．75% 【思路点拨】根据题意，达标人数是5人，用达标人数除以总人数×100%计算达标率即可。 【规范解答】解：5÷8×100%＝62.5% 答：这8人的达标率是62.5%。 故选：C。 【考点评析】本题主要考查百分率的实际应用。 5．（1分）（2024•玄武区）一份稿件，甲、乙、丙三人单独打需要的时间分别为20小时、24小时、30小时。现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用了12小时完成全部任务，甲只打了（　　）小时。 A．8 B．6 C．4 D．2 【思路点拨】把一份稿件的工作量看作单位“1”，用单位“1”减去乙丙12小时干的工作量，剩下的工作量除以甲的工作效率就是甲打的时间. 【规范解答】解：[1﹣（）×12] ＝[1] ＝2（小时） 答：甲只打了2小时。 故选：D。 【考点评析】本题运用工作效率，工作时间，工作总量之间的关系进行解答即可。 二．填空题（共8小题，满分14分） 6．（3分）（2024•启东市）酸梅汤是消暑佳品，熬制酸梅膏的配方如图。如果李阿姨要熬制200克酸梅膏，那么需要准备 　75　 克山楂；王阿姨三种材料各准备了60克，当山楂全部用完时，甘草还剩 　40　 克，乌梅还需增加 　20　 克。（不计损耗） 【思路点拨】根据题意可知，甘草、山楂、乌梅质量的比是1：3：4，其中山楂占酸梅膏质量的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出需要山楂的质量；王阿姨三种材料各准备了60克，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出总质量，再分别求出需要甘草、乌梅的质量，进而求出甘草还剩多少克，还需要乌梅多少克。 【规范解答】解：1+3+4＝8 20075（克） 60 ＝60 ＝160（克） 60﹣160 ＝60﹣20 ＝40（克） 16060 ＝80﹣60 ＝20（克） 答：需要准备75克山楂，当山楂全部用完时，甘草还剩40克，还需要乌梅20克。 故答案为：75，40，20。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握按比例分配的方法及应用。 7．（2分）（2024•启东市）李老师坐高铁从北京返回南通，车次信息如图。若上午8：00从北京南站出发，则他将在 　13　 时 　15　 分到达南通西站；如果这列高铁时速达350千米/时，那么北京到南通铁路全长 　1837.5　 千米。（中间停靠时间忽略不计） 【思路点拨】到站时间＝发车时间+在途时间，速度×时间＝路程，据此作答。 【规范解答】解：8时+5时15分＝13时15分， 5时15分 时 ＝5.25（小时）， 350×5.25＝1837.5（千米）。 答：李老师将在13时15分到达南通西站，北京到南通铁路全长1837.5千米。 故答案为：13；15；1837.5。 【考点评析】本题考查了时间的推算、行程相关计算的实际应用问题，解答时一定要熟练掌握相关的数量关系。 8．（2分）（2024•通州区）世界卫生组织提出男生标准体重的计算方法是：标准体重（千克）＝[身高（厘米）﹣80]×70%。六年级的平平身高是150厘米，体重是60千克。他的标准体重应是 　49　 千克。下表是人的不同体重状况的参考标准，平平的体重状况是 　轻度肥胖　 。 体重状况 正常体重 超重 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 参考标准 不超出标准体重的10% 超出标准体重的10%～20% 超出标准体重的20%～30% 超出标准体重的30%～40% 超出标准体重的50% 【思路点拨】根据标准体重（千克）＝[身高（厘米）﹣80]×70%，把平平身高150厘米、体重60千克代入公式计算即可；再用实际体重减去标准体重求出超出实际体重的重量，再除以标准体重即可。 【规范解答】解：（150﹣80）×70% ＝70×70% ＝49（千克） （60﹣49）÷49 ＝11÷49 ≈0.224 ＝22.4% 答：他的标准体重应是49千克，平平的体重状况是轻度肥胖。 故答案为：49；轻度肥胖。 【考点评析】此题考查的是百分数的实际应用。 9．（2分）（2024•雨花台区）汽车的速度是90千米/时，是火车速度的，火车的速度是 　135　 千米/时；高铁的速度比火车快120%，高铁的速度是 　297　 千米/时 【思路点拨】把火车的速度看作单位“1”，根据分数除法的意义，用汽车的速度除以就是火车的速度；高铁的速度相当于火车速度的（1+120%），根据百分数乘法的意义，用火车的速度乘（1+120%）就是高铁的速度。 【规范解答】解：90135（千米/时） 135×（1+120%） ＝135÷220% ＝297（千米/时） 答：火车的速度是135千米/时；高铁的速度是297千米/时。 故答案为：135；297。 【考点评析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。求一个数的百分之几是多少，用这个数乘百分率。 10．（2分）（2024•鼓楼区）服装店出售两件衣服，售价都是300元，其中一件赚了20%，另一件赔了20%。合计起来，该服装店 　赔　 （填“赚”或“赔”）了 　25　 元。 【思路点拨】先分别算出两件衣服的成本价：300÷（1+20%）＝250（元），300÷（1﹣20%）＝375（元），一共是250+375＝625（元），售价一共是300+300＝600（元），625＞600，该服装店赔了，赔625﹣600＝25（元），据此解答即可。 【规范解答】解：300÷（1+20%）＝250（元） 300÷（1﹣20%）＝375（元） 250+375＝625（元） 300+300＝600（元） 625＞600 625﹣600＝25（元） 答：服装店赔了25元。 故答案为：赔，25。 【考点评析】本题考查了百分数的应用，结合题意分析解答即可。 11．（1分）（2024•天宁区）《庄子》有言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，意思是：一根1尺长的木棍（尺，中国古代长度单位），第一天取走它的一半，第二天取走剩下的一半，第三天再取走剩下的一半……这样取下去，永远也取不完。按这样的方法，第四天取过后，这根木棍一共被取走了 　　 尺。 【思路点拨】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用木棍的长度乘即可求出第一天取走的长度，同理用木棍剩下的长度再乘即可求出第二天取走的长度，直到取走第四天；然后把每天取走的长度相加求和即是所求。 【规范解答】解：1（尺） （尺） （尺） （尺） ＝1 （尺） 答：这根木棍一共被取走了尺。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了分数乘法和加法计算的应用。 12．（1分）（2024•玄武区）有甲、乙两个仓库，甲仓库货物的质量相当于乙仓库的125%，如果从甲仓库取出10吨货物放入乙仓库，那么甲、乙两仓库货物的质量相等。甲仓库原来存有货物 　100　 吨。 【思路点拨】设乙仓库原来存有货物x吨，则甲仓库原来存有货物125%x，根据等量关系：甲仓库原来存有货物的吨数﹣10吨＝乙仓库原来存有货物的吨数+10吨，列方程解答即可。 【规范解答】解：设乙仓库原来存有货物x吨，则甲仓库原来存有货物125%x。 125%x﹣10＝x+10 0.25x＝20 x＝80 80×125%＝100（吨） 答：甲仓库原来存有货物100吨。 故答案为：100。 【考点评析】解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系。 13．（1分）（2024•崇川区）小芳做了一个平衡支架开展数学实验（如图），支架上有若干个等距的孔洞。如果在支架左侧的第4个孔挂3颗珠，那么为了保持平衡，既可以在右侧的①号位置挂 　6　 颗珠，也可以在右侧的②号位置挂 　4　 颗珠。 【思路点拨】根据支架左侧的小孔序数×挂的珠子个数＝右侧的小孔序数×挂的珠子个数直接解答。 【规范解答】解：设如果在支架左侧的第4个孔挂3颗珠，右侧的①号位置挂x颗珠。 4×3＝2x 2x÷2＝12÷2 x＝6 设如果在支架左侧的第4个孔挂3颗珠，右侧的②号位置挂y颗珠子。 4×3＝3y 3y÷3＝12÷3 y＝4 答：既可以在右侧的①号位置挂6颗珠，也可以在右侧的②号位置挂4颗珠。 故答案为：6；4。 【考点评析】解答本题需熟练掌握用反比例解决问题的方法，明确“左侧的小孔序数×挂的珠子个数＝右侧的小孔序数×挂的珠子个数”是关键。 三．应用题（共6小题，满分26分） 14．（4分）（2024•启东市）今年“五一”假期，东疆小城各大景区、场馆共接待游客约51.8万人次，比去年同期增长25%，去年“五一”期间接待游客约多少万人次？ 【思路点拨】根据题意，把去年接待游客数量看作是单位“1”，今年是去年的（1+25%），然后列除法算式求出去年接待游客的数量。 【规范解答】解：51.8÷（1+25%） ＝51.8÷1.25 ＝41.44（万人次） 答：去年“五一”期间接待游客约41.44万人次。 【考点评析】此题考查的是百分数的实际应用。 15．（5分）（2024•启东市）六月是油菜籽丰收的季节，李爷爷把晒干的油菜籽堆成一个底面周长是6.28米、高是1.2米的圆锥形。 （1）每立方米油菜籽约600千克，李爷爷家一共收获油菜籽约多少千克？ （2）油菜籽的出油率约为40%，李爷爷家大约能榨多少千克菜籽油？ 【思路点拨】（1）根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出这堆油菜籽的体积，然后再乘每立方米油菜籽的质量即可。 （2）根据出油率的意义，用油菜籽的质量乘油菜籽的出油率即可。 【规范解答】解：（1）3.14×（6.28÷3.14÷2）2×1.2×600 3.14×1×1.2×600 ＝1.256×600 ＝753.6（千克） 答：李爷爷家一共收获油菜籽约753.6千克。 （2）753.6×40%＝301.44（千克） 答：李爷爷家大约能榨301.44千克菜籽油。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，百分率的意义及应用，关键是熟记公式。 16．（4分）（2024•崇川区）实验小学六年级举行艺术节优秀书画作品展，展出的书画作品数量如图所示。六年级一共展出了多少件书法作品？（列方程解答） 【思路点拨】设书法作品的数量是x件，则美术作品比书法作品少了x件，根据等量关系：书法作品的件数﹣美术作品比书法作品少的件数＝36件，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设六年级一共展示了x件书法作品。 xx＝36 x＝36 x＝45 答：六年级一共展出了45件书法作品。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 17．（4分）（2024•通州区）如图中，北京到徐州的图上距离是3厘米，徐州到南通之间的图上距离是2厘米。某次列车上午8：30从南通站开出，2.4小时后行驶到徐州站，照这样计算，如果不考虑停靠站时间，那么这列火车什么时候能到达北京站？ 【思路点拨】因为北京到徐州的图上距离是3厘米，徐州到南通之间的图上距离是2厘米，所以北京到徐州和徐州到南通的路程比是3：2，所用时间比也是3：2，2.4除以可求出走全程用的时间，用除法时间加用的时间即可解答此题。 【规范解答】解：2.46（小时） 8时30分+6小时＝14时30分 答：那么这列火车14时30分能到达北京站。 【考点评析】此题考查了简单的行程问题。 18．（4分）（2024•海门区）现如今“直播带货”成为促进经济增长的有效途径。王大伯将山里的柿子通过直播的形式销售，直播销售量比线下销售量有了很大的提高，销售量增加了90%。这个月王大伯直播销售量是1900千克，你能算出王大伯之前线下的柿子销售量是多少千克吗？ 【思路点拨】根据题意，把线下销售量看作是单位“1”，直播销售量是先下线销售量的（1+90%），然后列除法算式计算即可。 【规范解答】解：1900÷（1+90%） ＝1900÷1.9 ＝1000（千克） 答：王大伯之前线下的柿子销售量是1000千克。 【考点评析】此题考查的是百分数的实际应用，解答此题的关键是找准单位“1”的量。 19．（5分）（2024•海门区）中国四大名著之一的《水浒传》中梁山好汉共有108将，其中正将占总数的，其余是副将。这108将中男将105员，女将3员。 （1）副将有多少员？ （2）小华根据上面的信息，解决了一个问题，下面是他列的 算式：（105﹣3）÷105 根据这道算式，你认为小华解决了什么问题？ 【思路点拨】（1）将108将看作单位“1”，用108乘（1），即可求出副将人数； （2）105﹣3表示女将比男将少的人数，所以（105﹣3）÷105解决的是女将比男将少几分之几。 【规范解答】解：（1）108×（1） ＝108 ＝72（员） 答：副将有72员。 （2）（105﹣3）÷105解决的是女将比男将少几分之几。 （105﹣3）÷105 ＝102÷105 答：女将比男将少。 【考点评析】本题考查了利用整数与分数乘减混合运算及整数除减混合运算解决问题，需准确理解题意。 四．解答题（共11小题，满分55分，每小题5分） 20．（5分）（2024•通州区）一台压路机的前轮直径是1.5米，后轮直径是2米。欢欢和乐乐在观看压路机压路时做了一个记录，在3分钟时间内，欢欢记录前轮转了40圈，乐乐记录后轮转了30圈。 （1）他们的记录对吗？请用算式说明。 （2）如果前轮的轮宽是2.5米，那么在上述时间段内，前轮压过的面积是多少平方米？ 【思路点拨】（1）压路机的前轮滚筒是一个圆柱体，根据圆的周长求出它周长，再乘圈数就是每分钟走的路程； （2）转动一周压路的面积就是它的侧面积，再求出每分钟压路多少平方米即可。 【规范解答】解：（1）比前后轮走过的路程 1.5π×40＝60π（米） 2π×30＝60π（米） 答：他们的记录的对。 （2）60π×2.5 ＝150×3.14 ＝471（平方米） 答：前轮压过的面积是471平方米。 【考点评析】此题主要考查圆柱底面周长及侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 21．（5分）（2024•海门区）只列综合算式或方程，不计算。 （1）李阿姨参加2024年南通半程马拉松比赛小时跑了千米。照这样的速度，她跑21千米需要多少小时？ （2）地球绕太阳一周大约要365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍多13天。水星绕太阳一周大约要多少天？ （3）一种长方体通风管，每根长5米，横截面是正方形，边长是0.6米，做20根这样的通风管要用铁皮多少平方米？ （4）李晓明把1000元压岁钱存入银行，整存整取三年，年利率是2.75%。到期时，李晓明可以从银行取回多少元？ 【思路点拨】（1）先求出跑每千米用时多少，再乘21千米即可；（2）先求出水星绕太阳一周所用时间的4倍是多少，再除以4求出水星绕太阳一周大约要多少天；（3）通风管两头不需要铁皮，即求的是通风管的侧面积。因为横截面是正方形，所以每个侧面都相等，据此求出做20 根通风管要用铁皮多少平方米。（4）从银行取回的是本金和利息，先求出利息，再加本金即可解答。 【规范解答】解：（1）21 （2）（365﹣13）÷4 （3）0.6×5×4×20 （4）1000+1000×2.75%×3 【考点评析】此题考查分数除法应用题、简单的行程问题及存款利息的计算。 22．（5分）（2024•虎丘区）师徒两人同时装配自行车，师傅每天装配45辆，徒弟每天装配33辆．经过多少天师傅比徒弟多装配60辆？ 【思路点拨】师傅每天装配45辆，徒弟每天装配33辆，根据减法的意义，师傅每天比徒弟多装45﹣33＝12辆，根据除法的意义，师傅比徒弟多装配60辆需要60÷12＝5天． 【规范解答】解：60÷（45﹣33） ＝60÷12， ＝5（天）． 答：经过5天师傅比徒弟多装配60辆． 【考点评析】完成本题的依据为：整数减法与除法的意义；关键是看师傅每天比徒弟多装12辆，几天才能多做60辆． 23．（5分）（2024•锡山区）一个15分钟的沙漏计时器，6分钟可以漏下这些沙的，再漏 　6　 分钟后，还剩这些沙的。 【思路点拨】将沙漏中沙子的质量看作单位“1”，则1分钟漏，求6分钟漏多少沙子，用乘法列式；再漏几分钟后，还剩这些沙的，用除法列式为：（1），用求得结果减去6即可求出还需的时间。 【规范解答】解：将沙漏中沙子的质量看作单位“1”， 1÷15×6 6 （1） ＝12（分钟） 12﹣6＝6（分钟） 答：6分钟可以漏下这些沙的，再漏6分钟后，还剩这些沙的。 故答案为：；6。 【考点评析】解答此题是掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的数量关系。 24．（5分）（2024•天宁区）我国是一个水资源严重短缺的国家，节约用水是每个人都应该养成的好习惯.为鼓励居民合理用水，常州规定居民用水收费标准如表①。 表① 用水量 收费方式 备注 不超过15立方米 基本价 每户以3人为计算标准。如果每户人口超过3人的，每增加1人，月用水量增加5立方米。 超过15立方米 未超过的部分仍按基本价，超过的部分按调节价收费 王宇家共有3口人，今年四、五月的用水量和水费如表②。 表② 月份 用水量/立方米 水贵/元 四 15 56.55 五 17 65.93 （1）常州居民用水水费的基本价是 　3.77　 元/立方米，调节价是 　4.69　 元/立方米。 （2）王宇家六月份的用水量是20立方米，六月份的水费是多少元？ 【思路点拨】（1）根据题意，未超过15立方米时，水费按“基本价”收费，四月份用15立方米未超过15立方米，水费是56.55元，用56.55除以15求出“基本价”；五月份超过15立方米，超出17﹣15＝2（立方米），用五月份水费的钱数﹣15立方米的水费钱数，求出超出部分的钱数，再除以超出2立方米即可求出“调节价”；（2）20立方米水分成两部分计算，用15立方米的水费钱数加上超出（20﹣15）立方米的钱数即可。 【规范解答】解：（1）56.55÷15＝3.77（元/立方米） （65.93﹣56.55）÷（17﹣15） ＝9.38÷2 ＝4.69（元/立方米） 答：常州居民用水水费的基本价是3.77元/立方米，调节价是4.69元/立方米。 （2）56.55+（20﹣15）×4.69 ＝56.55+5×4.69 ＝56.55+23.45 ＝80（元） 答：六月份的水费是80元。 故答案为：3.77；4.69。 【考点评析】本题考查整数小数复合应用，熟练掌握单价×数量＝总价，分段计费的计算方法是解答本题的关键。 25．（5分）（2024•天宁区）如图是一卷泡沫胶的尺寸示意图，底面内圆直径为4cm，外圆直径为14cm，高为2cm。 （1）这卷泡沫胶的体积是多少立方厘米？（不计空心部分，计算结果保留π） （2）要给这卷泡沫胶制作一个长方体包装盒，至少需要多少平方厘米的硬纸板？（接头处忽略不计） 【思路点拨】（1）根据圆柱体积计算公式：圆柱体积＝底面积×高，用大圆柱的体积减去小圆柱的体积即是所求； （2）给这卷泡沫胶制作一个长方体包装盒，则纸盒的长宽至少是14厘米，高至少是2厘米，根据长方体表面积计算公式：长方体表面积＝六个面面积之和即可求解。 【规范解答】解：（1）（14÷2）2π×2﹣（4÷2）2π×2 ＝98π﹣8π ＝90π（立方厘米） 答：这卷泡沫胶的体积是90π立方厘米。 （2）14×14×2+14×2×4 ＝392+112 ＝504（平方厘米） 答：至少需要504平方厘米的硬纸板。 【考点评析】本题考查了圆柱体积和长方体体积计算的应用。 26．（5分）（2024•崇川区）学校购买了一批足球，但购物清单不小心被沾上了墨水。会计只记得4号足球的数量比5号足球多60%，4号足球的单价是5号足球的。 （1）学校购买了多少个5号足球？ （2）每个5号足球多少钱？ 【思路点拨】（1）求学校购买了多少个5号足球，就是求40除以（1+60%）的商。 （2）设5号足球的单价为x元，则4号足球的单价为x元。利用（1）的结果及表中4号足球的数量列方程解答。 【规范解答】解：（1）40÷（1+60%） ＝40÷1.6 ＝25（个） 答：学校购买了25个5号足球。 （2）设5号足球的单价为x元，则4号足球的单价为x元。 25x+40x＝5400 25x+20x＝5400 45x＝5400 45x÷45＝5400÷45 x＝120 答：每个5号足球120元。 【考点评析】本题考查了利用百分数和分数的混合运算解决问题，需准确分析题目中的数量关系。 27．（5分）（2024•鼓楼区）芳芳的爸爸拿到一笔8000元的奖金，他打算按下面的方案进行分配：其中的交芳芳的学费，15%用来购书，其余的购买国家建设债券． （1）交学费和购书一共多少钱？ （2）国家建设债券定期三年，年利率是2.89%，到期后芳芳的爸爸可以获得本金和利息一共多少元？（国家建设债券免交利息税） 【思路点拨】（1）把这笔奖金的总量看成单位“1”，分别求出它的和15%，再加起来即可． （2）根据上一问求出的量求出买国家建设债券用了多少钱，利息＝本金×年利率×时间，然后用利息加上本金就是最后拿到的钱数． 【规范解答】解：（1）80008000×15%， ＝800+1200， ＝2000（元）； 答：交学费和购书一共2000元． （2）8000﹣2000＝6000（元）； 6000×2.89%×3， ＝173.4×3， ＝520.2（元）； 6000+520.2＝6520.2（元）． 答：到期后芳芳的爸爸可以获得本金和利息一共6520.2元． 【考点评析】这种类型属于利息问题，有固定的计算方法，利息＝本金×利率×时间（注意时间和利率的对应），本息＝本金+利息，找清数据与问题，代入公式计算即可． 28．（5分）（2024•鼓楼区）如图，把3个高相等，底面半径都是10cm的圆柱形盒子叠放在一起，如果拿走1个盒子，表面积就减少314cm2，每个盒子的体积是多少？ 【思路点拨】如果拿走1个盒子，表面积就减少314cm2，减少部分面积就是一个圆柱形盒子的侧面积，根据公式圆柱侧面积＝底面周长×高，计算出每个盒子的高。根据圆柱体积公式V＝πr2h计算出盒子的体积。 【规范解答】解：3.14×102×[314÷（3.14×10×2）] ＝3.14×100×[314÷62.8] ＝314×5 ＝1570（cm3） 答：每个盒子的体积是1570cm3。 【考点评析】本题关键点是要理解减少部分面积就是一个圆柱形盒子的侧面积，灵活运用圆柱侧面积公式和体积公式解决问题。 29．（5分）（2024•锡山区）甲书架的书是乙书架的，若从乙书架取21本书放入甲书架，则两个书架的本数相等，乙书架原来有多少本书？ 【思路点拨】把原来乙书架的本数看作单位“1”，甲书架的书是乙书架的，则甲书架比乙书架少（1），正好少了21×2本，用21×2÷（1）即得乙书架原来有的本数；据此解答即可． 【规范解答】解：21×2÷（1） ＝42 ＝112（本） 答：乙书架原来有112本． 【考点评析】解答此类题目要找准单位“1”，若单位“1”未知，可用“对应数÷对应分率＝单位“1”的量”解答即可． 30．（5分）（2024•玄武区）某人骑自行车从甲地到乙地，前20分钟走完全程的，然后他加快速度，每分钟比原来多走60米，又走了15分钟后，离乙地还有1.8千米，甲、乙两地相距多少千米？ 【思路点拨】根据题干，若设甲乙两地相距x千米，则前20分钟就走了x千米，剩下了（1）x千米，由此得出前20分钟的速度是每分钟x÷20千米，以后每分钟的速度就是20+0.06千米；则根据剩下的路程即x千米﹣又走了15分钟的路程＝此时离乙地的距离1.8千米即可列出方程解决问题． 【规范解答】解：设甲乙两地相距x千米，根据题意可得方程： （1）x﹣（x÷20+0.06）×15＝1.8， xx﹣0.9＝1.8， x＝2.7， x＝9， 答：甲乙两地相距9千米． 【考点评析】此题等量关系较为复杂，要求学生要弄清题意，找准等量关系，设出未知数即可解决问题 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题07 探索规律 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观察分析,找到数列中的规律,然后填空解答 知识点梳理01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点梳理02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点梳理03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点梳理04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点梳理05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点梳理06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.48（较难） 一．选择题（共8小题，满分8分，每小题1分） 1．（1分）（2023•如皋市）用同样长的小棒摆正方形（每条边用一根小棒），照这样摆，摆n个正方形需要（　　）根小棒。 A．4n B．3n C．4n+ D．3n+1 【思路点拨】根据图示可知，摆1个正方形需要4根小棒；摆2个正方形需要4+3＝7（根）小棒；摆3个正方形需要4+3+3＝10（根）小棒；……摆n个正方形需要小棒的根数是：4+3+3+……+3＝4+（n﹣1）×3＝（3n+1）根。 【规范解答】解：摆1个正方形需要4根小棒； 摆2个正方形需要4+3＝7（根）小棒； 摆3个正方形需要4+3+3＝10（根）小棒； …… 摆n个正方形需要小棒的根数是：4+3+3+……+3＝4+（n﹣1）×3＝（3n+1）根。 故选：D。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 2．（1分）（2024•淮安）科学实验课上，同学们往一个玻璃容器中滴水（滴水速度相同，如图），四位同学将滴水时间和容器中水面高度变化情况绘制成示意图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】容器的形状下宽上窄，水上升的高度会先慢后快，图像表现为先缓后陡；一段时间后，因为容器最上面一段宽度不变，则水上升的高度很明显，图像表现为很陡；据此解答。 【规范解答】解：容器的形状下宽上窄，水上升的高度会先慢后快，图像表现为先缓后陡；一段时间后，因为容器最上面一段宽度不变，则水上升的高度很明显，图像表现为很陡。 故选：D。 【考点评析】本题考查折线统计图的应用，明确容器的形状与水面的高度之间的关系是解题的关键。 3．（1分）（2024•苏州）如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有____个。（　　） A．462 B．384 C．420 D．424 【思路点拨】依据题意可知，第1个图中由小圆点（1×2+4）个，第2个图中由小圆点（2×3+4）个，第3个图中由小圆点（3×4+4）个，第4个图中由小圆点（4×5+4）个，第n个图中由小圆点[n×（n+1）+4]个，由此解答本题。 【规范解答】解：由分析可知，第20个图形中，小圆点有：20×21+4 ＝420+4 ＝424（个） 故选：D。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 4．（1分）（2024•盐城）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（　　） A．114 B．122 C．220 D．84 【思路点拨】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为x，则第一行为（x﹣10）。第二行第1个为（x﹣2），第二行第3个为（x+2）。四个数的和为x+（x﹣10）+（x﹣2）+（x+2），化简为（4x﹣10）；据此依次列方程为4x﹣10＝114，4x﹣10＝122，4x﹣10＝220，4x﹣10＝84，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。 【规范解答】解：设第二行中间数为x，则第一行为（x﹣10）。第二行第1个为（x﹣2），第二行第3个为（x+2）。 x+（x﹣10）+（x﹣2）+（x+2） ＝x+x﹣10+x﹣2+x+2 ＝4x﹣10 A．4x﹣10＝114 4x﹣10+10＝114+10 4x＝124 4x÷4＝124÷4 x＝31 31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。 B．4x﹣10＝122 4x﹣10+10＝122+10 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 这四个数的和有可能是122。 C．4x﹣10＝220 4x﹣10+10＝220+10 4x＝230 4x÷4＝230÷4 x＝57.5 57.5不是整数；不符合题意； D．4x﹣10＝84 4x﹣10+10＝84+10 4x＝94 4x÷4＝94÷4 x＝23.5 23.5不是整数；不符合题意。 有可能是这四个数的和的是122。 故答案为：B。 【考点评析】本题主要考查了简单图形覆盖现象中的规律，解答此题的关键是根据所给出的阴影部分的数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 5．（1分）（2024•常熟市）如图是游泳池的截面，分为浅水区和深水区，如果以固定的水流量向游泳池注水，下面能表达水的最大深度h与注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】因为蓄水池的底面小，上面大，而且这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此解答。 【规范解答】解：根据分析可得：能反应出水的深度变化是先快后慢的是选项B。 故选：B。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 6．（1分）（2024•兴化市）五一假期，兴化李中水上森林景区，沿林间小道把一组灯笼按照“2红1黄2蓝”的顺序挂起来，一共挂了69盏灯笼。其中蓝灯笼有（　　）盏。 A．25 B．26 C．27 D．28 【思路点拨】每（2+1+2）盏灯笼一循环，计算第69盏是第几组循环零几盏，即可判断其颜色，再根据每组中蓝灯笼的盏数和余数中的盏数，计算蓝灯笼的总盏数即可。 【规范解答】解：69÷（2+1+2） ＝69÷5 ＝13（组）……4（盏） 2×13+1 ＝26+1 ＝27（盏） 答：蓝灯笼有27盏。 故选：C。 【考点评析】先找到规律，再根据规律求解。 7．（1分）（2023•涟水县）化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是（　　） A．4 B．2 C．8 D．5 【思路点拨】化成小数后是0.2857，循环节是428571，有6位数，2000÷6＝333（个）……2，所以小数部分的第2000位数字是333个循环节后的334个循环节上的第2个数字，循环节的第2个数字是2，据此解答。 【规范解答】解：2000÷6＝333（个）……2 答：化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是2。 故选：B。 【考点评析】本题主要利用循环小数的循环节，找出循环节及循环节的数字，用2000除以循环节的位数得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。 8．（1分）（2023•苏州）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36……这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，不符合这一规律的是（　　） A．25＝9+16 B．36＝15+21 C．49＝21+28 D．64＝28+36 【思路点拨】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21......，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36……；从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。据此找出选项中不符合这个特征的算式即可。 【规范解答】解：这些“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45、55…… 选项B、C、D中的“正方形数”都正好等于两个相邻的“三角形数”的和，选项A的算式不符合这个规律。 故选：A。 【考点评析】解答本题的关键是理解“三角形数”和“正方形数”的特征，明确“三角形数”和“正方形数”之间存在的规律。 二．填空题（共10小题，满分23分） 9．（2分）（2023•通州区）中国是一个多民族国家，其中我国苗族的千人长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有几千年的历史。如图所示，长桌像这样拼下去，5张桌子拼在一起可以坐 　22　 人，n张桌子拼在一起可以坐 　（4n+2）　 人。 【思路点拨】能够根据图形发现规律：多一个一张桌子，多坐4人。 【规范解答】解：观察图形发现： 1张桌子可坐6人； 2张桌子拼一块，可坐6+4＝10（人） 3张桌子拼一块，可坐6+4+4＝14（人） …… 5张桌子拼一块，可坐：6+4×（5﹣1）＝22（人） …… n张桌子拼一块，可坐6+4（n﹣1）＝（4n+2）人 答：5张桌子拼在一起可以坐22人，n张桌子拼在一起可以坐（4n+2）人。 故答案为：22；（4n+2）。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 10．（2分）（2024•崇川区）1885年，在瑞士小镇巴塞尔的一所中学，数学老师巴尔末盯着一幅光谱图上的一组波长数据很长时间，发现了规律：将4个数分别作为前项，后项都为3645.6，得到4个比，并根据规律写出了后面的比，它们的比值形成了一串数列、、、，由此，巴尔末打开了光谱的神秘大门，也让他的名字永远地刻在了物理学史的丰碑上。请根据上面四个比值找出规律，写出第五个比值是 　　 。 【思路点拨】观察规律发现：第1个比值是，第2个比值是，第3个比值是第5个比值是。 【规范解答】解：分析可知，根据上面四个比值找出规律，写出第五个比值是。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了数列的排列规律，结合题意分析解答即可。 11．（2分）（2024•崇川区）小红用围棋子摆图案，并用表格记录了摆的情况。 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 图案 …… 数量（枚） 1 3 7 13 21 …… 观察表格，像这样继续摆下去，第8个图案需要的围棋子数量是 　57　 枚，第n个图案需要的围棋子数量是 　（n2﹣n+1）　 枚。（用含有字母的式子表示） 【思路点拨】根据图示可知： 第1个图案的围棋子数量是1枚， 第2个图案的围棋子数量是2×1+1＝3（枚）， 第3个图案的围棋子数量是3×2+1＝7（枚）， 第4个图案的围棋子数量是4×3+1＝13（枚）， …… 第8个图案的围棋子数量是8×7+1＝57（枚）， 第n个图案的围棋子数量是n（n﹣1）+1＝（n2﹣n+1）枚。 据此解答。 【规范解答】解：第n个图案的围棋子数量是n（n﹣1）+1＝（n2﹣n+1）枚 当n＝8时，82﹣8+1＝57 答：第8个图案需要的围棋子数量是57枚，第n个图案需要的围棋子数量是（n2﹣n+1）枚。 故答案为：57；（n2﹣n+1）。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 12．（4分）（2024•通州区）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究。 （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）。第6个三角形数是 　21　 ；第n个三角形数是 　n（n+1）　 。 （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”。第n个正方形数是 　n2　 。 （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。 以此类推，第n幅图为 　n2　 ＝ 　n（n﹣1）　 +　n（n+1）　 。 【思路点拨】（1）“三角形数”的规律是第一个图有1个点，第二个图有（1+2）个点，第三个图有（1+2+3）个点，第四个图形就有（1+2+3+4）个点，……第n个图形就有（1+2+3+4+……+n）个点，即n（n+1）个点，据此解答； （2）“正方形数”的规律是第一个图的总点数是12，第二个图的总点数是22，第三个图的总点数是32，第四个图的总点数是42，……第n个图的总点数是n2，据此解答； （3）观察图可以发现，第n幅图的点数是第（n﹣1）个三角形数与第n个三角形数的和。据此解答。 【规范解答】解：（1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”， 1+2+3+4+5+6＝21，即第6个三角形数是21； 1+2+3+4+……+nn（n+1），即第n个三角形数是n（n+1）。 （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”。第n个正方形数是n2。 （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分，那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。以此类推，第n幅图为n2＝ n（n﹣1）n（n+1）。 故答案为：（1）21，；（2）n2；（3）n2，n（n﹣1），n（n+1）。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 13．（2分）（2024•鼓楼区）围棋是一种起源于我国的棋类游戏，深受人们的喜爱。课间，小南用棋子在棋盘上摆出如图所示的图形，照这样的规律继续往下摆。 （1）第10个图案中白棋有 　10　 颗。 （2）第 　17　 个图案中黑棋有36颗。 【思路点拨】依据题意可知，第1个图案中有1颗白棋，4颗黑棋，第2个图案中有（1+1）颗白棋，（4+2）颗黑棋，第3个图案中有（1+1+1）颗白棋，（4+2+2）颗黑棋，第n个图案中有n颗白棋，[4+2×（n﹣1）]颗黑棋，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）第10个图案中白棋有10颗。 （2）4+2×（n﹣1）＝36，则n＝17。 故答案为：（1）10；（2）17。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 14．（2分）（2024•天宁区）按照如图中的规律继续画下去，第7幅图长 　32　 厘米，第n幅图长 　（4n+4）　 厘米。 【思路点拨】根据图示，后面的图形依次比前面的图形多4厘米，据此解答即可。 【规范解答】解：分析可知，第n幅图长： 8+（n﹣1）×4 ＝8+4n﹣4 ＝（4n+4）厘米 8+（7﹣1）×4 ＝8+24 ＝32（厘米） 答：第7幅图长32厘米，第n幅图长（4n+4）厘米。 故答案为：32；（4n+4）。 【考点评析】本题考查了图与形的组合知识，结合题意分析解答即可。 15．（2分）（2024•玄武区）某市民广场地面铺设地砖，决定采用两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律摆成若干个图案。照这样的规律摆下去，第n个图案中白色地砖有 　（4n+2）　 块。 【思路点拨】第一个图案1块有色正六边形、6块白色六边形地砖；第二个图案2块有色正六边形、6+（2﹣1）×4块白色六边形地砖；第个三图案3块有色正六边形、6+（3﹣1）×4块白色六边形地砖；第n个图案n块有色正六边形、6+（n﹣1）×4块白色六边形地砖。据此解答。 【规范解答】解：6+（n﹣1）×4＝4n+2（块） 答：第n个图案中白色地砖有（4n+2）块。 故答案为：（4n+2）。 【考点评析】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 16．（3分）（2024•张家港市）小芳用小棒搭正五边形，并用表格记录了搭的情况。 序号 ① ② ③ …… 图形 …… 数量/根 5 9 13 …… 以此类推，搭8个正五边形需要 　33　 根小棒，用121根小棒可以搭 　30　 个正五边形，搭n个正五边形需要 　（4n+1）　 根小棒。（用含有字母的式子表示） 【思路点拨】观察可知，小棒根数＝正五边形个数×4+1，据此分析。 【规范解答】解：8×4+1 ＝32+1 ＝33（根） n×4+1＝（4n+1）根 4n+1＝121 4n＝120 n＝30 答：搭8个正五边形需要33根小棒，用121根小棒可以搭30个正五边形，搭n个正五边形需要（4n+1）根小棒。 故答案为：33，30，（4n+1）。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 17．（2分）（2023•雨花台区）下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依此规律，第3个图案中白色正方形的个数为 　18　 个，第n个图案中白色正方形的个数为 　（5n+3）　 个，如果某图案中有103个白色正方形，它是第 　20　 个图案。 【思路点拨】根据图示可知，第一个图案白色正方形的个数为5+3＝8（个），第二个图案白色正方形的个数是5×2+3＝13（个），……第n个图案白色正方形的个数是（5n+3）个，据此解答。 【规范解答】解：5×3+3 ＝15+3 ＝18（个） 5×n+3＝（5n+3）个 5n+3＝103 5n＝100 n＝20 答：第3个图案中白色正方形的个数为18个，第n个图案中白色正方形的个数为（5n+3）个，如果某图案中有103个白色正方形，它是第20个图案。 故答案为：18，（5n+3），20。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 18．（2分）（2024•海安市）数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫作多边形的对角线。 正多边形 …… 边数 4 5 6 …… 一个顶点可画 对角线数量 1 2 3 …… 对角线总数量 2 5 9 …… 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 　14　 条对角线，正n边形共有 　　 条对角线。 【思路点拨】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为（n≥3，且n为整数）可得答案。 【规范解答】解：从正方形的一个顶点出发可画1条对角线，从正五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从正六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从正七边形的一个顶点出发则有4条对角线，正七边形共有14条对角线，从正n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，从而推导出正n边形共有条对角线。 故答案为：14，。 【考点评析】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式。 三．解答题（共12小题，满分69分） 19．（6分）（2024•崇川区）如图①～图③所示，计算如22﹣1，32﹣22，42﹣32……算式的结果，可采用“数形结合”的方法解决。以图①计算22﹣12的过程为例，先构造两个边长分别为1和2的正方形，算式22﹣12的结果即可转化为涂色长方形的面积。再把这个构造与转化过程用算式表示并算出结果：12＝（2+1）×（2﹣1）＝3。 （1）先观察图②和图③的构造与转化过程，再用算式表示并算出结果： 32﹣22＝ 　5　 ；42﹣32＝ 　7　 。 （2）请在图④上方空白处画出对应的转化过程。 （3）若将如上算式用字母式概括表示为（n+1）2﹣n2，那么： （n+1）2﹣n2＝ 　2n+1　 。 （4）从如上第（1）～（3）题继续往下思考，如果想得到形如（n+2）2﹣n2的算式结果，怎样运用“数形结合”的方法构造与转化？ ①先在草稿纸上列举几个形加（n+2）2﹣n2的算式例子，尝试用图形构造、转化，并用算式把过程表示出来：再从你举的几个例子中，结合“图5°上方空白处大小，选取一个合适的算式，将这个算式用图形构造与转化的过程在方格图中画出来。 ②根据几次的尝试和思考，试着把对（n+2）2﹣n2结果的猜想写出来：（n+2）2﹣n2＝ 　4n+2　 。 【思路点拨】（1）根据图示计算并完成填空； （2）根据前面图示和算式的规律作图； （3）画一个长边是9，短边是1的涂色长方形即可。 （4）①根据画出的图发现，可将两个边长相差2的正方形的面积之差转化成一个长是两个正方形边长的和、宽是两个正方形边长的差的长方形的面积； ②根据前面的算式发现规律，完成填空即可。 【规范解答】解：（1）32﹣22＝（3+2）×（3﹣2）＝5 42﹣32＝（4+3）×（4﹣3）＝7 （2）如图： （3）（n+1）2﹣n2＝（n+1+n）×（n+1﹣n）＝2n+1[提示]观察规律可知，可将两个边长相差1的正方形的面积之差转化成一个长是两个正方形边长之和、宽是两个正方形边长之差的长方形的面积，据此写出关系式。 （4）①如上图。答案不唯一，如：32﹣12＝（3+1）×（3﹣1）＝8 ②（n+2）2一n2＝（n+2+n）×（n+2﹣n）＝4n+4 故答案为：5，7；2n+1；4n+2。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 20．（5分）（2024•崇川区） （1）下面四个选项的内容，可以用图来说明的是 　C　 。 A.无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝完壶中酒。借问此壶中，原有酒几何？ B.凡将起五音，凡首。先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为微。不无有三分而去其乘。适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽，有三分，去其乘，适足，以是成角。 C.一尺之棰，日取其半，万世不竭。 D.割之弥细，所失弥少。割之义割，以至于不可割…… （2）如图继续画下去，第6幅图表示的分数是 　　 ，第 　8　 幅图中的涂色部分的长度是空白部分的。 【思路点拨】（1）A的意思是提着没装满酒的酒壶在街上走，遇见酒家就把壶中的酒增加一倍，遇见花就喝一斗酒，这样三次先后遇见酒家和花，恰好把壶中的酒喝完，则壶中原有多少斗酒？可以设壶中原来有x斗酒，可以列方程2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0，解得x，不符合。 B的意思是想要求出五音，首先应该找出一个标准音，即“黄钟”，也就是“宫”，接着将宫的长度增加三分之一，算出“徵”，即81+81108；再将徵的长度减去三分之一，可得出“商”，即 108﹣10872；把商的长度增加三分之一，可得“羽”，即 72+7296；最后把羽减去三分之一，可得“角”，即96﹣9664。不符合。 C的意思是一根一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完，第一天取后剩下1，第二天取后剩下（1），第三天取后剩下（1），符合。 D的意思是圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积，不符合。 （2）根据题意，图①表示的分数是，图②表示的分数是，图③表示的分数是，所以第6幅图表示的分数是；涂色部分的长度是空白部分的，即涂色部分的长度是整体的，是第8幅图。据此解答即可。 【规范解答】解：（1）分析可知，可以用图来说明的是“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” （2）第6幅图表示的分数是；涂色部分的长度是空白部分的，即涂色部分的长度是整体的，是第8幅图。 故答案为：（1）C；（2），8。 【考点评析】本题考查了数与形的组合知识，结合题意分析解答即可。 21．（6分）（2024•崇川区）在长方形ABCD（长、宽均为整厘米数）中，有一只小虫P从点A开始，沿着长边AB和宽边BC爬行到点C（如图1），小虫在AB边上的爬行速度为每秒1厘米，BC边上的爬行速度为每秒2厘米。连接点D和点P，长方形ABCD就被分成①和②两个多边形，这两个多边形的形状和面积随着点P的移动在不断变化。图2记录的是①、②的面积和小虫爬行距离的变化情况。 （1）长方形ABCD的面积是 　48　 平方厘米。 （2）当小虫P爬行到BC中点时，求梯形PBAD的面积是多少平方厘米？ （3）求小虫P从点A爬到点C需要多少秒？ 【思路点拨】（1）根据题意，当虫子爬到点B的时候，①和②的面积相等，都是24平方厘米，因此长方形ABCD 的面积是24×2＝48（平方厘米）。 （2）由图可知长方形的长和宽的和是14厘米，且长和宽都是整厘米数，又因为面积是48平方厘米，所以长方形长8厘米，宽6厘米。则PB是6÷2＝3（厘米），AD是6厘米，根据梯形的面积公式求出面积即可。 （3）根据时间＝路程÷速度，将在AB 边和BC 边上爬行的时间相加即可。 【规范解答】解：（1）24×2＝48（平方厘米） 答：长方形ABCD的面积是48平方厘米。 （2）长方形的长和宽的和是14厘米，且长和宽都是整厘米数，又因为面积是48平方厘米，所以长方形长8厘米，宽6厘米。 [（6÷2）+6]×8÷2 ＝72÷2 ＝36（平方厘米） 答：当小虫P爬行到BC中点时，梯形PBAD的面积是36平方厘米。 （3）8÷1+6÷2 ＝8+3 ＝11（秒） 答：小虫P从点A爬到点C需要11秒。 故答案为：48。 【考点评析】本题考查了数与形的组合。组合图形面积计算以及行程问题等知识，结合题意分析解答即可。 22．（6分）（2024•海门区）用96cm长的绳子在桌面上摆出正方形，先把这根绳子摆成1个正方形，再把这根绳子摆2个正方形，3个正方形，4个正方形…… （1）正方形的个数与每个正方形边长之间的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 …… x 边长/cm 24 …… y 观察如表，可知xy＝ 　24　 。 （2）正方形的个数与所摆图形顶点数的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 5 …… 顶点数/个 4 7 10 …… 当正方形的个数是x时，顶点是 　（3x+1）　 个；当摆出的图形共有100个顶点时，共摆 　33　 个正方形。 【思路点拨】通过图示发现这样的规律： （1）用绳子摆正方形，正方形的周长之和不变，即每增加一个正方形，所求新正方形的边长就用24÷正方形的个数得到。 （2）每增加一个正方形，顶点数就增加3个，即每增加一个正方形，顶点的个数＝正方形的个数×3+1得到。 【规范解答】解：（1）24÷2＝12（厘米） 24÷3＝8（厘米） 24÷4＝6（厘米） …… xy＝24 如下图所示： 正方形的个数 1 2 3 4 …… x 边长/cm 24 12 8 6 …… y 观察如表，可知xy＝24。 （2）2×3+1＝7个 3×3+1＝10个 4×3+1＝13个 5×3+1＝16个 …… 当正方形的个数是x时，顶点个数是（3x+1） 当3x+1＝100时，x＝33 如下图所示： 正方形的个数 1 2 3 4 5 …… 顶点数/个 4 7 10 13 16 …… 当正方形的个数是x时，顶点是（3x+1）个；当摆出的图形共有100个顶点时，共摆33个正方形。 故答案为：（1）12；8；6；24；（2）13；16；（3x+1）；33。 【考点评析】在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题。 23．（4分）（2024•玄武区）探索与实践：总复习进行整理与反思时，一位同学借助画图把复杂计算转化为简单计算，设计并分享了这样的一组问题： ① ② （1）先观察图①，再计算1﹣　　 。 （2）以此类推，......1﹣　　 。 （3）可以先在图②中画一画，再算一算 　　 ＝ 　　 。 【思路点拨】（1）依据题意结合图示可知，1，由此解答本题； （2）以此类推，......1，由此解答本题； （3）如图：，1，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）1； （2）......1 （3） ＝1 ＝1 故答案为：（1）；（2）；（3），。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 24．（6分）（2024•如皋市）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 （1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是 　b＝3a+1　 。 （3）应用：像这样如果剪切20次，会分成 　61　 段。 【思路点拨】（1）剪1次分成4段，剪2次分成4+3（段），剪3次分成4+3+3（段）。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝3a+1。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入b＝3a+1求出b即可。 【规范解答】解：（1）4+3＝7（段） 4+3+3＝10（段） （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝3a+1。 （3）当a＝20时，b＝3a+1＝3×20+1＝61 答：像这样如果剪切20次，会分成61段。 故答案为：b＝3a+1，61。 【考点评析】仔细观察找到规律是解决本题的关键。 25．（6分）（2024•海陵区）阅读材料并回答问题。 学校组织六年级同学到泰州科技馆开展研学活动时，同学们不约而同地聚集在一个演示装置前。小添同学仔细观察了装置的动态演示过程： 在这个装置中，带有颜色的液体在三个截面为正方形、厚度相同的透明容器之间自由流动，而这三个容器底面正方形的边长恰为直角三角形的三边长度。转动装置，会发现上方容器中的液体受重力影响流至下方容器。演示过程如图： 回家后，小添在方格纸上通过画图、计算的方法，对装置原理进行了以下探究，请你数一数、想一想、填一填。（每小格边长1厘米） 探究一：图1中，阴影部分表示的直角三角形的周长是12厘米，那么它的斜边长是 　5　 厘米。 探究二：为了进一步探究，小添制作了如下的探究单。请填写下面表格，完成探究。 S1/cm2 S2/cm2 S3/cm2 数据记录 图1 图2 图3 我的发现 S1、S2、S3面积关系 （用含有字母的式子表示） 我的猜想 直角三角形三条边 a、b、c关系 （用含有字母的式子表示） 探究三：已知一个直角三角形，两条直角边的长度分别为5厘米和12厘米。请你利用发现，算一算，斜边的长度是 　13　 厘米。 【思路点拨】探究一、根据已知的两条直角边的长度以及三角形的周长求出斜边长即可； 探究二、根据正方形S1和S2S的边长即可求出S1和S2的面积，进而根据直角三角形斜边的平方等于两条直角边平方的和求出斜边的平方，即S3面积，进而推导出S1、S2、S3面积关系以及直角三角形三条边a、b、c关系； 探究三、根据探究二推导出的结论直接求解即可。 【规范解答】解：探究一：因为每小格边长1厘米 所以a＝4厘米，b＝3厘米 又直角三角形的周长是12厘米 所以斜边长c＝12﹣4﹣3＝5（厘米） 答：直角三角形的斜边长是5厘米。 探究二：图1，S1＝a2＝4×4＝16（cm2），S2＝b2＝3×3＝9（cm2），S3＝c2＝a2+b2＝16+9＝25（cm2） 图2，S1＝a2＝3×3＝9（cm2），S2＝b2＝3×3＝9（cm2），S3＝c2＝a2+b2＝9+9＝18（cm2） 图3，S1＝a2＝3×3＝9（cm2），S2＝b2＝2×2＝4（cm2），S3＝c2＝a2+b2＝9+4＝13（cm2） 所以S1+S2＝S3，即a2+b2＝c2 所以直角三角形中，两条直角边平方的和等于斜边的平方，即a2+b2＝c2 如下图所示： S1/cm2 S2/cm2 S3/cm2 数据记录 图1 16 9 25 图2 9 9 18 图3 9 4 13 我的发现 S1、S2、S3面积关系 （用含有字母的式子表示） a2+b2＝c2 我的猜想 直角三角形三条边 a、b、c关系 （用含有字母的式子表示） a2+b2＝c2 探究三：52+122＝132，即斜边的长度是13厘米。 故答案为：5；16；9；25；9；9；18；9；4；13；a2+b2＝c2；a2+b2＝c2；13。 【考点评析】本题考查了直角三角形三边关系的探究。 26．（6分）（2024•海陵区）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形无数时难入微。”数学学习时把数与形联系起来思考，往往会有意想不到的作用。如：计算时，可以将算式转化成图形面积问题来进行简便计算（如图1）。请你尝试不通分，利用画图的方法简便计算：（先在图2中画出示意图，再用简便方法计算，写出计算过程和结果）。 【思路点拨】根据数形结合的方法分一分，算一算即可。 【规范解答】解： 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 27．（6分）（2023•武进区）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数 1、1、2、3、5、8、13、21、34……计算 12+12+22+32+52+82+132+212+342+…… 这样的算式时有简便方法吗？ （1）这个复杂问题能否从简单入手，用数形结合的方法来探索？先根据算式中数的特点画一画再填一填。 （2）若按此规律拼，序号 　⑧　 的和是1870，它表示的算式是 　12+12+22+32+52+82+132+212+342＝34×55　 。 【思路点拨】（1）通过格子图可知： 12+12，即边长为1的2个正方形的面积和，也即长为（1+1），宽为1的长方形的面积，故12+12＝1×2； 12+12+22，即边长为1的2个正方形的面积与边长为2的1个正方形的面积之和，也即长为（1+2），宽为（1+1）的长方形的面积，故12+12+22＝2×3； 12+12+22+32，即边长为1的2个正方形的面积、边长为2的1个正方形的面积与边长为3的1个正方形面积之和，也即长为（1+1+3），宽为（1+2）的长方形的面积，故12+12+22+32＝3×5； 12+12+22+32+52，即边长为1的2个正方形的面积、边长为2的1个正方形的面积、边长为3的1个正方形面积与边长为5的1个正方形面积之和，也即为长为（1+2+5），宽为（1+1+3）的长方形的面积，故12+12+22+32+52＝5×8； …… 所以类似于兔子数列，计算12+12+22+32+52+82+132+212+342+……时，计算几个数相加的和，结果就等于最后一个数的底数与前一个数的底数之和与最后一个数的底数的乘积。 （2）1870分解质因数后，把1870写成除自身之外2个最大的因数的乘积，则较小的因数即是数列中的最后一项的底数，据此即可解答。 【规范解答】解：根据分析，如下图所示： （2）因为1870＝2×5×11×17＝34×55 即1870＝12+12+22+32+52+82+132+212+342＝34×55 所以按此规律拼，序号⑧的和是1870。 故答案为：（1）2；3；3；5；5；8；（2）⑧；12+12+22+32+52+82+132+212+342＝34×55。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力 28．（6分）（2023•浦口区）如图，聪聪用1平方厘米的正方形纸片摆出不同的图形，并进行研究。 （1）观察图中的规律，填写表格。 层数 1 2 3 4 …… 8 n 面积/cm2 1 4 9 　16　 　64　 …… 　n2　 （2）聪聪利用上表中的数据，制作了如图的表格。照这样排下去，排在（5，1）位置的数是 　25　 。 排在（8，2）位置的数是 　63　 。当n大于3时，排在（n，3）位置的数是 　（n2﹣2）　 。 【思路点拨】（1）根据图示可知： 图形有1层，面积是1cm2； 图形有2层，面积是22cm2； 图形有3层，面积是32cm2； 图形有4层，面积是42cm2； …… 图形有n层，面积是n2cm2； （2）根据图示可知，第1行的数均是平方数，且： 第1行第1列是12； 第1行第2列是22，且从第1行到第2行依次递减1； 第1行第3列是32，且从第1行到第3行依次递减1； 第1行第4列是42，且从第1行到第4行依次递减1； …… 第1行第n列是n2，且从第1行到第n行依次递减1。 据此解答。 【规范解答】解：（1）图形有1层，面积是1cm2； 图形有2层，面积是22cm2； 图形有3层，面积是32cm2； 图形有4层，面积是42cm2； …… 图形有n层，面积是n2cm2； 所以，如下表所示： 层数 1 2 3 4 …… 8 n 面积/cm2 1 4 9 16 64 …… n2 （2）第1行的数均是平方数，且： 第1行第1列是12； 第1行第2列是22，且从第1行到第2行依次递减1； 第1行第3列是32，且从第1行到第3行依次递减1； 第1行第4列是42，且从第1行到第4行依次递减1； …… 第1行第n列是n2，且从第1行到第n行依次递减1。 所以：排在（5，1）位置的数是25。排在（8，2）位置的数是63。当n大于3时，排在（n，3）位置的数是（n2﹣2）。 故答案为：（1）16，64，n2；（2）25，63，（n2﹣2）。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 29．（6分）（2023•溧阳市）探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆一圈所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）丁丁用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ …… 图形 …… 圆柱的个数 1 3 6 …… 绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 …… （1）若按此规律继续摆，图④中有 　10　 个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 　8π+8×9　 。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有 　45　 个圆柱，表示图⑨中绳子长度的算式是 　8π+8×24　 。 【思路点拨】图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米； 图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3； 图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3； 图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3； …… 图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。 即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。 据此解答。 【规范解答】解：图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米； 图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3； 图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3； 图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3； …… 图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。 即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。所以： （1）图④中有10个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是8π+8×9。 （2）图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度的算式是8π+8×24。 故答案为：（1）10，8π+8×9；（2）45，8π+8×24。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 30．（6分）（2023•浦口区）别有“动”天。 数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通。如果用运动的眼光来观察，可能会有不一样的发现。 如图1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面积。 轩轩思考涂色部分是三角形BEC，这个三角形的底和高都不知道，正当他一筹莫展时，点B动起来了，它沿着BA向上运动，当运动到A点时，形成三角形ADE（如图2）。这时三角形ADE和图1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面积相等，形成的大三角形ADC的面积和图1涂色部分的三角形BCE面积相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘米，面积是 　32　 平方厘米，即涂色部分面积。 通过点的运动，形成新的图形，问题迎刃而解。既然点可以动起来，那么线段呢？ 如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中涂色部分长方形的周长分别是14厘米和8厘米。原来长方形的周长是多少厘米？ 线段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。发现原来长方形的周长就是两个涂色部分周长的 　和　 ，从而巧妙解题。 点的运动、线的运动……运动的对象不同，解题思路却异曲同工。 静中有动，动中有静，动静变换之中灵感无限。请尝试解决图4和图5中的问题。 （1）图4中涂色部分是一个正方形，那么长方形ABCD的周长是 　32　 厘米。 （2）图5大正方形边长为14厘米，涂色部分正方形的面积是 　16　 平方厘米。 图形里的“点、线、面”活泼好“动”，让解题思路别有“动”天，令人茅塞顿开，如入“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之境。 通过上面的学习，令人印象深刻的有 　在解题过程中要学会用运动的眼光来观察　 。 【思路点拨】对于第一空，结合题干中的分析，大三角形ADC的面积和图1涂色部分的三角形BCE面积相等，通过大三角形ADC的底和高求出其面积即可； 对于第二空，结合题干中的分析，长方形ABCD的周长＝AG+GB+BF+FC+HC+HD+DE+EA，其中AG＝EN，AE＝GN，CF＝NH，CH＝NF，由此可知长方形ABCD的周长就是两个涂色部分周长的和； （1）观察图片发现，，ED＝EF+FD＝10cm，BH＝BG+GH＝6cm，ED+BH＝EF+FD+BG+GH，而BG＝AE，GH＝EG＝AB，所以ED+BH＝AE+EF+FD+AB＝AD+AB，而（AB+AD）是长方形ABCD周长的一半，据此可以求出长方形ABCD的周长； （2）大正方形的面积由两个梯形和小正方形面积组成，两个梯形的底和高都相等，因此面积相等，大正方形的边长已知，据此可以求出小正方形的面积。 对于最后一空，答案不唯一，言之有理即可。 【规范解答】解：S△ADC＝8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（cm2） S△BEC＝S△ADC＝32cm2 长方形ABCD的周长＝两个涂色部分周长的和； （1）长方形ABCD的周长＝2×（AB+AD） ＝2×（ED+AH） ＝2×（10+6） ＝2×16 ＝32cm （2）涂色部分面积＝14×14﹣2×90 ＝196﹣180 ＝16（cm2） （答案不唯一）在解题过程中要学会用运动的眼光来观察。 故答案为：32，和；（1）32；（2）16；（答案不唯一）在解题过程中要学会用运动的眼光来观察。 【考点评析】本题具有很强的灵活性，注意观察题干中的思想方法可以有效的帮助解决后续的问题 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题08 图形的认识 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：线和角的认识 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识点梳理02：三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 知识点梳理03：四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 知识点梳理04：圆的认识 1.在同圆或等圆中,所有的直径都相等,所有的半径都相等。  2.圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴就是直径所在的直线。 知识点梳理05：长方体和正方体的认识 名称 长方体 正方体 图形 展开图 相同点 面 　6　个 　6　个 棱 12　条 　12　条 顶点 8 个 　8　个 不同点 面的特点 　6　个面一般是　长方形　,也可能有2个相对的是　正方形　 　6　个面都是相同的正方形 面的大小 相对的面的面积　相等 　6　个面的面积都　相等　 棱长 相对的棱的长度　相等 　6　条棱的长度都　相等　 联系 正方体是特殊的长方体 知识点梳理06：圆柱与圆锥的认识 1.圆柱的定义:以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆柱。 2.圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆锥。 3.圆柱和圆锥的特征: 名称 图形 展开图 特征 圆柱 (1)上下两个底面是两个相等的圆;两个底面之间的距离叫作高(h);圆柱有　无数 条高。 (2)侧面展开图是长方形(或正方形),长方形的长相当于圆柱的底面　周长　,宽相当于圆柱的　高　 圆锥 (1)底面是圆,顶点到底面圆心(O)的距离叫作高(h),圆锥只有　1　条高。 (2)圆锥的侧面展开图是一个　扇形　 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.54（中等） 一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分） 1．（1分）（2024•崇川区）如果用表示1个正方体，用表示2个正方体，用表示3个正方体。那么，从前面观察如图所示的物体，所画出的平面图是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】从前面观察这个物体，可以看到3列。左边一列一共有2层，下面一层有1个正方体，上面一层有1个正方体；中间一列一共有3层，最下面一层有3个正方体，中间一层有2个正方体，最上面一层有1个正方体；右边一列只有一层，有2个正方体。 【规范解答】解：如果用表示1个正方体，用表示2个正方体，用表示3个正方体。那么，从前面观察如图所示的物体，所画出的平面图是。 故选：A。 【考点评析】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。 2．（1分）（2024•通州区）在搭建长方体框架的操作活动中，每位同学都利用8片长方形塑料片进行搭建。塑料片规格和数量如图所示。 下面是四位同学搭建过程中未完成的作品。如果在此基础上用他们自己手中剩余的塑料片继续搭建，那么能搭建成长方体框架的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】从A中可以看出要搭建的长方体的长、宽、高分别是3cm、2cm、2cm，还需要3片3cm×2 cm的塑料片，肯定不可以；B中，长方体的长、宽、高分别是4cm、2cm、3cm，剩下的材料中有4×2 cm、4×3cm和2×3cm，因此选B；C中折起来2cm与4cm对应无法折成长方体；D中一共需要4片4cm×2cm和2片4cm×4cm的塑料片，不符合。 【规范解答】解：从A中可以看出要搭建的长方体的长、宽、高分别是3cm、2cm、2cm，还需要3片3cm×2cm的塑料片，所以不能搭建成长方体框架；B中，长方体的长、宽、高分别是4cm、2cm、3cm，剩下的材料中有4×2cm、4×3cm和2×3cm，因此能搭建成长方体框架；C中折起来2cm与4cm对应无法折成长方体；D中一共需要4片4cm×2cm和2片4cm×4cm的塑料片，所以不能搭建成长方体框架。 故选：B。 【考点评析】本题考查的是长方体的特征，需要充分理解长方体的特征。 3．（1分）（2024•天宁区）如图所示，在正方形纸上像这样剪出一个三角形，那么∠1的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【思路点拨】根据等边三角形的特点可知，等边三角形的各个内角都是60°。 【规范解答】解：如上图所示，在正方形纸上像这样剪出一个三角形，那么∠1的度数是60°。 故选：B。 【考点评析】本题主要考查图形的折叠，关键是知道等边三角形是如何得出的。 4．（1分）（2024•宿迁）如图，正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是（　　）平方厘米。 A．5π B．2.5π C．10π D．20π 【思路点拨】如图： 正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形分成两个完全相同的三角形，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，设圆的半径为r厘米，则可以表示出正方形的面积，正方形的面积已知，进而求出正方形的面积与半径的关系，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：如图： 设圆的半径为r厘米，则正方形的面积： 2r×r÷2×2＝2r2 因为正方形的面积是10平方厘米，所以： 2r2＝10 r2＝5 圆的面积：π×5＝5π（平方厘米） 答：圆的面积是5π平方厘米。 故选：A。 【考点评析】本题考查了圆与组合图形面积计算知识，将正方形分为2个完全相同的三角形，利用2个三角形的面积和与正方形的面积相等求出半径的平方是解答本题的关键。 5．（1分）（2024•如皋市）一个正方体相对的面分别是1点和2点、3点和4点、5点和6点。游戏规则：在方格棋盘上沿棱按照箭头方向翻动正方体，每次不能后退。开始时正方体如左图那样摆放，最后翻动到如右图所示的位置，此时正方体朝上的点数是（　　） A．6 B．5 C．3 D．4 【思路点拨】观察图可知：从左图的位置翻动到右图的位置，根据箭头所指的方法，需要向上翻动1次，再向右翻动2次；向上翻动1次，5点朝上，6点朝下，3点朝后，4点朝前，2点朝左，1点朝右；向右翻动第1次后，2点朝上，1点朝下，3点朝后，4点朝前，6点朝左，5点朝右；再向右翻动1次，6点朝上，5点朝下，3点朝后，4点朝前，1点朝左，2点朝右，所以最后正方体朝上的点数是6。 【规范解答】解：根据箭头从左图的位置翻动到右图的位置，先向上翻动1次，再向右翻动2次；向上翻动1次，5点朝上，向右翻动第1次后，2点朝上，再向右翻动1次，6点朝上。所以此时正方体朝上的点数是6。 故选：A。 【考点评析】解决本题需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟翻转活动，较好地考查了学生空间观念。 二．填空题（共15小题，满分23分） 6．（1分）（2024•溧阳市）用同样大小的正方体木块搭成的立体图形，从前面和上面看到的形状一样，如图所示。搭出这个立体图形至少要用 　5　 个这样的小正方体木块。 【思路点拨】这个立方体图形，从前面看是4个正方形，说明从前面看是由4个小正方体组成的，分两层，下层3个，上层1个居左；从上面看也是4个正方形，由4个正方体组成，分两行，第一行3个，这3个就是从前面看到的第一层3个小正方体，第二行1个小正方体居左，据此解答。 【规范解答】解：3+1+1＝5（个） 用同样大小的正方体木块搭成的立体图形，从前面和上面看到的形状一样，如图所示。搭出这个立体图形至少要用5个这样的小正方体木块。 故答案为：5。 【考点评析】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。 7．（2分）（2024•姑苏区）一个等腰三角形一个底角与顶角的比是2：5，这个三角形的顶角是 　100　 °，它是 　钝　 角三角形． 【思路点拨】等腰三角形中，底角和一个顶角的度数比是2：5，即三个角的比为2：2：5；三角形的内角和为180°，进而根据按比例分配知识分别求出最大角，然后根据三角形的分类进行判断即可． 【规范解答】解：2+2+5＝9， 180100（度）； 根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以该三角形是钝角三角形； 故答案为：100，钝． 【考点评析】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题． 8．（1分）（2024•虎丘区）用一根长60厘米的铁丝可以做一个长是8厘米、宽是5厘米，高是 　2　 厘米的长方体框架。 【思路点拨】用铁丝的总长度除以4，求出长、宽、高的和，再减去长和宽的长度，即可求出高的长度。 【规范解答】解：60÷4＝15（厘米） 15﹣8﹣5＝2（厘米） 答：高是2厘米的长方体框架。 故答案为：2。 【考点评析】本题考查长方体的特征。理解长方体的长、宽、高各有4条。 9．（1分）（2024•鼓楼区）一个正方体木块六个面上分别写上小、南、狮、爱、生、活这六个汉字。从不同角度看这个正方体，如图所示，通过推断可知“南”的对面是 　爱　 。 【思路点拨】根据正方体展开图知识，结合相邻必不相对的原则，“南”与“小”、“活”、“生”、“狮”相邻，所以可知“南”的对面是“爱”，据此解答即可。 【规范解答】解：分析可知，“南”的对面是“爱”。 故答案为：爱。 【考点评析】本题考查了正方体展开图知识，结合题意分析解答即可。 10．（1分）（2024•玄武区）A，B是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积差是 　1.42　 cm2。（单位：cm） 【思路点拨】观察图形可得：甲的面积+丙的面积+丁的面积＝半径为4cm$$ 专题培优讲练—真题重组 2025年小升初数学复习讲义（学生版） 十三大专题知识讲练全覆盖 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 江苏专版 学科网（北京）股份有限公司 作者寄语 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。本书籍将小升初复习内容划分为13个的专题，主要强化数与代数，图形与几何，统计与概率三部分内容专题！ 讲义包含三部分： 【思维导图】精编彩图一目了然，对专题知识点统筹讲解，更加能够具体化考纲内容，精确学习目标； 【知识点全盘覆盖】深入挖掘重难点考查内容，查漏补缺，梳理细致考察点； 【江苏省全市真题重组培优卷】精选近两年全市各地名校真题，专题汇编整理，百分制检测卷，更能够直接了当获取考察方向，重点考察易错点，难度中上，适合所有学生复习使用！ 相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：考试顺利，再创佳绩！ 学科网（北京）股份有限公司 目 录 专题01 数的认识 2 专题02 数的运算 14 专题03 常见的量 23 专题04 式与方程 30 专题05 比和比例 38 专题06 解决问题 49 专题07 探索规律 62 专题08 图形的认识 78 专题09 几何图形的周长、体积与表面积 90 专题10 图形的运动-轴对称、平移与旋转、缩放与折叠 103 专题11 图形与位置-方向、位置、比例尺与路线图 115 专题12 统计 128 专题13 概率 143 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题01 数的认识 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：整数 1.整数的意义和分类：像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数统称为（整数）。整数分为正整数、0、负整数（整数也可以分为自然数和负整数） 易错点拨：0既不是正数，也不是负数 2.整数的读法：读一个多位数，从高级到低级，一级一级地读。每级都按照个级的读法来读，读亿级、万级时，必须加上“亿”字或“万”字。每级末尾的“0"都不读，其他数位有一个或连续几个“0"的都只读一个零。（读数时，可以先画出分级线，再读数，这样可以快速、准确地读出一个多位数 3.整数的写法：写数时，按从高位到低位的顺序，一级一级地写。亿级和万级都按个级的写法来写。哪个数位上一个单位也没有，就在那一位上写0（写完后，画上分级线检查，每一级都只能写四位，不要多写或少写0） ４.整数的大小比较: 比较两个整数的大小，首先数一下多位数的位数，位数多的大于位数少的 如果位数相同，就比较最高位，最高位上的数大的那个数就大；最高位上的数相同，次高位上的数大那个数就大，如果还相同，则继续依次比较，直到比较出大小为止。 ５．整数的改写和近似数 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 （１）数的改写： ①把整万、整亿数改写成用“万”或“亿”作单位的数：把万位或亿位后面的4个0或个0去掉，换成一个“万”字或 “亿”字就可以了 ②把非整万、整亿数改写成用“万”或“化”作单位的数：先把原数的小数点向左移动4位或8位（小数部分末尾是0的要划掉），再在数的后面写上 “万”字或“亿”字，中间用“=”连接 （２）近似数：省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数，再在数的后面写上“万”或“亿”字，中间用约等号连接 易错点拨：近似数常用词：精确到哪位小数、保留几位小数等。 ａ.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是４或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是５或者比５大，就把尾数舍去，并向它的前一位进１。例如：省略345900万后面的尾数约是35万。省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。 ｂ.进一法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，都向前进1。这种求近似数的方法，叫做进一法。 ｃ.去尾法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，一概去掉。这种求近似数的方法，叫做去尾法。 知识点梳理02：小数 1.小数的意义：把整数1平均分成10份、100份、1000份…得到的十分之几、百分之几、千分之几…可以用小数表示。一位小数表示十分之儿，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…. 2.小数的计数单位： 整数部分 小数点 。 小数部分 … 亿级 万级 个级 数位 … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 十分位 百分位 千分位 万分位 … 计数单位 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个 十分之一 百分之一 千分之一 万分之一 3.小数的分类：按小数部分的不同情况小数可分为有限小数和无限小数 ①有限小数：小数部分的位数是有限的.例如：134.56，9.001，2.222是有限小数 ②无限小数：小数部分的位数是无限的.无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数。 循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数，叫做循环小数。例如：0.3333…，1．242424…，9.0531531531… 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：33.333…的循环节是“3”，记作33.3 (。)；4.32727…的循环节是“27”，记4.32 (。)7 (。)；0.1809809…的循环节是“809”，记作0.18 (。)09 (。)。 无限不循环小数：一个没有循环节的无限小数，叫做无限不循环小数。无限不循环小数也叫做无理数。例如：＝3.1415926…是无限不循环小数。 易错点拨：循环小数一定是无限小数，不要误以为小数部分有重复出现的数就是循环小数 4.小数的读法：读小数时，小数的整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按照顺序读出每一个数位上的数字。 易错点拨：小数部分不要按照整数的读法来读。 5.小数的写法：写小数时，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字 易错点拨：整数部分是零的写作”0” 6.小数的基本性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 易错点拨：把一个小数写成指定位数的小数，大小不变，而计数单位和意义都不同。 7.小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的那个小数就大；如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的那个小数就大；如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的那个小数就大，直到比较出大小为止 8.小数点的移动规律 （1）小数点向右 移动一位，原数就扩大到原数的10倍 移动两位，原数就扩大到原数的100倍 移动三位，原数就扩大到原数的1000倍 （2）小数点向左 移动一位，小数就缩小10倍，即小数就缩小到原数的十分之一 ； 移动两位，小数就缩小100倍，即小数就缩小到原数的百分之一 ； 移动三位，小数就缩小1000倍，即小数就缩小到原数的千分之一 ；…… （3）小数点移动要记牢右移扩大、左移缩小 移动一（二、三、……）位是10（100、1000……）倍，位数不够“0”补位。 9.小数的近似数： 01. 保留整数，表示精确到个位，就是要把小数部分省略，要看十分位，如果十分位的数字大于或等于5则向前一位进一。如果小于五则舍去 02. 保留一位小数，表示精确到十分位，就要把第一位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第二位，如果第二位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。 03. 保留两位小数，表示精确到百分位，就要把第二位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第三位，如果第三位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。 04. 为了读写的方便，常把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。改写成“万”作单位的数就是小数点向左移4位，即在万位的右边点上小数点，在数的后面加上“万”字。改写成“亿”作单位的数就是小数点往左移8位即在亿位的右边点上小数点，在数的后面加上“亿”字。注意：带上单位。然后再根据小数的性质把小数末尾的零去掉即可 知识点梳理03：分数 1.分数的意义：①把单位“1"平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫作分数。②把单位"1"平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫作分数单位。 易错点拨：描述一个分数时，不要忘记“平均分”。 2.分数与除法的关系：①被除数÷除数=→ ②因为0不能作除数，所以分数的分母不能为0，③被除数相当于分子，除数相当于分母 易错点拨：注意数量与分率的区别 3.分数的分类： ①真分数：分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1。 ②假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。假分数大于或等于1。 ③带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫作带分数。 易错点拨：假分数大于1或等于1，它的倒数小于或等于1 4.分数的基本性质： ①意义：分数的分子和分母都乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 ②约分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫作约分。（分子、分母是互为质数的分数，叫作最简分数。） ③通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。 易错点拨：把一个分数改写成指定分母的分数后，只是大小不变，而分数单位却发生了变化。 5.分数的大小比较：①分母相同，分子大的分数大；②分子相同，分母小的分数大③分子分母都不同，先通分，在比较或都化成小数再比较大小 6. 倒数：乘积是1的两个数互为倒数；1的倒数是1，0没有倒数。 易错点拨：①倒数是相对于两个数来说的，它们互相依存，可以说一个数是另一个数的倒数，不能孤立地说某一个数是倒数②求一个数的倒数的方法：分子、分母交换位置。求整数的倒数，可以先把整数看成分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。求小数的倒数，可以先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置。 7.分数和小数的互化 1.把分数化成小数的方法：用分数的分子除以分母。 2.把小数化成分数的方法：如果是一位小数就写成十分之几，是两位小数就写成百分之几，是三位小数就写成千分之几，…… 知识点梳理04：百分数 1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数（也叫百分比或百分率） 2.百分数的读写：一个百分数，百分号（%）前面的数是几就把它读作百分之儿。百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后面加上百分号（%）来表示。 3．百分数与分数的联系和区别： （1）联系：百分数表示两个数的倍比关系，分数也可以表示两个数的倍比关系。 （2）区别：百分数不能表示具体数量，也不能带计量单位；但分数可以表示具体数量，也可以带计量单位 4．百分数和小数的互化 （1）把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；也可以先把小数写成分母是100的分数，然后去掉分母和分数线，在分子后面添上百分号。 （2）把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 5．百分数和分数的互化 （1）把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。 （2）百分数化成分数，先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。 6．折扣和成数 （1）折扣：商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如，九折就是原价的90％，八五折就是原价的85%。 （2）成数：农业收成，经常用“成数”来表示。成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”。例如，“一成”就是十分之一，改写成百分数是10%；“三成五”是十分之三点五，改写成百分数就是35% 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.59（中等） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．（2分）（2024•崇川区）下列图（　　）中的涂色部分不能表示一个正方形的。（图中点Q均为正方形对角线的交点） A． B． C． D． 2．（2分）（2024•崇川区）在介绍下面的生活事件时，可能用到0.6这个数的是（　　） A．一本数学书封面的大小 B．一双运动鞋的价钱 C．一个鸡蛋的质量 D．一张学生课桌的桌面长度 3．（2分）（2024•鼓楼区）m是一个奇数，n是一个偶数，下面（　　）的值一定是奇数。 A．4m+3n B．2（m+n） C．2m+7n D．3m+2n 4．（2分）（2024•玄武区）著名的哥德巴赫猜想：“任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和”。通过举例来验证这个猜想，下面举例正确的是（　　） A．21＝3+7+11 B．14＝2+5+7 C．11＝1+3+7 5．（2分）（2024•泉山区）4位同学用不同的方式表示了对“”的理解，其中正确的有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2分）（2024•海门区）数学上把相差2的两个质数叫“孪（luán）生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（　　） A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 7．（2分）（2024•鼓楼区）小熊遮住了甲、乙的一部分（如图），原来的甲、乙长度比较，则（　　） A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．甲和乙一样长 D．无法比较 8．（2分）（2024•鼓楼区）大于而小于的最简分数有（　　）个。 A．1 B．5 C．3 D．无数 二．填空题（共11小题，满分28分） 9．（2分）（2024•崇川区）6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表。那么这组小朋友平均每人实际跳了 　 　 下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作 　 　 。 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 +4 0 +6 ﹣7 +12 ﹣3 10．（2分）（2024•通州区）今年的五一假期，南通市的生态观光、休闲度假、科普研学等旅游路线深受长三角周边城市游客的青睐。五一期间，各旅游景区共吸引游客人数满足：十万位、万位上的数既是偶数也是质数，千位上的非零数既不是质数也不是合数，十位上的数的最大因数是5，个位上的数是2和3的最小公倍数，其余各位上是0，这个数是 　 　 。这个数精确到“万”位约是 　 　 万。 11．（2分）（2024•通州区）（1）如图中的直线上，点A表示的数是 　 　 ；点C表示的数是在直线上标出点C。 （2）如图中OB所在的四边形是正方形。以O为圆心，OB为半径作如图所示的扇形。估一估，正方形对角线OB的长大约是边长的 　 　 倍。（用一位小数表示） 12．（2分）（2024•鼓楼区）哈尔滨冬天会开展“冰雕节”，户外温度为零下15℃，记作 　 　 ℃。2024年春节期间哈尔滨累计接待游客10093000人次，横线上的数改写成用“万”作单位的数是 　 　 万。 13．（3分）（2024•天宁区）5月30日，神舟十六号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火升空，神十六乘组奔赴苍穹。 （1）发射中心所在的酒泉市总面积约为192000平方千米，横线上的数读作 　 　 ，改写成用“万”作单位的数约 　 　 万平方千米。 （2）常州到酒泉的实际距离约2550千米，在比例尺为1：50000000的地图上，两地的图上距离约为 　 　 厘米。 14．（2分）（2024•常州）2023年五一假期，国内旅游出游合计约274000000人次，将横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 　 　 亿，其中常州各大旅游景区共接待约4755100人次，将横线上的数省略“万”后面的尾数约是 　 　 万。 15．（3分）（2024•宿迁）据统计，2024年“五一”假期国内旅游出游约为二亿九千五百万人次，出游人次写作 　 　 ；“五一”假期实现国内旅游收入约一千六百六十八亿九千万元，旅游收入改写成用“亿”作单位的数是 　 　 ，省略“亿”后面的尾数约是 　 　 亿。 16．（2分）（2024•张家港市）在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做45个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。其中第一小队8名男生的成绩记录如下：﹣2，4，﹣1，0，3，﹣3，6，1。那么，该小队男生的平均成绩是 　 　 个，优秀率为 　 　 %。 17．（6分）（2024•崇川区）2023年第十九届亚运会在中国浙江省杭州市举行。 （1）杭州奥体中心体育场俗称“大莲花”，是继“鸟巢”后国内第二大体育场馆，总建筑面积约216000平方米，即 　 　 公顷，共有80800个座位。横线上的数改写成用“万”作单位的数是 　 　 万。 （2）开幕式中，由105791208位数字火炬手汇聚而成的巨型“数字人”，点燃了主火炬，科技感十足，惊艳全世界。横线上的数省略“亿”后面的尾数约为 　 　 亿。 （3）杭州亚运会发行我国第一枚2元彩色银币。这枚银币的厚度约2毫米，质量为5克，假设发行了100万枚银币，则共重 　 　 吨。如果把这100万枚银币叠在一起，那么会高达 　 　 千米，这个高度比黄山主峰莲花峰约1865米还要高 　 　 米。 18．（2分）（2024•海门区）看图填空。 （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是 　 　 。 （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是 　 　 。 19．（2分）（2024•海门区）2024年“五一”假期，我国文化和旅游行业持续火热。经测算，2024年“五一”假期全国国内出游共计约295000000人次，横线上的数读作 　 　 ；“五一”假期实现国内旅游收入约166890000000元，省略“亿”后面的尾数约是 　 　 亿元。 三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分） 20．（2分）（2023•阜宁县）一个自然数不是质数就是合数． 　 　 （判断对错）． 21．（2分）（2024•吴江区）质数一定是奇数，但合数不一定是偶数。 　 　 （判断对错） 22．（2分）（2023•淮安）一种商品打五折销售正好保本，如果不打折销售，则可获得50%的利润． 　 　 ．（判断对错） 23．（2分）（2024•溧阳市）千克也就是70%千克。 　 　 （判断对错） 24．（2分）（2024•溧阳市）某班女生平均身高是1.42m，若把平均身高记为0，小花的身高是135cm，应记作﹣7。 　 　 （判断对错） 四．操作题（共1小题，满分6分，每小题6分） 25．（6分）（2023•苏州）已知如图2个长方形的面积都是2平方分米。 （1）涂色表示出这个长方形的。 （2）涂色表示出平方分米。 五．解答题（共11小题，满分40分） 26．（6分）（2024•盐城）用分数表示如图各图中的涂色部分。 27．（4分）（2023•宿城区）如图，阴影部分面积占整个图形的，用百分数表示为 　 　 %。 28．（4分）（2024•京口区）数学辩论题． 观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质……正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若A与B互质，B与C互质，则A与C一定互质． 你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论． 29．（4分）（2024•海门区）根据如图涂色部分的面积与整个图形面积的关系填空。 　 　 ：16＝ 　 　 （填小数）＝ 　 　 % 30．（2分）（2024•仪征市）勤劳智慧的中国人“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”。自2011年首次实现“神舟号”飞船与“天宫号”空间站交会对接以来，我国的交会对接技术经历了从44小时到约6小时快速对接的跨越，创造了世界纪录。现在快速对接时间约占原来对接时间的。 31．（4分）（2024•仪征市）用分数表示图中的涂色部分，或在图中涂色表示下面的分数。 32．（2分）（2024•兴化市）看图理解题意，在括号里填上适当的数。（注意：本题有3个括号，不要遗漏哦!）这3根彩带的平均长度是 米。 33．（4分）（2024•京口区）根据国家发布的《2022年二氧化碳排放报告》，2022年我国的二氧化碳总排放量为114.79亿吨，与2021年比下降了0.25亿吨。其中电力行业二氧化碳排放量增长有所放缓，但仍是我国碳排放的重要来源，数据显示，2022年整个电力行业碳排放量约占全社会碳总排放量的40%。 （1）2022年我国二氧化碳总排放量为114.79亿吨，将横线上的数精确到十分位约为 　 　 亿吨。 A.115 B.114.7 C.114.8 D.114.80 （2）2022年整个电力行业的二氧化碳排放量约为 　 　 亿吨。 A.45.916 B.287 C.0.1 D.0.63 34．（3分）（2023•鼓楼区）1的分数单位是，它有 　 　 个这样的分数单位，再添上 　 　 个这样的分数单位就是最小的质数。 35．（4分）（2023•锡山区）根据如图阴影部分的面积与整个图形面积的关系填空： 　 　 ：15＝　 　 %＝　 　 （填小数） 36． （3分）（2023•鼓楼区）用7米长的长绳正好做了4根同样长的短绳，每根短绳长 　 　 米，每根短绳是原来绳长的。如果这根长绳的质量为0.315千克，那么十万根这样的长绳重 　 　 吨。 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题02 数的运算 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：四则混合运算的运算顺序 1.分级的标准 四则混合运算分为两级，加法和减法叫作第一级运算；乘法和除法叫作第二级运算。 2.四则混合运算的运算顺序 （1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算（也就是先算乘除法，再算加减法）。 （2）算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的 知识点梳理02：四则混合运算定律 运算定律 文字叙述 用字母表示 加法 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法 乘法交换律 两个数相乘，交换两个乘数的位置积不变 ab =ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把它们的积相加 (a+b)c=ac+bc 知识点梳理03：运算性质 1.减法的性质：a-b-c=a-(b+c) a-b+c=a-(b-c) 2.除法的性质（除数不等于0）: a÷（b×c）=a÷b÷c a÷b÷c=a÷c÷b 3.商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 a÷b=（a×m）÷（b×m）（m0，b0） a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（m0，b0） 重点提示：在利用减法和除法的运算性质进行简便计算时，等式的两边可以颠倒过来，要根据算式的特点灵活地进行去括号或添括号。 知识点梳理04：四则混合运算中的速算技巧： 1.加减法中的速算与巧算 （1）分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．（ “补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”） （2）加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整． （3）数值原理法：先把加在一起为整十、整百、整千…的数相加，再与其它的数相加． （4）“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上） 2.乘法凑整技巧：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使 得运算简便。例如：，， 3.分数与小数混合运算的技巧 在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。 技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。 技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。 技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。 技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。 技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的转化，掌握这些常用的数互化数方法对学习非常重要 知识点梳理05：定义新运算 1.定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。注意： （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 2.一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.58（中等） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•崇川区）如图表示的算式是（　　） A． B． C． D． 2．（2分）（2024•如皋市）如图，小明在计算三位数除以两位数的过程中发现，初商4偏小了，改商5就正好。这道除法竖式中的除数是（　　） A．26 B．28 C．36 D．38 3．（2分）（2024•江阴市）如图竖式中，箭头所指部分的数值可用图（　　）表示。 A． B． C． D． 4．（2分）（2024•阜宁县）学校舞蹈社团准备购买12个手鼓，每个手鼓14元。在竖式中，虚线框画出部分对应的是点子图中的第____部分。（　　） A．① B．② C．③ D．④ 5．（2分）（2024•盐城）某人在计算这四个分数的平均值时，误将其中一个分数看成了它的倒数，他计算出的平均值与正确的结果最多相差（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 6．（2分）（2024•宿迁）比21千克少千克的是 　 　 千克； 　 　 比20吨少25%。 7．（3分）（2024•海陵区）有1，2，5，7四个数。 （1）从中任选两个数组成两位数，一共能组成 　 　 个不同的两位数，其中质数有 　 　 个。 （2）用这四个数组成一道两位数乘两位数的乘法算式，乘积最大是 　 　 。 8．（1分）（2024•崇川区）□.□□是一个两位小数，列竖式计算□.□□×2.4时，笔算过程如图所示，则□.□□×2.4的积是 　 　 。 9．（2分）（2024•徐州）我国古代数学名著《九章算术》中有一道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1206石米，检验发现米里掺杂着谷子，抽样取一把，数得252粒米里有谷子28粒。照这样算，送来的这批米里一共掺杂了 　 　 石的谷子。（石是古代的一种计量单位） 10．（2分）（2024•高港区）数学是思维的体操，思维是数学的灵魂。仔细观察如图的三道计算题，整数、小数和分数加、减法计算方法的相同点是 　 　 。 11．（2分）（2024•江宁区）　 　 千克比32千克少；48平方厘米比 　 　 平方厘米多20%。 三．计算题（共11小题，满分78分） 12．（8分）（2024•启东市）计算下面各题，注意使计算简便。 （1） （2） （3） （4） 13．（8分）（2024•淮安）计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 798+805+801+795+802 14．（8分）（2024•苏州）计算下面各题，能简便的要用简便方法计算。 15．（4分）（2024•高港区）计算。 用、0.5、这三个数可以组成下面四个算式。 ① ② ③ ④ 不计算，请你在如图直线上标出这些算式得数的位置。（填序号） 16．（6分）（2024•徐州）怎样算简便就怎样算。 3.2×0.25×1.25 （）] 17．（8分）（2024•海门区）脱式计算，能简算的要用简便方法计算。 ①560÷16÷5 ②4×0.39×25 ③ ④ 18．（6分）（2024•崇川区）计算下面各题，能简便计算的用简便方法计算。 540÷30+24×5 4.5×99+45×0.1 19．（8分）（2024•通州区）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 12.7﹣3.6﹣5.4 0.125×32×2.5 20．（8分）（2024•天宁区）下面各题，怎样算简便就怎样算。 0.8 76×62.5%+250.625 8.57﹣（2.57+4.38）﹣0.62 [（）] 21．（6分）（2024•赣榆区）简便计算。 22．（8分）（2024•吴江区）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 （1）18.6﹣3.89+2.4﹣6.11 （2） （3） （4）0.4×（2.5×12.5） （5） （6） 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题03 常见的量 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：长度、面积与体积单位 1. 量、计量和计量单位的意义：事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的性质叫作量。把一个要测定的量作为同一个标准的量相比较叫作计量。用来作为计量标准的量叫作计量单位。 2. 计量单位： （1）长度单位：千米（km） 米（m） 分米（dm） 厘米（cm） 毫米（mm） （2）面积单位：平方千米（km2）公顷（hm2） 平方米（m2）平方分米（dm2） 平方厘米（cm2） 平方毫米（mm2） （3）体积单位：立方米（m3） 立方分米（dm3） 立方厘米（cm3） 立方毫米（mm3） （4）容积单位：一般用体积单位，液体用升（L）或毫升（mL）作单位。 3. 计量单位之间的换算关系： （1）长度单位：1千米=1000米 1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米 （2）面积单位：1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 （3）体积单位：1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 （4）容积单位：1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 （5）相邻两个长度单位间的进率是10；相邻两个面积单位间的进率是100；相邻两个体积单位间的进率是1000 知识点梳理02：质量、时间与人民币单位 1. 质量：（1）常用的单位有： 吨（t） 千克（kg） 克（g） （2）进率：1吨=1000千克 1千克=1000克 2.时间： （1）常用的单位（一）：世纪、年、月、日 进率：1世纪=100年 1年=12个月 大月（31天）有：1.3，5，7.8、10，12月 小月（30天）有：4.6.9.11月平年2月28天，闰年2月29天 平年全年365天，闰年全年366天 公历年份是4的倍数的一般都是闰年；但公历年份是整百数的必须是400的倍数才是闰年。如：1900年不是闰年，而2000年是闰年。 （2）常用的单位（二）：时、分、秒 进率：1日=24时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 （3）24时记时法： 24时记时法的意义：24时记时法是指采用从0时到24时的记时法 普通记时法与24时记时法的转换 半夜12时，也叫0时，是一天的开始。从0时到下午1时以前，两种计时法对时间的表示是相同的。从下午1时起，24时计时法在表示时间时比普通计时法多12小时，普通计时法加12小时就是24时计时法，24时计时法减去12小时就是普通计时法。注意使用普通计时法表示时间时，前面要加上“下午”或“晚上”等限制词。 计算经过的时间：如果是同一天，可以先化成24时记时法，再用结束时间减去开始时间；如果涉及两天或两天以上，可以以晚上12时为界，分段计算，再把每段时间加起来。 3. 人民币：（1）常用的单位：元、角、分 （2）进率：1元=10角 1角=10分 1元=100分 知识点梳理03：名数的改写 1.名数的意义： 计量的结果要用数来表示，并且还要带上单位名称，通常把它们合起来叫作名数。只带一个单位名称的，叫作单名数，如1千克、5时等；带两个或两个以上单位名称的，叫作复名数，如3吨50千克、1时30分等。 2.名数的改写： （1）单名数化成单名数：高级单位的数换算成低级单位的数乘以进率，低级单位的数换算成高级单位的数除以进率 （2）复名数化成低级单位的名数：高级单位部分×进率十低级单位部分 （3）复名数化成高级单位的名数：低级单位部分÷进率十高级单位部分 （4）单名数化成复名数：用单名数进率，商是高级单 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.54（中等） 一．选择题（共15小题，满分40分） 1．（2分）（2024•张家港市）对下面的生活数据估计最合理的是（　　） A．一幢11层的居民住宅楼，它的高度大约是18米。 B．小红家装修新房，在卫生间配置了一个舒适的大浴缸，容积大约是30升。 C．28名同学手拉手围成的正方形面积大约是100平方米，100个这样的正方形大约是1公顷。 D．小明每天早上坚持喝一杯250毫升的牛奶，吃一个0.5千克的鸡蛋，再搭配碳水类食物。 2．（3分）（2024•常州）以下说法正确的是（　　） ①2200年有365天。 ②有两根长2米的铁丝，第一根剪去米，第二根剪去，这两根剩下的长度一样。 ③1个底面直径6米、高4米的圆锥形麦堆，如果堆成底面直径2米的圆柱形，高为4米。 ④六（1）班男生人数比女生多20%，女生人数就比男生少。 A．① B．①③ C．②④ D．①②③④ 3．（2分）（2024•吴江区）一场电影90分钟，到下午4：20结束。这场电影是下午（　　）开始的。 A．5时10分 B．2时10分 C．2时50分 D．14时50分 4．（2分）（2024•海陵区）下面的节日都在小月的一组是（　　） A．妇女节、国庆节 B．清明节、劳动节 C．儿童节、教师节 D．元旦、建军节 5．（2分）（2024•海陵区）下面说法不符合实际的是（　　） A．一个苹果重约300克。 B．天安门城楼高约35米。 C．长江长约6300千米。 D．100米赛跑用时约5秒。 6．（2分）（2024•兴化市）2024年6月，我们将小学毕业。今年第一季度共有（　　）天。 A．90 B．91 C．92 D．无法确定 7．（3分）（2024•宿迁）以下是发生在闰年的大事是（　　） A．2018年嫦娥四号探测器发射成功。 B．2022年第24届北京冬奥会成功举办。 C．2023年第19届亚运会在杭州举行。 D．2024年我国第三代自主超导量子计算机上线。 8．（3分）（2024•宿迁）宿迁市的占地面积约为8555（　　） A．平方米 B．公顷 C．平方千米 D．亩 9．（3分）（2024•苏州）某一个月中，星期一、二、三、四、五都只有4个，星期六和星期天都有5个，这个月的1号是（　　） A．星期五 B．星期六 C．星期天 10．（3分）（2023•武进区）对下面数据的估计，准确的是（　　） A．100万枚1元的硬币大约是6千克 B．格兰仕烤箱的容量约40毫升 C．比亚迪电动宋ev系列续航里程是40km D．容纳100个小朋友做操的草坪约150平方米 11．（3分）（2023•清江浦区）下面的节日在第二季度的是（　　） A．元旦 B．妇女节 C．儿童节 D．国庆节 12．（3分）（2023•金湖县）同学们8：50开始上第二节课，每节课40分钟，第二节课下课的时间是（　　） A．8：90 B．9：20 C．9：30 13．（3分）（2023•通州区）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费；半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算。一辆汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（　　） A．7：25～11：00 B．13：30～15：30 C．10：35～13：55 D．9：55～12：25 14．（3分）（2023•灌云县）下面说法中，不符合实际的是（　　） A．一个苹果重300克。 B．一瓶矿泉水的净含量是380毫升。 C．今年2月有28天。 D．运动会，明明获一百米短跑冠军，成绩为6秒。 15．（3分）（2023•武进区）少年宫的开放时间是8：00﹣17：00．小玲下午1：30进入少年宫活动，她在少年宫最多可以活动的时间是（　　） A．2.5小时 B．3.5小时 C．4.5小时 D．5.5小时 二．填空题（共20小题，满分60分） 16．（5分）（2024•通州区）在横线内填合适的数或单位名称。 体育老师季老师的体重约56 　 　 ，一次能喝0.2 　 　 的水。她每天晚上跑步1.1小时，也就 　 　 分钟；她的速度大约是80 　 　 ，每天大约跑5 　 　 。 17．（3分）（2024•鼓楼区） 3吨40千克＝ 　 　 吨 12.04平方米＝ 　 　 平方米 　 　 平方分米 18．（2分）（2023•江阴市）中国和英国的时差为8小时，当北京时间18：00时，英国才只有上午10：00。一架飞机11月24日17时从伦敦希斯罗机场起飞，经过12小时飞行抵达北京首都国际机场，这时北京是11月 　 　 日 　 　 时。 19．（4分）（2024•常州）在横线上填合适的单位或数。 2023年5月28日，国产大飞机C919完成全球首次商业载客飞行。10时32分，C919从上海虹桥机场起飞，12时31分抵达北京首都机场，途中经历了 　 　 时 　 　 分。国产大飞机C919机高12 　 　 ，机身总长389 　 　 ，最大飞行高度约为12 　 　 。 20．（4分）（2024•鼓楼区） 4米5厘米＝ 　 　 米 13吨20千克＝ 　 　 千克 16公顷＝ 　 　 平方千米 0.6分＝ 　 　 秒 21．（4分）（2024•江宁区）在横线上填上合适的单位。 （1）一节火车集装箱的容积大约是40 　 　 ；一所小学的面积大约是4 　 　 。 （2）南京地铁5号线（Nanjing Metro Line 5）是中国江苏省南京市第十三条开通的地铁线路。于2024年3月31日开通运营南段（吉印大道站一文靖路站），标志色为鹅黄色；截至2024年4月，南京地铁5号线全长37.4 　 　 ，全部为地下线；共设置30座车站，最高运行速度80 　 　 。 22．（2分）（2024•江宁区）2024年全年有 　 　 天，2024年6月1日是星期六，这一年你将升入初中，9月1日入学这一天是星期 　 　 。 23．（3分）（2024•启东市）1.05升＝ 　 　 毫升 25分＝ 　 　 时 8平方分米＝ 　 　 平方米 24．（2分）（2024•徐州）5.04吨＝　 　 吨 　 　 千克 3时25分＝　 　 时 25．（3分）（2024•泗洪县）200厘米＝　 　 米 千克＝　 　 克 3小时45分＝　 　 时 26．（2分）（2024•盐城）在横线上填上合适的数。 45秒＝　 　 分 立方米＝　 　 升 27．（2分）（2023•滨湖区）一辆小汽车的自身重量为1.82吨，合 　 　 千克； 一场电影的放映时间是105分钟，合 　 　 小时。 28．（3分）（2023•鼓楼区）填合适的单位：北京时间2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射升空6.5 　 　 后，神舟十六号以快速交会对接模式，共同形成“三舱三船”超级组合体，由此构成中国空间站最大吨位和最大构型，总质量接近100 　 　 。从2003年神舟五号成功发射到2023年，恰逢中国载人航天飞行圆满成功20 　 　 。 29．（3分）（2023•苏州）在横线里填上合适的数。 3吨40千克＝　 　 吨 24分＝　 　 时 4.05立方米＝　 　 升 30．（2分）（2023•工业园区）在横线里填“＜”、“＞”、“＝”。 3.2时 　 　 3小时20分 0.04平方千米 　 　 4公顷 31．（4分）（2023•海陵区）在横线上填上合适的单位名称。 李伟的数学课本封面大约是480 　 　 ，他的保温杯大约可以装水500 　 　 。 马拉松是一项考验耐力的长跑比赛项目，其全长大约是42 　 　 ，一名职业运动员跑完全程大约需要2.5 　 　 。 32．（3分）（2023•江都区）25分＝　 　 时；平方千米＝　 　 公顷；千克＝　 　 克。 33．（2分）（2023•广陵区）2023年5约30日9时31分，神舟十六号载人飞船发射升空，飞船入轨后，于16时29分成功对接于空间站天和核心舱径向端口，18时22分，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎环道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”，整个过程历时 　 　 时 　 　 分。 34．（3分）（2023•惠山区）750千克＝　 　 吨； 时＝　 　 分； 3.06公顷＝　 　 平方米。 35．（4分）（2023•阜宁县）在横线里填上合适的数 （1）520平方米＝　 　 公顷 （2）25分＝　 　 时 （3） 升＝　 　 立方厘米 （4）2吨30千克＝　 　 吨 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题04 式与方程 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 重点提示： 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点梳理02：等式与方程 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点梳理03：列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤。 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.55（中等） 一．选择题（共12小题，满分24分，每小题2分） 1．（2分）（2024•启东市）如果今年小宁和哥哥的年龄和是偶数，那么再过x年，他俩的年龄和是（　　） A．奇数 B．偶数 C．可能是奇数，也可能是偶数 D．无法确定 2．（2分）（2024•崇川区）如图所示：有两根长度均为x的木条重叠在一起，两端分别固定在点M和点N。将叠在上方的木条从中锯开，分为长度分别为a和b的两根小木条，两根小木条可分别绕点M和点N旋转。现有一根可变长度为c的皮筋，一端固定于点N处，另一端固定于长度为a小木条的另一端（非点M）。这样，长为a的木条、长为x的木条和可变长度为c的皮筋可围成不同的三角形。那么，下列说法中错误的是（　　） A．a＝x﹣b B．c＞b C．c＞x﹣a D．a+b＞c 3．（2分）（2024•启东市）计算如图中最大的正方形的面积，不正确的是（　　） A．a2+b2+2ab B．（a+b）（a+b） C．（a+b）2 D．a2+b2 4．（2分）（2024•海门区）\如图，幸福村计划修一条路，求剩下的还要修多少天，列式正确的是（　　） A．a÷b﹣6 B．a÷（b÷6） C．6b D．a﹣6b 5．（2分）（2024•高港区）仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+b2+2ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝2ab 6．（2分）（2023•通州区）数x所在的位置如图，则x在（　　）的位置。 A．点A B．点B C．点C D．点D 7．（2分）（2023•靖江市）已知a是奇数，下面哪个式子的结果是奇数？（　　） A．a+7 B．a+a﹣2 C． D．a2 8．（2分）（2023•高邮市）m是一个偶数，n是一个奇数，下面的算式中，结果是奇数的是（　　） A．2（m+n） B．m+n2 C．5m+4n D．3mn+2 9．（2分）（2023•灌云县）如图集合图所表示的，正确的有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2分）（2023•广陵区）如图，3个杯子叠起来高15厘米，5个杯子叠起来高19厘米。n个杯子叠起来的高度是（　　）厘米。 A．11+2n B．9+2n C．15+2n D．19+2n 11．（2分）（2023•无锡）某商店先进货7辆自行车，平均每辆自行车a元，后来又进货5辆自行车，平均每辆自行车b元。商店促销活动，王老板准备以每辆元的价格把自行车全部卖掉，聪明的店员小王想了想对王老板说：“老板，这样定价会亏钱的。”亏钱的原因是（　　） A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．与a、b大小无关 12．（2分）（2024•鼓楼区）下列对2a+4这个式子的解释，正确的是（　　） A． B． C． 二．填空题（共11小题，满分16分） 13．（1分）（2024•鼓楼区）工地上有a吨水泥，每天用去3.5吨，用b天后，剩下的吨数用式子表示是　 　 ． 14．（2分）（2024•虎丘区）果园里有桃树x棵，梨树棵数比桃树棵数的3倍少20棵．梨树有 　 　 棵．当x＝120时，梨树有 　 　 棵． 15．（2分）（2023•鼓楼区）一种贺卡的单价是a元/张，小英买8张，用去 　 　 元；小明买n张，付出10元，应找回 　 　 元。 16．（1分）（2023•丹阳市）小明在数学实践课中，利用硬纸条做了一个平衡支架开展数学实验。如果在支架左侧第4个孔挂3颗珠，右侧第3个孔应 　 　 颗珠才能保持平衡。 17．（2分）（2024•崇川区）如图是一个计算机计算程序，当输入数据后，计算机会按照程序从左往右进行计算，得出结果a，只有当a≤1时，计算机才会输出数据。当输入x＝2时，输出的数为 　 　 ；当输出的数最大时，x＝ 　 　 。 18．（1分）（2024•高港区）六年级的哥哥和二年级的弟弟同时做一道除法题“a÷b”（a、b都是自然数）。哥哥的计算结果是a÷b，弟弟的计算结果是a÷b＝3……2，他俩的计算结果都是正确的。b表示的数是 　 　 。 19．（2分）（2024•常熟市）中国南方人的标准体重可按下面的公式计算：b＝（a﹣150）×0.6+48，其中b表示标准体重（千克），a表示身高（厘米）。身高160厘米，标准体重是 　 　 千克；身高 　 　 厘米，标准体重是66千克。 20．（1分）（2024•昆山市）小马虎在计算时，把括号漏看了，这样算出结果与正确结果相差 　 　 。 21．（1分）（2024•常州）小王在计算（47+m）×5时误算成了“47+m×5”，小王所算结果与正确结果相差 　 　 。 22．（2分）（2023•溧阳市）同学们在手工课上折千纸鹤迎接熊猫丫丫回国，晶晶折了a个，东东折的个数比晶晶的多8个，东东折了 　 　 个。当a＝64时，东东比晶晶少折了 　 　 个。 23．（1分）（2024•泉山区）正方形的边长为a厘米，当边长增加2厘米时，它的周长是 　 　 厘米。 三．计算题（共10小题，满分60分，每小题6分） 24．（6分）（2024•天宁区）解下列方程。 50%xx＝12.5 0.6x﹣11.9＝18.58 7：24 25．（6分）（2023•鼓楼区）解方程或解比例。 1.8x﹣5.8＝3.2 x+60%x＝7.2 26．（6分）（2023•泉山区）解方程。 （1） （2） （3）4：x＝2：1.6 27．（6分）（2024•张家港市）解方程或者解比例。 1 3（x﹣0.24）＝2.1 0.75：x：8 28．（6分）（2023•金坛区）解方程或解比例。 12x﹣15＝9 2x+250%＝11.5 29．（6分）（2023•工业园区）解方程。 0.8x﹣8.5×2＝7 30．（6分）（2024•启东市）解方程或比例。 （1） （2） （3） 31．（6分）（2024•通州区）解方程或比例。 1+0.4x＝3.4 32．（6分）（2024•虎丘区）解方程。 13+9x＝112 ：x x 33．（6分）（2023•雨花台区）解方程或解比例。 （1）； （2）； （3）3﹣x＝6x﹣2（x+1）。 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题05 比和比例 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：比 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点梳理02：比例 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点梳理03：正比例和反比例 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点梳理04：比例尺 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.53（较难） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•崇川区）图中有一个三角形ABC，它和三角形BOD的面积比不可能是（　　） A．1：2 B．1：1 C．3：1 D．2：1 2．（2分）（2024•通州区）如图，三角形a边上的高是b，m边上的高是n。下面的比例中，正确的是（　　） A．a：b＝m：n B．a：m＝b：n C．a：n＝m：b D．a：b＝n：m 3．（2分）（2024•雨花台区）在判断9：6和18：12能否组成比例时，如图是四位同学的判断过程，（　　）是根据比例的基本性质判断的。 A．乐乐 B．安安 C．笑笑 D．兰兰 4．（2分）（2024•盐城）盒子里有黑白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑白棋子的比是2：5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑白棋子的比是3：5．如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3：7，那么原来盒子中黑白棋子的数量之比是（　　） A．6：5 B．5：6 C．4：3 D．3：4 5．（2分）（2024•苏州）如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2：1，空白部分甲和乙的面积比是（　　） A．4：1 B．6：1 C．8：1 D．3：1 二．填空题（共8小题，满分19分） 6．（1分）（2024•崇川区）袋子里原来红球和白球的数量之比是19：13，放入若干个红球后，红球与白球数量之比变为5：3。再放入若干个白球后，红球与白球数量之比变为13：11。已知放入的红球比白球少32个，那么原来袋子里共有 　 　 个球。 7．（4分）（2024•通州区）　 　 ：2024÷　 　 ＝　 　 %＝　 　 （填小数）。 8．（2分）（2024•鼓楼区）如图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成 　 　 比例。照这样计算，该汽车5.5小时行驶 　 　 km。 9．（1分）（2024•玄武区）小明和小红所集邮票张数的比是5：6，小明给小红30张邮票后，小明和小红邮票张数的比是4：5，他俩一共有 　 　 邮票。 10．（2分）（2024•赣榆区）王大爷家养的公鸡与母鸡的只数比2：5，母鸡比公鸡多养了36只，公鸡养了 　 　 只，母鸡养了 　 　 。 11．（4分）（2024•宿迁）如果A：5＝4：B，那么A和B成 　 　 比例，AB﹣8＝　 　 ；如果A：5＝B：4（A、B均不为0），那么A和B成 　 　 比例，1＝　 　 。 12．（3分）（2024•赣榆区）如果A：8＝B：11，那么A×　 　 ＝B×　 　 ；如果7a＝10b，那么a：b＝　 　 ：　 　 。 13．（2分）（2024•泰兴市）小明调制了一杯糖水，糖与水的比是1：10。①糖比水少 　 　 %，②这杯糖水的含糖率是 　 　 %。 三．判断题（共3小题，满分6分，每小题2分） 14．（2分）（2024•溧阳市）在一个比例中，两个外项的积与两个内项的积的差为0。 　 　 （判断对错） 15．（2分）（2024•阜宁县）已知红花的朵数比黄花多，那么黄花和红花的朵数比是6：7。 　 　 （判断对错） 16．（2分）（2024•吴江区）若ab﹣8＝125，则a与b成反比例。 　 　 （判断对错） 四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分） 17．（6分）（2024•玄武区）解方程。 2y﹣30%y＝34 五．应用题（共8小题，满分37分） 18．（4分）（2024•常州）酸梅汤是夏天最受大家欢迎的解暑饮品。小宇用180毫升酸梅原汁和部分水调制了530毫升酸梅汤，此时，他看到说明书上写酸梅原汁与水的比是3：7时口感最好。小宇应该再往已调制的酸梅汤里加多少毫升水？ 19．（4分）（2024•鼓楼区）五月份第一车间与第二车间的产量比是4：7，第一车间与第三车间的产量比是5：3。若五月份第二车间生产1400件产品，则五月份第三车间生产多少件产品？ 20．（4分）（2024•姑苏区）有一种小瓶装的消毒液净重50克。小明妈妈买回8千克瓜果，现需将这些生吃的瓜果进行消毒，取出10克消毒液，需加水多少克？ 21．（4分）（2024•天宁区）张华参加“秋白读书节”全民阅读活动，第一周看了一本书的，　 　 ，这本书共有多少页？请从下面选择一个合适的条件将序号填在横线上，再解答问题。 ①第二周看了这本书的25%，还剩下110页。 ②第二周看了50页，第一周看的页数与第二周看的页数比是4：5。 ③再看20页，则已读的页数是未读页数的。 22．（5分）（2024•玄武区）“黄金分割比”被称为世界上最美的比例，其比值的近似值为0.618。已知妈妈的身高为165厘米，下半身长与身高的比值是0.6，为了尽可能达到美的效果，妈妈穿的高跟鞋高度大约为多少厘米？ 23．（5分）（2024•苏州）一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑棋子与白棋子的个数比是2：1，再拿走45枚黑棋子后，黑棋子与白棋子的个数比为1：5，原来黑棋子有多少枚？ 24．（5分）（2024•苏州）A、B两个圆柱形容器底面积的比为4：3，A容器水深20厘米，B容器水深10厘米，现在分别向两个容器内倒入同样多的水，使两个容器水深相同，这时的水深多少厘米？ 25．（6分）（2024•苏州）六年级（1）班阅读角有两个书架，原来第一个书架与第二个书架图书本数的比是4：5，现在第一个书架借走20本书，这时第一个书架的图书占第二个书架的。第二个书架有多少本图书？ 六．解答题（共5小题，满分22分） 26．（4分）（2024•启东市）“圆的面积与半径成比例关系吗？”小芳想到了用列表法研究。请帮她先把表格填写完整，再写出结论和理由。 S 3.14 …… r 1 …… 结论：　 　 理由：　 　 27．（4分）（2024•玄武区）甲、乙、丙三个工程队合作修完了一条水渠。如图是完工后三位队长的一段对话。 甲队 乙队 丙队 我们队一共修了全长的。 水渠全长1200米。 甲队修的与我们队的比是3：2。 选择文中或对话中提供的信息，请提出一个数学问题并解答。 我提出的问题：　 　 ？ 28．（4分）（2024•苏州）一本故事书售价4元．如果小明买了这本故事书，那么小明与小强的钱数之比是2：3；如果小强买了这本故事书，那么两人的钱数之比是4：5，小明原来有多少元钱？ 29．（6分）（2024•张家港市）阅读材料，按要求完成填空。 材料：“水钟”中的数学问题 水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，是用来计时的工具。图1为一种多级漏刻，使用时让漏壶中的水慢慢滴入箭壶，随着箭壶内的水逐渐增多，箭杆被下方的浮子托着慢慢浮起，箭杆上的标记也就随着变化，古人看箭杆上的标记，就能知道具体的时刻。 为了探索箭杆上的标记与所经历的时间之间的关系，育才小学六年级数学兴趣小组的同学们制作了如图所示的简易漏刻装置，并记录箭杆上的数据如表： 箭杆上的标记/厘米 5 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 …… 所经历的时间/分钟 0 1 2 3 4 5 …… （1）请你根据上表的数据，填写空格中箭杆的上升高度。 箭杆的上升高度/厘米 0.4 0.8 1.2 1.6 　 　 2.4 …… 所经历的时间/分钟 1 2 3 4 5 6 …… （2）根据上述表格中的数据，你认为，箭杆的上升高度和所经历的时间成 　 　 关系（填“正比例”或“反比例”）。 （3）照这样推算，经过 　 　 分钟，箭杆会上升3.6厘米。用t表示经历的时间，h表示箭杆上升的高度，那么表示h与t之间关系的等式是 　 　 。 30．（4分）（2024•淮安）无障碍设施建设体现了城市“以人为本”的理念。无障碍出入口应设计盲人坡道，根据相关规定，盲人坡道的坡度一般不应大于1：12，即坡道高度与水平长度的比值不大于。 （1）坡度是指坡道高度与水平长度的比。公园里有一处盲人坡道设计如下图，该处盲人坡道的坡度是多少？ （2）请你判断一下这个坡道的设计是否符合规定？请说明理由。 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题06 解决问题 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 复合应用题 知识点梳理01：复合应用题的解题方法及解题步骤 解题方法 解题步骤 分析法 就是从问题入手，逐步分析题目中已知条件 1.审题：审清题意，并找出已知条件和所求问题； 2.分析：分析题目的数量间的关系，从而确定先算什么，再算什么…最后算什么； 3.列式计算：列出算式，算出得数；4，检验作答：进行检验，写出答案。 综合法 就是从应用题的已知条件，逐步推向末知，直到求出解 分析综合法 就是将分析法，综合法结合起来交替使用的方法 知识点梳理02：一般复合应用题中常见的数量关系 类型 数量关系 类型 数量关系 价钱问题 单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 产量问题 单产量×数量=总产量 总产量÷数量=单产量 总产量÷单产量=数量 行程问题 速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 收支问题 收入-支出=结余 收入-结余=支出 支出+结余=收入 工程问题 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 打折问题 现价÷原价=折数 原价×折数=现价 现价÷折数=原价 知识点梳理03：典型应用题 类型 特征 数量关系 关键点 平均数问题 已知几个不相等的同类数量以及份数，求每份数 总数量÷总份数=平均数 找准总数量和总份数 归一问题 题中每份的量保持不变，解题时先求出不变的单位量，再求未知量 总数量÷份数=单位量 单位量×单位量份数=总数量 总数量÷单位量=单位量份数 确定不变的每份量 归总问题 题中的总量保持不变，解题时先求总量，再求未知量 每份量×份数=总数量 确定不变的总数量 相遇问题 两个物体同时做相向运动，经过一段时间后在途中相遇 速度和×相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间 路程÷相遇时间=速度和 弄清物体运动的方向和时间等 追及问题 两个物体同时做同向运动，后者在一段时间内追及前者 路程差÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=路程差[来源] 路程差÷追及时间=速度差 弄清物体运动的方向和时间等 水中行船 问题 一般船是匀速运动，水速在船逆行和顺行中的作用不同 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 分清是顺水速度还是逆水速度 过桥问题 涉及车长、桥长等问题 路程=桥长+车长 路程÷速度=时间 分清路程是否包含车长 和差问题 已知两个量的和与差，求这两个量 较大数=（和十差）÷2 较小数=（和一差）÷2 移多补少 和倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 和÷（倍数+1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 差倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 差÷（倍数-1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 年龄问题 有关人的岁数问题，常与和倍、差倍等问题结合在一起 参照和倍、差倍的数量关系 年龄差始终保持不变 类型 特征 数量关系 关键点 盈亏问题 一定数量的物品分成若干份，在不同的分配中，有余（盈）或不足 （亏），已知余或不足的数量，求物品的总数或份数 （盈数+亏数）÷两次分得的差=份数 找出两次分得的差与盈亏的总数 鸡兔同笼问题 已知鸡与兔的总头数和总腿数，求鸡与兔各有多少只的应用题 兔的只数=（总腿数-2×总头数）÷2 鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 假设法、方程法 植树问题 不封闭 图形 两端都植树 棵数=段数+1 分清封闭还是不封闭，两端都植树还是都不植 两端都不植树 棵数=段数-1 封闭图形 在圆、正方形等边上植树 棵数=段数 说明：分数百分数应用题放在第10讲主讲；工程问题放在第11讲主讲；行程问题（相遇，追及，流水行船，火车过桥）放在第12讲主讲；列方程解应用题放在第8讲主讲，比和比例应用题放在第9讲主讲；经济问题放在第13讲主讲；本讲重点复习讲解平均数问题、归一归总问题、和差倍问题、盈亏问题、年龄问题、鸡兔同笼问题、植树问题 分数应用题 一、解决分数应用题的关键: 关键——找出“量”与“率”的对应. 要点——“标准量”，即单位“1”的寻找. 二、单位“1”的标志与线索: 1.明显标志：“占”、“是”、“比”、“相当于”这些词语后面的对象. 例：a是（占、相当于）b的几分之几，就把b看作单位“1”． 甲比乙多（少）几分之几，就把乙看作单位“1”. 2.隐含线索：题目没有明确给出比较对象，需要分析增加（减少）了谁的几分之几，一般是指增加（减少）了前面那种状态的几分之几，也就是说前面那种状态下的量就是单位“1”. 例：水结成冰后体积增加了几分之几，意思是增加了原来状态（水）的几分之几. 三、“率”的寻找方法：明示的“率”自不必说. 没有明确指出的“率”，一般可以画线段图，通过分析整体的组成来找出. 四、常用数量关系式和解题模式： 1.常用的数量关系式：在分数（百分数）应用题中存在着三个量，即标准量（单位“１”的量）、比较量（部分量）和分率（百分率）。 分数（百分数）应用题基本的数量关系式： 标准量（单位“１”的量）×分率（百分率）＝比较量（部分量） 比较量（部分量）÷标准量（单位“１”的量）＝分率（百分率） 比较量（部分量）÷分率（百分率）＝标准量（单位“１”的量） 2.解题模式：（1）量÷对应率＝单位“1” （2）分数即份数，设数法解决 （3）多对象多状态多维度，列表解决 五、分数应用题的基本类型及方法： 1.求一个数的几（或百）分之几是多少？ 解题方法：已知数×几（或百）分之几 2.已知一个数的几（或百）分之几是多少，求这个数. 解题方法：已知数÷几（或百）分之几 3.求甲数比乙数多（或少）几（或百）分之几。解题方法：两数之差÷乙数。 4.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1+几（或百）分之几） （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1一几（或百）分之几） 5.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1+几（或百）分之几）。 （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1一几（或百）分之几） 6. 求甲数是乙数的几分之几（百分之几） 解题方法：甲数÷乙数（求百分之几需转化为百分数） 六、单位“1”的转化及应用：把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化；如果甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的；如果甲是乙的，则乙是甲的；如果甲的等于乙的，则甲是乙的÷＝，乙是甲的÷＝ 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.44（较难） 一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分） 1．（1分）（2024•海门区）数学课上，赵老师利用“智慧课堂”系统的互动功能发布了一道练习题，在全班同学提交答案后，数据统计显示此题正确率为80%。若要解决“错误的有多少人”，则你选择的条件是（　　） A．错误的人数与正确人数的比是1：4 B．赵老师表扬了做正确的36位同学 C．认为此题有难度的同学有12人 D．此题错误的人数占了总人数的 2．（1分）（2024•高港区）根据规定，图书出版后，稿费超过800元的部分要缴纳20%的个人所得税。王叔叔一份稿费要缴纳的个人所得税可以用（3600﹣800）×20%来计算，以下表达正确的是（　　） A．王叔叔能领取的税后稿费是3600元。 B．王叔叔这份稿费不需要缴税。 C．王叔叔最后能领到560元稿费。 D．稿费中需要缴税的部分是2800元。 3．（1分）（2024•常熟市）下面能用表示或解决问题的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（1分）（2024•常州）体育老师对六（1）班的8名男生进行引体向上测试，以能连续做5下为达标，超过的用正数表示，不足的用负数表示。记录成绩（单位：下）如下：2、﹣1、2、3、1、0、﹣2、﹣3。这8人的达标率是（　　） A．40% B．50% C．62.5% D．75% 5．（1分）（2024•玄武区）一份稿件，甲、乙、丙三人单独打需要的时间分别为20小时、24小时、30小时。现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用了12小时完成全部任务，甲只打了（　　）小时。 A．8 B．6 C．4 D．2 二．填空题（共8小题，满分14分） 6．（3分）（2024•启东市）酸梅汤是消暑佳品，熬制酸梅膏的配方如图。如果李阿姨要熬制200克酸梅膏，那么需要准备 　 　 克山楂；王阿姨三种材料各准备了60克，当山楂全部用完时，甘草还剩 　 　 克，乌梅还需增加 　 　 克。（不计损耗） 7．（2分）（2024•启东市）李老师坐高铁从北京返回南通，车次信息如图。若上午8：00从北京南站出发，则他将在 　 　 时 　 　 分到达南通西站；如果这列高铁时速达350千米/时，那么北京到南通铁路全长 　 　 千米。（中间停靠时间忽略不计） 8．（2分）（2024•通州区）世界卫生组织提出男生标准体重的计算方法是：标准体重（千克）＝[身高（厘米）﹣80]×70%。六年级的平平身高是150厘米，体重是60千克。他的标准体重应是 　 　 千克。下表是人的不同体重状况的参考标准，平平的体重状况是 　 　 。 体重状况 正常体重 超重 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 参考标准 不超出标准体重的10% 超出标准体重的10%～20% 超出标准体重的20%～30% 超出标准体重的30%～40% 超出标准体重的50% 9．（2分）（2024•雨花台区）汽车的速度是90千米/时，是火车速度的，火车的速度是 　 　 千米/时；高铁的速度比火车快120%，高铁的速度是 　 　 千米/时 10．（2分）（2024•鼓楼区）服装店出售两件衣服，售价都是300元，其中一件赚了20%，另一件赔了20%。合计起来，该服装店 　 　 （填“赚”或“赔”）了 　 　 元。 11．（1分）（2024•天宁区）《庄子》有言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，意思是：一根1尺长的木棍（尺，中国古代长度单位），第一天取走它的一半，第二天取走剩下的一半，第三天再取走剩下的一半……这样取下去，永远也取不完。按这样的方法，第四天取过后，这根木棍一共被取走了 　 　 尺。 12．（1分）（2024•玄武区）有甲、乙两个仓库，甲仓库货物的质量相当于乙仓库的125%，如果从甲仓库取出10吨货物放入乙仓库，那么甲、乙两仓库货物的质量相等。甲仓库原来存有货物 　 　 吨。 13．（1分）（2024•崇川区）小芳做了一个平衡支架开展数学实验（如图），支架上有若干个等距的孔洞。如果在支架左侧的第4个孔挂3颗珠，那么为了保持平衡，既可以在右侧的①号位置挂 　 　 颗珠，也可以在右侧的②号位置挂 　 　 颗珠。 三．应用题（共6小题，满分26分） 14．（4分）（2024•启东市）今年“五一”假期，东疆小城各大景区、场馆共接待游客约51.8万人次，比去年同期增长25%，去年“五一”期间接待游客约多少万人次？ 15．（5分）（2024•启东市）六月是油菜籽丰收的季节，李爷爷把晒干的油菜籽堆成一个底面周长是6.28米、高是1.2米的圆锥形。 （1）每立方米油菜籽约600千克，李爷爷家一共收获油菜籽约多少千克？ （2）油菜籽的出油率约为40%，李爷爷家大约能榨多少千克菜籽油？ 16．（4分）（2024•崇川区）实验小学六年级举行艺术节优秀书画作品展，展出的书画作品数量如图所示。六年级一共展出了多少件书法作品？（列方程解答） 17．（4分）（2024•通州区）如图中，北京到徐州的图上距离是3厘米，徐州到南通之间的图上距离是2厘米。某次列车上午8：30从南通站开出，2.4小时后行驶到徐州站，照这样计算，如果不考虑停靠站时间，那么这列火车什么时候能到达北京站？ 18．（4分）（2024•海门区）现如今“直播带货”成为促进经济增长的有效途径。王大伯将山里的柿子通过直播的形式销售，直播销售量比线下销售量有了很大的提高，销售量增加了90%。这个月王大伯直播销售量是1900千克，你能算出王大伯之前线下的柿子销售量是多少千克吗？ 19．（5分）（2024•海门区）中国四大名著之一的《水浒传》中梁山好汉共有108将，其中正将占总数的，其余是副将。这108将中男将105员，女将3员。 （1）副将有多少员？ （2）小华根据上面的信息，解决了一个问题，下面是他列的 算式：（105﹣3）÷105 根据这道算式，你认为小华解决了什么问题？ 四．解答题（共11小题，满分55分，每小题5分） 20．（5分）（2024•通州区）一台压路机的前轮直径是1.5米，后轮直径是2米。欢欢和乐乐在观看压路机压路时做了一个记录，在3分钟时间内，欢欢记录前轮转了40圈，乐乐记录后轮转了30圈。 （1）他们的记录对吗？请用算式说明。 （2）如果前轮的轮宽是2.5米，那么在上述时间段内，前轮压过的面积是多少平方米？ 21．（5分）（2024•海门区）只列综合算式或方程，不计算。 （1）李阿姨参加2024年南通半程马拉松比赛小时跑了千米。照这样的速度，她跑21千米需要多少小时？ （2）地球绕太阳一周大约要365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍多13天。水星绕太阳一周大约要多少天？ （3）一种长方体通风管，每根长5米，横截面是正方形，边长是0.6米，做20根这样的通风管要用铁皮多少平方米？ （4）李晓明把1000元压岁钱存入银行，整存整取三年，年利率是2.75%。到期时，李晓明可以从银行取回多少元？ 22． （5分）（2024•虎丘区）师徒两人同时装配自行车，师傅每天装配45辆，徒弟每天装配33辆．经过多少天师傅比徒弟多装配60辆？ 23．（5分）（2024•锡山区）一个15分钟的沙漏计时器，6分钟可以漏下这些沙的，再漏 　 　 分钟后，还剩这些沙的。 24．（5分）（2024•天宁区）我国是一个水资源严重短缺的国家，节约用水是每个人都应该养成的好习惯.为鼓励居民合理用水，常州规定居民用水收费标准如表①。 表① 用水量 收费方式 备注 不超过15立方米 基本价 每户以3人为计算标准。如果每户人口超过3人的，每增加1人，月用水量增加5立方米。 超过15立方米 未超过的部分仍按基本价，超过的部分按调节价收费 王宇家共有3口人，今年四、五月的用水量和水费如表②。 表② 月份 用水量/立方米 水贵/元 四 15 56.55 五 17 65.93 （1）常州居民用水水费的基本价是 　 　 元/立方米，调节价是 　 　 元/立方米。 （2）王宇家六月份的用水量是20立方米，六月份的水费是多少元？ 25．（5分）（2024•天宁区）如图是一卷泡沫胶的尺寸示意图，底面内圆直径为4cm，外圆直径为14cm，高为2cm。 （1）这卷泡沫胶的体积是多少立方厘米？（不计空心部分，计算结果保留π） （2）要给这卷泡沫胶制作一个长方体包装盒，至少需要多少平方厘米的硬纸板？（接头处忽略不计） 26．（5分）（2024•崇川区）学校购买了一批足球，但购物清单不小心被沾上了墨水。会计只记得4号足球的数量比5号足球多60%，4号足球的单价是5号足球的。 （1）学校购买了多少个5号足球？ （2）每个5号足球多少钱？ 27．（5分）（2024•鼓楼区）芳芳的爸爸拿到一笔8000元的奖金，他打算按下面的方案进行分配：其中的交芳芳的学费，15%用来购书，其余的购买国家建设债券． （1）交学费和购书一共多少钱？ （2）国家建设债券定期三年，年利率是2.89%，到期后芳芳的爸爸可以获得本金和利息一共多少元？（国家建设债券免交利息税） 28．（5分）（2024•鼓楼区）如图，把3个高相等，底面半径都是10cm的圆柱形盒子叠放在一起，如果拿走1个盒子，表面积就减少314cm2，每个盒子的体积是多少？ 29． （5分）（2024•锡山区）甲书架的书是乙书架的，若从乙书架取21本书放入甲书架，则两个书架的本数相等，乙书架原来有多少本书？ 30．（5分）（2024•玄武区）某人骑自行车从甲地到乙地，前20分钟走完全程的，然后他加快速度，每分钟比原来多走60米，又走了15分钟后，离乙地还有1.8千米，甲、乙两地相距多少千米？ 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题07 探索规律 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观察分析,找到数列中的规律,然后填空解答 知识点梳理01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点梳理02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点梳理03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点梳理04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点梳理05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点梳理06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.48（较难） 一．选择题（共8小题，满分8分，每小题1分） 1．（1分）（2023•如皋市）用同样长的小棒摆正方形（每条边用一根小棒），照这样摆，摆n个正方形需要（　　）根小棒。 A．4n B．3n C．4n+ D．3n+1 2．（1分）（2024•淮安）科学实验课上，同学们往一个玻璃容器中滴水（滴水速度相同，如图），四位同学将滴水时间和容器中水面高度变化情况绘制成示意图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（1分）（2024•苏州）如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有____个。（　　） A．462 B．384 C．420 D．424 4．（1分）（2024•盐城）已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（　　） A．114 B．122 C．220 D．84 5．（1分）（2024•常熟市）如图是游泳池的截面，分为浅水区和深水区，如果以固定的水流量向游泳池注水，下面能表达水的最大深度h与注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 6．（1分）（2024•兴化市）五一假期，兴化李中水上森林景区，沿林间小道把一组灯笼按照“2红1黄2蓝”的顺序挂起来，一共挂了69盏灯笼。其中蓝灯笼有（　　）盏。 A．25 B．26 C．27 D．28 7．（1分）（2023•涟水县）化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是（　　） A．4 B．2 C．8 D．5 8．（1分）（2023•苏州）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36……这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，不符合这一规律的是（　　） A．25＝9+16 B．36＝15+21 C．49＝21+28 D．64＝28+36 二．填空题（共10小题，满分23分） 9．（2分）（2023•通州区）中国是一个多民族国家，其中我国苗族的千人长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有几千年的历史。如图所示，长桌像这样拼下去，5张桌子拼在一起可以坐 　 　 人，n张桌子拼在一起可以坐 　 　 人。 10．（2分）（2024•崇川区）1885年，在瑞士小镇巴塞尔的一所中学，数学老师巴尔末盯着一幅光谱图上的一组波长数据很长时间，发现了规律：将4个数分别作为前项，后项都为3645.6，得到4个比，并根据规律写出了后面的比，它们的比值形成了一串数列、、、，由此，巴尔末打开了光谱的神秘大门，也让他的名字永远地刻在了物理学史的丰碑上。请根据上面四个比值找出规律，写出第五个比值是 　 　 。 11．（2分）（2024•崇川区）小红用围棋子摆图案，并用表格记录了摆的情况。 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 图案 …… 数量（枚） 1 3 7 13 21 …… 观察表格，像这样继续摆下去，第8个图案需要的围棋子数量是 　 　 枚，第n个图案需要的围棋子数量是 　 　 枚。（用含有字母的式子表示） 12．（4分）（2024•通州区）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究。 （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）。第6个三角形数是 　 　 ；第n个三角形数是 　 　 。 （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”。第n个正方形数是 　 　 。 （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。 以此类推，第n幅图为 　 　 ＝ 　 　 +　 　 。 13．（2分）（2024•鼓楼区）围棋是一种起源于我国的棋类游戏，深受人们的喜爱。课间，小南用棋子在棋盘上摆出如图所示的图形，照这样的规律继续往下摆。 （1）第10个图案中白棋有 　 　 颗。 （2）第 　 　 个图案中黑棋有36颗。 14．（2分）（2024•天宁区）按照如图中的规律继续画下去，第7幅图长 　 　 厘米，第n幅图长 　 　 厘米。 15．（2分）（2024•玄武区）某市民广场地面铺设地砖，决定采用两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律摆成若干个图案。照这样的规律摆下去，第n个图案中白色地砖有 　 　 块。 16．（3分）（2024•张家港市）小芳用小棒搭正五边形，并用表格记录了搭的情况。 序号 ① ② ③ …… 图形 …… 数量/根 5 9 13 …… 以此类推，搭8个正五边形需要 　 　 根小棒，用121根小棒可以搭 　 　 个正五边形，搭n个正五边形需要 　 　 根小棒。（用含有字母的式子表示） 17．（2分）（2023•雨花台区）下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依此规律，第3个图案中白色正方形的个数为 　 　 个，第n个图案中白色正方形的个数为 　 　 个，如果某图案中有103个白色正方形，它是第 　 　 个图案。 18．（2分）（2024•海安市）数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫作多边形的对角线。 正多边形 …… 边数 4 5 6 …… 一个顶点可画 对角线数量 1 2 3 …… 对角线总数量 2 5 9 …… 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 　 　 条对角线，正n边形共有 　 　 条对角线。 三．解答题（共12小题，满分69分） 19．（6分）（2024•崇川区）如图①～图③所示，计算如22﹣1，32﹣22，42﹣32……算式的结果，可采用“数形结合”的方法解决。以图①计算22﹣12的过程为例，先构造两个边长分别为1和2的正方形，算式22﹣12的结果即可转化为涂色长方形的面积。再把这个构造与转化过程用算式表示并算出结果：12＝（2+1）×（2﹣1）＝3。 （1）先观察图②和图③的构造与转化过程，再用算式表示并算出结果： 32﹣22＝ 　 　 ；42﹣32＝ 　 　 。 （2）请在图④上方空白处画出对应的转化过程。 （3）若将如上算式用字母式概括表示为（n+1）2﹣n2，那么： （n+1）2﹣n2＝ 　 　 。 （4）从如上第（1）～（3）题继续往下思考，如果想得到形如（n+2）2﹣n2的算式结果，怎样运用“数形结合”的方法构造与转化？ ①先在草稿纸上列举几个形加（n+2）2﹣n2的算式例子，尝试用图形构造、转化，并用算式把过程表示出来：再从你举的几个例子中，结合“图5°上方空白处大小，选取一个合适的算式，将这个算式用图形构造与转化的过程在方格图中画出来。 ②根据几次的尝试和思考，试着把对（n+2）2﹣n2结果的猜想写出来：（n+2）2﹣n2＝ 　 　 。 20． （5分）（2024•崇川区） （1）下面四个选项的内容，可以用图来说明的是 　 　 。 A.无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝完壶中酒。借问此壶中，原有酒几何？ B.凡将起五音，凡首。先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为微。不无有三分而去其乘。适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽，有三分，去其乘，适足，以是成角。 C.一尺之棰，日取其半，万世不竭。 D.割之弥细，所失弥少。割之义割，以至于不可割…… （2）如图继续画下去，第6幅图表示的分数是 　 　 ，第 　 　 幅图中的涂色部分的长度是空白部分的。 21．（6分）（2024•崇川区）在长方形ABCD（长、宽均为整厘米数）中，有一只小虫P从点A开始，沿着长边AB和宽边BC爬行到点C（如图1），小虫在AB边上的爬行速度为每秒1厘米，BC边上的爬行速度为每秒2厘米。连接点D和点P，长方形ABCD就被分成①和②两个多边形，这两个多边形的形状和面积随着点P的移动在不断变化。图2记录的是①、②的面积和小虫爬行距离的变化情况。 （1）长方形ABCD的面积是 　 　 平方厘米。 （2）当小虫P爬行到BC中点时，求梯形PBAD的面积是多少平方厘米？ （3）求小虫P从点A爬到点C需要多少秒？ 22．（6分）（2024•海门区）用96cm长的绳子在桌面上摆出正方形，先把这根绳子摆成1个正方形，再把这根绳子摆2个正方形，3个正方形，4个正方形…… （1）正方形的个数与每个正方形边长之间的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 …… x 边长/cm 24 …… y 观察如表，可知xy＝ 　 　 。 （2）正方形的个数与所摆图形顶点数的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 5 …… 顶点数/个 4 7 10 …… 当正方形的个数是x时，顶点是 　 　 个；当摆出的图形共有100个顶点时，共摆 　 　 个正方形。 23．（4分）（2024•玄武区）探索与实践：总复习进行整理与反思时，一位同学借助画图把复杂计算转化为简单计算，设计并分享了这样的一组问题： ① ② （1）先观察图①，再计算1﹣　 　 。 （2）以此类推，......1﹣　 　 。 （3）可以先在图②中画一画，再算一算 　 　 ＝ 　 　 。 24．（6分）（2024•如皋市）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 （1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是 　 　 。 （3）应用：像这样如果剪切20次，会分成 　 　 段。 25．（6分）（2024•海陵区）阅读材料并回答问题。 学校组织六年级同学到泰州科技馆开展研学活动时，同学们不约而同地聚集在一个演示装置前。小添同学仔细观察了装置的动态演示过程： 在这个装置中，带有颜色的液体在三个截面为正方形、厚度相同的透明容器之间自由流动，而这三个容器底面正方形的边长恰为直角三角形的三边长度。转动装置，会发现上方容器中的液体受重力影响流至下方容器。演示过程如图： 回家后，小添在方格纸上通过画图、计算的方法，对装置原理进行了以下探究，请你数一数、想一想、填一填。（每小格边长1厘米） 探究一：图1中，阴影部分表示的直角三角形的周长是12厘米，那么它的斜边长是 　 　 厘米。 探究二：为了进一步探究，小添制作了如下的探究单。请填写下面表格，完成探究。 S1/cm2 S2/cm2 S3/cm2 数据记录 图1 图2 图3 我的发现 S1、S2、S3面积关系 （用含有字母的式子表示） 我的猜想 直角三角形三条边 a、b、c关系 （用含有字母的式子表示） 探究三：已知一个直角三角形，两条直角边的长度分别为5厘米和12厘米。请你利用发现，算一算，斜边的长度是 　 　 厘米。 26．（6分）（2024•海陵区）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形无数时难入微。”数学学习时把数与形联系起来思考，往往会有意想不到的作用。如：计算时，可以将算式转化成图形面积问题来进行简便计算（如图1）。请你尝试不通分，利用画图的方法简便计算：（先在图2中画出示意图，再用简便方法计算，写出计算过程和结果）。 27．（6分）（2023•武进区）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数 1、1、2、3、5、8、13、21、34……计算 12+12+22+32+52+82+132+212+342+…… 这样的算式时有简便方法吗？ （1）这个复杂问题能否从简单入手，用数形结合的方法来探索？先根据算式中数的特点画一画再填一填。 （2）若按此规律拼，序号 　 　 的和是1870，它表示的算式是 　 　 。 28．（6分）（2023•浦口区）如图，聪聪用1平方厘米的正方形纸片摆出不同的图形，并进行研究。 （1）观察图中的规律，填写表格。 层数 1 2 3 4 …… 8 n 面积/cm2 1 4 9 　 　 　 　 …… 　 　 （2）聪聪利用上表中的数据，制作了如图的表格。照这样排下去，排在（5，1）位置的数是 　 　 。 排在（8，2）位置的数是 　 　 。当n大于3时，排在（n，3）位置的数是 　 　 。 29．（6分）（2023•溧阳市）探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆一圈所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）丁丁用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ …… 图形 …… 圆柱的个数 1 3 6 …… 绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 …… （1）若按此规律继续摆，图④中有 　 　 个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 　 　 。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有 　 　 个圆柱，表示图⑨中绳子长度的算式是 　 　 。 30．（6分）（2023•浦口区）别有“动”天。 数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通。如果用运动的眼光来观察，可能会有不一样的发现。 如图1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面积。 轩轩思考涂色部分是三角形BEC，这个三角形的底和高都不知道，正当他一筹莫展时，点B动起来了，它沿着BA向上运动，当运动到A点时，形成三角形ADE（如图2）。这时三角形ADE和图1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面积相等，形成的大三角形ADC的面积和图1涂色部分的三角形BCE面积相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘米，面积是 　 　 平方厘米，即涂色部分面积。 通过点的运动，形成新的图形，问题迎刃而解。既然点可以动起来，那么线段呢？ 如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中涂色部分长方形的周长分别是14厘米和8厘米。原来长方形的周长是多少厘米？ 线段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。发现原来长方形的周长就是两个涂色部分周长的 　 　 ，从而巧妙解题。 点的运动、线的运动……运动的对象不同，解题思路却异曲同工。 静中有动，动中有静，动静变换之中灵感无限。请尝试解决图4和图5中的问题。 （1）图4中涂色部分是一个正方形，那么长方形ABCD的周长是 　 　 厘米。 （2）图5大正方形边长为14厘米，涂色部分正方形的面积是 　 　 平方厘米。 图形里的“点、线、面”活泼好“动”，让解题思路别有“动”天，令人茅塞顿开，如入“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之境。 通过上面的学习，令人印象深刻的有 　 　 。 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题08 图形的认识 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：线和角的认识 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识点梳理02：三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 知识点梳理03：四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 知识点梳理04：圆的认识 1.在同圆或等圆中,所有的直径都相等,所有的半径都相等。  2.圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴就是直径所在的直线。 知识点梳理05：长方体和正方体的认识 名称 长方体 正方体 图形 展开图 相同点 面 　6　个 　6　个 棱 12　条 　12　条 顶点 8 个 　8　个 不同点 面的特点 　6　个面一般是　长方形　,也可能有2个相对的是　正方形　 　6　个面都是相同的正方形 面的大小 相对的面的面积　相等 　6　个面的面积都　相等　 棱长 相对的棱的长度　相等 　6　条棱的长度都　相等　 联系 正方体是特殊的长方体 知识点梳理06：圆柱与圆锥的认识 1.圆柱的定义:以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆柱。 2.圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆锥。 3.圆柱和圆锥的特征: 名称 图形 展开图 特征 圆柱 (1)上下两个底面是两个相等的圆;两个底面之间的距离叫作高(h);圆柱有　无数 条高。 (2)侧面展开图是长方形(或正方形),长方形的长相当于圆柱的底面　周长　,宽相当于圆柱的　高　 圆锥 (1)底面是圆,顶点到底面圆心(O)的距离叫作高(h),圆锥只有　1　条高。 (2)圆锥的侧面展开图是一个　扇形　 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.54（中等） 一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分） 1．（1分）（2024•崇川区）如果用表示1个正方体，用表示2个正方体，用表示3个正方体。那么，从前面观察如图所示的物体，所画出的平面图是（　　） A． B． C． D． 2．（1分）（2024•通州区）在搭建长方体框架的操作活动中，每位同学都利用8片长方形塑料片进行搭建。塑料片规格和数量如图所示。 下面是四位同学搭建过程中未完成的作品。如果在此基础上用他们自己手中剩余的塑料片继续搭建，那么能搭建成长方体框架的是（　　） A． B． C． D． 3．（1分）（2024•天宁区）如图所示，在正方形纸上像这样剪出一个三角形，那么∠1的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 4．（1分）（2024•宿迁）如图，正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是（　　）平方厘米。 A．5π B．2.5π C．10π D．20π 5．（1分）（2024•如皋市）一个正方体相对的面分别是1点和2点、3点和4点、5点和6点。游戏规则：在方格棋盘上沿棱按照箭头方向翻动正方体，每次不能后退。开始时正方体如左图那样摆放，最后翻动到如右图所示的位置，此时正方体朝上的点数是（　　） A．6 B．5 C．3 D．4 二．填空题（共15小题，满分23分） 6．（1分）（2024•溧阳市）用同样大小的正方体木块搭成的立体图形，从前面和上面看到的形状一样，如图所示。搭出这个立体图形至少要用 　 　 个这样的小正方体木块。 7．（2分）（2024•姑苏区）一个等腰三角形一个底角与顶角的比是2：5，这个三角形的顶角是 　 　 °，它是 　 　 角三角形． 8．（1分）（2024•虎丘区）用一根长60厘米的铁丝可以做一个长是8厘米、宽是5厘米，高是 　 　 厘米的长方体框架。 9．（1分）（2024•鼓楼区）一个正方体木块六个面上分别写上小、南、狮、爱、生、活这六个汉字。从不同角度看这个正方体，如图所示，通过推断可知“南”的对面是 　 　 。 10．（1分）（2024•玄武区）A，B是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积差是 　 　 cm2。（单位：cm） 11．（1分）（2024•苏州）正方体的6个面上分别写着A、B、C、D、E、F，那么与D相对的字母是 　 　 。 12．（1分）（2024•泉山区）用几个同样大的小正方体搭建一个物体，从两个不同的方位看到的图形如图。搭建这个物体最少需要 　 　 个小正方体。 13．（1分）（2024•吴江区）观察如图的图形，并填一填（填写图形的序号）。 以上三个图形中，从上面看，看到图形是的，是 　 　 号图形。 14．（1分）（2024•泉山区）如图，圆内三角形的面积是2平方厘米，则圆的面积是 　 　 平方厘米。 15．（2分）（2024•泗洪县）如图是一个正方体的展开图，六个面上分别写有1～6这六个数字，相对的两个面上数字的和最大是 　 　 ，相对的两个面上数字的差最小是 　 　 。 16．（1分）（2023•赣榆区）用一根长60厘米的铁丝围成一个长8厘米、宽5厘米的长方体框架，这个长方体框架的高是 　 　 厘米。 17．（2分）（2023•通州区）小敏沿着单人课桌的长摆卡片（每张卡片长12厘米，宽10厘米），她发现用下面的两种摆法（如图）都正好从课桌的左端摆到右端，而且没有剩余。这张单人课桌的长是 　 　 厘米；课桌的宽是长的，那么课桌的面积是 　 　 平方厘米。 18．（2分）（2024•常州）用一副三角尺拼成如图，∠1＝ 　 　 °，∠2＝ 　 　 °。 19．（2分）（2024•吴江区）如图，圆的面积等于长方形的面积。 （1）如果圆的周长是20cm，阴影部分的周长是 　 　 cm。 （2）如果圆的面积是20cm2 阴影部分的面积是 　 　 cm2。 20．（4分）（2024•海门区）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 （1）∠1＝　 　 °，∠2＝　 　 °。 （2）如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是 　 　 厘米。 （3）如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3+∠4＝　 　 °。 三．应用题（共3小题，满分12分，每小题4分） 21．（4分）（2024•鼓楼区）如图，包装一个长方体礼品盒，一共需要彩带多少厘米？ 22．（4分）（2024•海安市）将A、B两种积木没有规律地横排拼接成一个大的长方体（如图），已知大长方体总长是36厘米，一共用了10块积木。A、B两种积木各用了多少块？ 23． （4分）（2023•武进区）有一个棱长是30厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是90平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？ 四．操作题（共2小题，满分12分，每小题6分） 24．（6分）（2023•宿城区）画一画，算一算。 （1）用圆可以设计出很多美丽的图案，请你利用圆规和直尺，把如图左边的风车图画在右边的方框中，要求：大圆的直径是4厘米。 （2）根据你作图数据，请你算一算风车图中阴影部分的面积。 25．（6分）（2023•扬中市）从前面、上面和右面观察如图，看到的分别是什么图形？在方格纸上画一画。 五．解答题（共8小题，满分48分，每小题6分） 26．（6分）（2024•阜宁县）如图三个物体是由一些完全相同的正方体拼搭而成的，从 　 　 面观察这三个物体，看到的形状是完全相同的，请把看到的形状画在下边的方格纸中。 27．（6分）（2024•仪征市）一个零件横截面的形状如图。这个零件横截面（涂色部分）的面积是多少平方厘米？ 28．（6分）（2024•启东市）在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥（如图）。如果圆的半径x＝4厘米，那么扇形的半径y是多少厘米？ 29．（6分）（2024•淮安）“六一”儿童节，姐姐给弟弟准备了一个小礼品，礼品盒长26厘米，宽14厘米，高8厘米，打结处彩带长15厘米（如图），包装这个礼品盒一共用了多少厘米长的彩带？ 30．（6分）（2024•常熟市）如图，用几个相同的小正方体在一个5×5的方格棋盘内摆出了一个立体图形。这个立体图形一共用 　 　 个小正方体搭成；如果在棋盘的范围内再增加小正方体，最多可以增加 　 　 个可以使整个立休图形从左侧看到的形状不发生改变。 31．（6分）（2023•泉山区）有一个长方体，长24cm，宽12cm，高6cm．现在将它切成三块完全相同的长方体． （1）共有　 　 种不同的切法． （2）怎样切，才能使切成的三块长方体的表面积之和达到最大？最大是多少平方厘米？ 32．（6分）（2023•清江浦区）如图中正方形的边长是4厘米，阴影部分的周长和面积各是多少？ 33．（6分）（2023•洪泽区）如图，三角形中∠1：∠2＝3：1，∠2：∠3＝2：1，∠1、∠2、∠3分别是多少度？ 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题09 几何图形的周长、体积与表面积 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 2.三角形的面积 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母 表示为: S=ah 。 知识点梳理02：四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 2.四边形的测量 (1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。 (2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。 知识点梳理03：圆的周长和面积 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点梳理04：组合图形的面积 1.求组合图形面积的方法。 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 知识点梳理05：圆柱与圆锥的测量 1.圆柱的侧面积、表面积。 (1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　 (2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　 2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h 。  3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　 知识点梳理06：用排水法计算不规则物体的体积 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。  2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。 知识点梳理07：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点梳理08：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.45（难度较大） 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）（2024•启东市）手工课上，同学们用两个完全一样的小圆柱拼成一个高4dm的大圆柱（如图），但表面积减少了8πdm2。原来一个小圆柱的体积是（　　）dm3。 A．8π B．16π C．32π D．64π 2．（2分）（2024•海门区）如图①，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导出了梯形的面积计算公式。用这样的思路，可以求出如图②所示的立体图形的体积是（　　）cm3。 A．100 B．160π C．200π D．240π 3．（2分）（2024•玄武区）如图，分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周得到了甲、乙两个立体图形，它们的体积相比（　　） A．甲的体积较大 B．乙的体积较大 C．甲、乙体积一样大 4．（2分）（2024•张家港市）以虚线为轴将图形旋转一周，如图所示四个图形旋转后形成的几何体体积相等的是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）（2024•昆山市）我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。如把右边的三角形分割、移补成长方形，保持面积不变，来计算它的面积。下面符合相补原理求三角形面积的方法是（　　） A．（底÷2）×高 B．底×高 C．底×高÷2 D．底×（高÷2） 6．（2分）（2024•如皋市）观察如图实验过程：在大杯中放入三个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆锥。推理并计算每个圆柱的体积是（　　） A．8 B．20 C．50 D．24 二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分） 7．（2分）（2024•启东市）小华从前面和上面观察一个玩具，分别看到图①和图②（如图）。这个玩具的体积是 　 　 立方厘米，把它装进长方体包装盒，这个包装盒的容积至少是 　 　 立方厘米。 8．（2分）（2024•崇川区）数学课上，小组的四名同学观察并测量一个长方体。 小明说：“如果高再增加2厘米，那么它恰好是一个正方体。” 小红说：“长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是96平方厘米。” 小芳说：“它的底面周长是24厘米。” 小丽说：“他们说的都是正确的。” 这个长方体的体积是 　 　 立方厘米，表面积是 　 　 平方厘米。 9．（2分）（2024•崇川区）如图，有一种自行车的前轮大，后轮小。前轮的直径是70厘米，后轮的直径是50厘米，每个轮子都有一条通过轴心的标记线，在车子骑行前的一刹那，两个轮子的标记线正好都与地面垂直。前轮至少转动 　 　 圈后，两根标记线正好又同时与地面垂直，此时，自行车骑行了 　 　 米。 10．（2分）（2024•雨花台区）一个圆柱形的无盖铁皮水桶，从里面量，底面直径是6分米，深是4分米，做这个水桶至少要用铁皮 　 　 平方分米，这个水桶的容积是 　 　 立方分米。（铁皮厚度及连接处忽略不计） 11．（2分）（2024•雨花台区）把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 　 　 立方厘米，削去部分的体积是 　 　 立方厘米。 12．（1分）（2024•鼓楼区）一个圆柱形杯子从里面量底面直径是20厘米，里面装有一些水，正好是杯子容积的，将一块石子浸没在水里，水面上升了12厘米，刚好和杯口齐平。这个杯子的容积是 　 　 毫升。 13．（1分）（2024•玄武区）12盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须是以全等的面积对接，最后得到的包装形状是一个长方体。已知磁带盒的长为11厘米，宽为7厘米，高为2厘米。按“规则方式”打包得到的长方体的表面积的最小值是 　 　 平方厘米。 14．（4分）（2024•通州区）等底等高的图形在数学知识的学习中有着重要的作用。 （1）本学期遇见的是：把一个圆柱平均分成若干等份，拼成一个等底等高的长方体（如图），长方体的宽是2分米，高是3分米，长方体的长是 　 　 分米，圆柱的体积是 　 　 立方分米。 （2）如果一个圆柱和圆锥等底等高，同时圆柱比圆锥的体积多50立方分米，那么这个圆柱的体积是 　 　 立方分米。 （3）等底等高的平行四边形和三角形，如果它们的面积之和是36平方厘米，且它们的底都是10厘米，那么它们的高都是 　 　 厘米。 15．（2分）（2024•海陵区）如图，正六边形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米。当圆绕着正六边形滚动一周又回到原来位置时，圆心O经过的路程是 　 　 厘米，圆扫过的面积是 　 　 平方厘米。（π取3.14） 三．应用题（共5小题，满分10分，每小题2分） 16．（2分）（2024•崇川区）小明用超轻粘土做了一个圆锥形学具（如图）。 （1）这个圆锥形学具的体积是多少立方厘米？ （2）制作一个能装进这个学具的有盖长方体纸盒，至少需要多少平方厘米的硬卡纸？（硬卡纸厚度和连接处忽略不计） 17．（2分）（2024•宿迁）“数学实验”是数学学习的一种重要方式。在数学实验课上，王老师和同学们合作测量一些相同螺丝钉的体积，他们进行了如下实验： ①小亮准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量底面直径是4厘米，高是14厘米； ②小明往玻璃杯里注入一些水，水的高度8厘米； ③小芳把40枚螺丝钉放入玻璃杯（螺丝钉浸没在水中），测得此时水的高度与水面离杯口的距离之比是5：2，根据上面的信息，计算出1枚螺丝钉的体积。 18．（2分）（2024•兴化市）千垛景区菜籽油现榨坊内有一种油菜籽榨油机，它的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成。（如图）底面周长是18.84分米，圆柱和圆锥的高都是6分米。（π取3.14） （1）这个漏斗的容积是多少立方分米？（漏斗的厚度忽略不计） （2）张阿姨家的垛田去年共收获油菜籽800千克，如果这批油菜籽的出油率是42%至46%，这批油菜籽最少可以榨出多少千克菜籽油？ 19．（2分）（2024•海安市）一个圆锥形状的铅锤分别从正面和上面观察（如图所示），将这个铅锤完全浸没在一个底面直径是10厘米的圆柱形容器中，量得水面高度为15厘米。如果将这个铅锤取出，水面将会下降多少厘米？ 20． （2分）（2024•锡山区）有一个长方体木箱，底面是一个正方形，它的前面和底面的面积比是5：2。制作这个木箱用了360平方分米的木板，这个长方体木箱的底面积是多少平方分米？（木板的厚度和接头处忽略不计） 四．解答题（共10小题，满分60分，每小题6分） 21．（6分）（2024•鼓楼区）如图的杯子是否可以装下这袋牛奶？（数据均从杯子内测量得） 22．（6分）（2024•雨花台区）如图所示，圆圆和芳芳分别用纸剪下了两个相同的圆和一个长方形，想制作成圆柱。（单位：厘米） （1）她们两个剪下来的图形都能围成圆柱吗？写出你的理由。 （2）计算出围成的圆柱的表面积。 23．（6分）（2024•虎丘区）要制作一个无盖圆柱形水桶，有如图几种型号的铁皮可以供搭配选择。（单位：分米） （1）你选择的材料是 　 　 号和 　 　 号。 （2）你选择的材料制成水桶的容积是 　 　 升。 24．（6分）（2024•常州）如图，一个水箱由两个圆柱组成（单位：分米） （1）下层水箱的容积是 　 　 升，上层水箱的容积是 　 　 升。 （2）如果注满下层水箱需要4分钟，照这样的注水速度，注满整个水箱需要多少分钟？ （3）在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的变化而变化，如图哪幅图表示正确的注水情况？请在（　　）里打“√”。 25．（6分）（2024•阜宁县）数学课上，小明准备了一个长方体无盖玻璃缸和一些水做实验。 第一步：测量出这个长方体无盖玻璃缸的长、宽、高分别是30厘米、20厘米、20厘米，并往玻璃缸里倒入9升水（如图1）； 第二步：将玻璃缸倾斜，慢慢倒出水，直到AB边和CD边正好在同一水平面上（如图2）； 第三步：将玻璃缸放正，在水面处做标记EF（如图3）； 第四步：继续倒出一些水后，再将玻璃缸倾斜，发现AB边和EF边正好在同一水平面上（如图4）。 （1）制作这个玻璃缸需要多少平方分米的玻璃？ （2）图1的玻璃缸中水深多少分米？ （3）图4的玻璃缸中还剩多少升水？ 26．（6分）（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦!） 27．（6分）（2024•吴江区）一种圆柱形的饮料罐，底面直径7厘米，高12厘米．将24罐这样的饮料放入一个长方体的纸箱． （1）这个长方体的纸箱的长、宽、高至少各是多少厘米？ （2）这个纸箱的容积至少是多少？ （3）做一个这样的纸箱，至少要用硬纸板多少平方厘米？（纸箱盖和箱底的重叠部分按2000平方厘米计算） 28．（6分）（2024•高港区）小学阶段我们学会了计算长方体、正方体和圆柱体的表面积，那怎样计算圆锥的表面积呢？ 如图①：已知一个圆锥的底面半径是6cm，母线的长度是10cm。（圆锥的母线用字母l表示） 结合图②我们可以发现：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径就是圆锥的 　 　 ；扇形的弧长就是圆锥的 　 　 。 结合图③请你尝试计算圆锥的表面积。 29．（6分）（2024•张家港市）陀螺，是普及性的儿童玩具。据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣：“杨柳儿活，抽陀螺”，并介绍了具体玩法，同现代的陀螺完全一样。如图的陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥，且圆锥的高是圆柱高的。 （1）已知圆柱的底面直径8厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ （2）如果要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒（粘合处忽略不计），至少需要多少平方厘米硬纸板？ 30．（6分）（2024•苏州）如图是零件A和零件B的尺寸，有一个长方体玻璃容器中装了一些水，将零件A浸没在水中，水面上升到容器高度的处，再将零件B浸没在水中，水面上升到处。这个长方体容器中原来有水多少毫升？ 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题10 图形的运动-轴对称、平移与旋转、缩放与折叠 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：用数对确定位置 1.根据行列用数对来表示物体的位置 2.竖为列,横为行。确定第几列一般从左往右数,确定第几行一般从下往上数 3.用数对表示物体位置时,先表示列,再表示行,表示形式为(列数,行数) 知识点梳理02：根据方向和距离确定位置 1.认识方向:要明确方向包括上、下、前、后、左、右、东、南、西、北、东北、东南、西南、西北等。 2.理解方向和距离两个条件对确定位置的作用,并能根据方向和距离确定物体的位置。当两个物体从自己的位置观察对方的时候,其方向是相对的。 3.观察方向：根据方向和距离确定位置，要明确四要素:观测点、方向、偏向角度的度数和距离。 知识点梳理03：简单的路线图 1.看懂并描述路线图：（1）弄清方向；（2）根据给出的比例尺求出实际距离；（3）弄清按什么方向走及走多远。 2.画出路线图： (1)确定方向;(2)根据实际距离和图纸的大小确定比例尺;(3)求出图上距离;(4)以某一点为起点,根据方向和图上距离确定下一地点的位置,再以下一地点为起点继续画。 知识点梳理04：轴对称图形 1.将图形沿着一条直线对折,如果直线两侧部分能够完全重合,这样的图形叫轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作对称轴　 画对称轴的方法:用对折的方法寻找对称轴,对称轴要画成虚线,两端要画出图形外面 2.画轴对称图形的方法: (1)找出所给图形的关键点 (2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离 (3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点 (4)对照所给图形顺次连接各点 知识点梳理05：平移与旋转 1.图形的平移 平移的意义 物体在同一平面内沿着直线运动,这种运动现象叫作平移。 平移的特点 物体或图形平移后,它们的形状、大小、方向都不改变。 画平移图形的方法 (1)找出图形的关键点或关键线段作参照点或参照线段。 (2)按指定方向和格数把参照点或参照线段平移到新位置。 (3)把各点按照原图顺序连接起来。 2.图形的旋转 旋转的意义 物体或图形绕着一个点或一个轴运动的现象叫作旋转 旋转的方向 顺时针方向和逆时针方向 旋转的三个关键点 旋转中心、旋转方向和旋转角度 旋转的性质 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等。 旋转的特征 图形旋转后,形状、大小都没有发生变化,只是位置变了。 简单图形旋转90°的画法 (1)找出图形的关键点或关键线段,用三角尺作出关键线段的垂线。(2)从旋转中心开始,在所作垂线上画出与原线段相等的长度。 (3)按照原图形顺次连接所画的对应点 知识点梳理06：放大与缩小 1.图形的放大或缩小(各边按相同的比放大或缩小)所得到的图形与原图形相比,　形状　相同,　大小 不同。  2.在方格纸上画出按一定的比将图形放大或缩小后的图形的方法:一看:看原图形每边各占几格;二算:按给定的比计算图形放大或缩小后得到的图形的边各占几格;三画,按计算出的边长画出原图形放大或缩小的图形。 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.52（难度较大） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•鼓楼区）下面图形中，一定是轴对称图形的是（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．三角形 D．圆 2．（2分）（2024•通州区）通州区唯一的摩天轮位于南山湖公园内，如图是其示意图。它的总高度是89米，共有24个乘坐舱，可同时乘坐144名游客，浏览一圈需要18分钟。如果摩天轮按图中箭头所示的方向匀速旋转，小佳从登舱点M进入摩天轮，那么12分钟后小佳的座舱在（　　） A．点①处 B．点②处 C．点③处 D．点④处 3．（2分）（2024•鼓楼区）如图经过旋转可以得到图（　　） A． B． C． 4．（2分）（2024•阜宁县）下面的交通标志中，（　　）是轴对称图形。 A． B． C． D． 5．（2分）（2023•无锡）下面的图形是按一定比例缩小的，则x＝（　　） A．10 B．8 C．7.5 D．7 二．填空题（共9小题，满分15分） 6．（2分）（2023•雨花台区）一个半径是4厘米的圆，按2：1的比放大后，放大后的圆的面积是　 　 ；如果按　 　 的比缩小后，圆的面积是3.14平方厘米． 7．（2分）（2024•海安市）如图，梯形是由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的高是 　 　 cm，原长方形纸的面积是 　 　 cm2。 8．（1分）（2024•崇川区）如图，三角形ABC沿AB边向右平移后得到三角形DEF，如果AE＝18厘米，DB＝10厘米，那么三角形ABC平移的距离是 　 　 厘米。 9．（2分）（2024•张家港市）将桌上的一张三角形纸（如图1）沿线段MN对折后，覆盖在桌面上（如图2）。在桌面被覆盖面积中，三个阴影部分的面积和是6平方厘米。 （1）若∠1＝54°，则∠2＝　 　 °； （2）若对折后桌面被覆盖的面积是这张三角形纸面积的，则这张三角形纸的面积是 　 　 平方厘米。 10．（1分）（2024•锡山区）已知一个长方形的长是宽的2倍。沿对角线对折后，得到如图所示的几何图形，则图中阴影部分的周长是原长方形宽的 　 　 倍。 11．（1分）（2024•吴江区）把一个正方形按2：1的比放大，放大后与放大前图形的面积比是 　 　 。 12．（1分）（2024•赣榆区）将一个正方形的边长按照3：1放大，若原来正方形的面积为4平方厘米，则放大后正方形的面积 　 　 平方厘米。 13．（2分）（2023•海安市）如图，指针从“1”绕点O顺时针旋转90°后指向 　 　 ；指针从“1”绕点O逆时针旋转60°后指向 　 　 ． 14．（3分）（2023•常熟市）一张长方形纸，长8cm，宽5cm。将它的一个角折起后（如图）平放在桌面上，若∠1＝44°，则∠2＝　 　 °。阴影部分的周长是 　 　 cm，面积是 　 　 cm2。 三．操作题（共9小题，满分43分） 15．（5分）（2024•启东市）把三角形ABC按要求画图。 （1）沿对称轴画出另一半，使它成为一个轴对称图形。 （2）把三角形ABC绕点C顺时针旋转90°。 （3）把三角形ABC按2：1的比放大。 16．（5分）（2024•崇川区）操作题。 （1）先画出图中的圆向右平移5格后的图形，再写出平移后圆心位置的数对是 　 　 。 （2）先以点A'（12，2）为垂足画出三角形按1：2的比缩小后的图形，再画出它绕点A′顺时针旋转90°后的图形。 17．（5分）（2024•雨花台区）按要求操作。 （1）图①按 　 　 的比放大后得到图②。 （2）在图①的下方画出图②按1：3的比缩小后的图形。 18．（4分）（2024•常州）根据要求操作并填空。 （1）把图①绕A点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；用数对表示出旋转后B点对应的位置：B'（ 　 　 ，　 　 ）。 （2）按2：1的比画出图②放大后的图形，放大后图形的面积与原图形的面积之比是 　 　 。 （3）画一个与图③面积相等的三角形。 19．（4分）（2024•天宁区）画一画，填一填。 （1）三角形顶点A的位置用数对表示是（ 　 　 ，　 　 ），把三角形绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）画出图①按2：1的比放大后的图形，放大后图形与原来图形面积的比是 　 　 。 （3）画出图②的另一半，使它成为一个轴对称图形。 20．（6分）（2024•阜宁县）如图每个小方格都表示1平方厘米。 （1）图形①绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）如果图形②是一个梯形（四个顶点分别为A、B、C、D），那么C点的位置用数对表示可能是（ 　 　 ，　 　 ），把梯形ABCD补充完整。（完成一种即可） （3）图形③的周长是 　 　 厘米。在方格纸上画出图形③按2：1的比放大后的图形；放大前和放大后两个图形的面积比是 　 　 。 21．（6分）（2024•张家港市）按要求画一画、填一填。 （1）画出三角形向下平移4格后的图形，平移后点A的对应点A′的位置是数对（ 　 　 ，　 　 ）。 （2）把平移后的三角形绕点A′顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）先以O（10，6）为圆心画一个直径4厘米的圆；再画出把它按2：1的比放大后的圆，使大小两个圆组成只有1条对称轴的图形。 22．（4分）（2024•吴江区）在如图的方格图中作图。（每个方格面积表示1平方厘米） （1）以虚线为对称轴，画出图形①的另一半，使它成为轴对称图形； （2）图②中，在B点的北偏西45°方向有一点C，并且和A、B点组成一个面积6cm2的三角形，请确定C点，并画出这个三角形； （3）将三角形③绕点D逆时针旋转90°，标上④； （4）在适当的空位上，画出将三角形③按2：1放大后的图形，标上⑤。 23．（4分）（2024•淮安）根据要求，在如图完成操作。 （1）画出图A向右平移5格后的图形； （2）画出图B绕O点顺时针旋转90°后的图形； （3）画出图C按1：3缩小后的图形； （4）画出图D的另一半，使它成为一个轴对称图形。 四．解答题（共7小题，满分32分） 24．（5分）（2024•通州区）图中每个小方格的边长是1cm。 （1）小亮在推导三角形的面积公式时，可以将三角形绕点B旋转 　 　 °，再向上平移 　 　 cm，从而和原三角形拼成平行四边形。画出旋转、平移过程中点A移动的轨迹。点A移动的路程是 　 　 cm。 （2）将圆O将按2：1的比放大，并和原来的圆组成的一个有无数条对称轴的图形。放大后的圆的圆心位置用数对表示是 　 　 ；这两个圆组成的图形的面积是 　 　 cm2。 25．（5分）（2024•玄武区）如图方格图中每小格边长为1厘米。按要求画一画。 （1）将梯形先向右平移5格，再绕平移后的点D'顺时针旋转90°。 （2）圆心不变，将圆按2：1的比放大。放大后圆的面积是原来的 　 　 倍，放大后的圆与放大前的圆组成的图形有 　 　 条对称轴。 （3）已知图中三角形ABC是一个等边三角形。那么点A在点B的 　 　 　 　 °方向 　 　 厘米处。 26．（2分）（2024•如皋市）图中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）把长方形ABCD绕点A逆时针旋转90°，旋转后点C对应点的位置用数对表示是（ 　 　 ，　 　 ）。 （2）以E点为圆心先画两个同心圆，一个圆的直径是4厘米，另一个圆的半径是3厘米。两个圆之间形成的环形面积是 　 　 平方厘米。 27．（2分）（2024•泗洪县）（1）按1：2的比画出平行四边形缩小后的图形，缩小后图形的面积和原图形面积的比是 　 　 。 （2）把梯形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；在旋转过程中点C经过的路线总长度是 　 　 厘米。 28．（6分）（2024•海安市）按要求填空并在方格纸上画出图形。 （1）画出三角形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 （2）将梯形向 　 　 平移 　 　 格可以和旋转后的三角形组合成轴对称图形。 （3）按1：2的比画出长方形缩小后的图形，缩小后的图形面积是原来的 　 　 。 （4）在原来长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的圆心用数对表示是 　 　 。 29．（6分）（2024•常熟市）按要求画一画并填空。 （1）将图形①绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）图中点B在点C 　 　 偏 　 　 　 　 °方向。 （3）画一个与图②面积相等的平行四边形。 （4）按1：2的比画出图②缩小后的图形，缩小后的图形面积是原来的。 30．（6分）（2024•江宁区）按要求在下面方格中作图并完成填空。（每个小正方形的边长为1厘米） （1）画出梯形向右平移8格再向下平移5格后的图形。 （2）画出三角形绕A点顺时针旋转90°后的图形，在旋转过程中线段AB扫过的面积是 　 　 平方厘米。 （3）在图中，画一个面积为24平方厘米的平行四边形，使其底与高的比为3：2。 （4）以线段AB边为半径，画一个半圆形，这个半圆形的周长是 　 　 厘米。 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题11 图形与位置-方向、位置、比例尺与路线图 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：用数对确定位置 1.根据行列用数对来表示物体的位置 2.竖为列,横为行。确定第几列一般从左往右数,确定第几行一般从下往上数 3.用数对表示物体位置时,先表示列,再表示行,表示形式为(列数,行数) 知识点梳理02：根据方向和距离确定位置 1.认识方向:要明确方向包括上、下、前、后、左、右、东、南、西、北、东北、东南、西南、西北等。 2.理解方向和距离两个条件对确定位置的作用,并能根据方向和距离确定物体的位置。当两个物体从自己的位置观察对方的时候,其方向是相对的。 3.观察方向：根据方向和距离确定位置，要明确四要素:观测点、方向、偏向角度的度数和距离。 知识点梳理03：简单的路线图 1.看懂并描述路线图：（1）弄清方向；（2）根据给出的比例尺求出实际距离；（3）弄清按什么方向走及走多远。 2.画出路线图： (1)确定方向;(2)根据实际距离和图纸的大小确定比例尺;(3)求出图上距离;(4)以某一点为起点,根据方向和图上距离确定下一地点的位置,再以下一地点为起点继续画。 知识点梳理04：轴对称图形 1.将图形沿着一条直线对折,如果直线两侧部分能够完全重合,这样的图形叫轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作对称轴　 画对称轴的方法:用对折的方法寻找对称轴,对称轴要画成虚线,两端要画出图形外面 2.画轴对称图形的方法: (1)找出所给图形的关键点 (2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离 (3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点 (4)对照所给图形顺次连接各点 知识点梳理05：平移与旋转 1.图形的平移 平移的意义 物体在同一平面内沿着直线运动,这种运动现象叫作平移。 平移的特点 物体或图形平移后,它们的形状、大小、方向都不改变。 画平移图形的方法 (1)找出图形的关键点或关键线段作参照点或参照线段。 (2)按指定方向和格数把参照点或参照线段平移到新位置。 (3)把各点按照原图顺序连接起来。 2.图形的旋转 旋转的意义 物体或图形绕着一个点或一个轴运动的现象叫作旋转 旋转的方向 顺时针方向和逆时针方向 旋转的三个关键点 旋转中心、旋转方向和旋转角度 旋转的性质 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等。 旋转的特征 图形旋转后,形状、大小都没有发生变化,只是位置变了。 简单图形旋转90°的画法 (1)找出图形的关键点或关键线段,用三角尺作出关键线段的垂线。(2)从旋转中心开始,在所作垂线上画出与原线段相等的长度。 (3)按照原图形顺次连接所画的对应点 知识点梳理06：放大与缩小 1.图形的放大或缩小(各边按相同的比放大或缩小)所得到的图形与原图形相比,　形状　相同,　大小 不同。  2.在方格纸上画出按一定的比将图形放大或缩小后的图形的方法:一看:看原图形每边各占几格;二算:按给定的比计算图形放大或缩小后得到的图形的边各占几格;三画,按计算出的边长画出原图形放大或缩小的图形。 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.51（难度较大） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2025春•高新区期中）下面的信息资料中，最适合用折线统计图表示的是（　　） A．2022年每月降水量的变化情况 B．五年级各班做好事的件数 C．服装店各种服装的销售情况 D．五年级各班级的学生人数 2．（2分）（2025春•丰县期中）2023年10月8日晚，第19届亚运会在中国杭州圆满闭幕。在本届亚运会上，中国体育代表团再次展现了出色的体育实力。下面是本届亚运会中国体育代表团所获奖牌情况。 金牌 银牌 铜牌 数量/枚 201 111 71 约占本届亚运会中国体育代表团所获奖牌总数的百分比 52.5% 29.0% 18.5% 如果要用统计图清楚地表示金、银、铜牌占本届亚运会中国体育代表团所获奖牌总数的百分比，选择（　　）比较合适。 A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．复式折线统计图 3．（2分）（2024春•六合区期中）下面是六年级四个班学生近视情况统计表，要对比四个班的近视率，绘制（　　）统计图最合适。 班级 一班 二班 三班 四班 近视率 20% 22% 34% 24% A．条形 B．折线 C．扇形 D．无法确定 4．（2分）（2024•雨花台区）要想清楚的表示空气中各种气体所占的百分比，选用（　　）统计图比较合适。 A．条形 B．折线 C．扇形 D．以上都可以 5．（2分）（2023秋•海安市期末）下面说法中正确的有（　　）个。 ①复式条形统计图，不仅可以清楚地看出数量多少，而且便于比较分析。 ②6.3和6.30，大小相等，但6.3更精确。 ③2.82÷4.5，当商是0.6时，余数是1.2。 ④如图钉子板上的三角形面积是8平方厘米。 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 6．（2分）（2024•启东市）在比例尺是1：2000的图纸上，量得一个三角形的苗圃的周长是3.5cm，这个苗圃的实际周长是 　 　 米；量得一个圆形花圃的半径是5cm，这个花圃的实际占地面积是 　 　 公顷。 7．（2分）（2024•海门区）一家面包加工企业捐助一批面包发往某地灾区，在一幅标有的地图上，量得两地的距离是2.7厘米，两地间的实际距离是 　 　 千米；一辆大货车载着捐助的面包于上午11时出发，以90千米/时的速度开往某地，下午 　 　 时可以抵达。 8．（1分）（2024•玄武区）在一幅比例尺是1：2000000的地图上，甲城到乙城的距离是6厘米。一辆汽车从甲城到乙城，每小时行80千米，　 　 小时能到达乙城。 9．（1分）（2024•阜宁县）一枚计算机存储芯片的实际尺寸是5mm×5mm，把它画在图纸上，得到的尺寸如图，这幅图所用的比例尺是 　 　 。 10．（2分）（2024•张家港市）在一幅比例尺为1：5000000的地图上，量得苏州到南京的距离是4.2厘米，实际距离是 　 　 千米。一辆货车沿此路线以60千米/时的速度行驶，11：00从苏州出发，　 　 （填时间）到达南京。 11．（2分）（2024•徐州）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的位置用数对表示分别是（4，7）、（3，4）、（8，4），那么顶点D的位置用数对表示是（ 　 　 ，　 　 ）。这个平行四边形的面积是 　 　 。 12．（2分）（2024•泉山区）如图，这幅图的比例尺是1：　 　 ，小林从家去文具店，先向西走100m，再向北偏西15°方向走140m，点 　 　 可以表示文具店的位置。 13．（4分）（2024•兴化市）机械手表中不同的齿轮以不同的速度旋转，驱动指针显示时间。如图，大齿轮的齿数是54个，小齿轮的齿数是36个，大、小两个齿轮的齿数比是 　 　 。旋转时，大齿轮和小齿轮相互咬合的齿数是一定的。大齿轮旋转2周，小齿轮需要旋转 　 　 周。如果一个手表中大齿轮的直径是6毫米，将它画在比例尺是20：1的图纸上，图纸中大齿轮的直径是 　 　 厘米，图纸中大齿轮的齿数是 　 　 个。 三．操作题（共4小题，满分15分） 14．（4分）（2024•崇川区）操作题。 （1）小明家在学校的南偏西 　 　 °方向400米处，这幅图的比例尺是 　 　 。 （2）书店在学校的北偏东45°方向300米处，淮海路是一条经过点P并和建国路平行的商业街，请在图中分别画出表示书店位置的点和淮海路所在的直线。 15．（4分）（2024•鼓楼区）根据下面的描述，在动物园示意图上标出各个馆的位置，并填空。（每个小方格的边长表示50米） （1）动物园大门位于（5，0），向北走100m，到达熊猫馆。 （2）海洋馆位于（　 　 ，　 　 ）。 （3）大象馆位于（10，3），标出大象馆的位置。 （4）狮虎山到熊猫馆和大象馆的距离相等，狮虎山的位置是（　 　 ，　 　 ）。 16．（3分）（2024•天宁区）如图是常州青果巷历史街区主要街道平面图。 （1）省常中距离青果巷历史街区大约600米处。算一算这幅图的比例尺，并把比例尺补充完整。 （2）红梅南路与和平北路互相平行，且在青果巷的东面约400米处，请在图中用直线表示红梅南路的位置。 （3）解放路小学位于青果巷历史街区北偏东30°约400米处，请用•在图中标出它的位置（保留作图痕迹）。 17．（4分）（2024•高港区）我是小小设计师：小明家门前有一块空地（每格边长代表10m），请根据描述帮小明进行设计。 ①小明计划在空地围一个平行四边形的花园，四个顶点的位置分别是A（0，3），B（4，0），C（8，3），D（4，6），请画出这个花园。 ②小明发现这个花园面积过大，需要把它按1：2缩小，且位置改在原来这个花园的东面，请画出缩小后的花园。缩小后的花园与原来花园的面积比是 　 　 。 ③小明准备在空地的东北角围一块三角形草坪，草坪的面积和现在缩小后的花园面积相等，请画出这块三角形草坪。 ④小明准备用西面的空地种蔬菜。他为了浇灌方便，准备在（0，0）的北偏东45°方向点P（a，7）处安装一个喷水头，请在图中用“●”表示出P点的位置。 四．应用题（共6小题，满分26分） 18．（6分）（2024•高港区）小微和爸爸、妈妈从A地到B地去旅游，在网上预订了机票和B地的酒店，预订的酒店是到店付款，酒店为他们把房间保留至晚上10时，超时就转给其他客人。根据下面的信息判断他们能否准时到达预订的酒店。 （1）小微在一幅比例尺为1：25000000的地图上量得A、B两地的距离是8.5厘米。 （2）他们预订的航班原本是15：30起飞，速度是850千米/时，可当他们到达机场后，接到通知因天气原因航班延至18：00起飞。 （3）从B地机场到预订的酒店还有1小时的车程。 19．（4分）（2024•雨花台区）在一幅比例尺是1：6000000的地图上，量得A城到B城的距离是4.5厘米。甲、乙两辆汽车同时从A、B两城相向出发，经过2小时相遇。甲车的速度是70千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 20．（4分）（2024•赣榆区）在一幅比例尺为1：3000000的地图上，量得A、B两地的距离为18厘米。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。已知甲车的速度是乙车的，则甲、乙两车的速度各是多少？ 21．（4分）（2024•宿迁）在比例尺是1：6000000的地图上，量得A、B两地的距离是6厘米，甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，2.5小时后相遇，甲、乙两车的速度比是4：5，乙车每小时行多少千米？ 22．（4分）（2024•盐城）在一幅比例尺为1：5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是9.6厘米。已知一辆汽车从甲地开往乙地用了6小时，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 23．（4分）（2024•徐州）在比例尺是1：50000的地图上，量的一块长方形地的周长是32厘米，长和宽的比是5：3。如果这块长方形地的20%被绿化，那么这块长方形地实际绿化面积是多少平方米？ 五．解答题（共7小题，满分33分） 24．（4分）（2024•海门区）按要求画图，并完成填空。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）将①号三角形向 　 　 平移 　 　 格，平行四边形就变成了长方形，画出平移后的三角形。 （2）将②号三角形绕点C按逆时针方向旋转90°旋转后点A的位置用数对表示是（ 　 　 ，　 　 ）。 （3）画出图③的另一半，使它成为一个轴对称图形。 25．（4分）（2024•通州区）明明家在学校的北偏西70°方向2500米处，图书馆在公园的南偏东65°方向1250米处。 （1）请在图中标出明明家和图书馆的位置。 （2）明明从家乘出租车经过学校和公园到图书馆一共要付多少元？ 出租车价格表 里程 3千米以内 3千米以上的部分（不足1千米按1千米计算） 价格 10元 2.4元/千米 26．（5分）（2024•鼓楼区）仔细观察如图，并按要求填空或画图。 （1）以点划线为对称轴，画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形，再将画好的完整图形向右平移5格。 （2）用数对表示图中圆的圆心A的位置是（ 　 　 ，　 　 ），点O的位置用数对表示是（ 　 　 ，　 　 ）。将圆按3：1的比放大，并以点O为圆心画出放大后的圆。原来的圆和放大后的圆面积的比是 　 　 。 （3）请将图②绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 27．（4分）（2024•鼓楼区）勘探队在M城周围发现了一些矿产资源。 （1）请你根据宝矿信息的描述，在图中表示出3座矿产资源的位置。 （2）若M城的北面为12点钟方向，则北偏东30°可以看作1点钟方向，那么C矿所在的位置在M城的 　 　 点钟方向。 （3） 还有一座宝矿的信息为“在M城的西南方向”，能确定宝矿的具体位置吗？说明你的理由。 28．（4分）（2024•吴江区）如图的图像表示某地地图上的图上距离和实际距离的关系。 （1）图上距离和实际距离成 　 　 比例关系。这幅地图的比例尺是 　 　 。 （2）在这幅地图上，量得中心公园到市博物馆的距离是8厘米。明明一家驾车从中心公园到市博物馆，如果平均每小时行40千米，需要多少小时？ 29．（6分）（2024•盐城）小明：爸爸，我发现最近盐城许多路口的地面上都设置了“右转危险区”。这是为什么呢？ 爸爸：卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此我们交警部门设置了这样的“右转危险区”标线。我们的设计图是用小学数学知识绘制的哦! （1）请你按设计图上标注的数据，将“右转危险区”按1：200缩小后，画在如图的方格图上，并涂上阴影。 （2）该“右转危险区”的实际面积是 　 　 平方米（为了方便计算，本题π取3） 30．（6分）（2024•昆山市）（1）把三角形绕C点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后A点的位置用数对表示是（ 　 　 ，　 　 ）； （2）按1：2的比画出三角形ABC缩小后的图形。缩小后的三角形面积与原来三角形面积的比为 　 　 ：　 　 。 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题12 统计 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：统计表 1. 简单数据的统计过程: ①收集数据:根据实际问题设计简单的调查表,常用的数据收集方法有调查、试验、测量等。 ②整理数据:把收集到的原始数据进行整理。 ③描述数据:把整理好的数据展示出来。 ④分析数据:通过观察、比较、计算等方法从数据中发现并提取信息,进行简单的判断或预测,为我们解决问题提供帮助。 2.统计表：把收集到的资料进行数据整理后制成表格，用来分析情况，反映问题，这种表格叫做统计表。 3.统计表分类：单式统计表、复式统计表. 只有一个统计项目就用单式统计表，含有两个或两个以上的统计项目就用复式统计表。 知识点梳理02：统计图 1.统计图的种类：①条形统计图：单式条形统计图、复式条形统计图②折线统计图：单式折线统计图、复式折线统计图③扇形统计图 2. 统计图的类型、意义、特点及作用： 类型 条形统计图 折线统计图 扇形统计图 意义 用一个单位长度表示一定数量，根据数量多少画成长短不同的直条，再把它们按顺序排列起来的统计图。 用一个单位长度表示一定数量，根据数量多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来的统计图。 用整个圆表示总数量，用圆内各个扇形表示各部分数量占总数量的百分数的统计图。 特点及作用 （1）用一个单位长度表示一定数量； （2）用直条的长短表示数量的多少； （3）便于互相比较。 （1）用一个单位长度表示一定数量； （2）能看出数量的多少；（3）用折线起伏表示数量的增减变化情况。 （1）用整个圆的面积表示总数量；（2）用圆内的扇形大小表示各部分数量占总数量的百分数 （3）能看出部分与部分之间的关系。 重要提示：在绘制统计图时，都要写出标题，写明调查日期或制图日期。若是复式条形统计图或复式折线统计图，还应有图例 3. 统计图的选择：一般来说，如果几个数量是并列的，只要求表示数量的多少，就用条形统计图；如果要表示一个量或几个量的数量增减变化情况和发展变化趋势，就用折线统计图；如果要表示各部分数量与总体数量之间的关系，就用扇形统计图 知识点梳理03：平均数 1.平均数的意义：平均数是对数据进行计算处理后得到的一个统计量；一组数据之和再除以这组数据的个数,就得到了这组数据的平均数；它表示一组数据的集中趋势或一般水平。 2.常用的数量关系式：平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数。 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.45（难度较大） 一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分） 1．（1分）（2024•启东市）小明为了参加投篮比赛，连续7天每天练习投篮20次，命中次数分别为“12，13，15，15，14，16，18”。下面（　　）能代表这组数据的整体情况。 A．18 B．15 C．14.7 D．12 2．（1分）（2024•崇川区）下面的描述中，正确的有（　　）句。 ①实验小学篮球队队员测量身高，最高的是178厘米，最矮的是167厘米。实验小学篮球队员的平均身高可能是173厘米。 ②和的大小相等，但意义不同。 ③用3厘米、7厘米和10厘米长的三根小棒可以围成一个三角形。 ④圆的周长与直径成正比例关系。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（1分）（2024•虎丘区）4月23日是“世界读书日”，刘校长想了解全校学生去年阅读量的整体情况。以下信息中（　　）对他最有帮助。 A．去年全校人均阅读书籍16.4本。 B．三（2）班李浩平时不喜欢看书。 C．阅读之星王斌一年阅读书籍47本。 D．六年级借阅图书数量最多的是六（6）班。 4．（1分）（2024•吴江区）如表，六年级四个班学生近视情况统计表，要对比四个班的近视人数，绘制（　　）统计图最合适。 班级 一班 二班 三班 四班 近视人数 20人 22人 34人 24人 A．条形 B．折线 C．扇形 D．无法确定 5．（1分）（2024•淮安）体育强则中国强，国运兴则体育兴，在第19届杭州亚运会上，中国体育健儿发挥出色，共获得201块金牌、111块银牌和71块铜牌。要想清楚表示出中国代表队获得奖牌数与奖牌总数之间的关系，适合绘制（　　） A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．统计表 二．填空题（共8小题，满分19分） 6．（2分）（2024•启东市）阳光小学六年级有500名学生参加体质测试，体质合格率为90%，具体情况如图。获得“优秀”的有 　 　 人，“优秀”人数与“合格”人数的比为 　 　 。 7．（3分）（2024•天宁区）今年“6•18购物节”预售期间，某仓储中心自动分拣系统小时可分拣万件货物。照这样计算，该自动分拣系统分拣1万件货物要 　 　 小时，8小时可分拣 　 　 万件货物。如果要统计该仓储中心某天分拣的食品类货物占当日货物总数的百分比情况，选用 　 　 统计图比较合适。 8．（2分）（2024•溧阳市）小明调查某地区四月份每天的天气情况，并统计了晴天、多云、阴天和雨天各种天气的天数，制成了如图所示的统计图。如果雨天的天数正好等于多云、阴天天数的和，那么这个地区四月份的雨天有 　 　 天，晴天的天数占这个月总天数的 　 　 %。 9．（1分）（2024•常熟市）紫竹小学对六年级学生进行了英语测试，测试结果统计如图，已知有12人不及格，则优秀有 　 　 人。 10．（3分）（2024•赣榆区）气象站要测量一天中气温的变化情况，用 　 　 统计图比较合适；要反映100克牛奶中锌、镁、铁、钙等微量元素的含量，用 　 　 统计图比较合适；要想了解学校各年级人数多少的情况，用 　 　 统计图比较合适。 11．（2分）（2023•鼓楼区）李叔叔在一块蔬菜地里种植了4种不同的蔬菜，各种蔬菜的种植面积分布如图，其中黄瓜的种植面积是80平方米，萝卜的种植面积是 　 　 平方米，番茄比黄瓜多种植 　 　 %。 12．（4分）（2023•鼓楼区）如图为林老师的移动硬盘目前的储存状态。 （1）林老师的移动硬盘中储存的 　 　 最多，储存的 　 　 和 　 　 一样多。 （2）如果移动硬盘中可用空间是100G，那么总储存量大约是 　 　 G。 13．（2分）（2023•南京）中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》。实验小学响应国家号召，开辟了劳动实践基地。六年级的菜园里栽种了4种不同的蔬菜，各种蔬菜的种植面积分布如图。其中土豆的种植面积是100m2，番茄的种植面积占菜园总面积的 　 　 %，青菜的种植面积是 　 　 m2。 三．应用题（共5小题，满分22分） 14．（5分）（2024•海门区）“限塑令”下达后，明明对世纪小学学生使用环保袋的情况进行了随机调查，调查分为四个等级：A.一直使用；B.经常使用；C.较少使用；D.从不使用。最后将统计结果绘制成如图统计图。 （1）为了减少工作量，他们采取“随机抽样”调查法。下面四种方式中，最合理的是 　 　 。 A.选一些对环保袋有了解的学生调查 B.从全校每个班中随机抽10名学生完成调查表 C.选一个年级所有学生完成调查表 D.选剪纸社团所有学生完成调查表 （2）本次一共调查了 　 　 人，其中一直使用环保袋的人数占总人数的 　 　 %，世纪小学共有2000名学生，若按此推算，则全校学生一直使用环保袋的有 　 　 人。 （3）请根据数据将条形统计图补充完整。 （4）通过学校的环保宣传，端午佳节，同学们打算亲自包装环保粽子礼袋送给敬老院。他们买来肉粽、米粽、蜜枣粽各300个，每份礼袋按如下配比包装，如果米粽全部用完，那么蜜枣粽还需要准备多少个？ 15．（4分）（2023•常熟市）近些年，新能源汽车以其清洁环保、使用成本低、高能源利用率等优点，慢慢走进人们的生活，如图是我国某区域2021年各季度新能源汽车销售量情况统计图。 （1）这个区域2021年共销售新能源汽车 　 　 万辆，其中一季度销售 　 　 万辆。 （2）将上面的条形统计图和扇形统计图中缺失的数据填、画完整。 （3）结合以上信息，请你预测2022年这个区域新能源汽车的销售量可能是 　 　 万辆。将你预测的理由写在下面。 16．（4分）（2024•宿城区）如图是清水农场三种蔬菜种植面积的扇形统计图，已知茄子的种植面积是140平方米，黄瓜的种植面积是多少平方米？青椒的种植面积是多少平方米？ 17．（5分）（2024•昆山市）如图是昆山某商场2023年冰箱销售情况，相关信息如图所示： （1）2023年一共卖出 　 　 台冰箱；第一季度卖出的冰箱是全年的 　 　 %，第二季度占全年的 　 　 %。 （2）根据上面图中信息，将上面条形统计图填写完整。 （3）算一算，这个商场第一季度比第三季度少销售冰箱少百分之几？（百分号前保留一位小数） 18．（4分）（2023•苏州）为落实国家“双减”政策，某校开展了课后服务，其中体育类活动开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、跳绳。为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每个学生仅选一种），并将调查结果制成统计表和统计图。 （1）本次一共调查了 　 　 个学生，统计表中m＝　 　 。 （2）若该校共有2000个学生，请你估计一下该校最喜欢“乒乓球”的学生大概有多少人。 问卷情况统计表 运动项目 人数 乒乓球 m 排球 10 篮球 80 跳绳 70 四．操作题（共2小题，满分9分） 19．（5分）（2024•惠山区）手机已成为人们生活中必不可少的一个工具，小学生使用手机也成了一种常见现象。“手机管理”是教育部提出的“五项管理”之一，让学生科学理性对待并合理使用手机，以提高学生信息素养和自我管理能力。某学校就学生每天使用手机时间的情况进行了随机调查，并将调查结果绘制成了如下两张统计图。 （1）本次共调查 　 　 人，调查的学生中，每天使用手机时间是“15～30分”的人数有 　 　 人，每天使用手机时间是“30分～1小时”的人数占调查总人数的 　 　 %。 （2）请将条形统计图补充完整。 （3）如果这所学校一共有学生3000人，根据图中数据，算一算全校学生中每天使用手机时间是“30分～1小时”的有 　 　 人。 20．（4分）（2023•宿城区）为开展经典诵读活动，学校购买了一批图书。如图是购买的图书情况统计图，根据信息请将条形统计图和扇形统计图补充完整。 五．解答题（共10小题，满分45分） 21．（4分）（2024•崇川区）如图是反映芳芳家平均每月家庭支出情况的不完整统计图。 （1）芳芳家平均每月的食品支出占家庭总支出的 　 　 %，平均每月家庭总支出是 　 　 元。 （2）根据以上信息，将条形统计图补充完整。 （3）国际上通常用食品支出占家庭总支出的百分比（即恩格尔系数）来衡量一个地区的人民生活水平，如表： 恩格尔系数 59%以上 50%～59% 40%～50% 40%以下 生活水平 贫困 温饱 小康 富裕 参照恩格尔系数，芳芳家处于什么生活水平？（在正确答案后面的□里画“√”） 贫困□ 温饱□ 小康□ 富裕□ 22．（4分）（2024•通州区）六年级的晨晨养成了每周定时跑步和阅读的习惯。每个周日的早晨，晨晨先是步行到小公园跑步，再骑共享单车去图书馆看书、借书，然后乘公交回家。下面的图记录了他的行程。 （1）晨晨在小公园和图书馆的时间占离家总时间的 　 　 %。 （2）晨晨周日离家时间一共有多少分钟？ （3）晨晨借书后，乘公交车回家，平均每分钟行多少米？ 23．（4分）（2024•鼓楼区）回忆在附小的六年时光，小南狮们最喜欢的校园活动统计如图。 （1）根据扇形统计图，六年级学生最喜欢的校园活动是 　 　 。 （2）六年级某班学生小学阶段参与志愿服务10次以上的人数占总人数的，这个班有 　 　 人。 （3）将如图的扇形统计图和条形统计图补充完整。 24．（5分）（2024•常州）每年的4月23日是“世界读书日”，学校对部分学生开展了关于课外阅读的问卷调查，将调查结果制成条形统计图和扇形统计图。 关于课外阅读的问卷调查 A.每天都进行课外阅读。 B.每周进行3～4次课外阅读。 C.每周进行1～2次课外阅读。 D.从来不进行课外阅读。 （1）选A项的学生有 　 　 人，被调查的学生有 　 　 人。 （2）选B项的学生人数比选A项的学生人数少 　 　 %。 （3）选C项的学生有 　 　 人，补齐上面的条形统计图。 （4）小学大约有学生6600人，根据上面统计结果推测，从来不进行课外阅读的学生可能有多少人？你想对他们说什么？ 25．（4分）（2023•扬中市）吴老师对300名五年级学生的课外阅读情况进行调查，绘制了如图统计图。 （1）算一算：调查的五年级学生中，从不阅读课外书籍的同学有 　 　 人。 （2）画一画：根据题目中的数据，把条形统计图补充完整。 （3）比一比：阅读《西游记》的人数大约比阅读《三国演义》的人数多 　 　 %。 26．（7分）（2023•武进区）为了解神舟飞船发展轨迹，同学们收集神舟五号到神舟十六号太空飞行时间数据，并制成了如图统计图。 （1）北京时间2023年5月30日神舟十六号航天员乘组顺利进入太空，他们将开启为期5个月的太空之旅（每月按30天计算），把神舟十六号在太空飞行的天数在图2补充完整。 （2）神舟九号（2012年6月发射）出现中国首位女航天员刘洋，这次她在太空生活的天数占这个月天数的 　 　 %（百分号前面保留一位小数）。 （3）神舟载人飞船飞行时间有了显著的增加，与前一次相比增加天数最多的是神舟 　 　 ，它飞行的天数是神舟五号的 　 　 倍。 （4）景海鹏四上太空，搭乘“神七”“神九”“神十一”“神十六”4次飞天创纪录，在太空一共生活 　 　 天。 （5）为了让航天员更快更舒适地安全返回地面，神舟十三号首次采用“快速返回技术”，预计耗时8.5小时，比神舟十二号返回少耗70%的时间，神舟十二号返回一共耗时 　 　 小时。（得数保留整数） （6）天和核心舱上的太阳能电池帆板由A、B两种规格48块组成，总面积为136平方米。其中A规格的面积为3平方米/块，B规格的面积为2平方米/块，A规格比B规格多 　 　 块。 27．（4分）（2023•南通）王阿姨从单位下班先到菜场买菜，再回家。下面图①和图②记录了她的行程。 （1）王阿姨从单位下班，先买菜再回家，一共用了多少分钟？ （2）王阿姨买菜后步行回家时，平均每分钟走多少米？ 28．（5分）（2023•淮安区）今年6月22日是端午节，某小学在节前就学生对端午节文化习俗了解情况进行了随机调查，了解程度分为：A很了解、B比较了解、C了解较少、D不了解；并将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图。 （1）在实际调查收集数据的过程中，下面方法中 　 　 是最好的。 A.以一个年级的学生为调查对象 B.从每个班中随机抽10名学生调查 C.以学校合唱队成员为调查对象 D.选一些对端午节文化习俗有了解的学生 （2）本次共调查了 　 　 人，对端午节文化习俗“不了解”的点总人数的 　 　 %。 （3）本次调查的学生中对端午节文化习俗“了解较少”的有 　 　 人；请根据数据用直条（直条内画上斜线）将条形统计图补充完整。 （4）如果这所小学共有学生2000人，你估计全校学生对端午节文化习俗“比较了解”的大约有 　 　 人。 29．（4分）（2023•泉山区）如图（1），一个长方形纸条从正方形的左边开始以每秒2厘米的速度沿水平方向向右行驶，如图（2）是运动过程中长方形纸条和正方形重叠部分的面积与运动时间的关系图． （1）运动4秒后，重叠部分的面积是多少平方厘米？ （2）正方形的边长是多少厘米？ （3）在图（2）的　 　 内填入正确的时间． 30．（4分）（2024•溧阳市）2021年教育部办公厅印发了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，倡导做好手机管理工作，保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏。下面是实验小学六年级学生使用手机情况统计图（每人只统计一项）。 （1）手机用于电话通讯的人数占总调查人数的 　 　 %。 （2）实验小学六年级学生参加本次调查活动的一共有 　 　 人。 （3）手机用于玩游戏的人数比查资料的多。 （4）请把条形统计图补充完整。 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（江苏专用） 专题13 概率 （精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷） 知识点梳理01：确定事件与不确定事件 1.确定事件包括必然事件和不可能事件 （1）必然事件：无论在什么情况下都一定会发生的事件，我们称之为必然事件.例如太阳从东方升起。 （2）不可能事件：任何情况下都不会发生的事件，是不可能事件.例如今天是星期一，明天就是星期五。 2.不确定事件：在某些情况下发生，而在其他情况下不会发生的事件，是可能发生的事件，即不确定事件,例如守株待免. 重要提示：我们可以用“一定”“不可能”等描述确定事件；用“可能”“经常”“偶尔”等描述不确定事件。 知识点梳理02：可能性及可能性的大小 1.在可能发生的事件中，如果出现该事件的情况较多，我们就说该事件发生的可能性较大；如果出现该事件的情况较少，我们就说该事件发生的可能性较小 2. 事件发生的可能性有大有小，可能性大小以用分数表示 知识点梳理03：游戏规则的公平性 1.游戏规则公平：游戏双方获胜的可能性相等 2.游戏规则不公平：游戏双方获胜的可能性不相等 3.可以根据事件发生的可能性大小来设计游戏规则，游戏规则公平时，结果仍会有输赢。 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.54（中等） 一．选择题（共17小题，满分51分，每小题3分） 1．（3分）（2024•海陵区）在袋子里放4个黄球和1个白球（两种球除了颜色不同其余都相同），从中任意摸出一个球，下列说法正确的是（　　） A．一定能摸到黄球 B．不可能摸到白球 C．摸到黄球和白球的可能性相等 D．摸到每个球的可能性相等 2．（3分）（2024•江宁区模拟）钱老师在3月15日想要了解某商品的状况，他想要拨打服务热线，但是忘了一个数字，只记得是1231□，他任意拨打最后一个数字，正好打通电话的可能性是（　　） A．11.1% B．10% C．15% 3．（3分）（2024•张家港市）在1、2、3、4、5这5张数字卡片中任意抽出一张，抽到的数是（　　）的可能性最小。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 4．（3分）（2024•兴化市）飞镖靶中有20个大小相等的区域，上面分别写着自然数1～20，（如图）。打在靶上的任意一镖，落在（　　）区域的可能性最大。 A．2的倍数 B．5的倍数 C．质数 D．合数 5．（3分）（2024•海门区）趣味运动会上，王老师想选用如图方式决定哪一队先去比赛，如图公平的方式有（　　）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）（2024•鼓楼区）下面是李叔叔收到的一条气象台发布的信息，根据信息可以判断（　　） 气象台发布消息，受强降雨云团影响，预计未来3小时内，我市主城区将有小到中雨，降水量20～30毫升，请注意防范。 A．未来3小时内一定降水 B．未来3小时内不可能降水 C．未来3小时内可能降水 7．（3分）（2024•张家港市）下面表述中，正确的有（　　）句。 ①小芳做抛硬币实验，连续5次抛到反面朝上，接下来再抛一次，则正面朝上的可能性变大。 ②某商品的售价在原价基础上优惠了30%，也就是按原价的七折出售。 ③0.9和0.90的大小相等，但意义和精确度不同。 ④一个物体由若干个小正方体拼成，从上面和前面看到的都是，拼成这个物体至少需要5个小正方体。 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）（2024•昆山市）投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上。那么，投掷第4次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）（2024•淮安）一个正方体，有1个面上写“1”，2个面上写“2”，3个面上写“3”，任意抛起这个正方体，落下后数字（　　）朝上的可能性最大。 A．1 B．2 C．3 D．无法确定 10．（3分）（2024•通州区）明明连掷3次硬币，第1次正面朝上，第2次正面朝下，第3次正面朝上，那么第4次（　　） A．一定正面朝上 B．正面不可能朝上 C．一定反面朝上 D．正、反面都有朝上的可能 11．（3分）（2023•浦口区）甲、乙两队比赛跳绳，下面可以公平确定谁先跳的方式有（　　）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 12．（3分）（2024•江阴市）不透明的袋子里有10个球，分别标注序号1～10。从中任意摸一个，摸到号码是（　　）的可能性最小。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 13．（3分）（2024•昆山市）一个正方体的六个面，有3个面上写“1”，2个面上写“2”，1个面上写“3”，抛起这个正方体，落下后数字“1”朝上的可能性（　　） A．最大 B．与数学“2”朝上的可能性相等 C．最小 D．与数学“3”朝上的可能性相等 14．（3分）（2024•宿城区）将分别标有数字2、3、4、5、6、7的六个同样小球放在一个不透明的袋子里，从袋子里任意摸出一个球，摸到标有（　　）的球可能性最小。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 15．（3分）（2023•武进区）下列说法有几句是错误的（　　） （1）老师和小明一起掷两个骰子，如果和是5、6、7、8、9，算老师赢，否则算小明赢，那么小明赢的可能性大； （2）拉动一个长方形木架（如图），在这个变化过程中，平行四边形的面积和高成正比例； （3）是个六位数，其中A表示比10小的任何一个非零自然数，B表示0，那么这个六位数一定是2、3、5的公倍数； （4）把一根长16厘米的吸管折成三段围成一个三角形（每段都是整厘米数）。如果第一次从2厘米处折，那么第二次应从8厘米处折。 A．0句 B．1句 C．2句 D．3句 16．（3分）（2024•邳州市模拟）抛4次硬币，落地后3次正面朝上，1次反面朝上。抛第5次硬币落地后，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性相比（　　） A．正面朝上的可能性大 B．可能性相等 C．反面朝上的可能性大 17．（3分）（2023•海州区）旋转转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，就能得到奖品。小苗第一次旋转的结果如图所示，她得奖了。如果再旋转一次，那么这次她（　　） A．一定能得奖 B．不可能得奖 C．得奖可能性大 D．得奖可能性小 二．填空题（共8小题，满分17分） 18．（2分）（2024•淮安模拟）有红、白、蓝、黄四种颜色的球各10个，把它们放在一个不透明的袋子里，摸出红球的可能性是 　 　 ，至少摸出 　 　 个球，可以保证摸到两个颜色相同的球． 19．（2分）（2024•海门区模拟）用3张数字卡片“7”“0”“9”组成不同的三位数，结果出现奇数的可能性　 　 出现偶数的可能性．如果用卡片“6”代替其中的数字卡片“0”，组成的三位数中出现奇数的可能性　 　 出现偶数的可能性． 20．（3分）（2023•清江浦区）在一个书包里放3只黄乒乓球和5只白乒乓球，让你每次任意摸出1只球，这样摸120次，摸出黄乒乓球的次数大约占总次数的 　 　 ，摸出的黄球大约会有 　 　 次，如果想摸出黄球的次数达总次数的80%左右，你认为需要再放入 　 　 只黄球． 21．（2分）（2023•金湖县）桌面上反放着7张同样的卡片，分别写有数字2～8。打乱顺序后从中摸出一张，摸出的卡片上是合数的可能性是 　 　 ，摸出的卡片上是偶数的可能性是 　 　 。 22．（2分）（2023•海州区）从袋子里任意摸一个球（如图所示），摸到 　 　 球的可能性大；如果要使摸到黑球和白球的可能性相等，你的方法是 　 　 。 23．（2分）（2023•泉山区）有一个六个面上的数字分别是1、2、3、4、5、6的正方体骰子．掷一次骰子，得到合数的可能性是 　 　 ，得到偶数的可能性是 　 　 。 24．（2分）（2024•玄武区）笑笑、涛涛和豆豆抛同一个小正方体各10次，结果如表。如果再抛一次，笑笑 　 　 （一定、可能、不可能）抛出红色面。（选出正确的答案） 朝上 笑笑 涛涛 豆豆 红色 10次 4次 2次 黄色 0次 6次 8次 25．（2分）（2024•盐城）袋子里放了5个红球和8个白球，从中任意摸一个球，摸到 　 　 球的可能性大。如果要使摸到红球的可能性是，那么可以再往袋子里放 　 　 个白球。 三．应用题（共2小题，满分13分） 26．（6分）（2023•雨花台区）在我国数学四千多年的发展史上，留下了许多关于数学的经典名题，数学也一度是古代学子的必修科目。“两果问价”问题出自我国古代算术《四元玉鉴》：九百九十九文钱，甜果苦果买一千。甜果九个十一文，苦果七个四文钱。试问甜苦各几何，又问各该多少钱？请你尝试算一算。 27． （7分）（2023•南京）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。“数形结合”是非常重要的数学思想方法之一，请结合小学阶段所学举一例说明“数形结合”思想的应用。 四．解答题（共3小题，满分19分） 28．（6分）（2023•南京）如图中，阴影部分可以用来表示。任意转动指针，停在阴影区域的可能性 　 　 （填“大”或“小”）。 28． （7分）（2023•灌云县）在6张卡片上分别写上数字1、2、3、4、5、6，王鹏和李军利用这些卡片玩求和游戏，规则是：将卡片反扣在桌面，第一位随机摸取两张，算出其和后放回，第二位同样随机摸两张，算出其和后再放回，当两张卡片和小于7时算王鹏赢，大于或等于7时算李军赢。你觉得这个游戏公平吗？说说你的理由。 30．（6分）（2023•南京模拟）在1～20的自然数中，任意抽一个数，抽到既是偶数又是素数的可能性是，抽到既是奇数又是合数的可能性是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$江苏专版 专题培优讲练一真题重组 2025年小升初数学复习讲义（教师版） 十三大专题知识讲练全覆盖 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作者寄语 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。本书籍将 小升初复习内容划分为13个的专题，主要强化数与代数，图形与几何，统计与 概率三部分内容专题！ 讲义包含三部分： 【思维导图】精编彩图一目了然，对专题知识点统筹讲解，更加能够具体化考纲 内容，精确学习目标； 【知识点全盘覆盖】深入挖掘重难点考查内容，查漏补缺，梳理细致考察点； 【江苏省全市真题重组培优卷】精选近两年全市各地名校真题，专题汇编整理， 百分制检测卷，更能够直接了当获取考察方向，重点考察易错点，难度中上，适 合所有学生复习使用！ 相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：考试顺利，再创佳绩！ 泉取通和书 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 目录 专题01数的认识. 3 专题02数的运算....... 25 专题03常见的量 46 专题04式与方程. 63 专题05比和比例.......... 85 专题06解决问题 105 专题07探索规律. 128 专题08图形的认识 160 专题09几何图形的周长、体积与表面积 183 专题10图形的运动-轴对称、平移与旋转、缩放与折叠 210 专题11图形与位置-方向、位置、比例尺与路线图....... 241 专题12统计 269 专题13概率..…… 303 2/320 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2025年小升初数学二轮复习。真题重组汇编考前必刷专题培优讲练（江苏专用) 专题01数的认识 (精编思维导图+知识梳理精讲+江苏地区历年真题重组培优卷) 口精编思维导图 百分数的读法 0是最小的自然数，设有最大的自 正整数 百分数的写法 百分数的意义 就数 自然数的个数是无限的：0 既不是正整数也不是负整数，它是 整数 0 〉自然数 百分数与小数、分数之间的互化 个整数，它是正数和负数的分界 负整数 计数含义 成数、折扣、税率、利率 计数与计数单位 计数单位 十巴分谱意 百分数 整数的 计数符号 120% 的认识 认识 十进制计数法 三天灯渔两天隔网 整数的数 数位与位值制 位顺序表 数位顺序表 D11020 0,88 整数的 数的认识 读、写 正、负整数的读、写 809000110 0.9 正整数的改写及求近似数 因数 小数的基本性质 和倍数 小数的 分数的 偶数 2、3、5的 认识 认识 倍数的特征 奇数 小数的 小数的计数单位 意义 整数的 质数 最大公因数 近似数、小数 大小比较 小数的读法和写法 分数的性 合数 最小公倍数 的大小比较 基本性质 质、应用及 分数的各部分名 小数的 大小比较 纯小数 分数的意义 称及分数单位 按整数分 分类 最简分数 带小数 分数与除法的关系 约分 分数的分 有限小数 按小数分 类及读写 循环小数 通分 真分数 无限小致 小数数位 分数大小 假分数 带分数 不循环小数 的变化 的比较 整数 口知识梳理精讲 知识点梳理01：整数 1.整数的意义和分类：像-3，-2，-1,0,1,2,3，…这样的数统称为（整数）。整数分为正整数、0、负 整数（整数也可以分为自然数和负整数） 易错点拨：0既不是正数，也不是负数 2.整数的读法：读一个多位数，从高级到低级，一级一级地读。每级都按照个级的读法来读，读亿级、万 级时，必须加上“亿”字或“万”字。每级末尾的“0"都不读，其他数位有一个或连续几个“0"的都只读 一个零。（读数时，可以先画出分级线，再读数，这样可以快速、准确地读出一个多位数 3/320 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.整数的写法：写数时，按从高位到低位的顺序，一级一级地写。亿级和万级都按个级的写法来写。哪个 数位上一个单位也没有，就在那一位上写0（写完后，画上分级线检查，每一级都只能写四位，不要多写或 少写0) 4.整数的大小比较： ①比较两个整数的大小，首先数一下多位数的位数，位数多的大于位数少的 ②如果位数相同，就比较最高位，最高位上的数大的那个数就大；最高位上的数相同，次高位上的数大那 个数就大，如果还相同，则继续依次比较，直到比较出大小为止。 5,整数的改写和近似数 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要， 省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 （1)数的改写： ①把整万、整亿数改写成用“万”或“亿”作单位的数：把万位或亿位后面的4个0或个0去掉，换成一 个“万”字或“亿”字就可以了 ②把非整万、整亿数改写成用“万”或“化”作单位的数：先把原数的小数点向左移动4位或8位（小数 部分末尾是0的要划掉)，再在数的后面写上“万”字或“亿”字，中间用“=”连接 （2)近似数：省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数，再在数的后面 写上“万”或“亿”字，中间用约等号连接 易错点拨：近似数常用词：精确到哪位小数、保留几位小数等。 a.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数 是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略345900万后面的尾数约是35万。省 略4725097420亿后面的尾数约是47亿。 b.进一法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，都向前进1。这种求近似数的方法，叫做进一 法。 C.去尾法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，一概去掉。这种求近似数的方法，叫做去尾法。 知识点梳理02：小数 1.小数的意义：把整数1平均分成10份、100份、1000份…得到的十分之几、百分之几、千分之几…可以 用小数表示。一位小数表示十分之儿，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几… 2.小数的计数单位： 整数部分 小 小数部分 4/320 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 亿级 万级 个级 数 千 百 + 亿 千 百 万 千 百 十 个 点 十 百 千 万 数 亿 亿 亿 位 万 万 万 位 衣 位 位 位 分 分 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 计 百 十 亿 百 十 万 百 十 个 百 万 数 亿 亿 亿 万 万 万 分 分 分 分 单 之 之 位 3.小数的分类：按小数部分的不同情况小数可分为有限小数和无限小数 ①有限小数：小数部分的位数是有限的.例如：134.56,9.001,2.222是有限小数 ②无限小数：小数部分的位数是无限的.无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数。 ③循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数，叫做循环小 数。例如：0.3333…，1.242424…，9.0531531531… ④循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 33.333…的循环节是“3”，记作33.3；4.32727…的循环节是“27”，记4.327；0.1809809…的循环节是 “809”,记作0.1809。 ⑤无限不循环小数：一个没有循环节的无限小数，叫做无限不循环小数。无限不循环小数也叫做无理数。 例如：π=3.1415926…是无限不循环小数。 易错点拨：循环小数一定是无限小数，不要误以为小数部分有重复出现的数就是循环小数 4.小数的读法：读小数时，小数的整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按照顺序读 出每一个数位上的数字。 易错点拨：小数部分不要按照整数的读法来读。 5.小数的写法：写小数时，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每 一个数位上的数字 易错点拨：整数部分是零的写作”0” 6.小数的基本性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 易错点拨：把一个小数写成指定位数的小数，大小不变，而计数单位和意义都不同。 7.小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的那个小数就大；如果整数部分相同，就比较十分位， 5/320 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 十分位大的那个小数就大；如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的那个小数就大，直到比较出大小 为止 8.小数点的移动规律 (1)小数点向右 移动一位，原数就扩大到原数的10倍 移动两位，原数就扩大到原数的100倍 移动三位，原数就扩大到原数的1000倍 (2)小数点向左 移动一位，小数就缩小10倍，即小数就缩小到原数的十分之一； 移动两位，小数就缩小100倍，即小数就缩小到原数的百分之一； 移动三位，小数就缩小1000倍，即小数就缩小到原数的千分之一；… (3)小数点移动要记牢右移扩大、左移缩小 移动一（二、三、…)位是10（100、1000…)倍，位数不够“0”补位。 9.小数的近似数： 01.保留整数，表示精确到个位，就是要把小数部分省略，要看十分位，如果十分位的数字大于或等于5 则向前一位进一。如果小于五则舍去 02.保留一位小数，表示精确到十分位，就要把第一位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第二位， 如果第二位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。 03.保留两位小数，表示精确到百分位，就要把第二位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第三位， 如果第三位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。 04.为了读写的方便，常把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。改写成“万”作单 位的数就是小数点向左移4位，即在万位的右边点上小数点，在数的后面加上“万”字。改写成“亿”作 单位的数就是小数点往左移8位即在亿位的右边点上小数点，在数的后面加上“亿”字。注意：带上单位。 然后再根据小数的性质把小数末尾的零去掉即可 知识点梳理03：分数 1.分数的意义：①把单位“1"平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫作分数。②把单位"1"平均 分成若干份，表示其中的一份的数，叫作分数单位。 易错点拨：描述一个分数时，不要忘记“平均分”。 6/320 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 被除数分子 2.分数与除法的关系：①被除数÷除数 除数分母 ②因为0不能作除数，所以分数的分母不能为0， ③被除数相当于分子，除数相当于分母 易错点拨：注意数量与分率的区别 3.分数的分类： ①真分数：分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1。 ②假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。假分数大于或等于1。 ③带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫作带分数。 易错点拨：假分数大于1或等于1，它的倒数小于或等于1 4.分数的基本性质： ①意义：分数的分子和分母都乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。 ②约分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫作约分。（分子、分母是互为质数 的分数，叫作最简分数。) ③通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。 易错点拨：把一个分数改写成指定分母的分数后，只是大小不变，而分数单位却发生了变化。 5.分数的大小比较：①分母相同，分子大的分数大；②分子相同，分母小的分数大③分子分母都不同，先 通分，在比较或都化成小数再比较大小 6.倒数：乘积是1的两个数互为倒数；1的倒数是1,0没有倒数。 易错点拨：①倒数是相对于两个数来说的，它们互相依存，可以说一个数是另一个数的倒数，不能孤立地 说某一个数是倒数②求一个数的倒数的方法：分子、分母交换位置。求整数的倒数，可以先把整数看成分 母是1的分数，再交换分子、分母的位置。求小数的倒数，可以先把小数化成分数，再交换分子、分母的 位置。 7.分数和小数的互化 1.把分数化成小数的方法：用分数的分子除以分母。 2.把小数化成分数的方法：如果是一位小数就写成十分之几，是两位小数就写成百分之几，是三位小数就 写成千分之几，… 知识点梳理04：百分数 1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数（也叫百分比或百分率） 2.百分数的读写：一个百分数，百分号(%)前面的数是几就把它读作百分之儿。百分数通常不写成分数的 7/320 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 形式，而在原来的分子后面加上百分号(%)来表示。 3.百分数与分数的联系和区别： (1)联系：百分数表示两个数的倍比关系，分数也可以表示两个数的倍比关系。 (2)区别：百分数不能表示具体数量，也不能带计量单位；但分数可以表示具体数量，也可以带计量单位 4.百分数和小数的互化 (1)把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；也可以先把小数写成分母 是100的分数，然后去掉分母和分数线，在分子后面添上百分号。 （2)把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 5.百分数和分数的互化 (1)把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。 (2)百分数化成分数，先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。 6.折扣和成数 (1)折扣：商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分 之几十。例如，九折就是原价的90%，八五折就是原价的85%。 (2)成数：农业收成，经常用“成数”来表示。成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”。 例如，“一成”就是十分之一，改写成百分数是10%；“三成五”是十分之三点五，改写成百分数就是35% 口江苏地区历年真题重组培优卷 试题来源：江苏省13市2023-2024各地名校真题 试题难度系数：0.59（中等） 一.选择题（共8小题，满分16分，每小题2分) 1.(2分)(2024崇川区)下列图()中的涂色部分不能表示一个正方形的好。（图中点Q均为正方 形对角线的交点) Q B. Q C. D 【思路点拨】根据题意，逐项分析进行解答。 8/320 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【规范解答】解：A.将正方形分成两种图形，每种图形平均分成4份，每份占相同图形的，所以2份 涂色部分占正方形的 B.将正方形分成4个相同的小正方形，涂色部分的面积正好等于个正方形的面积，所以涂色部分占正 方形的子 C通过图形旋转、平移可得，涂色部分与半径等于正方形边长的扇形组成了正方形，设正方形的边长是 1,可得正方形的面积是1，扇形的面积是涂色部分的面积是(1一)，涂色部分的面积是正方形的(1-子 元)： D.当正方形的1个顶点在另一个正方形的中心时，无论怎么旋转，重叠形成的涂色部分都等于不动的正 方形的。 故选：C。 【考点评析】考查了组合图形的面积与分数的意义的运用。 2.(2分)(2024·崇川区)在介绍下面的生活事件时，可能用到0.6这个数的是() A.一本数学书封面的大小 B.一双运动鞋的价钱 C.一个鸡蛋的质量 D.一张学生课桌的桌面长度 【思路点拨】结合生活实际，一张学生课桌的桌面长度大约是0.6米。据此解答即可。 【规范解答】解：一张学生课桌的桌面长度大约是0.6米。 故选：D。 【考点评析】本题考查了小数的应用，结合题意分析解答即可。 3.(2分)(2024鼓楼区)m是一个奇数，n是一个偶数，下面()的值一定是奇数。 A.43n B.2 (min) C.2m+7n D.3m+2n 【思路点拨】因为m是一个奇数，所以3m一定是奇数；又n是一个偶数，所以2n一定是偶数.那么“奇 数+偶数”一定是奇数，即3m2n一定为奇数。 【规范解答】解：3m一定是奇数，2n一定是偶数，因为奇数+偶数=奇数，所以3m+2n一定为奇数。 故选：D。 【考点评析】此题应根据数的奇偶性原理来解答。奇数+偶数=奇数。 4.(2分)(2024·玄武区)著名的哥德巴赫猜想：“任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和”。通 9/320