广西梧州市2024-2025学年高二下学期5月段考数学试题

2024-2025 学年度高二年级下学期 5月段考 数学 第 1页（共 4页） 2024-2025 学年度高二年级下学期 5 月段考 数 学 （全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效。 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1．已知命题 ￮ * ，则¬为（ ） A． * B． * C． * D． * 2．已知向量 t h， t ，若 ，则 的值为（ ） A． 5 2  B． 5 2 C． t D．10 3．若椭圆 1: 22 2  y a xC ( a ＞1)的离心率为 2 3 ，则 （ ） A．2 B．4 C． 3 D． 3 32 4．球的表面积增大为原来的 9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 5．设集合 集 ⸳ 集 t ，若 ⸳，则实数 必满足（ ） A． 㔵 h B． h C． 㔵 h D． h 6．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 tt 出发，每隔 s等可能地向上或向右移动一个 单位，则质点移动 6次后位于 位 的概率为（ ） A． 16 1 B． 15 1 C． 32 15 D． 64 15 2024-2025 学年度高二年级下学期 5月段考 数学 第 2页（共 4页） 7．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一 项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开 设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有 ⸳级学培共 5位同学从中任选一所学校作为奋斗目 标，每所学校至少有一位同学选择，则 同学选择浙江大学的不同方法共有（ ） A．24种 B．60种 C．96种 D．240种 8．设函数 t t 㔵 e ，若 t t恒成立，则 的最小值为（ ） A． e B．ln C．1 D．e 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知数列 的前 项和为， ，㔵 㔵 ，则（ ） A．数列 㔵 是等比数列 B． C． D．数列 的前 项和为 10．已知 sin 㔵 π t 변 cos 㔵 π t t，则下列结论正确的是（ ） A． 的单调递增区间为 hπ 㔵 tπ π 㔵 tπ t B． 在区间 t π 上的值域为 C．若 的图象向左平移 t π 个单位长度后得到 변 的图象，则 π D．若 변 在区间 tπ 上恰有两个零点，则的取值范围是 位 t t 11．在棱长为 2的正方体 ⸳级学 ⸳级学中，是 级级的中点，下列说法正确的是（ ） A．若 是线段 级上的动点，则三棱锥 ⸳学的体积为定值 B．沿正方体的表面从点 到点 的最短距离为 t C．若平面 ⸳与正方体各个面所在的平面所成的角分别为 ，则sin 㔵 sin 㔵 sint 㔵 sin位 㔵 sinh 㔵 sin t D．三棱锥 ⸳学外接球的半径为 2024-2025 学年度高二年级下学期 5月段考 数学 第 3页（共 4页） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 12．已知等差数列的前 项和为， ，t t，则t ． 13．若函数 e 与直线 相切，则实数 的值为 . 14．祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于 5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”， 这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几 何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个 几何体的体积相等.已知双曲线 级： 位 ，若直线 t与 在第一象限内与双曲线 级及其渐近线围成图形 ⸳（如图 1），则它绕 轴旋转一周所得几何体Ω的体积为 ； 由双曲线 级和两直线 围成的封闭图形绕 轴旋转一周后得到几何体Γ（如图 2），则Γ的 体积为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题 13分） 记 ⸳级的内角 、⸳、级所对边分别为 、、，面积为 ，且 sin⸳． （1）证明：tan⸳ ttan； （2）若 位h，⸳级边上的高为 ，求 ． 16.（本小题 15分） 如图，在直三棱柱 ⸳级 ⸳级中，⸳ 级，⸳级 ，⸳级 t，学为 的中点，培 为 ⸳级的中点. （1）证明: 学培 平面⸳⸳级级； （2）若 ⸳⸳ ，求直线⸳与平面 学⸳级所成角的正弦值. 2024-2025 学年度高二年级下学期 5月段考 数学 第 4页（共 4页） 17.（本小题 15分） 已知抛物线 级￮ 的焦点为 ，点 在直线 㔵 t t上，过焦点 作一条直线 交 级于 A，B 两点. （1）求抛物线 级的方程； （2）若直线 与抛物线 级交于 P，Q 两点，求证：直线 AP 与 BQ 的交点在一条定直线上. 18.（本小题 17分） 已知函数 e ， . （1）讨论 的单调性； （2）当 t 㔵 ∞ 时， ln恒成立，求 的取值范围； （3）当 时，设변 ，证明：변 在 t 㔵 ∞ 上存在唯一的极小值点t且변 t t 位 . 参考数据：et tht. 19.（本小题 17分） 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过 1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当 前房间移动到另一房间的概率为 0.6，留在该房间的概率为 0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房 间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前 房间的概率均为 0.5，已知在第 0分钟时，猫在 0号房间，老鼠在 1号房间.设在第 n 分钟时，猫 和老鼠在 0号房间的概率分别为，. （1）求第 1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为 1的概率； （2）求证： ， 㔵 h t 位 t 均为等比数列； （3）在第几分钟时，老鼠在 0号房间的概率最大？ 2024-2025学年度高二年级下学期5月段考 数学参考答案 1.【答案】D【详解】由命题：，则命题的否定为：， 2.【答案】B【详解】由题意可得，解得. 3.【答案】【答案】A【详解】依题意，，所以. 4.【答案】C【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：，原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径，此时球体体积为：，由，所以球的体积增大为原来的27倍. 5.【答案】D【详解】由题意可得：集合， 集合或，若，则或， 可得或，即. 6.【答案】D【详解】质点从原点出发，移动6次后位于，则质点向右移动2次，向上移动4次， 由此质点移动6次后位于的概率为.故选：D. 7.【答案】B【详解】5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，已知同学选择浙江大学，当有两位同学选择了浙江大学时，则这4 位同学在4所大学中分别选了一所，共种选法；当只有A同学选择了浙江大学时，则这4 位同学在其余3所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，共种选法； 所以同学选择浙江大学的不同方法共有种.故选：B 8.【答案】C【详解】当时，，不满足恒成立； 当时，令，可得或， 函数的零点为和，因为恒成立，所以，所以， 令，则，令，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，则，所以的最小值为1. 9.【答案】ACD【详解】A选项，，其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，，当时，， 显然满足，故，B错误；D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且，所以的前项和为，D正确. 10.【答案】ACD【详解】对于A，由，解得，选项A正确；对于B，令，由得在上单调递增，在上单调递减， 的值域为，选项B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到的图象，又， 即 ，，即，选项C正确； 对于D，令在区间上恰有两个零点， 在区间上恰有两个零点，，解得，选项D正确．故选：ACD 11.【答案】ABD【详解】对于A，连接交于点，连接，如图所示：   因为四边形为正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值， 因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，直接展开如右图： 此时，其余展开方式均大于，故B正确． 对于C，取的中点，连接，如图： 则，，所以，所以平面就是平面， 因为平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 因为平面，平面，所以， 所以为二角面的平面角，为二面角的平面角， ，， 所以平面与上下两个底面所成二面角的正弦值为， 与前后两个平面所成二面角的正弦值为，与左右两个平面所成二面角的正弦值为， 所以，故C错误； 对于D，因为平面，平面，所以，因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以，同理可证， 由选项A可知，所以，，因为，平面，所以平面， 设为等边三角形的外心，如右图所示： 则， 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上， 设球心为，连接，过作于， 则，， 设三棱锥外接球的半径为，则， 设，则，因为， 所以，解得，，故D正确；故选：ABD． 12.【答案】110【详解】. 13.【答案】【详解】设切点为，由得，，故切线斜率， 由直线可知切线过，故，∴，解得，∴. 14.【答案】 【详解】由，可得渐近线方程：， 在第一象限内与渐近线的交点N的坐标为，与双曲线在第一象限交点B的坐标为，易得，   如图所示，设直线与轴的交点为，在第一象限与双曲线及其渐近线的交点为，则， 所以，则， 根据祖晅原理，它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积等于， 又直角绕轴旋转一周所得圆锥体积为：，所以的体积为， 15. 【详解】（1）因为，所以，在中，， 所以．由正弦定理，得．因为， 所以， 所以，即，所以．……………………6分 （2） 因为，所以，由（1）知． 因为，又因为，解得，． 因为，所以，所以，． 由，得，解得．由正弦定理，得，解得．……………………13分 16. 【详解】（1）取中点，连接、，   因为，所以， 由于为的中点，为的中点，所以，且， 因为且，为的中点，所以，且，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，， 又因为平面，平面，所以，，因为，，、平面，所以，平面，因为，故平面.……………………7分 （2）因为平面，， 如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，所以，，于是、、、、，     则，设平面的一个法向量为，， ，于是，令，则，    设直线与平面所成角为， 那么， 即直线与平面所成角的正弦值为.………………15分 17. 【详解】【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为，则，即 所以抛物线为……………………5分 （2）令，，，不妨设， 设的方程为，， 联立与，得到，， 由， 则直线，直线 ， 两直线方程相减得到：， 因为，于是， 即，即， 即，于是，解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上………………15分 18. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为.……………………5分 （3） 当时，恒成立，即恒成立.令，则，其中，由可得；由可得.所以，函数的减区间为，增区间为.所以，即，故的取值范围是.……………………10分 （3）当时，，，令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又因为，且， 所以存在唯一的，使得，即.① 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以是在上唯一的极小值点. 则，由①可知.……………………17分 19.【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间， 设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间， 则，，……………………2分 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.……………………5分 （2）依题意，，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；……………………5分 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为，……………………6分 由全概率公式，得，……………………7分 则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，……………………8分 ，满足上式也满足题意，则，……………………9分 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， ……………………10分 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首为，公比为的等比数列， ，而满足上式也满足题意，则， 又， 所以为等比数列.……………………13分 （3）由（2）知，显然不是其最大值，设， 当为奇数时，，当且仅当时取等号，最大值为0；…………………14分 当为偶数且时，，……………………15分 当时，，最大值为，……………………16分 则的最大值为，所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大.……………………17分 2024-2025学年度高二年级下学期5月段考 数学答案 第1页，共3页 2024-2025学年度高二年级下学期5月段考 数学答案 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $$