专题08 图形的认识（精编思维导图+知识梳理精讲+浙江地区历年真题重组培优卷）-2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练

2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（浙江专用） 专题08 图形的认识 （精编思维导图+知识梳理精讲+浙江地区历年真题重组培优卷） 模块一 精编思维导图 模块二 专题知识梳理精讲 知识点梳理01：线和角的认识 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识点梳理02：三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 知识点梳理03：四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 知识点梳理04：圆的认识 1.在同圆或等圆中,所有的直径都相等,所有的半径都相等。  2.圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴就是直径所在的直线。 知识点梳理05：长方体和正方体的认识 名称 长方体 正方体 图形 展开图 相同点 面 　6　个 　6　个 棱 12　条 　12　条 顶点 8 个 　8　个 不同点 面的特点 　6　个面一般是　长方形　,也可能有2个相对的是　正方形　 　6　个面都是相同的正方形 面的大小 相对的面的面积　相等 　6　个面的面积都　相等　 棱长 相对的棱的长度　相等 　6　条棱的长度都　相等　 联系 正方体是特殊的长方体 知识点梳理06：圆柱与圆锥的认识 1.圆柱的定义:以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆柱。 2.圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆锥。 3.圆柱和圆锥的特征: 名称 图形 展开图 特征 圆柱 (1)上下两个底面是两个相等的圆;两个底面之间的距离叫作高(h);圆柱有　无数 条高。 (2)侧面展开图是长方形(或正方形),长方形的长相当于圆柱的底面　周长　,宽相当于圆柱的　高　 圆锥 (1)底面是圆,顶点到底面圆心(O)的距离叫作高(h),圆锥只有　1　条高。 (2)圆锥的侧面展开图是一个　扇形　 模块三 浙江地区历年真题重组培优卷 试题来源：浙江省省各市2023-2024名校真题 试题难度系数：0.43（较难） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从左面、上面看到的形状如图所示，这堆纸箱可能有（　　）个。 A．5 B．6 C．8 D．9 【思路引导】根据观察物体的方法，结合从上面看到的形状可知，这堆纸箱底层有5个纸箱，结合从左面看到的形状可知，这堆纸箱有2层，上层至少有1个，最多有2个纸箱，据此解答即可。 【完整解答】解：分析可知，仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从左面、上面看到的形状如图所示，这堆纸箱可能有6个或7个。 故选：B。 【考点点拨】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。 2．（2分）下列能正确表示它们之间关系的是（　　） A．①② B．②③④ C．①③ D．①②③④ 【思路引导】根据所学图形的关系逐项进行分析，解答即可。 【完整解答】解：两条线的关系是平行或者相交，垂直属于相交，所以A正确； 梯形包括直角梯形和等腰梯形，等腰梯形和直角梯形是并列关系，不是包含关系，所以B错误； 正方形和长方形都是平行四边形，正方形又是特殊的长方形，所以C正确。 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以D错误。 所以能正确表示它们之间关系的是①和③； 故选：C。 【考点点拨】本题考查平面图形之间的关系。 3．（2分）如果用□表示一个正方体，用表示两个正方体叠加，用■表示三个正方体叠加，那么图中由七个正方体组合成的几何体，从前面看，可画出的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据观察物体的方法，如果用□表示一个正方体，用表示两个正方体叠加，用■表示三个正方体叠加，从前面看是，据此解答即可。 【完整解答】解：如果用□表示一个正方体，用表示两个正方体叠加，用■表示三个正方体叠加，那么由七个正方体组合成的几何体，从前面看，可画出的平面图形是。 故选：C。 【考点点拨】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。 4．（2分）下面图形中，阴影部分面积与其他三个不相等的是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据图示，的阴影部分面积等于正方形的面积减去半径是正方形边长的圆面积的； 的阴影部分面积等于正方形的面积减去半径是正方形边长一半的圆面积； 的阴影部分面积等于以正方形的边长为底，以正方形边长的一半为高的三角形的面积； 的阴影部分面积等于正方形的面积减去半径是正方形边长一半的圆面积； 据此分析解答即可。 【完整解答】解：设正方形的边长是2，可知： 的阴影部分面积是： 4×4﹣3.14×42 ＝16﹣12.56 ＝3.44 的阴影部分面积等于正方形的面积减去半径是正方形边长一半的圆面积； 4×4﹣3.14×（4÷2）2 ＝16﹣12.56 ＝3.44 的阴影部分面积等于以正方形的边长为底，以正方形边长的一半为高的三角形的面积； 4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4 的阴影部分面积等于正方形的面积减去半径是正方形边长一半的圆面积； 4×4﹣3.14×（4÷2）2 ＝16﹣12.56 ＝3.44 比较可知，阴影部分面积与其他三个不相等。 故选：C。 【考点点拨】本题考查了圆与组合图形面积计算知识，结合题意分析解答即可。 5．（2分）下面各图中，按图（　　）剪下两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。（接头处忽略不计）（单位：cm） A． B． C． D． 【思路引导】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开的一个长方形，这个长方形的等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出圆柱的底面周长，然后与侧面展开图的长进行比较即可。 【完整解答】解：A、3.14×（2÷2） ＝3.14×1 ＝3.14 3.14＝3.14 B、3.14×（2÷2） ＝3.14×1 ＝3.14 3.14≠0.785 C、3.14×（2÷2） ＝3.14×1 ＝3.14 3.14≠6.28 D、3.14×（2÷2） ＝3.14×1 ＝3.14 3.14≠2 所以按图A剪下两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。 故选：A。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 6．（2分）把一个长方体展开后如图。这个展开图的面积是 　32　 平方厘米。把展开图折回成长方体，如果A在底面，那么它的对面是 　D　 。（单位：厘米） 【思路引导】图中是一个长方体的展开图，通过对图的观察，求该展开图的面积，就是求该长方体的表面积，该长方体长为3厘米，宽和高都为2厘米，根据长方体表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，将数据代入求值即可；通过对长方体展开图的分析，该题中是长方体展开图的“2﹣3﹣1”型，C和E相对，A和D相对，B和F相对，据此解答即可。 【完整解答】解：（3×2+3×2+2×2）×2 ＝（6+6+4）×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） A和D互为对面，C和E互为对面，F和B互为对面， 答：这个展开图的面积是32平方厘米。把展开图折回成长方体，如果A在底面，那么它的对面是D。 故答案为：32；D。 【考点点拨】本题考查长方体表面积的计算以及长方体张开图的认识。注意计算的准确性。 7．（2分）把直角三角形折成直角梯形（如图），∠1的度数是 　140　 °。 【思路引导】三角形内角和是180°，所以∠BAC＝180°﹣90°﹣20°＝70°，因为∠BAC＝∠EFD，所以∠ADF＝180°﹣70°×2＝40°，∠1＝180°﹣∠ADF，据此即可求出∠1的度数。 【完整解答】解： ∠BAC＝180°﹣90°﹣20°＝70° ∠BAC＝∠EFD＝70° ∠ADF的度数为：180°﹣70°×2 ＝180°﹣140° ＝40° ∠1＝180°﹣∠ADF＝180°﹣40°＝140° 故答案为：140。 【考点点拨】此题考查运用三角形内角和解决问题。 8．（2分）一个面面相连的立体图形，从正面和上面看到的图形都是，那么搭这个立体图形至少需要 　5　 个同样大小的正方体。 【思路引导】根据观察物体的方法，一个立体图形从正面和上面看到的图形都是，可知底层有4个，上层至少有1个，所以至少需要5个相同的小正方体。 【完整解答】解：上视图如图： 一个面面相连的立体图形，从正面和上面看到的图形都是，搭这个立体图形至少需要5个同样大小的正方体。 故答案为：5。 【考点点拨】本题是考查从不同方向观察物体和几何体，关键是培养学生的观察能力。 9．（2分）把一个长方体展开后如图。这个展开图的面积是 　32　 cm2。把展开图折回成长方体，如果“非”在底面，那么它的对面是 　“广”　 。 【思路引导】通过观察图形可知，这个长方体的底面是正方形，底面边长是2厘米，高是3厘米，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出这个展开图的面积，再根据长方体展开图的特征，相对的面不相邻，由此可知，如果“非”在底面，那么它的对面是“广”，据此解答。 【完整解答】解：（2×2+2×3+2×3）×2 ＝（4+6+6）×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 答：这个展开图的面积是32平方厘米，把展开图折回成长方体，如果“非”在底面，那么它的对面是“广”。 故答案为：32，“广”。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 10．（2分）如图，在一张正方形纸上剪下一个圆和一个扇形，恰好能围成一个圆锥模型。如果扇形的半径为a，圆的半径为b，那么a：b＝（ 　4　 ：　1　 ）。 【思路引导】根据围成圆锥后，圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系。 【完整解答】解：扇形的弧长等于圆锥底面周长。 所以2πa÷4＝2πb a：b＝4：1 故答案为：4，1。 【考点点拨】本题主要考查比例的基本性质及圆锥的认识，掌握圆锥的底面周长和侧面展开图的弧长相等是解决本题的关键。 11．（2分）一个正方体的六个面标有6个数，把它展开后如图，若a是最小的质数，b是最小的合数，c既不是质数也不是合数，且相对两个面上标的数字与含有字母的式子刚好互为倒数，则d+e+f＝　3　 。 【思路引导】根据正方体展开图的特征，属于“1﹣3﹣2”型，折叠成正方体后，a与2d相对，b与（f﹣1）相对，c与e÷2相对，又知相对两个面上标的数字刚好互为倒数，结合a是最小的质数2，b是最小的合数4，c既不是质数也不是合数是1，由此可求出结果。 【完整解答】解：a是最小的质数2，b是最小的合数4，c既不是质数也不是合数是1。 a与2d相对，b与（f﹣1）相对，c与e÷2相对， 因为相对两个面上标的数字刚好互为倒数。 a是2，所以2d×a＝1 可知d b是4，所以f﹣1 可知f＝1 c是1，所以e÷2＝1 可知e＝2 所以d+e+f2+13。 故答案为：3。 【考点点拨】关键明白折成正方体后哪些面相对，再根据倒数的意义及对面数字找出它的倒数，然后再计算。 12．（2分）一个立体图形从上面看是，从左面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用 　5　 个小正方体，最多可以有 　7　 个小正方体． 【思路引导】从左面看，物体有两层，上层有1排，下层有两排；从上面看，物体有两排，上一排有3个小正方体，下排有1个小正方体；要搭成这样的立体图形下层需要3+1＝4个小正方体，上层最少只有1个小正方体，最多可以是7个小正方体，由此即可解答． 【完整解答】解：最少有：4+1＝5（个）， 最多有：4+3＝7（个）， 故答案为：5，7． 【考点点拨】此题考查了从不同方向观察物体和几何体．三视图可以锻炼学生的空间想象力和抽象思维力． 13．（2分）如图，四边形ABCD是长方形，长是6cm，宽是3cm，其中阴影部分周长是 　15.42　 cm，阴影部分面积是 　3.87　 cm2。 【思路引导】根据阴影部分的周长＝半圆的弧长+2条半径，阴影部分的面积＝长方形的面积﹣半圆的面积，据此求解即可。 【完整解答】解：3.14×3×2÷2+2×（6﹣3） ＝9.42+6 ＝15.42（cm） 6×3﹣3.14×32÷2 ＝18﹣14.13 ＝3.87（cm2） 答：其中阴影部分周长是15.42cm，阴影部分的面积是3.87cm2。 故答案为：15.42；3.87。 【考点点拨】本题主要考查了组合图形的周长与面积，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形。 三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）长度分别是6cm、8cm、10cm的三根小棒，可以围成一个三角形． 　√　 ．（判断对错） 【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可． 【完整解答】解：6+8＞10，所以用三根长度分别为6厘米、8厘米和10厘米的小棒可以围成一个三角形，说法正确； 故答案为：√． 【考点点拨】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可． 15．（2分）若一个圆柱的底面直径是高的，则这个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形。 　√　 （判断对错） 【思路引导】“当一个圆柱的侧面展开是一个正方形”，说明这个圆柱的底面周长和高相等，如果用字母d表示圆柱的底面直径，用h表示圆柱的高，那么πd＝h，再逆用比例的性质，把等式转化成比例得解。 【完整解答】解：若一个圆柱的底面直径是高的，则这个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形。原题说法正确。 故答案为：√。 【考点点拨】关键是明确如果圆柱的侧面展开是一个正方形，那么它的底面周长和高就一定相等。 16．（2分）如图三幅图，从右面观察，所看到的形状完全相同。 　×　 （判断对错） 【思路引导】观察物体，第一个从右面看会看到两层，下面一层2个小正方形，上面有1个小正方形右齐；第二个从右面看会看到两层，下面一层2个小正方形，上面有1个小正方形右齐，第三个从右面看会看到两层，下面一层2个小正方形，上面一层1个小正方形左齐，据此即可判断。 【完整解答】解：根据题意，前两个物体的右视图为，第三个物体的右视图为，看到的形状不完全相同，原题说法错误。 故答案为：×。 【考点点拨】此题考查学生的空间想象能力，能将视图画出是解题的关键。 17．（2分）一个圆柱，底面半径是4dm，高是8dm，将它的侧面沿高剪开，会得到一个正方形。 　×　 （判断对错） 【思路引导】若圆柱的底面周长等于圆柱的高，则它的侧面展开图是一个正方形；若圆柱的底面周长不等于圆柱的高，则它的侧面展开图是一个长方形。据此判断即可。 【完整解答】解：3.14×（4×2） ＝3.14×8 ＝25.12（dm） ≠8（dm） 则一个圆柱，底面半径是4dm，高是8dm，将它的侧面沿高剪开，会得到一个长方形。原题干说法错误。 故答案为：×。 【考点点拨】本题考查圆柱的展开图，明确若圆柱的底面周长等于圆柱的高，则它的侧面展开图是一个正方形是解题的关键。 18．（2分）在一个等腰三角形中，其中两个内角的度数之比是1：2，这个等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形。 　√　 （判断对错） 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，其中两个内角的度数之比是1：2，则等腰三角形三个内角的度数之比可能是1：1：2或1：2：2；三角形的内角和是180°，把180°分别按1：1：2或1：2：2分配，求出三个内角的度数；最后将三角形按角分类。 【完整解答】解：若等腰三角形三个内角的度数之比是1：1：2。 180°180°45° 180°180°90° 所以这个等腰三角形三个内角分别是45°、45°、90°。这个等腰三角形是直角三角形。 若等腰三角形三个内角的度数之比是1：2：2。 180°180°36° 180°180°72° 所以这个等腰三角形三个内角分别是36°、72°、72°。这个等腰三角形是锐角三角形。 即这个等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形。原题说法正确。 故答案为：√。 【考点点拨】此题主要考查了等腰三角形的特点、三角形的内角和、按比分配、三角形按角分类。 四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）正方形的边长为4厘米，求如图阴影部分的周长和面积。（π取3.14） 【思路引导】观察图形可得：阴影部分的周长＝直径为4厘米的圆的周长+正方形的边长×2，然后再根据圆的周长公式C＝πd进行解答；阴影部分的面积＝边长为4厘米的正方形的面积﹣直径为4厘米的圆的面积，然后再根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2进行解答。 【完整解答】解：3.14×4+4×2 ＝12.56+8 ＝20.56（厘米） 4×4﹣3.14×（4÷2）2 ＝16﹣12.56 ＝3.44（平方厘米） 答：阴影部分的周长是20.56厘米，面积是3.44平方厘米。 【考点点拨】本题属于求组合图形周长或面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的周长或面积和还是求周长或面积差，然后根据周长或面积公式解答即可。 五．解答题（共10小题，满分58分） 20．（6分）如图是由12个小正方体搭成的，每个小正方体的棱长都是2厘米。 （1）在方格纸上分别画出从右面、上面两个方向看到这个立体图形的形状图。 （2）这个立体图形的表面积是 　160　 平方厘米。 （3）这个立体图形的体积是 　96　 立方厘米。 【思路引导】（1）从右面看有3行，最下边1行3个小正方形；中间1行靠右2个小正方形；最上边1行靠右1个小正方形；从上面看有3行，后边2行并排各3个小正方形，最前边1行靠左2个小正方形，据此作图； （2）正面和后面、左面和右面，上面和下面，相对的面看到的形状一样，将从正面、右面、上面看到的小正方体的个数相加，乘2，求出表面小正方体的个数，根据正方形面积＝边长×边长，求出1个小正方形的面积，1个小正方形的面积×表面小正方形的个数＝这个立体图形的表面积； （3）看图可知，底层8个小正方体，中间1层3个小正方体，最上层1个小正方体，据此确定小正方体的个数，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出1个小正方体的体积，1个小正方体的体积×小正方体的个数＝这个立体图形的体积。 【完整解答】解： （1） （2）（6+6+8）×2 ＝20×2 ＝40（个） 2×2×40 ＝4×40 ＝160（平方厘米） 这个立体图形的表面积是160平方厘米。 （3）8+3+1＝12（个） 2×2×2×12 ＝8×12 ＝96（立方厘米） 这个立体图形的体积是96立方厘米。 故答案为：160；96。 【考点点拨】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。 21．（6分）学习尺规作图后，奇奇用尺规设计了下面的图案。 ①用圆规和直尺将这幅图案画在格子纸上，使半圆的直径是4cm。 ②图中空白部分的面积是 　4.56　 cm2。 【思路引导】（1）用圆规和直尺作图的方法设计图案即可，先画一条线段，以中点为圆心画一个半圆，然后再以半圆的半径为直径画圆，同时画出它的内接正方形即可； （2）空白部分的面积＝以半圆的半径为直径的圆面积﹣正方形的面积，据此计算。 【完整解答】解：（1）如下图所示： （2）S空白＝S圆﹣S正方形 ＝3.14×（4÷2）2﹣4×4÷2 ＝3.14×4﹣8 ＝12.56﹣8 ＝4.56（cm2） 答：图中空白部分的面积是4.56cm2。 故答案为：4.56。 【考点点拨】本题考查了学生动手画图能力，考查了圆面积公式及正方形的面积计算等。 22．（4分）小王从不同的方向观察一个长方体（如图），这个长方体的体积是 　2250　 cm3。请在右面虚线框内画出正面看到的图形，并标上长、宽的数据。 【思路引导】根据图示，长方体的长是15厘米，宽是10厘米，高是15厘米，根据长方体的体积公式V＝abh解答即可；然后结合长方体的特征，在右面虚线框内画出正面看到的图形，并标上长、宽的数据即可。 【完整解答】解：长方体的长是15厘米，宽是10厘米，高是15厘米，体积是： 15×10×15 ＝150×15 ＝2250（立方厘米） 画出正面看到的图形，并标上长、宽的数据，如图： 答：这个长方体的体积是2250立方厘米。 故答案为：2250。 【考点点拨】本题考查了观察物体以及长方体的特征，结合题意分析解答即可。 23．（6分）求如图阴影部分的面积。（图中单位：厘米） 【思路引导】如下图所示，连接小正方形左上顶点和大正方形左下顶点，阴影部分的面积被分割成两部分，左侧部分等于扇形面积减去大正方形右下部分三角形面积，右侧部分等于梯形面积减去三角形面积。然后两部分相加求和即可。 【完整解答】解：如下图所示，连接小正方形左上顶点和大正方形左下顶点。 3.14×424×2 ＝3.14×4﹣4 ＝12.56﹣4 ＝8.56（平方厘米） （2+2+4）×2÷2（2+4）×2 ＝8×2÷2﹣6 ＝8﹣6 ＝2（平方厘米） 8.56+2＝10.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是10.56平方厘米。 【考点点拨】本题考查了不规则图形面积的计算。 24．（6分）如图所示，在一个正方形纸片上裁出一个半圆和一个小圆，它们恰好能围成一个圆锥。已知正方形的边长为8厘米，则纸片剩余部分的面积是多少？（π取3.14） 【思路引导】已知正方形的长为8厘米，可知半圆的半径为4厘米，设小圆的半径为r，由该半圆与小圆恰好围成一个完整的圆锥，可得2πr＝4π，则r＝2厘米，根据圆的面积公式求得半圆和小圆的面积；正方形纸片的宽为半圆的半径加上小圆的直径，即4+2×2＝8（厘米），求得正方形纸片的面积，然后减去半圆和小圆的面积之和，解决问题。 【完整解答】解：半圆的半径：8÷2＝4（厘米） 设小圆的半径为r，则2πr＝4π，所以r＝2厘米 半圆面积：3.14×42÷2＝25.12（平方厘米） 小圆面积：3.14×22＝12.56（平方厘米） 正方形纸片的边长：4+2×2＝8（厘米） 正方形纸片面积：8×8＝64（平方厘米） 纸片剩余部分面积：64﹣25.12﹣12.56＝26.32（平方厘米） 答：纸片剩余部分面积为26.32平方厘米。 【考点点拨】此题考查了相切两圆的性质与圆锥的计算．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用。 25．（4分）如图，点O是圆心，线段AB是圆的直径，在圆上取任意一点C（A、B点除外），连接点A、B、C得到△ABC，∠ACB＝　90　 °。请说明理由。 【思路引导】在图中连接线段OC，所以OA＝OC，因为OA和OC都是圆的半径，所以OA＝OC＝OB，因此三角形AOC和三角形OCB都是一个等腰三角形，那么∠A＝∠ACO，∠B＝∠OCB，∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝∠A+∠B；再根据三角形内角和是180度进行，直角三角形的两个锐角的和等于90度的直角，据此计算解答。 【完整解答】解：如图： 根据分析可知：因为∠A＝∠ACO，∠B＝∠OCB，∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝∠A+∠B，且∠A+∠B+∠ACB＝180°，所以∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝∠A+∠B＝90°。 因为只有直角三角形的两个锐角的和等于直角。 故答案为：90，直角三角形的两个锐角的和等于直角。 【考点点拨】本题考查了直角三角形角的特征。 26．（8分）三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，如图，∠1就是△ABC由AC与BC延长线所组成的外角，由此我们再延长CA和AB，同样也分别得到它们的外角∠2和∠3。 （1）求出三个外角的和。 ∠1＝　130　 ° ∠2＝　140　 ° ∠3＝　90　 ° 三个外角和＝　360　 ° （2）请你继续研究。先选择其中的一个三角形，画出3个外角，分别标上∠1、∠2、∠3，再填表思考。 三角形外角 ∠1 ∠2 ∠3 三个外角和 度数 （3）我的发现是：　三角形的外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和　 。 （4）我的思考：为什么会有这个规律？ 【思路引导】（1）利用三角形内角和及平角的意义计算即可； （2）选择其中的一个三角形，画出三个外角，并利用三角形内角和及平角的意义计算，完成表格； （3）根据计算的结果写成自己的发现； （4）根据三角形中各角度数的关系及内。外角的关系，写出自己的理由即可。 【完整解答】解：（1）∠1＝180°﹣（180°﹣40°﹣90°） ＝180°﹣50° ＝130° ∠2＝180°﹣40°＝140° ∠3＝180°﹣90°＝90° 三个外角和＝130°+140°+90°＝360° 答：∠1＝130°，∠2＝140°，∠3＝90°，三角形的外角和是360°。 （2）如图： （答案不唯一） ∠1＝180°﹣30°＝150° ∠2＝180°﹣40°＝140° ∠3＝180°﹣110°＝70° 150°+140°+70°＝360° 三角形外角 ∠1 ∠2 ∠3 三个外角和 度数 150° 140° 70° 360° （3）我的发现是：三角形的外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和。（答案不唯一） （4）我的思考：三角形的外角＝平角﹣相邻内角＝180°﹣相邻内角，不相邻内角和＝三角形内角和一相邻内角＝180°﹣相邻内角，所以外角＝不相邻内角和。（答案不唯一） 故答案为：130，140，90，360；三角形的外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和。（答案不唯一） 【考点点拨】本题主要考查三角形内角定理的应用及外角和的推导。 27．（6分）根据图中的信息，求阴影部分图形面积。（单位：cm） 【思路引导】把右边的阴影部分旋转到左边，阴影部分图形面积就是一个梯形的面积，据此解答即可。 【完整解答】解：如图： （4+7）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝22（平方厘米） 答：阴影部分的面积是22平方厘米。 【考点点拨】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是把不规则图形的面积转化为规则图形的面积。 28．（6分）如图1，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角．现将三角形的三条边AB、BC、CA分别延长，形成了∠4、∠5、∠6三个角，这三个角叫三角形的外角，如图2． 不测量，你能推理得出∠4、∠5和∠6这三个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程． 【思路引导】∠1与∠6成一个平角，即∠1+∠6＝180°，同理，∠2+∠4＝180°，∠3+∠5＝180°，由此可求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°×3＝540°，根据三角形内角和定理，∠1+∠2+∠3＝180°，由此即可求出∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°＝360°． 【完整解答】解：能推理得出∠4、∠5和∠6这三个外角的和是360°，理由如下： 因为∠1+∠6＝180°，∠2+∠4＝180°，∠3+∠5＝180° 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 ＝180°×3 ＝540° 又因为，∠1+∠2+∠3＝180° 所以∠4+∠5+∠6 ＝540°﹣180° ＝360°． 【考点点拨】解答此题的关键是平角的意义及三角形内角和定理． 29．（6分）一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是．搭一个这样的立体图形，最少需要几个小正方体？最多可以有几个小正方体？ 【思路引导】根据从上面看到的图形可得，这个图形的下层是4个小正方体；根据从正面看到的图形可得，这个图形的上层左边一列至少有1个小正方体，最多有2个正方体，据此即可解答问题． 【完整解答】解：根据题干分析可得：最少需要4+1＝5（个） 最多需要4+2＝6（个） 答：最少需要5个，最多可以有6个． 【考点点拨】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（浙江专用） 专题08 图形的认识 （精编思维导图+知识梳理精讲+浙江地区历年真题重组培优卷） 模块一 精编思维导图 模块二 专题知识梳理精讲 知识点梳理01：线和角的认识 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识点梳理02：三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 知识点梳理03：四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 知识点梳理04：圆的认识 1.在同圆或等圆中,所有的直径都相等,所有的半径都相等。  2.圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴就是直径所在的直线。 知识点梳理05：长方体和正方体的认识 名称 长方体 正方体 图形 展开图 相同点 面 　6　个 　6　个 棱 12　条 　12　条 顶点 8 个 　8　个 不同点 面的特点 　6　个面一般是　长方形　,也可能有2个相对的是　正方形　 　6　个面都是相同的正方形 面的大小 相对的面的面积　相等 　6　个面的面积都　相等　 棱长 相对的棱的长度　相等 　6　条棱的长度都　相等　 联系 正方体是特殊的长方体 知识点梳理06：圆柱与圆锥的认识 1.圆柱的定义:以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆柱。 2.圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆锥。 3.圆柱和圆锥的特征: 名称 图形 展开图 特征 圆柱 (1)上下两个底面是两个相等的圆;两个底面之间的距离叫作高(h);圆柱有　无数 条高。 (2)侧面展开图是长方形(或正方形),长方形的长相当于圆柱的底面　周长　,宽相当于圆柱的　高　 圆锥 (1)底面是圆,顶点到底面圆心(O)的距离叫作高(h),圆锥只有　1　条高。 (2)圆锥的侧面展开图是一个　扇形　 模块三 浙江地区历年真题重组培优卷 试题来源：浙江省省各市2023-2024名校真题 试题难度系数：0.43（较难） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从左面、上面看到的形状如图所示，这堆纸箱可能有（　　）个。 A．5 B．6 C．8 D．9 2．（2分）下列能正确表示它们之间关系的是（　　） A．①② B．②③④ C．①③ D．①②③④ 3．（2分）如果用□表示一个正方体，用表示两个正方体叠加，用■表示三个正方体叠加，那么图中由七个正方体组合成的几何体，从前面看，可画出的平面图形是（　　） A． B． C． D． 4．（2分）下面图形中，阴影部分面积与其他三个不相等的是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）下面各图中，按图（　　）剪下两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。（接头处忽略不计）（单位：cm） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 6．（2分）把一个长方体展开后如图。这个展开图的面积是 　 　 平方厘米。把展开图折回成长方体，如果A在底面，那么它的对面是 　 　 。（单位：厘米） 7．（2分）把直角三角形折成直角梯形（如图），∠1的度数是 　 　 °。 8．（2分）一个面面相连的立体图形，从正面和上面看到的图形都是，那么搭这个立体图形至少需要 　 　 个同样大小的正方体。 9．（2分）把一个长方体展开后如图。这个展开图的面积是 　 　 cm2。把展开图折回成长方体，如果“非”在底面，那么它的对面是 　 　 。 10．（2分）如图，在一张正方形纸上剪下一个圆和一个扇形，恰好能围成一个圆锥模型。如果扇形的半径为a，圆的半径为b，那么a：b＝（ 　 　 ：　 　 ）。 11．（2分）一个正方体的六个面标有6个数，把它展开后如图，若a是最小的质数，b是最小的合数，c既不是质数也不是合数，且相对两个面上标的数字与含有字母的式子刚好互为倒数，则d+e+f＝　 　 。 12．（2分）一个立体图形从上面看是，从左面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用 　 　 个小正方体，最多可以有 　 　 个小正方体． 13．（2分）如图，四边形ABCD是长方形，长是6cm，宽是3cm，其中阴影部分周长是 　 　 cm，阴影部分面积是 　 　 cm2。 三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）长度分别是6cm、8cm、10cm的三根小棒，可以围成一个三角形． 　 　 ．（判断对错） 15．（2分）若一个圆柱的底面直径是高的，则这个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形。 　 　 （判断对错） 16．（2分）如图三幅图，从右面观察，所看到的形状完全相同。 　 　 （判断对错） 17．（2分）一个圆柱，底面半径是4dm，高是8dm，将它的侧面沿高剪开，会得到一个正方形。 　 　 （判断对错） 18．（2分）在一个等腰三角形中，其中两个内角的度数之比是1：2，这个等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形。 　 　 （判断对错） 四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）正方形的边长为4厘米，求如图阴影部分的周长和面积。（π取3.14） 五．解答题（共10小题，满分58分） 20．（6分）如图是由12个小正方体搭成的，每个小正方体的棱长都是2厘米。 （1）在方格纸上分别画出从右面、上面两个方向看到这个立体图形的形状图。 （2）这个立体图形的表面积是 　 　 平方厘米。 （3）这个立体图形的体积是 　 　 立方厘米。 21．（6分）学习尺规作图后，奇奇用尺规设计了下面的图案。 ①用圆规和直尺将这幅图案画在格子纸上，使半圆的直径是4cm。 ②图中空白部分的面积是 　 　 cm2。 22．（4分）小王从不同的方向观察一个长方体（如图），这个长方体的体积是 　 　 cm3。请在右面虚线框内画出正面看到的图形，并标上长、宽的数据。 23．（6分）求如图阴影部分的面积。（图中单位：厘米） 24．（6分）如图所示，在一个正方形纸片上裁出一个半圆和一个小圆，它们恰好能围成一个圆锥。已知正方形的边长为8厘米，则纸片剩余部分的面积是多少？（π取3.14） 25．（4分）如图，点O是圆心，线段AB是圆的直径，在圆上取任意一点C（A、B点除外），连接点A、B、C得到△ABC，∠ACB＝　 　 °。请说明理由。 26．（8分）三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，如图，∠1就是△ABC由AC与BC延长线所组成的外角，由此我们再延长CA和AB，同样也分别得到它们的外角∠2和∠3。 （1）求出三个外角的和。 ∠1＝　 　 ° ∠2＝　 　 ° ∠3＝　 　 ° 三个外角和＝　 　 ° （2）请你继续研究。先选择其中的一个三角形，画出3个外角，分别标上∠1、∠2、∠3，再填表思考。 三角形外角 ∠1 ∠2 ∠3 三个外角和 度数 （3）我的发现是：　 　 。 （4）我的思考：为什么会有这个规律？ 27．（6分）根据图中的信息，求阴影部分图形面积。（单位：cm） 28．（6分）如图1，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角．现将三角形的三条边AB、BC、CA分别延长，形成了∠4、∠5、∠6三个角，这三个角叫三角形的外角，如图2． 不测量，你能推理得出∠4、∠5和∠6这三个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程． 29．（6分）一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是．搭一个这样的立体图形，最少需要几个小正方体？最多可以有几个小正方体？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$