专题09 几何图形的周长、体积与表面积（精编思维导图+知识梳理精讲+浙江地区历年真题重组培优卷）-2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练

2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（浙江专用） 专题09 几何图形的周长、体积与表面积 （精编思维导图+知识梳理精讲+浙江地区历年真题重组培优卷） 模块一 精编思维导图 模块二 专题知识梳理精讲 知识点梳理01：三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 2.三角形的面积 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母 表示为: S=ah 。 知识点梳理02：四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 2.四边形的测量 (1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。 (2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。 知识点梳理03：圆的周长和面积 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点梳理04：组合图形的面积 1.求组合图形面积的方法。 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 知识点梳理05：圆柱与圆锥的测量 1.圆柱的侧面积、表面积。 (1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　 (2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　 2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h 。  3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　 知识点梳理06：用排水法计算不规则物体的体积 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。  2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。 知识点梳理07：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点梳理08：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 模块三 浙江地区历年真题重组培优卷 试题来源：浙江省省各市2023-2024名校真题 试题难度系数：0.42（较难） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）转化是一种重要的数学方法，如图用到转化方法的有（　　）项。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2分）如图所示，将圆柱形容器装的水倒入（　　）容器中，正好能倒满。（单位：厘米） A． B． C． D． 3．（2分）如图所示，一辆玩具坦克车由一根履带围着4个半径1cm的轮子前进。这辆玩具车的履带长度是（　　）cm。 A．18.28 B．15.14 C．12.28 D．9.14 4．（2分）这个长方形的长是2cm，宽是1cm分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。这两个圆柱的（　　） A．体积相等 B．底面积相等 C．表面积相等 D．侧面积相等 5．（2分）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学尝试解决梯形面积的问题，想法有以下几种。三位同学的想法中，（　　） 甲： （上底+下底）×高÷2＝梯形面积 乙： 4÷2＝2（cm）（3+5）×2＝16（cm2） 丙： 3×4÷2＝6（cm2） 5×4÷2＝10（cm2） 6+10＝16（cm2） A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 二．填空题（共8小题，满分19分） 6．（4分） 4.04升＝ 　 　 升 　 　 毫升 50800平方米＝ 　 　 公顷 6时12分＝ 　 　 时 9吨30千克＝ 　 　 吨 7．（2分）如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 　 　 。 8．（2分）一个长方体的底面周长是24分米，如果高增加2分米，它恰好是一个正方体。这个长方体的表面积是 　 　 平方分米，体积是 　 　 立方分米。 9．（2分）如图，长方形ABCD中，FG的长度是BC的。 （1）△EFG的面积是长方形ABCD面积的　 　 。 （2）长方形ABCD如果绕AD边旋转一周得到圆柱甲，如果绕AB边旋转一周得到圆柱乙。已知AB：AD＝1：2，则两个圆柱的体积比V甲：V乙＝　 　 。 10．（2分）如图，从一张长20厘米、宽15厘米的长方形纸上剪下一个正方体的展开图，做成一个纸盒。这个纸盒的表面积是 　 　 平方厘米，体积是 　 　 立方厘米。 11．（2分）一个三角形纸片（单位：厘米），以AB所在的直线为轴旋转一周（如图1），形成图形的体积是 　 　 立方厘米，如果将这个直角三角形剪去直角（如图2），得到一个四边形，∠1+∠2＝ 　 　 度。 图1 图2 12．（3分）一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，这个圆柱的底面积是 　 　 cm2，体积是 　 　 cm3。把这个圆柱削成最大的圆锥，圆锥与削去部分的体积比是 　 　 。 13．（2分）如图所示，大圆的半径为4厘米，那么阴影部分的面积为 　 　 。 三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）一个大正方体是由8个同样的小正方体搭成的，如果拿去一个小正方体，表面积不变。 　 　 （判断对错） 15．（2分）在一个正方体上挖去一个棱长1厘米的小正方体后，体积和表面积都可能不变。 　 　 （判断对错） 16．（2分）把一个棱长为6厘米的正方体切分成棱长为2厘米的小正方体，这些小正方体的表面积之和是原来大正方体表面积的3倍。 　 　 （判断对错） 17．（2分）一个三角形的两条边分别是3厘米和4厘米，第三条边的长度有2厘米，3厘米，4厘米，5厘米和6厘米5种可能。 　 　 （判断对错） 18．（2分）如图，把一个底面直径和高相等的圆柱切成若干等份，排成两个近似的长方体后，表面积比原来圆柱增加2a2。 　 　 （判断对错） 四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）求涂色部分的面积。（π取3.14） （1） （2） 五．应用题（共10小题，满分55分） 20．（4分）实验室有两个容积相等的圆柱形量杯，从里面量，甲量杯的底面直径是6厘米，高是30厘米，乙量杯的底面直径是10厘米。乙量杯的高是多少厘米？ 21．（4分）数学节期间，小明利用“排水法”测量一个土豆的体积。请根据下面测量步骤和结果，求出这个土豆的体积是多少立方厘米。 22．（5分）有一个长方体水箱，从内部量得底面长6dm、宽4dm。水箱中有一些鹅卵石（完全没入水中），水面高度为4.5dm。现在把一块太湖石放入水箱中，发现这块太湖石也被完全浸没了，水面恰好上升到水箱口，但还没有溢出。你能根据目前水箱容积占比的分配（如图），求出水箱容积是多少吗？ 23．（5分）一个圆锥形金属铸件的底面半径2厘米，高3厘米，把它完全浸没在底面半径是4厘米的圆柱形玻璃槽内（玻璃槽足够高），水面上升多少厘米？ 24．（5分）在学习了圆柱和圆锥的体积之后，王华做了一个圆柱形容器和一些圆锥形容器，并进行了下面两个试验。（单位：cm） （1）试验一：王华在圆柱形容器里面装了一些水（如图），再将这些水倒入下面一个圆锥形容器中，倒入 　 　 圆锥形容器中能恰好倒满。 （2）试验二：王华按照下面的步骤测量了一个土豆的体积。 根据上面的测量结果，你能求出这个土豆的体积是多少立方厘米吗？ 25．（6分）王军家新房子刚装修好，要给餐厅配一张圆形餐桌，配多大的桌子呢？王军想：平时客人最多时12个人左右，如果坐在桌边，每人平均分配50cm左右的范围。根据王军的设想，需要购买半径为多少的圆桌，能够在客人最多时也坐得舒适？（π取3） 26．（6分）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 、27．（6分）王师傅做了一个底面积为240cm2的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸 　 　 分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 28．（6分）如图是学校新修的一个游泳池，长25m，宽21m，最浅处水深1.2m，最深处水深1.6m。（说明：游泳池底面是倾斜的） （1）这个游泳池最多能蓄水多少立方米？ （2）如果把空的游泳池蓄满水，以每小时150m3速度注入，选下面 　 　 图能表示出游泳池最深处水位的变化情况。请说出理由。 A.B.C. 29．（8分）回顾一下圆柱和圆锥的形成过程，请你根据积累的活动经验，观察下列图形，进行想象与思考 （1）图1、图2都有一个同样的长方形ABCD，AB＝3厘米，BC＝4厘米，图1沿着边AD旋转一周，图2沿着边CD旋转一周，图 　 　 旋转得到的立体图形大一些。 （2）如图3：已知这个长方形中的对角线BD和边BC，CD组成一个△BCD，请问△BCD沿AD为轴旋转一周，形成立体图形体积是多少立方厘米？请你在图3中试着画一画阴影部分△BCD扫过的立体图形，它的体积是 　 　 立方厘米。 （3）如图4：继续观察这个长方形，长方形的两条对角线AC和BD相交于点O，请问图中的阴影部分△ADO沿CD为轴旋转一周，形成立体图形体积是多少立方厘米？请你在图4中试着画一画阴影部分△ADO扫过的立体图形，它的体积是 　 　 立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学二轮复习●真题重组汇编●考前必刷专题培优讲练（浙江专用） 专题09 几何图形的周长、体积与表面积 （精编思维导图+知识梳理精讲+浙江地区历年真题重组培优卷） 模块一 精编思维导图 模块二 专题知识梳理精讲 知识点梳理01：三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 2.三角形的面积 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母 表示为: S=ah 。 知识点梳理02：四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 2.四边形的测量 (1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。 (2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。 知识点梳理03：圆的周长和面积 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点梳理04：组合图形的面积 1.求组合图形面积的方法。 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 知识点梳理05：圆柱与圆锥的测量 1.圆柱的侧面积、表面积。 (1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　 (2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　 2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h 。  3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　 知识点梳理06：用排水法计算不规则物体的体积 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。  2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。 知识点梳理07：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点梳理08：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 模块三 浙江地区历年真题重组培优卷 试题来源：浙江省省各市2023-2024名校真题 试题难度系数：0.42（较难） 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）转化是一种重要的数学方法，如图用到转化方法的有（　　）项。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引导】分别分析四个图呈现的问题，看哪些图中体现了转化思想即可。 【完整解答】解：左上图：圆面积的推导过程是将圆转化成近似的长方形或平行四边形，再根据长方形或平行四边形的面积公式推导出来的；右上图：是三角形按角进行分类，不涉及转化思想；左下图：平行四边形面积的推导过程是将平行四边形转化成长方形，再根据长方形的面积推导出来的；右下图：根据商不变规律，将小数除法转化成整数除法进行计算。 故选：C。 【考点点拨】解答本题需理解转化思想在数学学习中的应用，灵活解答。 2．（2分）如图所示，将圆柱形容器装的水倒入（　　）容器中，正好能倒满。（单位：厘米） A． B． C． D． 【思路引导】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱的3倍。据此解答即可。 【完整解答】解：6×3＝18（厘米） 答：将圆柱形容器装的水倒入底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥容器中，正好能倒满。 故选：D。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 3．（2分）如图所示，一辆玩具坦克车由一根履带围着4个半径1cm的轮子前进。这辆玩具车的履带长度是（　　）cm。 A．18.28 B．15.14 C．12.28 D．9.14 【思路引导】通过观察图形可知，履带长度等于半径为1厘米的圆的周长加上直径的6倍，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：2×3.14×1+1×2×6 ＝6.28+12 ＝18.28（厘米） 答：这辆玩具车的履带长度是18.28厘米。 故选：A。 【考点点拨】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 4．（2分）这个长方形的长是2cm，宽是1cm分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。这两个圆柱的（　　） A．体积相等 B．底面积相等 C．表面积相等 D．侧面积相等 【思路引导】依据圆柱的表面积公式和体积公式解答即可。 【完整解答】解：体积1×1×3.14×2＝6.28（立方厘米） 2×2×3.14×1＝12.56（立方厘米） 底面积1×1×3.14＝3.14（平方厘米） 2×2×3.14＝12.56（平方厘米） 表面积3.14×2+1×2×3.14×2＝18.84（平方厘米） 12.56×2+2×3.14×2×1＝37.68（平方厘米） 侧面积1×2×3.14×2＝12.56（平方厘米） 2×2×3.14×1＝12.56（平方厘米） 所以这两个圆柱的侧面积相等。 故选：D。 【考点点拨】掌握圆柱的表面积公式和体积公式是解题关键。 5．（2分）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学尝试解决梯形面积的问题，想法有以下几种。三位同学的想法中，（　　） 甲： （上底+下底）×高÷2＝梯形面积 乙： 4÷2＝2（cm）（3+5）×2＝16（cm2） 丙： 3×4÷2＝6（cm2） 5×4÷2＝10（cm2） 6+10＝16（cm2） A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 【思路引导】根据梯形面积公式的推导过程可知，可以把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，也可以把一个梯形沿高的一半剪两个梯形，然后通过旋转平移拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式；还可以把一个梯形分割为两个三角形，根据三角形的面积公式推导出梯形的面积公式。据此解答。 【完整解答】解：由分析得：甲是两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式。 乙是把一个梯形沿高的一半剪两个梯形，然后通过旋转平移拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式。 丙是把一个梯形分割为两个三角形，根据三角形的面积公式推导出梯形的面积公式。 所以三位同学的想法都是正确的。 故选：D。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握梯形面积公式的推导过程及应用。 二．填空题（共8小题，满分19分） 6．（4分） 4.04升＝ 　4　 升 　40　 毫升 50800平方米＝ 　5.08　 公顷 6时12分＝ 　6.2　 时 9吨30千克＝ 　9.03　 吨 【思路引导】单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。 【完整解答】解： 4.04升＝4升40毫升 50800平方米＝5.08公顷 6时12分＝6.2时 9吨30千克＝9.03吨 故答案为：4，40，5.08，6.2，9.03。 【考点点拨】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。 7．（2分）如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 　3：4　 。 【思路引导】根据题意可知，图中圆的面积与长方形的面积相等，那么阴影部分的面积相当于圆面积的，再根据分数与比之间联系可得：阴影部分的面积与圆面积的比是3：4。据此解答即可。 【完整解答】解：因为圆的面积与长方形的面积相等，所以阴影部分的面积相当于圆面积的，也就是阴影部分的面积与圆面积的比是3：4。 答：阴影部分的面积与圆面积的比是3：4。 故答案为：3：4。 【考点点拨】此题主要考查圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，比的意义及应用，分数与比之间的联系及应用。 8．（2分）一个长方体的底面周长是24分米，如果高增加2分米，它恰好是一个正方体。这个长方体的表面积是 　168　 平方分米，体积是 　144　 立方分米。 【思路引导】根据题意可知，这个长方体的底面是正方形，底面周长是24分米，底面边长是（24÷4）分米，如果高增加2分米，它恰好是一个正方体，说明这个长方体的长和宽相等且比高长2分米，据此可以求出长方体的高，然后根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：24÷4＝6（分米） 6﹣2＝4（分米） （6×6+6×4+6×4）×2 ＝（36+24+24）×2 ＝84×2 ＝168（平方分米） 6×6×4 ＝36×4 ＝144（立方分米） 答：这个长方体的表面积是168平方分米，体积是144立方分米。 故答案为：168，144。 【考点点拨】此题主要考查正方形的周长公式、长方体的表面积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 9．（2分）如图，长方形ABCD中，FG的长度是BC的。 （1）△EFG的面积是长方形ABCD面积的　　 。 （2）长方形ABCD如果绕AD边旋转一周得到圆柱甲，如果绕AB边旋转一周得到圆柱乙。已知AB：AD＝1：2，则两个圆柱的体积比V甲：V乙＝　1：2　 。 【思路引导】（1）用长方形ABCD的边表示出△EFG的面积后即可解答； （2）圆柱甲的底面半径为AB的长，高为AD的长，圆柱乙的底面半径为AD的长，高为AB的长，根据“圆柱的体积V＝πr2h”，把圆柱甲和乙的体积表示出来，根据题意AB：AD＝1：2，即可解答本题。 【完整解答】解：（1）S△EFGFG•ABBC•ABS长方形ABCD 答：△EFG的面积是长方形ABCD面积的。 （2）V甲＝π•AB2•AD， V乙＝π•AD2•AB， V甲：V乙＝π•AB2•AD：π•AD2•AB＝AB：AD＝1：2 答；两个圆柱的体积比V甲：V乙＝1：2。 故答案为：（1）；（2）1：2。 【考点点拨】本题考查了等高模型的应用以及圆柱体积计算的应用。 10．（2分）如图，从一张长20厘米、宽15厘米的长方形纸上剪下一个正方体的展开图，做成一个纸盒。这个纸盒的表面积是 　150　 平方厘米，体积是 　125　 立方厘米。 【思路引导】由图可知做成纸盒的棱长是（20÷4）厘米，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式S＝a3，代入数据计算即可。 【完整解答】解：20÷4＝5（厘米） 6×52 ＝6×25 ＝150（平方厘米） 53＝125（立方厘米） 答：这个纸盒的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。 故答案为：150，125。 【考点点拨】此题主要考查正方体的表面积和体积公式的灵活运用，解题关键是确定正方体的棱长。 11．（2分）一个三角形纸片（单位：厘米），以AB所在的直线为轴旋转一周（如图1），形成图形的体积是 　37.68　 立方厘米，如果将这个直角三角形剪去直角（如图2），得到一个四边形，∠1+∠2＝ 　270　 度。 图1 图2 【思路引导】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出圆锥体积，再根据三角形内角和是180°，直角三角形两个锐角和是180°﹣90°＝90°，再根据四边形内角和是360°，即可解答。 【完整解答】解：3.14×3×3×4÷3 ＝113.04÷3 ＝37.68（立方厘米） 180°﹣90°＝90° 360°﹣90°＝270° 答：形成图形的体积是37.68立方厘米，如果将这个直角三角形剪去直角（如图2），得到一个四边形，∠1+∠2＝270度。 故答案为：37.68，270。 【考点点拨】本题考查的是圆锥体积的计算和三角形内角和，掌握圆锥体积＝底面积×高÷3，三角形内角和是180°，四边形内角和是360°是解答关键。 12．（3分）一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，这个圆柱的底面积是 　50.24　 cm2，体积是 　502.4　 cm3。把这个圆柱削成最大的圆锥，圆锥与削去部分的体积比是 　1：2　 。 【思路引导】根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出圆柱的底面积、圆柱的体积，把这个圆柱削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，等底等高的圆柱的体积是圆柱锥积的3倍，所以削求部分的体积相当于圆锥体积的（3﹣1）倍，再根据比的意义解答。 【完整解答】解：3.4×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 50.24×10＝502.4（立方厘米） 1：（3﹣1）＝1：2 答：这个圆柱的底面积是50.24平方厘米，体积是502.4立方厘米，把这个圆柱削成最大的圆锥，圆锥与削去部分的体积比是1：2。 故答案为：50.24，502.4，1：2。 【考点点拨】此题主要考查圆的面积公式、圆柱的体积公式、以及等底等高的圆柱与圆锥体积的关系及应用，比的意义及应用。 13．（2分）如图所示，大圆的半径为4厘米，那么阴影部分的面积为 　6.28平方厘米　 。 【思路引导】阴影部分的面积通过旋转转化为大圆面积的四分之一减去直径是4厘米的半圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：3.14×42÷4﹣3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×16÷4﹣3.14×4÷2 ＝12.56﹣6.28 ＝6.28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是6.28平方厘米。 故答案为：6.28平方厘米。 【考点点拨】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）一个大正方体是由8个同样的小正方体搭成的，如果拿去一个小正方体，表面积不变。 　√　 （判断对错） 【思路引导】根据正方体表面积的意义可知，一个大正方体是由8个同样的小正方体搭成的，每个小正方体都在大正方体的顶点上，如果拿去一个小正方体，表面积不变。据此判断。 【完整解答】解：由分析得：一个大正方体是由8个同样的小正方体搭成的，如果拿去一个小正方体，表面积不变。此说法正确。 故答案为：√。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握正方体表面积的意义及应用。 15．（2分）在一个正方体上挖去一个棱长1厘米的小正方体后，体积和表面积都可能不变。 　×　 （判断对错） 【思路引导】根据题意，如果在顶点挖去小正方体后，减少三个面，同时又增加三个面，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的； 如果在中间挖去的一个小正方体后，原来的表面积就会露出4个边长为1厘米的正方形的面，即大正方体的表面积增加了4个边长为1厘米的小正方形，用正方体的原来的表面积加上增加的4个正方形的面积就是这个大正方体现在的表面积； 如果在棱的中间挖去小正方体后，减少2个面，同时又增加4个面，所以表面积比原来增加了2个面的面积，据此列式解答即可。 【完整解答】解：假设一个棱长3厘米的正方体，挖去一个棱长1厘米的小正方体后： 如果在顶点挖去小正方体后，减少三个面，同时又增加三个面，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的； 在面的中间挖去小正方体后的表面积是： 3×3×6+1×1×4 ＝9×6+4 ＝54+4 ＝58（平方厘米）， 如果在棱的中间挖去小正方体后表面积是： 3×3×6+1×1×2 ＝9×6+2 ＝54+2 ＝56（平方厘米）； 这个正方体的表面积可能是54平方厘米、58平方厘米、56平方厘米。 所以在一个正方体上挖去一个棱长1厘米的小正方体后，体积一定变小，表面积可能会变小或变大、不变。所以题干说法错误。 故答案为：×。 【考点点拨】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活应用，关键是确定在什么位置挖去的小正方体。 16．（2分）把一个棱长为6厘米的正方体切分成棱长为2厘米的小正方体，这些小正方体的表面积之和是原来大正方体表面积的3倍。 　√　 （判断对错） 【思路引导】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式分别求出大正方体的表面积，小正方体的表面积和，然后求出小正方体的表面积和是大正方体表面积的几倍，然后与3进行比较即可。 【完整解答】解：6÷2＝3 3×3×3＝27 2×2×6×27÷（6×6×6） ＝24×27÷216 ＝648÷216 ＝3 所以这些小正方体的表面积之和是原来大正方体表面积的3倍。 因此题干中的结论是正确的。 故答案为：√。 【考点点拨】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 17．（2分）一个三角形的两条边分别是3厘米和4厘米，第三条边的长度有2厘米，3厘米，4厘米，5厘米和6厘米5种可能。 　×　 （判断对错） 【思路引导】根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可知：第三边要小于两边之和7厘米，还要大于两边之差1厘米，进行判断即可。 【完整解答】解：由分析知：4厘米﹣3厘米＜第三边的长度＜3厘米+4厘米，大于1厘米且小于7厘米的长度有无数个，所以第三条边的长度有无数种可能。所以原题说法错误。 故答案为：×。 【考点点拨】解答此题的关键是根据三角形的特性中的“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行解答。 18．（2分）如图，把一个底面直径和高相等的圆柱切成若干等份，排成两个近似的长方体后，表面积比原来圆柱增加2a2。 　×　 （判断对错） 【思路引导】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，体积不变，拼成分长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，如果拼成两个近似长方体，那么表面积就增加4个截面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式求出增加的表面积，然后与2a2进行比较。 【完整解答】解：设圆柱的底面半径为r， ar×4＝4ar 所以两个近似长方体的表面积比表面积增加4ar。 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：×。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程及应用，长方体表面积的意义、圆柱表面积的意义及应用。 四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）求涂色部分的面积。（π取3.14） （1） （2） 【思路引导】（1）根据图示，涂色部分的面积等于上底是12厘米，下底是8厘米，高是12厘米的梯形的面积，据此解答即可。 （2）如图： 涂色部分的面积等于边长是2×2＝4（厘米）的正方形的面积，减去半径是2厘米的圆的面积，据此解答即可。 【完整解答】解：（1）（8+12）×12÷2 ＝20×12÷2 ＝120（平方厘米） 答：涂色部分的面积是120平方厘米。 （2）正方形边长是：2×2＝4（厘米） 4×4﹣3.14×22 ＝16﹣12.56 ＝3.44（平方厘米） 答：涂色部分的面积是3.44平方厘米。 【考点点拨】本题考查了组合图形面积计算知识，结合题意分析解答即可。 五．应用题（共10小题，满分55分） 20．（4分）实验室有两个容积相等的圆柱形量杯，从里面量，甲量杯的底面直径是6厘米，高是30厘米，乙量杯的底面直径是10厘米。乙量杯的高是多少厘米？ 【思路引导】根据题意可先根据圆柱体积V＝πr2h公式求出甲量杯的容积，也是乙量杯的容积，再用容积除以乙量杯的底面积就是乙量杯的高。据此解答即可。 【完整解答】解：[3.14×（6÷2）2×30]÷[3.14×（10÷2）2] ＝3.14×270÷[3.14×25] ＝847.8÷78.5 ＝10.8（厘米） 答：乙量杯的高是10.8厘米。 【考点点拨】本题考查了圆柱体积计算的应用。 21．（4分）数学节期间，小明利用“排水法”测量一个土豆的体积。请根据下面测量步骤和结果，求出这个土豆的体积是多少立方厘米。 【思路引导】根据用“排水法”测量实物体积的方法，这个土豆的体积等于圆柱体内水下降的体积，结合圆柱的体积公式V＝πr2h解答即可。 【完整解答】解：3.14×（12÷2）2×（15﹣10） ＝3.14×36×5 ＝565.2（立方厘米） 答：这个土豆的体积是565.2立方厘米。 【考点点拨】本题考查了用“排水法”测量实物体积的方法，结合圆柱的体积公式V＝πr2h解答即可。 22．（5分）有一个长方体水箱，从内部量得底面长6dm、宽4dm。水箱中有一些鹅卵石（完全没入水中），水面高度为4.5dm。现在把一块太湖石放入水箱中，发现这块太湖石也被完全浸没了，水面恰好上升到水箱口，但还没有溢出。你能根据目前水箱容积占比的分配（如图），求出水箱容积是多少吗？ 【思路引导】根据统计图可知，太湖石的体积占水箱容积的10%，则水箱的高度为：4.5÷（1﹣10%）＝5（分米），再根据长方体体积公式：V＝abh计算水箱的容积即可。 【完整解答】解：4.5÷（1﹣10%） ＝4.5÷0.9 ＝5（分米） 6×4×5＝120（立方分米） 120立方分米＝120升 答：水箱容积是120升。 【考点点拨】本题主要考查求事物体积的测量及应用，关键是利用扇形统计图找到太湖石的体积与水箱容积的关系做题。 23．（5分）一个圆锥形金属铸件的底面半径2厘米，高3厘米，把它完全浸没在底面半径是4厘米的圆柱形玻璃槽内（玻璃槽足够高），水面上升多少厘米？ 【思路引导】用圆锥形金属铸件的体积除以圆柱形玻璃槽的底面积，即可求出水面上升多少厘米。 【完整解答】解：3.14×22×3÷（3.14×42） ＝12.56÷50.24 ＝0.25（厘米） 答：水面上升0.25厘米。 【考点点拨】解答本题需熟练掌握圆锥体和圆柱体体积公式，灵活计算。 24．（5分）在学习了圆柱和圆锥的体积之后，王华做了一个圆柱形容器和一些圆锥形容器，并进行了下面两个试验。（单位：cm） （1）试验一：王华在圆柱形容器里面装了一些水（如图），再将这些水倒入下面一个圆锥形容器中，倒入 　丙　 圆锥形容器中能恰好倒满。 （2）试验二：王华按照下面的步骤测量了一个土豆的体积。 根据上面的测量结果，你能求出这个土豆的体积是多少立方厘米吗？ 【思路引导】（1）因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆柱与圆锥体积相等，底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答。 （2）根据上面的测量结果，水下降的体积就是这个土豆的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr²h，解答即可。 【完整解答】解：（1）618 答：倒入丙圆锥形容器中能恰好倒满。 （2）3.14×（12÷2）²×（18﹣13） ＝3.14×36×5 ＝565.2（立方厘米） 答：这个土豆的体积是565.2立方厘米。 故答案为：丙。 【考点点拨】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系以及圆柱体积公式的灵活运用，结合题意分析解答即可。 25．（6分）王军家新房子刚装修好，要给餐厅配一张圆形餐桌，配多大的桌子呢？王军想：平时客人最多时12个人左右，如果坐在桌边，每人平均分配50cm左右的范围。根据王军的设想，需要购买半径为多少的圆桌，能够在客人最多时也坐得舒适？（π取3） 【思路引导】根据题意，首先求出圆桌的周长，再根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：50×12÷3÷2 ＝600÷3÷2 ＝200÷2 ＝100（厘米） 答：需要购买半径为100厘米的圆桌。 【考点点拨】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 26．（6分）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 【思路引导】（1）根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 （2）因为等底等等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【完整解答】解：（1）3.14×32×6÷1.57 3.14×9×6÷1.57 ＝56.52÷1.57 ＝36（分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）62（厘米） 答：圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 【考点点拨】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 27．（6分）王师傅做了一个底面积为240cm2的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸 　10　 分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 【思路引导】（1）通过观察统计图可知，圆锥零件浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 （2）把圆锥理解放入油漆缸中，上升部分油漆的体积就等于圆锥零件的体积，通过观察统计图可知，放入圆锥零件后，液面上升了5厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，圆锥的体积公式：VSh，那么h＝3V÷S，把数据代入公式解答。 （3）首先求出油漆的体积，然后用油漆的体积除以漏的时间（20分钟）即可。 【完整解答】解：（1）圆锥理解浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 （2）20×20×（18﹣15）×3÷240 ＝400×3×3÷240 ＝3600÷240 ＝15（厘米） 答：铁质圆锥的高度是15厘米。 （3）20×20×15÷20 ＝400×15÷20 ＝6000÷20 ＝300（立方厘米） 答：油漆理解每分钟漏掉300立方厘米。 故答案为：10。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，长方体的体积公式、圆锥的体积公式及应用。 28．（6分）如图是学校新修的一个游泳池，长25m，宽21m，最浅处水深1.2m，最深处水深1.6m。（说明：游泳池底面是倾斜的） （1）这个游泳池最多能蓄水多少立方米？ （2）如果把空的游泳池蓄满水，以每小时150m3速度注入，选下面 　B　 图能表示出游泳池最深处水位的变化情况。请说出理由。 A.B.C. 【思路引导】（1）因为游泳池的底面是倾斜的，所以先求出平均水深，再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 （2）匀速注水，水深与时间先快，再缓，最后不变，也就是当游泳池最深处注入（1.6﹣1.2）后，注水时间和注水的体积所形式的图像是一条直线。据此判断。 【完整解答】解：25×21×[（1.6+1.2）÷2] ＝525×[2.8÷2] ＝525×1.4 ＝735（立方米） 答：这个游泳池最多能蓄水735立方米。 （2）因为游泳池的底面是倾斜的，匀速注水，水深与时间先快，再缓，最后不变，也就是当游泳池最深处注入（1.6﹣1.2）后，注水时间和注水的体积所形式的图像是一条直线。B图能表示出游泳池最深处水位的变化情况。 故答案为：B。 【考点点拨】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，正比例的意义及应用，关键是熟记公式。 29．（8分）回顾一下圆柱和圆锥的形成过程，请你根据积累的活动经验，观察下列图形，进行想象与思考 （1）图1、图2都有一个同样的长方形ABCD，AB＝3厘米，BC＝4厘米，图1沿着边AD旋转一周，图2沿着边CD旋转一周，图 　2　 旋转得到的立体图形大一些。 （2）如图3：已知这个长方形中的对角线BD和边BC，CD组成一个△BCD，请问△BCD沿AD为轴旋转一周，形成立体图形体积是多少立方厘米？请你在图3中试着画一画阴影部分△BCD扫过的立体图形，它的体积是 　37.68　 立方厘米。 （3）如图4：继续观察这个长方形，长方形的两条对角线AC和BD相交于点O，请问图中的阴影部分△ADO沿CD为轴旋转一周，形成立体图形体积是多少立方厘米？请你在图4中试着画一画阴影部分△ADO扫过的立体图形，它的体积是 　25.12　 立方厘米。 【思路引导】（1）图1沿着边AD旋转一周，得到的圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米；图2沿着边CD旋转一周，得到的圆柱的底面半径是4厘米，高是3厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出两个圆柱的体积进行比较即可。 （2）△BCD沿AD为轴旋转一周，形成的圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米，阴影部分△BCD扫过的立体图形是一个圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高，所以这个圆锥的体积是圆柱体积的。 （3）图中的阴影部分△ADO沿CD为轴旋转一周，形成一个底面半径是4厘米，高3厘米的圆柱，上面是一个高是（3÷2）厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：（1）π×32×4 ＝π×9×4 ＝36π（立方厘米） π×42×3 ＝π×16×3 ＝48π（立方厘米） 48π＞36π 答：图2旋转得到的立体图形大一些。 （2）3.14×32×4 ＝3.14×9×4 ＝113.04（立方厘米） 113.0437.68（立方厘米） 作图如下： 答：△BCD沿AD为轴旋转一周，形成立体图形体积是113.04立方厘米，阴影部分△BCD扫过的立体图形的体积是37.68立方厘米。 （3）3.14×42×（3÷2） 3.14×16×1.5 ＝25.12（立方厘米） 答：它的体积是25.12立方厘米。 作图如下： 故答案为：2；37.68；25.12。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握圆柱、圆锥的体积，以及圆柱、圆锥体积公式的灵活运用 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$