精品解析：贵州省黔西南州兴仁市第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

贵州省兴仁市第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试 高三 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 5. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 设点在正四面体的棱上，与平面所成角为，则（ ） A. 4 B. 10 C. 14 D. 20 7. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数在R上为增函数 C. 函数值域为 D 函数只有一个零点 10. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为q的无穷等比数列，下列关于的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（ ）（注：其中n为大于1的整数，为的前n项和．） A. 与 B. 与 C. 与 D. q与 11. 设F为双曲线焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（ ）． A. C的离心率为 B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________. 13. 如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是______. 14. 已知函数，若在区间上有且仅有2个极值点，则取值范围是________． 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围. 16. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次 人次 合计 空气质量好 空气质量不好 合计 附：， 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（过点，且离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点，求的面积的最大值． 18. 二次函数最小值为，且关于对称，又. （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围； （3）求函数在区间上的最小值. 19. 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． （1）若，求数列的最小项； （2）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； （3）若，求证：数列具有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省兴仁市第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试 高三 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合，再求交集． 【详解】集合， 则， 故选：D． 2. 已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题设条件及奇函数的性质，得到，，从而有，再结合函数的定义域得到或，分或两种情况，利用函数的单调性，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 易知，所以，即有，得到， 所以，函数定义域为且， 得到，所以， 故， 有，即，满足题意， 所以，定义域为且， 又，所以或， 当，即或，时，， 此时在上单调递增，不合题意， 当，时，， ， 由，得到或（舍去）， 又在区间上有最小值，所以，解得， 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，满足题意， 故选：A. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用奇函数的定义关于原点对称，从而得到，再利用，得到，即可求解. 3. 过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解. 【详解】由得，由得， 设过原点的直线分别与曲线相切于点， 则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为， 所以，所以，所以，即， 代入得. 故选：D 4. 在中，已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用降幂升角公式得到，由，得到，再利用余弦的和差角公式即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 得到， 整理得，所以， 故选：A. 5. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，由几何意义得复平面内对应的点所在象限. 【详解】， 则在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D． 6. 设点在正四面体的棱上，与平面所成角为，则（ ） A. 4 B. 10 C. 14 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点的中点，连接，过作于，可证得平面，则（或其补角）为与平面所成角，设正四面体的棱长为2，在中求出，则在中求出，从而可求得，代入计算可得答案. 【详解】取的中点的中点，连接，过作于， 因为四面体为正四面体，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以（或其补角）为与平面所成角， 所以，则， 设正四面体的棱长为2，则, 所以， 所以为锐角，所以， 所以 ， 中，，则 ， 在中，，则 所以，解得， 所以, 所以 . 故选：B 7. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解. 【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，， 剔除两对数据后的平均数分别为，， 因为， 所以，， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：C. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数在R上为增函数 C. 函数的值域为 D. 函数只有一个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】A．根据分段函数的每一段的取值范围进行分析即可； B．先分析每一段函数的单调性，然后再分析在分段点处的函数值大小关系，由此进行判断； C．分析每一段函数的值域，然后取并集并进行判断； D．分别考虑和时，时的值，由此判断出的零点个数. 【详解】选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确； 选项B：当时，函数为增函数，当时，函数为增函数，且， 所以函数在R上不单调，故B错误； 选项C：当时，，即，当时，，， 所以函数的值域为，故C正确； 选项D：当时，令，解得，当时，令，解得， 故函数有两个零点，故D错误， 故选：AC. 【点睛】易错点睛：分析分段函数时需要注意的事项： （1）分析分段函数的定义域和值域时，求解的是各段函数定义域和值域的并集； （2）分析分段函数的单调性时，先要分析各段函数的单调性，然后分析分段点处的函数值的大小关系，最后得出结论； （3）分析分段函数的零点时，根据各段函数等于零时的值，确定出函数的零点. 10. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为q的无穷等比数列，下列关于的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（ ）（注：其中n为大于1的整数，为的前n项和．） A. 与 B. 与 C. 与 D. q与 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据与可知为唯一定值；对于B：根据题意可得，结合一元二次方程分析判断；对于CD：结合等比数列的通项公式分析判断. 【详解】对于选项A：已知与，则， 可知为唯一定值，即与为基本量，故A正确； 对于选项B：已知与，则， 整理得，令，解得或， 当且仅当或，关于的方程有唯一解， 可知与不为基本量，故B错误； 对于选项C：已知与：因为， 虽然已知，也不能确定唯一的值， 例如，可知，所以与不为基本量，故C错误； 对于选项D：已知与：则，则唯一确定，所以与为基本量，故D正确； 故选：AD. 11. 设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（ ）． A. C的离心率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率定义可判断A；设，，联立，结合根与系数的关系式化简可得，判断B；结合B的结论，利用基本不等式结论判断C；利用双曲线焦半径公式可得的表达式并化简，结合二次函数性质即可判断D. 【详解】对于A，因为，则，所以C的离心率为，故A正确； 对于B，设，， 联立，消去x可得， 则，解得； ，， 则，， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，当F为右焦点时， ， 因为， 所以， 当且仅当或2时取等号， 所以． 显然当F为左焦点时，，所以，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要利用双曲线的焦半径公式求出的表达式，结合二次函数性质进行求解. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案. 【详解】由题意，，， 则； ，， 则； 故答案为：. 13. 如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是______. 【答案】. 【解析】 【分析】设出弓形所在圆的半径为，用扇形面积减去三角形面积即可. 【详解】 如图：设展台所在的圆的圆心为，半径为，， 则， 即，， 所以展台的面积为 故答案为：. 14. 已知函数，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数解析式得，接着由得，再根据已知条件结合函数图象性质得，解该不等式即可得解. 【详解】函数， 因为，，所以， 由于函数在区间上有且仅有2个极值点， 则由函数图象性质可知，解得. 故答案为：. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解参数即可. （2）通过参变分离，把原不等式转化成，然后求解中的范围，进而求出的最小值. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，可得恒成立， 即，所以， 所以，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，令，则，. 因为不等式恒成立，等价于恒成立， 所以恒成立，则， 又因为，所以，此时， 所以. 16. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次 人次 合计 空气质量好 空气质量不好 合计 附：， 【答案】（1）答案见解析； （2）350； （3）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【解析】 【分析】（1）应用频率估计对应等级的概率，即可得； （2）根据表格数据，结合平均数求法求一天中到该公园锻炼的平均人次； （3）由已知数据写出列联表，再应用卡方公式求卡方值，应用独立检验基本思想得到结论. 【小问1详解】 由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表： 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 【小问2详解】一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为. 【小问3详解】 根据所给数据，可得2×2列联表： 人次400 人次>400 合计 空气质量好 33 37 70 空气质量不好 22 8 30 合计 55 45 100 根据列联表得. 故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（过点，且离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用，可得，再将点坐标代入方程，解方程组求得从而可得椭圆的方程； （2）设直线l的方程为，代入椭圆方程中整理得，借助根的判别式可得，结合根与系数的关系可得，接下来利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离，再利用三角形面积公式和基本不等式进行求解，即可解决问题. 【小问1详解】 因为，所以，①因为椭圆C过点， 所以，②由①②解得，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，联立， 得，所以， 又直线l与椭圆相交，所以，解得， 则，点P到直线l距离， 所以， 当且仅当，即时，的面积取得最大值为2． 18. 二次函数最小值为，且关于对称，又. （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围； （3）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）设，由可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）分析可知对任意的恒成立，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上的最小值，即可求得实数的取值范围； （3）分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，利用二次函数的基本性质可求得的表达式. 【详解】（1）由题可设，又，得， 所以，； （2）由题有，即对任意的恒成立， 设，则只要即可. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，，解得； （3）图象的对称轴为直线， 当时，在上单调递减，则； 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当时，即当时，在上单调递增， 此时. 综上，. 19. 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． （1）若，求数列最小项； （2）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； （3）若，求证：数列具有性质． 【答案】（1）最小项为 （2）数列具有性质，理由见解析． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解； （2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用证明②； （3）结合二项式定理及n元基本不等式求解. 【小问1详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 数列的最小项为． 【小问2详解】 数列具有性质． ， ， 数列满足条件①． 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质． 【小问3详解】 先证数列满足条件①： ． 当时， 则， 数列满足条件①． 再证数列满足条件②： （，等号取不到） 单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$