四川省资阳市2025年中考数学二模试题

四川省资阳市2025年中考数学二模试题 全卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。全卷满分150分，考试时间共120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、报名号(考号)写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。同时在答题卡背面第3页顶端用2B 铅笔涂好自己的座位号。 2. 第I卷每小题选出的答案不能答在试卷上，必须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案。第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置。不在指定区域作答的将无效。 3. 考试结束，监考人员只将答题卡收回。 第I卷(选择题 共40分) 一、 选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的.) 1. -3的相反数是 A. 3 B. - 3 C. 2.下列运算正确的是 3. 如图1，某正方体的展开图的每个面上都有一个汉字，则在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是 A. 青 B. 春 C. 激 D. 情 4. 因举办第九届亚冬会，2025年春节期间哈尔滨市累计接待游客约1200万人.将数“1200万”用科学记数法表示为 5. 如图2，直线a∥b，将一块含30°角的直角三角尺按图中方式放置，其中点A和点B分别落在直线a和b上.若∠2=40°，则∠1的度数为 A. 10° B. 20° C. 30° D.40° 学科网（北京）股份有限公司 6.为了考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高 (单位：cm)的平均数与方差为： 则麦苗又高又整齐的是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 A. m>2 B. m<2 C. m<2且m≠1 D. m>2且m≠1 8. 如图3, 在正方形ABCD中, AB=4, 动点 M, N分别从点A, B 同时出发, 沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连结DM，MN，ND，设点M运动的路程为x(0≤x≤4)，△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间的函数关系的是 9.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 称为黄金比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金比例.若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是 A. 165cm B. 178cm C. 185cm D.190cm 10. 如图4, 正方形ABCD的边长为4, 点 E, F分别在边 DC, BC上, 且BF=CE, AE平分∠CAD, 连结DF, 分别交AE, AC于点 G, M. P是线段AG上的一个动点, 过点P作PN⊥AC于点N, 连结PM. 有下列四个结论: ①AE垂直平分DM; ②PM+PN的最小值为2 ; ③CF²=GE·AE; ④S△ADM =6 其中正确的结论有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 学科网（北京）股份有限公司 第Ⅱ卷 (非选择题 共 110分) 二、填空题. (本大题6个小题，每小题4分，共24分) 11. 若 则a+b= . 12. “DeepSeek”是杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出的AI助手，2025年1月令全球瞩目.某同学随机从中选取一个字母，取得“e”的概率是 . 13. 定义一种新运算：对于两个非零实数a， b，a※ 若2※ (-2)=1, 则(-3)※3= . 14. 如图 5, 扇形AOB中, 半径OA=2, ∠AOB=120°, C是 的中点， 连结 AC，BC，则图中阴影部分的面积是 . 15. 如图6, 正方形ABCD中, BC=13, 点E为正方形ABCD外一点, 且 将△AEB 绕点A 逆时针方向旋转得到△ADF, DF的延长线交 BE于点 H. 若 BH=7, 则DH的长为 . 16. 如图7, 在矩形ABCD中, AB=3, BC=4, 以点B为圆心, 适当长为半径画弧, 分别交BC,BD于点 E, F,再分别以点 E,F为圆心,大于 EF长为半径画弧，两弧交于点 P,作射线 BP,过点 C作BP的垂线分别交 BD,AD 于点 M,N,则 CN的长为 . 三、解答题(共8个小题，共86分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分9分)先化简，再求值； 其中 学科网（北京）股份有限公司 18. (本小题满分10分) 某学校为丰富教师的业余生活，组织全体教师开展以下体育活动：A.篮球，B.气排球，C.乒乓球，D.羽毛球.为了了解教师最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分教师进行调查(每位教师必选且只能选择一项)，并将调查结果绘制成了如图8所示的两幅不完整的统计图. 请回答下列问题： (1)这次被调查的教师共有 人，在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为 ； (2)请你将条形统计图补充完整；若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有多少人? (3)在平时的羽毛球项目练习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名教师中任选2人参加羽毛球比赛，请用树状图或列表的方法求恰好选中甲、丙两位教师的概率. 19.(本小题满分10分) 某中学在2025年“校园文化艺术节”到来之际，开展了“魅力艺术，和谐校园”主题活动.为此该校在某商场购买了A、B两种奖品，已知购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元. (1)求购买1个A种奖品和1个B种奖品各需多少元? (2)该校决定购买A、B两种奖品共50件，其中A种奖品的数量不多于B种奖品数量的 求购买这50件奖品至少花费多少元? 学科网（北京）股份有限公司 20.(本小题满分10分) 如图9，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，以点D 为圆心的⊙D与BA相切于点A, 分别与AC, BD相交于点 E, F. (1) 求证: BC是⊙D 的切线. (2) 若∠ABC=80°, AD=18, 求 的长、 21. (本小题满分11分) 如图10，在平面直角坐标系中， 一次函数y=kx+b与反比例函数 的图象交于A(1, m) , B(n, 1) 两点, 与y轴交于点M, 与x轴交于点N. (1)求直线 AB 的解析式; (2) 当 时， x的取值范围为 ； (3)y轴正半轴上有一点 P, OP=2, 连结AP, OB,求四边形 OPAB 的面积. 22. (本小题满分11分) 无人机在实际生活中应用广泛.如图11，小明利用无人机测量大楼CD的高度，无人机在空中P处测得大楼CD楼顶D处的俯角为 测得楼AB楼顶A处的俯角为( 已知楼AB 和楼 CD 之间的距离 BC为 楼A B的高度为10m,从楼 AB 的A 处测得楼 CD 的D 处的仰角为30°.(点A、B、C、D、P在同一平面内) (1)求楼 CD的高度; (2)求此时无人机距离地面BC的高度(精确到1米， 学科网（北京）股份有限公司 23. (本小题满分12分) 如图 点 D 为 BC边上的动点(点 D 不与点 B, C重合)、 以D为顶点作∠ADE=∠B, 射线 DE交AC边于点E, 过点A作AF⊥AD交射线DE于点 F, 连结 CF. (1)求证: △ABD∽△DCE; (2) 如图12-2, 当DE∥AB时, 求AE 的长; (3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF?若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由. 24. (本小题满分13分) 如图13-1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知A， B， C， D分别为“果圆”与坐标轴的交点， 与“果圆”中的抛物线 交于 B, C两点. (1)求“果圆”中的抛物线的解析式. (2) “果圆”上是否存在点 P使∠APC=∠CAB?如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. (3)如图13-2, E为直线BC下方“果圆”上一点, 连接AE, AB, BE, 设AE与BC 交于点 F, △BEF 的面积记为S△BEF , △ABF 的面积记为S△ABF , 求 的最小值. 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B D C A B C 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11 ．1 12 ． 13 . 14 ． 15 ．17 16 . ·i10 三、解答题（共 86 分） 17． 解 ：原式= ·········································································································· 3 分 = ···································································································································· 5 分 —1 ， ∴ x = 2 ， ··············································································································· 7 分 当 x =2 时，原式= . ·········································································································· 9 分 18．解 ：（ 1 ）40 ，72。；····························································································································· 2 分 （ 2 ）将条形统计图补充完整（图略） ； ·························································································· 3 分 估计该校喜欢气排球的教师的人数： 200 × ; ······················································5 分 （3 ）画图略. ········································································································································8 分 恰好选中甲、丙两位教师的概率 . ············································································10 分 19．解：（ 1 ）设购买 1 个 A 种奖品和 1 个 B 种奖品分别为 x 元、y 元， 由题意得 ················································································································ 3 分 解得 ，········································································································································· 5 分 答：购买 1 个 A 种奖品和 1 个 B 种奖品分别需要 10 元、15 元， （2 ）设购买 A 种奖品 m 个，则 m ≤ 解之，得 m ≤ 12.5 ································································································································7 分 设购买这 50 件奖品花费 W 元，则 W = 10m +15(50 — m) = —5m + 750 ， ·····························································································8 分 」m 是整数， :当 m 取最大整数 12 时 ， W 取得最小值 690 元. 即购买这 50 件奖品到少花费 690 元. ····························································································· 10 分 20．（ 1 ）证明： 作 DH丄BC 于点 H ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 分 」BD 是上ABC 的平分线 ， :上HBD=上ABD ， 」ΘD 与 BA 相切于点 A ， DA 是ΘD 的半径 ， :AB丄DA ， :上BHD=上BAD= 90 ° , 在△BHD 和△BAD 中， { 上HBD = 上ABD : △BHD纟△BAD（ AAS ）〔上BHD = 上BAD l BD = BD :DH=DA ， :点 H 在ΘD 上 . ·············································································· 4 分 」DH是ΘD 的半径 ， 且 BC丄DH 于点 H， :BC 是ΘD 的切线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 分 （ 2 ）解： 由（ 1 ）得上BAD= 90 ° , △BHD纟△BAD ， 」上ABC= 80 ° , :上ABD=上HBD= 上ABC=40 ° ·········································································· 6 分 :上EDF=上ABD+ 上BAD = 130 ° 」ED=AD= 18 ··············································· 8 分 :弧 EF= = 13π · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 21． 解：（ 1 ）把 A（ 1 ， m ） ， B（ n ， 1 ）两点坐标分别代入反比例函数 y = (x > 0) ， :m= 3 ， n=3 ， :A（ 1 ， 3 ） ， B（ 3 ， 1 ）． . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 分 把 A（ 1 ， 3 ） ， B（ 3 ， 1 ）代入一次函数 y = kx +b 〔3 = k + b 〔k = —1 可得 {l1 = 3k + b ， 解得： {lb = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 :直线 AB 的解析式为 y = —x + 4． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 （ 2 ）0 ＜x ＜ 1 或 x ＞ 3． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 分 （ 3 ）如右图 ， 过点 B 作 BE丄y 轴于点 E ， 过点 A 作 AF丄y 轴于点 F， 」直线 AB 的解析式为 y = —x + 4 ， :M 点坐标为（ 0 ， 4 ） ， :OM=4 :PM= OM-OP=4-2= 2 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7 分 」A（ 1 ， 3 ） ， B（ 3 ， 1 ）， :AF= 1 ， BE= 3 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 分 :四边形 OPAB 的面积= SΔOBM — SΔPAM = OM . BE — PM . AF = × 4 × 3 — × 2 × 1 = 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 22． 解：（ 1 ）过点 A 作 AE丄CD 于点 E， 则 AE=BC= 50 3 ，EC=AB= 10 ，·······································································································1 分 在 Rt△AED 中，上DAE=30° , “ tan 30O = ， :DE = AE . tan 30O = 50 × = 50 ， ····················································································· 3 分 ∴CD=DE+EC=50= 10=60； ················································································································· 4 分 答 ：楼 CD 的高度为 60 米. （2 ）过点 P 作 PG丄BC 于点 G ，交 AE 于点 F， “ 上DAE=30° , ∴AD=2DE= 100 ，······································································································5 分 “ 上APD= 180°-60°-45°=75° , ············································································································· 6 分 “MN∥AE ，上MPA=60° , ∴ 上PAE=60° , ∴ 上PAD=30° , ∴ 上ADP= 180°-30°-75°=75° , ············································································································· 7 分 ∴AP=AD= 100 ， ····································································································································8 分 在 Rt△APF 中，上PAF=60° , “ sin 60O = ， :PF = AP .sin 60O = 100 × = 50 ·i3 ， ·················································································· 10 分 “FG=AB= 10， :PG = PF + FG = 50 3 +10 ≈ 97 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 即无人机距离地面 BC 的高度约为 97 米. 23．（ 1 ）证明：“AB=AC ， :上B=上ACB ， ··························································································1 分 “ 上ADE+上CDE=上B+上BAD ， 上ADE=上B， :上BAD=上CDE ， ·······························································································································2 分 :△BAD ∞△CDE； ···························································································································3 分 （ 2 ）作 AM丄BC 于点 M， 在 Rt△ABM 中，设 BM=4k ，“ tan B = ， : AM = BM . tan B = 3k ， 由勾股定理得： AB2 = AM 2 + BM 2 , : 202 = (3k )2 + (4k )2 ，解得:k = 4 或-4（舍去）， ∴AM= 12，BM= 16， ∵AB=AC，AM丄BC ， ∴BC=2BM=32 ， ····························································································4 分 ∵DE∥AB ， ∴ 上BAD=上ADE， ∵ 上ADE=上B ， 上B=上ACB ， ∴ 上BAD=上ACB， ∵ 上ABD=上CBA ， ∴△ABD ∽△CBA ， ··························································································· 5 分 , ∴ DB = ， ················································································· 6 分 ∵DE∥AB ， ∴ ∴ AE = ； ······························································································ 7 分 （ 3 ）点 D 在运动过程中 ，存在某个位置 ，使得 DF=CF． 理由如下： ······································· 8 分 作 AM丄BC 于点 M，FH丄BC 于点 H，AN丄FH 于点 N， 则上AMH=上NHM=上ANH=90。， ∴四边形 AMHN 为矩形， ∴ 上MAN=90。，MH=AN， ···················································································································9 分 由（ 2 ）已得AM= 12，BC=32， ∵AN丄FH，AM丄BC ， ∴ 上ANF=上AMD=90。， ∵ 上DAF=上MAN=90。， ∴ 上NAF=上MAD ， ∴△ANF ∽△AMD ， ·············································10 分 ∴ = = tan 上ADF = tan 上B = ， ∴CH=CM-MH= 16-9=7 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 当 DF=CF 时，由于点 D 不与点 C 重合，可知△DFC 是等腰三角形， ∵FH⊥DC ， ∴CD=2CH= 14， ∴BD=BC-CD=32-14= 18 ， ················································································································· 12 分 ∴点 D 在运动过程中 ，存在某个位置 ，使得 DF=CF ，此时 BD= 18. 24． 解：（ 1 ） ∵ 直线 y = x — 3 交坐标轴于 B ， C 两点， ∴ B（ 0 ， -3 ） ， C（ 4 ， 0） ， ·······································································································1 分 ∵ 抛物线 x2 + bx + c 过 B ， C 两点， + 4b + c = 0 ，解得： ∴ 抛物线的解析式为 x — 3 ····················································································· 3 分 （2） 如右图， ∵AC 是半圆的直径， ∴ 半圆上除点 A ， C 外任意一点 Q ， 都有∠AQC= 90 ° , ∴ 点 P 只能在抛物线部分上， ∵ B（ 0 ， -3 ） ， C（ 4 ， 0） ， ∴ BC= 5， ∵AC= 5 ， ∴AC=BC， ∴ ∠ BAC=∠ABC ， ∴ 当∠APC=∠ CAB 时 ， 点 P 和点 B 重合， 即 ：P（ 0 ， -3） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 分 . 由抛物线的对称性知 ，另一个点 P 的坐标为（ 3 ， -3 ）， 即 ：使∠APC=∠ CAB ， 点 P 坐标为（ 0 ， -3） 或（ 3 ， -3） . ·············································7 分 （ 3） 如右图， ∵A（ -1 ， 0） ， C（ 4 ， 0） ， ∴AC= 5， 过点 E 作 EG∥BC 交 x 轴于 G， ∵ △ABF 的 AF 边上的高和△BEF 的 EF 边上的高相等 高为h , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 分 ∴ SΔABF 取最小值 ， 即 AF 取最小值. SΔBEF EF ∵ CF∥ GE， ∴ 当 CG 最大时， 最小 ，也即是 最小········································································10 分 ∴ EG 和果圆的抛物线部分只有一个交点时 ， CG 最大， ∵ 直线 BC 的解析式为x — 3 ，所以设直线 EG 的解析式为 x + m ① , ∵ 抛物线的解析式为x — 3 ② 联立① ② 化简得， 3x2 —12x —12 — 4m = 0 ∵ 抛物线和直线只有一个交点 . ∴ Δ = 144 + 4× 3 ×（12 + 4m) = 0 ，解得： m = —6 ∴ 直线 EG 的解析式为x — 6 ， ∴ 直线 EG 与 x 轴交点坐标为（ 8 ， 0） ∴ CG =4 ， ···········································································································································12 分 的最小值为 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 . 学科网（北京）股份有限公司 $$