精品解析：青海省海南州第三民族高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

海南州第三民族高级中学 高一年级2025年春季学期期中考试（数学）试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，且，则 A. 2或 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以，解得或，选A. 2. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量的平方即为模的平方求模，再求出，的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到． 【详解】，， ，，， 设与夹角的余弦值为， ，所以． 故选：． 3. 在中,角所对的边分别是则的面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，由正弦定理可得，得， ，，故选C. 4. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】向量与向量共线， 设，故，解得. 故选：B 5. 已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径，表示出圆锥母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，解得， 由圆锥的侧面积为，得，即，所以. 故选：A 6. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以， 向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 7. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ） A. B. 12 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出直观图的面积，进而即可得到原图形的面积. 【详解】由斜二测画法可知， 所以， 所以， 所以， 故选：A. 8. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求AB的长，在 中，可求BC的长，进而由于，所以故可得山顶的海拔高度． 【详解】如图： ，， ， ∴在 中， ， 山顶的海拔高度 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 若， ，则 D. 若，，则或 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对于A，模长相等的两个向量方向任意，不一定平行；对于B，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当时，无法推出这两点，故B不正确；对于C，当时，选项不正确；对于D，或，即可得到D错误. 【详解】对于A，若，则两个向量的方向可以是任意的，不一定是平行的，故A不正确； 对于B，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当时，满足， 和的方向可以是任意的，且两者的模长也不一定相同，故B不正确； 对于C，若， ，当时，满足， ，但是不满足，故C错误； 对于D，或者，即或，故D错误； 故选：ABCD. 10. 下列有关复数的结论正确的是（ ） A. B. 当时，复数是纯虚数 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数是纯虚数可得，解之即可判断B；由根据系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q的值，则C可判断；由复数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D. 【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误； 因为复数是纯虚数， 所以，解得，故B正确； 因为是关于的方程的一个根，则另一根为， 由根与系数的关系可得，解得， 则，故C错误； 若复数满足， 由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示： 则复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确； 故选：BD. 11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 的周长为 C. D. 外接圆的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论. 【详解】由，得，解得或（舍去）， 所以的周长为，A正确，B正确. 因为，所以，解得，C错误. 设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数z满足，则等于_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据虚数单位的幂性质，结合复数除法的运算法则、复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】 ， 故答案为： 13. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将直观图复原为原图，求出相关线段的长，即可求得答案. 【详解】由题意知在直观图等腰梯形，，， 则； 将直观图复原为原图，如图示： 则， 作于，则， 故四边形的周长为． 故答案为：. 14. 如图，正方形的边长为6，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】选为基底，其他向量用基底表示后计算数量积可得. 【详解】， ， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： （1）z是实数； （2）z是纯虚数； （3）z在复平面中对应的点位于第三象限. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的概念列式求解即可； （2）根据复数的概念列式求解即可； （3）根据复数的几何意义列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为复数是实数，所以，所以； 【小问2详解】 因为复数是纯虚数，所以， 所以； 【小问3详解】 复数在复平面中对应的点为， 因为该点位于第三象限，所以，所以. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）由平方关系、正弦定理可得答案. 【小问1详解】 由余弦定理得 ， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵为的内角，∴，∴； 【小问2详解】 由（1）知：， ∵为的内角，∴， ∵，∴， 由正弦定理得， ∵，∴，∴. 17. 已知向量． （1）若三点共线，求的值； （2）若四边形为矩形，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，由三点共线，可得. （2）由，，若四边形为矩形，求解．即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以，． 又三点共线，所以，所以， 解得． 【小问2详解】 由 ， 若四边形为矩形，则．即， 解得． 由，得 解得．所以． 18. 如图在直角梯形中，，，该梯形绕着直线旋转一周． （1）求所形成的封闭几何体的体积； （2）求所形成的封闭几何体的表面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】(1)由旋转后的图形，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥，分别求出圆柱和圆锥的体积，即可得几何体的体积； (2)求出圆柱的侧面积、底面积及圆锥的侧面积，即可得所形成的封闭几何体的表面积． 【详解】(1) 由旋转后的图形，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥，过作垂足为，则， 故所形成的封闭几何体的体积. (2) 圆锥的母线长为 所形成的封闭几何体的表面积. 【点睛】方法点睛：对于平面图形绕任意直线旋转而成的立体的表面积、体积问题，首先应作出旋转图形，然后根据有关公式计算即可. 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 【答案】（1）（i）312；（ii）； （2），. 【解析】 【分析】（1）（i）利用棱锥、棱柱的体积公式计算即得；（ii）求出棱锥的斜高，再利用侧面积. （2），求出棱柱的底面边长，再把棱柱侧面积表示为，再求出函数最大值即可. 【小问1详解】 （i）由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积. （ii）取的中点，连接，由，得， 所以正四棱锥的侧面积. 【小问2详解】 设，正四棱柱的侧面积为， 则， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南州第三民族高级中学 高一年级2025年春季学期期中考试（数学）试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，且，则 A. 2或 B. C. 2 D. 2. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 3. 在中,角所对的边分别是则的面积为 A. B. C. D. 4. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ） A. B. 12 C. 12 D. 24 8. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 若， ，则 D. 若，，则或 10. 下列有关复数的结论正确的是（ ） A. B. 当时，复数是纯虚数 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 的周长为 C. D. 外接圆的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数z满足，则等于_____. 13. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为__________． 14. 如图，正方形的边长为6，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： （1）z是实数； （2）z是纯虚数； （3）z在复平面中对应的点位于第三象限. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，，求. 17. 已知向量． （1）若三点共线，求的值； （2）若四边形为矩形，求的值． 18. 如图在直角梯形中，，，该梯形绕着直线旋转一周． （1）求所形成的封闭几何体的体积； （2）求所形成的封闭几何体的表面积． 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $