2023年山东省实验中学推荐生招生考试数学试题

一、单项选择题2023.5山东省实验中学推荐生招生考试数学试题 1.设a,b为方程x2+x-2020=0的两个实数根，则a3+a2+3a+2023b的值为() A.2024 B.-2024 C.2023 D.-2023 2.已知整数A,B满足VA+2VB=V12B,那么整数对(A,B)的个数是() A.5 B.4 C.3 D.2 3.如图，扇形0BA中，点C在弧AB上，连接BC,P为BC中点，若∠A0B=120°，点C沿弧 从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为m,则OA的长为() A.3 B.4 C.6 D.8 B 二、不定项选择题 4,如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的 点P处(P不与A、D重合)，点C落在G点处，PG交DC于点H, 连接BP、BH,BH交EF于点M,连接PM.下列结论正确的有 () APB平分∠APG B.PH=AP+CH C.BP=V2BM D.若BE=10/3,AP=2,则四边形BEPM面积为44/3 5.若(1-2x)2023=a0+a4x+a2x2+a3x2+…+a2023x2023(x为任意实数)，下列结论 正确的有() A.a0=1 32023+1 B.a1+ag+a5+…a2023= 2 32023-1 C.a0+a2+a4+…a2022= 2 D受+贤+号+2器=0 22023 三、填空题 6.如图，点M是函数y=x+1/x图像上的任一点， 直线上：y=x,过点M分别作MA⊥y轴，MB⊥L,点 A、B为垂足，则MA·MB=一 7.己知 10x3+14x mx+n px+q x4+3x2+4=x2+x+2+x2-x+2' 其中m,n,p,g为常数，则m+n+p+9=一 8.若是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567）等.在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三 位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为 9.当代数式x+1+x-2引+x-4取最小值时，相应的x的值是：有A、B、C、 D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张.现 在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出 给相邻小朋友)，要是调动的卡片总数最小，最少调动张 四、解答题 10,(1)问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积， 为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究 A B B 图1 图2 探究一：如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=b,BC=a,∠C=a,求△ABC的面积 探究二：如图2，△ABC中，AC=b,BC=a,∠C=a,求△ABC的面积（用a、b、a表 示)写出探究过程 结论：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是，两边之积乘以两边所夹角 正弦值的一半.如：△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,则△ABC的面积 1 1 S=ab sin LC=ac sin 4B=7bc sin A. D G A H Q C A 图3 图4 (2)如图3，P,Q,R是△ABC三边上的点，且 AP BQ CR 1 AB=BC=AC=3' 求S△PQR/S△ABc的值. (3)如图4，E,F,G,H分别在四边形ABCD的四边上，且 AE BF CG DH EB-FC=GD=HA=3. 求S四边形EFGH/S四边形ABcD的值. 11.已知抛物线L1:y=ax2-2amx+am2+2m+2(a>0,m>0)的顶点为A,抛物线l2 的顶点B在y轴上，且抛物线l1和L2关于p(1,4)成中心对称. (1)当a=1时，求l2的解析式和m的值： (2)设l2与x轴正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时，求a的值. 一、单项选样题 1.设a,b为方程x2+x-2020=0的两个实数根，则a3+a2+3a+2023b的值为() A.2024 B.-2024 C.2023 D.-2023 解析：本题正确选项为D. 由题意，a2+a=2020,a+b=-1,所以a3+a2+3a+2023b=(a2+a)a+3a+ 2023b=2020a+3a+2023b=2023(a+b)=-2023. 2.已知整数A,B满足VA+2√E=√128.那么整数对(A,B)的个数是() A.5 B.4 C.3 D.2 解析：本题正确选项为A 因为VA+2√厄=√128=8vW2,所以V√A,√厄与V2是同类二次根式（由反证法易证），设 √A=m√2，√厄=nV2,则m+2n=8,该方程有5组整数解(B,0),(6,1),(4,2), (2,3),(0,4),分别对应整数对(128,0)，(72,2)，(32，B),(8,18),(0,32) 3.如图，扇形0BA中，点C在弧AB上，连接BC,P为BC中点，若∠A0B=120°，点C沿弧 从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为m,则OA的长为() A.3 B.4 C.6 D.8 解析：本题正确选项为A 因为P是BC中点，点P可看作由点C以点B为中心作比值为 1/2的位似变换得到，所以点P经过的路径长就是点C经过 的路径长的1/2.设0A=0B=r,则点C经过的路径长为 2r/3,点P经过的路径长为mr/3,因此r=3. 二、不定项选择题 4.如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的 点P处(P不与A、D重合)，点C落在G点处，PG交DC于点H, 连接BP、BH,BH交EF于点M,连接PM.下列结论正确的有 () APB平分LAPG B.PH=AP +CH C.BP=2BM D.若BE=10/3,AP=2,则四边形BEPM面积为44/3 解析：本题正确选项为A、B、C, 由题意EP=EB,所以∠EBP=∠EPB,所以∠APB=90°-∠ABP=90°-∠EBP=90° ∠EPB=∠GPB,所以A选项正确： 作BN⊥PG,易证△BAP三△BNP(AAS,△BNH兰△BCH(HL),所以AP=PN,CH= NH,AP+CH=PN+NH=PH,所以B选项正确： 由B选项可知，∠PBH=∠PBN+∠NBH=∠ABP+∠CBH=45°，而∠BPM=∠PBM= ∠PBH=45°，这说明△BPM是一个等腰直角三角形，所以C选项正确： 因为EP=BE=10/3,所以AE=VEP2-AP=8/3,AB=AE+BE=6,BP= √AB2+AP元=2W1O,设EM与BP交于点O,由题意可知PB⊥EM,P0=B0=M0=V1O, E0=VEP2-PO=V1O/3,所以四边形BEPM的面积 21 所以D选项错误， 5.若(1-2x)2023=a0+a1x+a2x2+a3x2+…+a2023x2023(x为任意实数)，下列结论 正确的有() A.a0=1 32023+1 B.a1+ag+as+…a2023= 2 C.a0+a2+a4+…a2022= 32023-1 2 受+贤+贤+器=0 22023 解析：本题正确选项为A、C. 令x=0,得a0=12023=1,所以A选项正确： 令x=1和-1，分别得到 a0+a1+a2+ag+…+a2023=(-1)2023=-1 (15-1) 00-a1+a2-a3+-a2023=32023 (15-2) 两式相减得到2(a1+a3+…+a2023)=-(32023+1),所以B选项错误： 再将上面两式相加，得到2(a0+a2+…+a2022)=32023-1,所以C选项正确： 令x=1/2,得 +号+++2器=0 (15-3) 而ao=1,所以D选项错误. 三、填空题 6.如图，点M是函数y=x+1/x图像上的任一点， 直线k:y=x,过点M分别作MA⊥y轴，MB⊥L,点 A、B为垂足，则MA·MB= 解析：本题答案为V2/2. 设M(x,x+1/x),延长AM交1于点D,则AM=x, AD =0A=x+1/x,MD =1/x MB=MD/2= V2/2x,所以MA·MB=(V2/2x)·x=V2/2. .7.已知 10x3+14x mx+n px+q x4+3x2+4=x2+x+2+x2-x+2! 其中m,n,p,q为常数，则m+n+p+q=一 解析：本题答案为10. 等式右边通分得到 (m+p)x3+(-m+n+p+q)x2+(2m-n+2p+q)x+2(n+q) (17-1) x4+3x2+4 所以 /m+p=10 -m+n+p+q=0 2m-n+2p+q=14 (17-2) n+q=0 解出m=5,n=3,p=5,q=-3.所以m+n+p+q=10. 我们可以通过装蜀定理证明部分分式的存在性与唯一性，这样就不必解方程组(17一2)， 直接将方程组中的m+p=10和n+q=0累加即可， 8.若n是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567）等.在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三 位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为一 解析：本题答案为13/14. 三位递增数共有C=84个，其中被5整除的三位递增数个位数字一定为5，所以十位与百 位数字只能在1,2,3,4中选取，共有C?=6个，估随机抽取的三位递增数不被5整除的 概率为1-6/84=13/14. 9.当代数式x+1+x-2+x-4取最小值时，相应的x的值是一：有A、B、C、 D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张.现 在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出 给相邻小朋友)，要是调动的卡片总数最小，最少调动张 解析：本题答案为2：9. 由绝对值不等式 x+1+x-2+lx-4=(x+1+l4-xD+x-2 2x+1+4-x+x-2 25, 当且仅当x=2时取到最小值. 设A给B、B给C、C给D、D给E、E给A的卡片数量分别为x1,x2,x3,x4,5,对任 意1≤i≤5，<0表示反向调动卡片，那么调动完毕后，每个人的卡片数量为 1 12+6+9+3+10)=8， 于是12-x1+x5=6-x2+x1=9-x3+x2=3-x4十x3=10-g+x4=8,我们有 x2=名1-2，为3=1-1，x4=名1-6,5=X1-4,所以 x1+1x2l+x3l+lx4+xs=xl+x1-2+lx1-1+x1-6+x1-4 =(0xl+16-x)+(0x1-11+4-x)+1x1-2引 2lx1+6-x1+x1-1+4-l+x1-2 29, 当且仅当x1=2时取到等号. 四、解答题 10·(1)问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积 为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究 y B 图1 图2 探究一：如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=b,BC=a,∠C=a,求△ABC的面积 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°， sin a=AB ' ÷AB=b·sina, SoAnc =BC.AB=Tabsina. 探究二：如图2，△ABC中，AC=b,BC=a,∠C=a,求△ABC的面积（用a、b、a表 示)写出探究过程 结论：己知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是，两边之积乘以两边所夹角 正弦值的一半.如：△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,则△ABC的面积 1 S=3 ab sin∠c=三ac sin2B=bc sin∠A. D G A C B p C B 图3 图4 (2)如图3，P,Q,R是△ABC三边上的点，且 AP BQ CR 1 AB=BC=AC=3 求SAPQR/S△ABC的值， (3)如图4，E,F,G,H分别在四边形ABCD的四边上，且 AE BF CG DH EB=FC=GD =HA =3. 求S图边形EFcH/S网边形ABcD的值， 解：(1)作AD⊥BC,垂足为D,因为AD=ACsina=bsina,所以 1 1 SAAnc =BC.AD =zabsina. (2)因为 S△APR 7AP·AR sinA AP AR122 SAABC 克AB·AC sin A AB'AC=33=g: 同理可得 、S△B02=PACR2=G, = S△ABC SA△ABc】 所以 a0g_5a4Bc-Sawg-5a0-ac=1-号×3=号 2 1 SAABC S△ABC (3)连接AC、BD,由上面的方法易知 SADHGSABEE3 SAACD SAACB 16' 所以 S&DHG+SoREF=6 SACD+SAAC)=名GS顶边形AcD 同理 5AgH+SCG=i65得边形A8GD 3 所以 S四边形EFGH= S四边形ABCD 5sAen-5aoiG+5m）-6un+5c）-=1-6×2=8 3 5 S国边形ABCD 11.已知抛物线l1:y=ax2-2amx+am2+2m+2(a>0,m>0)的顶点为A,抛物线l2 的顶点B在y轴上，且抛物线l1和l2关于p(1,4)成中心对称. (1)当a=1时，求l2的解析式和m的值： (2)设L2与x轴正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时，求a的值. 解：(1)当a=1时，4：y=(x-m)2+2m+2,顶点A坐标为(m,2m+2).设B(0,b), 因为L1与L2关于点P(1,4)对称，所以A,B也关于P对称，即 fm+0=2 2m+2+b=8' 解得m=2,b=2.由于对称性可知l2与L1开口大小相同，但方向相反，所以l2的解析式为 y=-x2+2. (2)易知m=2与a无关，所以l1:y=a(x-2)2+6,l2:y=-ax2+2,点A坐标(2,6)， 点B坐标(0,2)，点C坐标（√2/a,0), 若AB=BC,√2+(6-2-(V2a-0)2+(0-22,解出a=1/8: 若AB=AC,|AB引=2V5,这比点A到x轴的距离还要小，所以不可能： 若AC=BC, J(21a-2)2+(0-6)2=(W2/a-0)2+0-22,解出a=2/81 综上，a=1/8或2/81.