精品解析：2025年新疆中考第二次模拟数学试卷

2025年初中学业水平检测二模平行卷 数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为试卷和答题卡两部分． 3．试卷共4页，答题卡共2页，所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．答题前，考生必须在答题卡规定位置认真填写姓名、准考证号、座位号，并按照考试要求粘贴条形码． 一、选择题（共9小题） 1. 在，，，，，0中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则（ ） A. 4047 B. 4048 C. D. 4. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（       ） A. 14，5 B. 9，6 C. 14，4 D. 9，5 5. 在四边形中，与交于点，已知且，下列条件能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 7. 数学兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”探究活动，各组的作图痕迹如下，其中所作射线不一定平分的是（ ） A. B. C. D. 8. 为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题） 10. 已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为_____． 11. 如图，以正六边形的一边向内作正方形，连接，则的度数为______． 12. 已知一组数据的方差s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为_____． 13. 如图，为的直径，、为上的两点，若，则的度数为______． 14. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为__________． 15. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，，则点的坐标为_________． 三、解答题（共9小题） 16. （1）计算：． （2）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 17. （1）解方程：． （2）已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示 … 0 1 … … 0 0 … ①求这个二次函数解析式； ②在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； ③若对于方程总有两个不相等的实数根，结合图象直接写出的取值范围． 18. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站翟志刚、王亚平、叶光富三位宰命昂学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：A．微重力环境下的太空“冰雪”实验，B．液桥端示实验，C．水油分离实验．D．太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查．将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了_______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_______； （2）请补全条形统计图： （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 19. 如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 21. 食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． （1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； （2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； （3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 22. 如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积； （3）在（2）的条件下，求． 23. 【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点与点重合． ①当时，________； ②若点恰好在线段上，则的长为________． 【深入思考】 （2）点恰好落在边上． ①如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，菱形的边长为________，的长为________． 【拓展提升】 （3）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平检测二模平行卷 数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为试卷和答题卡两部分． 3．试卷共4页，答题卡共2页，所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．答题前，考生必须在答题卡规定位置认真填写姓名、准考证号、座位号，并按照考试要求粘贴条形码． 一、选择题（共9小题） 1. 在，，，，，0中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根和无理数的概念，无理数是无限不循环小数．先计算，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 所以在，，，，，0中， 其中无理数有，，共2个． 故选：B． 2. 下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解题的关键． 【详解】解：只有的基本图案的角度，形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到， 故选：． 3. 已知，若，则（ ） A. 4047 B. 4048 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，先根据有理数的乘方和相同加数的加法将已知式变形，再根据幂的乘方，同底数幂的乘法即可解答 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：D 4. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（       ） A. 14，5 B. 9，6 C. 14，4 D. 9，5 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据众数和中位数的定义可得答案． 【详解】解：圆周率的小数点后100位数字的出现次数最多的为9，故众数为9；处于最中间的第51和52两个数均为5和5，所以中位数为5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握求一组数据的众数和中位数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．找出处于最中间的两位数取他们的平均数，即为中位数． 5. 在四边形中，与交于点，已知且，下列条件能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定、菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定是解题关键．先证明出四边形是平行四边形，再根据选项中的条件逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，，， A、添加，则， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，故选项A不符合题意； B、添加，则平行四边形是菱形，不能判定是矩形，故选项B不符合题意； C、添加，则， ∴平行四边形是矩形，故选项C符合题意； D、添加，则， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C 6. 如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 7. 数学兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”探究活动，各组的作图痕迹如下，其中所作射线不一定平分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质；根据作图痕迹，利用相关知识，逐项分析即可． 【详解】解：A、由作法知：， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴平分； B、此作图为角平分线尺规作图方法； C、由作图知，， ∴， ∴； 由作图知，， ∴， ∴， ∴平分； D、由作图知，点P为线段垂直平分线上的点，无法判断射线是否平分．  故选：D ． 8. 为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，由图像可得，燃油汽车花费30元所行驶的路程等于燃气汽车10元行驶的路程，依次列方程即可． 【详解】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需的费用为元， 由图像可得，燃油汽车花费30元所行驶的路程等于燃气汽车10元行驶的路程， 即 故选：B． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方程． 9. 已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，判别式及方程根的存在性条件，解题时要熟练掌握二次函数的性质与代数变形技巧是关键，结合条件解参数范围时要注意分母符号． ①根据题意得出开口向下，对称轴在轴的右侧，即可判断出；②根据抛物线（，，是常数）过和两点，且，由对称轴与根的关系即可求得；③抛物线（，，是常数且）与直线有交点，可知抛物线的顶点纵坐标大于等于，列出不等式化简即可；④根据题意代入已知点构建方程，可得出，则，根据，即可得出关于的不等式，解不等式即可。 【详解】解：抛物线（，，是常数）过和两点，且， ，即， 故②正确； 对称轴在轴右侧， ， ， 故①正确； 若关于的方程有实数根， 抛物线（，，是常数且）与直线有交点， ， 抛物线开口向下， 抛物线的顶点纵坐标大于等于， ， ， 故③错误； 抛物线（，，是常数且））过和， ，解得， 抛物线（，，是常数且）过和两点， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故正确的结论有：①②④， 故答案选：C． 二、填空题（共6小题） 10. 已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得，解得， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得． 则“”表示的数为5， 故答案为：5． 11. 如图，以正六边形的一边向内作正方形，连接，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，由正多边形的每个内角相等，求出，，得到，由等腰三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握正多边形的每个内角相等． 【详解】解：∵以正六边形的一边向内作正方形， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴的度数为． 故答案为：． 12. 已知一组数据的方差s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和． 【详解】∵s2=[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]， ∴这组数据的平均数是6，数据个数是4， ∴这组数据的总和为4×6=24． 故答案为24． 【点睛】本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，解题关键是对方差公式的理解． 13. 如图，为的直径，、为上的两点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、同圆中相等的弧所对的圆周角相等，掌握这两个知识点是解题的关键．连接，由直径所对的圆周角是直角得，即可求得的度数，由同圆中相等的弧所对的圆周角相等即可得的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴．而， ∴． ∴． 故答案为：． 14. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系求参数，求不等式的解集的运用，掌握方程有两个不相等的实根；方程有两个相等的实根；方程无实根的判定方法是解题的关键． 根据方程有两个实根，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．根据，可得出点的坐标，运用待定系数法即可求出的解析式；再通过比例关系解出点的坐标，可得反比例函数表达式；过点作轴，垂足为，则，联立方程组解出点的坐标． 【详解】解：在中，∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵、两点在函数上， 将、代入得 解得，， ∴ 设，过点作轴，垂足为，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 联立， 得， ∴，， 故答案为：． 三、解答题（共9小题） 16. （1）计算：． （2）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，立方根和特殊角的三角函数值，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，有理数的乘方，立方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到为0，然后代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵时，原分式无意义， ∴为0， 当时，原式． 17. （1）解方程：． （2）已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示 … 0 1 … … 0 0 … ①求这个二次函数的解析式； ②在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； ③若对于方程总有两个不相等的实数根，结合图象直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）① ②图见解析 ③ 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，求二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）①把点，，分别代入进行解方程，即可作答． ②先找出，，再标点，然后连接，即可作答． ③运用②的图，得函数开口向上，有最小值，且为，运用数形结合思想，对于方程总有两个不相等的实数根时，的取值范围是． 【详解】解：（1）， ， ， ∴，， 解得，． （2）①∵二次函数的图象过点，，， ∴， 解得，， ∴这个二次函数的解析式为； ②函数图象如图所示； ③由图象可得，函数的开口向上，且有最小值，为， 对于方程总有两个不相等的实数根时，的取值范围是． 18. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站翟志刚、王亚平、叶光富三位宰命昂学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：A．微重力环境下的太空“冰雪”实验，B．液桥端示实验，C．水油分离实验．D．太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查．将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了_______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_______； （2）请补全条形统计图： （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：画树状图如下：     共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 19. 如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再证明，得，则，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后由全等三角形的性质得，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：， ， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 21. 食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． （1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； （2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； （3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）9600元 （2） （3）降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键； （1）由每千克利润乘以销售数量可得总利润； （2）由每千克利润乘以销售数量可得函数关系式； （3）把二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 解：（元） 答：若出厂价降低2元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为9600元； 【小问2详解】 解：由题意可得：每千克利润为：元，销售数量为：千克， ∴； 【小问3详解】 解： ∴当时（符合实际），W取得最大值9800 ∴当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元. 22. 如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积； （3）在（2）的条件下，求． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的证明，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是掌握切线的判定定理，相似三角形对应边成比例，等角的三角函数值相等． （1）连接，易得，根据平分，得出，进而得出，则，即可求证； （2）证明，然后利用相似三角形的性质求出，由圆周角定理得到，即可求解面积． （3）根据勾股定理得出，根据，，则，最后根据，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点与点重合． ①当时，________； ②若点恰好在线段上，则的长为________． 【深入思考】 （2）点恰好落在边上． ①如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，菱形的边长为________，的长为________． 【拓展提升】 （3）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）①作图见解析，证明见解析；②；；（3）或 【解析】 【分析】（1）①，由折叠的性质得；②当点恰好在线段上，即，，三点共线，设，由折叠的性质得，，在中，，，，在中，，即求得的长； （2）①根据题意补全如图，延长交于，，，由折叠的性质得，，，，四边形是平行四边形，，即可得证；②设菱形的长为，即，，在中，，求得，，证明得，则； （3）分两种情况，①当时，由折叠的性质得，设，则，在中，，可解得；②当时，过点作于点，设，则，，,由折叠的性质知，，，，求得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，使顶点落在点处， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上，即，，三点共线，如图， 设， ∵将矩形纸片沿折叠，使顶点落在点处，，， ∴，，，， 在中， ， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即长为， 故答案为：； （2）解：①根据题意补全如图， 证明：延长交于， ∵， ∴， ∵将矩形纸片沿折叠，使顶点落在点处，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ②解：设菱形长为， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （3）解：①当时， ∵将矩形纸片沿折叠，使顶点落在点处，，， ∴，， ∴， 设， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ②当时，过点作于点，如图， ∴， 设， ∴，， ∵将矩形纸片沿折叠，使顶点落在点处，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的长为或 【点睛】本题属于矩形的折叠问题，考查了折叠的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形折判定与性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$