专题18 菱形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题18 菱形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用菱形的性质求角度 1 类型二、利用菱形的性质求长度 4 类型三、利用菱形的性质求面积 8 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 11 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 17 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 22 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 26 压轴能力测评（16题） 32 解题知识必备 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 压轴题型讲练 类型一、利用菱形的性质求角度 例题：（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在菱形中，，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质，根据菱形的每一条对角线平分每一组对角结合等腰三角形的性质可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．本题直接利用菱形的性质对角线平分角以及邻角互补进行角度的计算即可． 【详解】解：四边形是菱形， , , , ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示，在菱形中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若，则 ． 【答案】/40度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质，作角平分线，由作图步骤可得平分，由菱形的性质结合角平分线的定义，求出，进而求出，最后根据三角形的外角求即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴， 由作图步骤可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）“福”字象征着中华民族的历史文化与精神．如图①是小红家大门上的“福”字，如图②是抽离出来的菱形，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是 ． 【答案】/25度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．由菱形的性质可得，，可得，由三角形内角和定理求得的度数，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二、利用菱形的性质求长度 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 ． 【答案】2 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】此题重点考查菱形的判定、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．由题意可知，连接，因为，所以是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，， ， 四边形是菱形， 连接， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离为2， 故答案为：2． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，菱形中，于点H，且与交于G，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，结合勾股定理求出的值，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在菱形中，，点E在边上，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】2或4 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 过点C作于F，连接，由菱形性质可得，进而可得是等边三角形，从而利用勾股定理可求得，再分两种情况：①当点E在上时，②当点E在上时，分别求解即可． 【详解】解：过点C作于F，连接， ∵菱形，， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∵ ∴， ∴ 分两种情况：①当点E在上时， 由勾股定理，得， ∴； ②当点E在上时， 由勾股定理，得 ∴； 综上，线段的长为2或4， 故答案为：2或4． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】分两种情况①当时， 连接， 作于，由菱形的性质得出，求出，， 证明，得出， 证出、、三点共线， 设， 在中， 由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时， ， 得到 是等边三角形， 即可解题． 【详解】解：分两种情况： ①当时， 连接， 作于，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，，∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质得： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴、、三点共线， 设则， 在中， 由勾股定理得：， 解得： ，即； ②当时，，此时点与重合，与点重合，如图所示： 则是等边三角形，(含这种情况)； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 类型三、利用菱形的性质求面积 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）若菱形的两条对角线的长之比为，周长为20，则两条对角线的长分别为 ；其面积为 ． 【答案】 、 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查菱形的性质，设菱形的对角线分别为和，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值． 【详解】解：设菱形的对角线分别为和， ∵菱形的周长为20， ∴菱形的边长为5， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， ∴， 解得（负值已经舍去）， ∴菱形的对角线分别为6和8， 所以菱形的面积， 故答案为：6、8；24． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，菱形的面积为36，点F是的中点，点E是上的一点．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【知识点】根据三角形中线求面积、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式求出．连接，，求出，同理：，得到的面积：的面积，求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， 是中点， ， 同理：， 的面积为6， 的面积：的面积， ， 阴影部分的面积菱形的面积的面积的面积的面积． 故答案为：15． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，根据题意得出两个菱形的面积为，根据反比例函数的意义得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵两个影阴部分的面积和为8， ∴两个菱形的面积和为， ∴ 又， ∴； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线经过菱形的对角线的交点，若，四边形的面积为，则 ，菱形的面积为 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，连接，，可证，，，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 故答案为：，． 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 例题：（2025八年级下·广西·专题练习）如图，在菱形中，若，，过点作于点． (1)菱形的面积为 ． (2)求的长． (3)过点作，垂足为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式（两条对角线的乘积的一半），矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题关键． （1）利用面积公式进行求解即可； （2）等积法求出的长即可； （3）根据题意，画出图形，得到四边形为矩形，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形ABCD的面积为． 故答案为：24． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴菱形的面积， ∴． （3）解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴四边形的面积． 【变式训练】 1．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，已知菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由菱形的性质得，再结合，则四边形是平行四边形，即可作答． （2）结合（1）的四边形是平行四边形，故，则再运用四边形是菱形，所以，最后运用直角三角形的两个锐角互余进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是菱形，过的中点E作的垂线，交于点M，交的延长线于点F． (1)证明：； (2)若，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）设于点，则，由线段中点的定义可得，由菱形的性质可得，，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，即为的中点，于是结论得证； （2）由菱形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由（1）得，，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，则，进而可得菱形的周长，于是得解． 【详解】（1）证明：如图，设于点， 则， 为的中点， ， 四边形是菱形，是对角线， ，， ， 又， ， ， 为的中点， ； （2）解：四边形是菱形， ，， ， 由（1）得：，， 又， ， ， ， 菱形的周长 ． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据菱形的性质结合，可证明，都是等边三角形，然后利用证明，得到，，延长交于，由，可求出，即，即可证明结论； （2）结论仍然成立，根据题意作出图形，证明过程与（1）类似． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于H，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证是等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点H， 同理可得， ∴， 又∵， ∴． 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 例题： 如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据已知先判断，则，可判断①，结合含角的直角三角形的性质和中点的定义可判断④，由等边三角形的性质得出，接着证得，则，再由，得出四边形为平行四边形而不是菱形，即有不成立，根据平行四边形的性质得出，即可判断②③，从而得到答案． 【详解】解：、是等边三角形， ，，， ， ，， 为的中点， ， ， 即在与中， ， ， ，， ∴，即平分， 故①正确， 由①知，． ∵． ∴，即． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∵，， ，， ， ， 由①知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形不是菱形， ∴不成立，故②说法不正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， 则，故③说法正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿折叠，点B与点D恰好重合，接，有以下结论：①；②四边形是菱形；③；④的面积是，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形 【分析】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 利用可判定①，根据矩形的性质和轴对称的性质，利用四条边相等的四边形是菱形判定②，根据勾股定理建立方程求出的长可判定③，利用三角形的面积公式求出的面积可判定④． 【详解】由折叠的性质可得：，，， 在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ∴②正确； 由折叠的性质可得：， ∴， 在和中 ∵， ∴ ∴①正确； 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即， ③正确； ∴， ∴， ④错误； 故正确的是：①②③， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法正确的个数是（    ） （1）当时， （2）当点落在上时，四边形是菱形 （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2 （4）连接，则四边形的面积始终等于 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质和菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键，运用折叠的性质，平行四边形的性质和菱形的判定逐个分析判断即可． 【详解】（1）当时，， 在平行四边形中，， ， ， 由折叠可知，， ， ， 故（1）正确； （2）当点落在上时，点E和重合， 由平行四边形可知，，， 由折叠可知，，，， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 故（2）正确； （3）在点P运动的过程中， 当点P靠近点C时，在四边形外部，此时， ， 故（3）错误； （4）连接，由折叠可知，垂直平分， ， 则四边形的面积始终等于， 故（4）正确， 综上所述：（1）（2）（4）正确， 故选：C． 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 例题：（2025·山西运城·模拟预测）如图，在菱形中，E为的中点，连接与对角线相交于点F，． (1)尺规作图：过点F作于点G．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、作垂线(尺规作图)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查作垂直，菱形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）按尺规作图的步骤过点F作交于点G． （2）根据菱形得到，，，结合，得到推出，根据等腰三角形的性质得到，即可证明，． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点G． （2）解：∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在菱形中，点E在边上，仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．      (1)如图1，在上画点F，使四边形是平行四边形； (2)如图2，在上画点K，使； (3)如图3，若点G在上，在上画点H，使四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】（1）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，连接、，利用菱形的中心对称性得到，则四边形即为所求； （2）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，连接交于P，连接并延长交于点K，根据菱形的轴对称性得到，由（1）得，则； （3）连接，相交于点O，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接交于点H，利用与互相垂直平分得到四边形为菱形． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求的平行四边形；   ； （2）解：如下图所示：点K即为所求，   ； （3）解：如图，四边形即为所求的菱形；  ． 【点睛】此题考查了尺规作图，菱形和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质以及尺规作图的方法． 2．（2025·江西·二模）如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出中边上的高； (2)在图2中，作出一个菱形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、利用菱形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】（1）连接交于点，连接即可； （2）延长交于点，令交于点，连接，，则四边形为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即是中边上的高； （2）解：如图四边形即为所求． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等腰三角形的性质，菱形的判定是解题的关键． 3．（24-25九年级下·广东·阶段练习）如图，小橘子数学研修活动中做了以下探究：在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点 （保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证： 四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了作垂线，菱形的性质，矩形的判定定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意完成尺规作图；在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点 （2）根据作图可得，根据四边形是菱形，证明四边形为平行四边形，进而得出，证明根据矩形的判定定理，即可得证． 【详解】（1）解： 图形如图所示： （2）证明： ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 四边形为矩形． 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 例题：（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，的平分线交于点M，交于点N，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可得证； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴，同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵F为边的中点， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）如图，在四边形中，，，若点 E、F分别是的中点，且平分 (1)求证：四边形是菱形 (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质与判定，熟知菱形的判定定理和等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由线段中点的定义得到，则可证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）根据（1）所求可得，则，再由三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵，点 E、F分别是的中点， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵点为的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 2．（2025·湖南·二模）如图，在四边形中，相互平分且交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据对角线相互平分得到四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求解； （2）在中，，，由，得到四边形是梯形，根据梯形的面积计算公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵相互平分， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴四边形是梯形， ∴． 3．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【探究与证明】 折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学探究． 【动手操作】 如图1，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，点与点重合，连接，请完成： （1）证明：； （2）猜想四边形的形状，并说明理由． 【类比操作】 （3）如图2，在矩形中，是的中点，在边上，将矩形沿折叠，点的对应点分别为的延长线过点，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）四边形是菱形，理由见详解；（3） 【知识点】证明四边形是菱形、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，根据折叠，得出，根据同角的余角相等得出，根据“”即可证明． （2）根据四边形是矩形，得出，根据折叠，得出，证明，得出，根据，得出，结合折叠可得，即可证明四边形是菱形； （3）根据四边形是矩形，得出，连接，根据折叠，得出，证明，得出，，设，则，在中，由勾股定理，列式求解即可； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ∵折叠，点与点重合， ， ， ， 又， ． （2）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ， ∵折叠，点与点重合， ， 在和中， ， ， ， ∵， ， 根据折叠可得， ， ∴四边形是菱形； （3）解：∵四边形是矩形， ， 如图所示，连接， ∵折叠， ， 延长线过点， ， 在和中 ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质是解题的关键． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在菱形中，，则菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】设的交点为O，根据菱形，，得，，利用勾股定理得，解答即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设的交点为O， ∵菱形，， ∴， ， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可作出图形： 当时，则为矩形，故A错误； 当时，则为矩形，故B错误； 当时，不能判定出是菱形，故C错误； 当平分时，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形，故D正确； 故选：D． 3．（江西省景德镇市2025届年九年级第一次质量检测卷数学）如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据含直角三角形性质求得，由菱形的性质得出即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， 即， 故选：B． 4．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A．14 B． C．15 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】由菱形的性质得出，得出菱形的面积54，勾股定理算出，最后结合等面积法列式计算，即可作答．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 在中， ∵ ， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，交于点，则四边形是 ． 【答案】菱形 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判断、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，再结合勾股定理的逆定理证明，结合“对角线相互垂直的平行四边形为菱形”证明四边形是菱形即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形． 7．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，求 度． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、利用菱形的性质求线段长 【分析】此题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质与判定．根据菱形的性质求出，再根据垂直平分线的性质得出，从而证明，计算出的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交对角线于点， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的面积可得，进而由菱形的性质和勾股定理可得，得到，即得，最后根据直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E．交于点F． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的边长为 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键. （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可； （2）根据含的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：, 四边形是平行四边形， 是的角平分线， , , , , , 平行四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于, ,, , 由（1）得：四边形是菱形, , , , 平分, , , , , 由勾股定理得，, , 菱形的边长为． 12．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； (2)如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． （2）连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接即可． 【详解】（1）解：如图中，连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． 理由：是菱形， ， ， ， ， ， ， 即直线将菱形分为面积相等的两部分． （2）解：如图中，连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接，矩形即为所求作． 理由：是菱形， ， ， ， ， ∵点E、F为边中点， 点H、G为边中点， ， ， 是矩形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．（24-25九年级上·四川成都·期末）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】（1）先证明，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）先根据四边形为菱形可得，再利用勾股定理列方程出，由此可求出，然后根据菱形的四边相等可得菱形的周长． 此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：由折叠可知：，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是菱形． （2）解：∵是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴， 设， ∴， 解得：（负值已经舍去） ∴， ∴， ∴四边形的周长 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形是菱形，、分别是、上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、找出图中的等腰三角形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定： （1）证明，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，结合等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，为等腰三角形， 由（1）知：， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 综上：图中一定是等腰三角形的有，，，． 15．（24-25九年级上·福建南平·期中）在边长为6的菱形中，，点E，F分别在边和上，且． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)如图2，交于点P，交于点G， ①当的周长最小时，求证； ②已知交的延长线于点H，求证． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明 【分析】（1）连接，证明，则，即可证明结论； （2）①连接，当时，的周长最小，由（1）得，得到，在中，，由即可得到结论；②连接，证明，则 ，证明，则，结论得证． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是菱形， 在和中， 是等边三角形． （2）①如图2，连接， 当时，的周长最小 由（1）得 在中，                ②如图2，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识．添加合适的辅助线是解题的关键． 16．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动， 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定，分别在边，上移动，求出点在边上移动的最大距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)；． 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形 【分析】（）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （）由矩形的性质得出，，，由对称的性质得出，在中，由勾股定理求出，得出；在中，由勾股定理得出方程，解方程得出即可； 当点与点重合时，点离点最近，由知，此时；当点与点重合时，点离点最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为， ∴点与点关于直线对称， ∴，，； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点与点关于直线对称， ∴， 在中，， ∴ ， 在中，，， ∴， 解得， ∴菱形的边长为； 当点与点重合时， 如图，点离点最近， 由知，此时； 当点与点重合时， 如图，点离点最远， 此时四边形为正方形，， ∴点在边上移动的最大距离为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 菱形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用菱形的性质求角度 1 类型二、利用菱形的性质求长度 4 类型三、利用菱形的性质求面积 8 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 11 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 17 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 22 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 26 压轴能力测评（16题） 32 解题知识必备 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 压轴题型讲练 类型一、利用菱形的性质求角度 例题：（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在菱形中，，，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示，在菱形中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若，则 ． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）“福”字象征着中华民族的历史文化与精神．如图①是小红家大门上的“福”字，如图②是抽离出来的菱形，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是 ． 类型二、利用菱形的性质求长度 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，菱形中，于点H，且与交于G，则 ． 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在菱形中，，点E在边上，连接，若，则线段的长为 ． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ． 类型三、利用菱形的性质求面积 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）若菱形的两条对角线的长之比为，周长为20，则两条对角线的长分别为 ；其面积为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，菱形的面积为36，点F是的中点，点E是上的一点．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线经过菱形的对角线的交点，若，四边形的面积为，则 ，菱形的面积为 ．    类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 例题：（2025八年级下·广西·专题练习）如图，在菱形中，若，，过点作于点． (1)菱形的面积为 ． (2)求的长． (3)过点作，垂足为，求四边形的面积． 【变式训练】 1．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，已知菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是菱形，过的中点E作的垂线，交于点M，交的延长线于点F． (1)证明：； (2)若，求菱形的周长． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 例题： 如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿折叠，点B与点D恰好重合，接，有以下结论：①；②四边形是菱形；③；④的面积是，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法正确的个数是（    ） （1）当时， （2）当点落在上时，四边形是菱形 （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2 （4）连接，则四边形的面积始终等于 A．1 B．2 C．3 D．4 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 例题：（2025·山西运城·模拟预测）如图，在菱形中，E为的中点，连接与对角线相交于点F，． (1)尺规作图：过点F作于点G．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (2)求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在菱形中，点E在边上，仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．      (1)如图1，在上画点F，使四边形是平行四边形； (2)如图2，在上画点K，使； (3)如图3，若点G在上，在上画点H，使四边形是菱形． 2．（2025·江西·二模）如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出中边上的高； (2)在图2中，作出一个菱形． 3．（24-25九年级下·广东·阶段练习）如图，小橘子数学研修活动中做了以下探究：在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点 （保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证： 四边形为矩形． 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 例题：（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，的平分线交于点M，交于点N，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）如图，在四边形中，，，若点 E、F分别是的中点，且平分 (1)求证：四边形是菱形 (2)求的度数． 2．（2025·湖南·二模）如图，在四边形中，相互平分且交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 3．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【探究与证明】 折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学探究． 【动手操作】 如图1，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，点与点重合，连接，请完成： （1）证明：； （2）猜想四边形的形状，并说明理由． 【类比操作】 （3）如图2，在矩形中，是的中点，在边上，将矩形沿折叠，点的对应点分别为的延长线过点，求的长． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在菱形中，，则菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 3．（江西省景德镇市2025届年九年级第一次质量检测卷数学）如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A．14 B． C．15 D． 5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，交于点，则四边形是 ． 7．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，求 度． 10．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E．交于点F． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果，，，求菱形的边长． 12．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； (2)如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 13．（24-25九年级上·四川成都·期末）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的周长． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形是菱形，、分别是、上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形． 15．（24-25九年级上·福建南平·期中）在边长为6的菱形中，，点E，F分别在边和上，且． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)如图2，交于点P，交于点G， ①当的周长最小时，求证； ②已知交的延长线于点H，求证． 16．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动， 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定，分别在边，上移动，求出点在边上移动的最大距离． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$