专题17 矩形的性质和判定的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题17 矩形的性质和判定的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用矩形的性质求角度 1 类型二、利用矩形的性质求线段长 4 类型三、利用矩形的性质求面积 9 类型四、利用矩形的性质证明 12 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 19 类型六、证明四边形是矩形 24 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 28 压轴能力测评（16题） 34 解题知识必备 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 压轴题型讲练 类型一、利用矩形的性质求角度 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，且，则为 ． 【答案】/30度 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点O，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角与内角的关系，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 连接，与交于点，利用矩形的性质里对角线相等且互相平分得和是等边三角形，通过等边对等角得，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和推得的度数，根据三角形的内角和等于即可求解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 四边形是矩形，且， ，，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的额关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可推出，得到，再根据三角形的内角和定理可得，结合，推出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 类型二、利用矩形的性质求线段长 例题：（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．根据矩形的性质得，，证明是等边三角形得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为 ． 【答案】5 【知识点】折叠问题、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查矩形的性质与折叠问题，解题的关键是利用折叠的性质和勾股定理建立方程求解． 通过矩形性质与折的性质得到相等角，推出，，，设，则，再利用勾股定理列方程求解的长． 【详解】解：根据题意得：， 设，则， 在和中：，， 又， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若，则的长为 ． 【答案】或2 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题是矩形的折叠问题，主要考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论并准确画出相关图形，是解答本题的关键．设折叠后，点A的对应点为M点，折痕为，设，分两种情况讨论：当点F在边时，画出图形，过E点作于点N，先证明四边形是矩形，再在中，利用勾股定理即可作答；当点F在边时，如图，过M点作于点H，点B的对应点为G点，同理证明四边形是矩形，再在中，利用勾股定理即可作答． 【详解】设折叠后，点A的对应点为M点，折痕为， 设，当点F在边时，如图，过E点作于点N， ， 根据折叠有：， , ， 在矩形中，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得，即， 当点F在边时，如图，过M点作于点H，点B的对应点为G点， 根据折叠有：， , ， 在矩形中，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， , 在中，， ， ，即， 的长为或2， 故答案为：或2． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在长方形中，，，，点M是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点A的对称点为，当，M，C三点在同一直线上时，的长为 ． 【答案】4或16 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．分“当点M在线段上时”和“当点M在的延长线上时”两种情况讨论，画出图形，利用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当点M在线段上时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点M在的延长线上时， 同法可证， ∵，， ∴ ∴ 故答案为：4或16． 类型三、利用矩形的性质求面积 例题：（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．首先根据矩形的性质可得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，然后结合矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 【答案】 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查矩形的性质、求一次函数的解析式，连接、，交于点，根据矩形的性质求出点的坐标，因为直线将四边形的面积分成相等的两部分，所以直线过点，利用待定系数法求出即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 点的坐标为， 的坐标为， 又直线将四边形的面积分成相等的两部分， 直线过点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积，则 ． 【答案】12 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、等角对等边等知识． 根据折叠的性质得到，而，则，得，然后由阴影部分的面积，求出，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：∵将该矩形沿对角线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴平行于BC， ∴， ∴， ∴， ∵，阴影部分的面积， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴． 故答案为： 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，过点作于点，作于点，有矩形的性质得到，，根据题意可得，，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵顶点在函数的图象上， ∴， ∵点是矩形内的一点， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 类型四、利用矩形的性质证明 例题：（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在矩形中，为等腰直角三角形， (1)求证：； (2)若矩形的周长为，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）由为等腰直角三角形，得出，，推出，由证得，得出，即可得出结论； （2）设，利用矩形的性质可得，解得的长，根据勾股定理求得，即可求得的面积． 【详解】（1）证明：为等腰三角形， ，， 又， ， 又四边形是矩形， ，， 在和中， ， ． ， ； （2）解：设，根据题意得：， 解得，即， 在中，， ； 的面积为6.5． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，． (1)求证； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，继而得到，根据矩形的性质得到，继而得到，进而可证明是等边三角形，即可得到，进而求得，，即可求得矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵在矩形中， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，由（1）知， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，即点是矩形对角线的交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，，， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·重庆大足·阶段练习）如图，在矩形中，E在延长线上，连接，F在上，连接、， 且． (1)如果，，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1)8 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质证明 【分析】（1）求出，，证明出是等边三角形，即可得到； （2）如图所示，连接，求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵矩形， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴； （2）如图所示，连接， ∵矩形，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵矩形 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25九年级下·山东淄博·阶段练习）（1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明； （2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）；（4）条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．结论： 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明 【分析】（1）过作于点，由矩形得到，且互相平分，，然后证明出，得到，进而证明即可； （2）过作于点，同理可证，即可证明； （3）连接和，交于O，由正方形的性质得出，，由三角形面积关系得出，证出，即可得出结论； （4）由图1、图2、图3的特性求解即可． 【详解】解：（1）证明：过作于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴，且互相平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即． （2）结论： 证明：过作于点，如图： 同理可证， ∵， ∴ ∴，即； （3）解：； 连接和，交于O，如图3所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵于点F，于点G， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）由图1、图2、图3的特性可得，如图①， 条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高． 结论：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的和差等知识点，适当添加辅助线是解决问题的关键． 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 例题：（2024·福建三明·二模）如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】连接，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；证明，推出，设，推出，，判断④即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴ 由题意得： ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点是的中点 即：，故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证 ∴，故③正确； ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则：， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论中： ①四边形是矩形； ②当时，点是的中点； ③当，时，线段长度的最大值为2； ④当点在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定，平行线的性质等等，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③；不平行，则，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴四边形是矩形，故①正确； 当点E在上时， ∵分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； 当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误； 由②可知，， ∵点E沿四边形的边运动至点停止，且 ∴的最大值为4，此时点E与点D重合， ∴的最大值为2，故③正确； 当点在边上， ∵不平行， ∴， ∴不可能是等边三角形，故④错误； ∴正确的有①③，共2个， 故选；B． 2.如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（    ）    A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证，得出，，判断①；证，得出，，判断③；证四边形是平行四边形，得出，判断②；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；判断④；即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； 在和中， ， ， ，，故③正确； ，即， ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形；故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 类型六、证明四边形是矩形 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，点D为的斜边的延长线上一点，以为边向上作等边，过点E作交的延长线于点F，若，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，先由等边三角形的性质可得，再证明四边形是平行四边形．最后由矩形的判定证明即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴是直角三角形，， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式训练】 1．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，点E是边的中点，延长，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，再证明四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵点D为的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴平行四边形为矩形． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，的对角线，相交于点，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法． （1）由四边形是平行四边形易知，，即可得出结论； （2）证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质证出，根据矩形的判定可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，即， 在与中， ， （2）证明：， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，即， 平行四边形为矩形． 3．（2025八年级下·广西·专题练习）已知：如图，在中，，，垂足为，是外角的平分线，，垂足为，连接交于． (1)求证：四边形为矩形． (2)①判断四边形的形状，并证明你的结论． ②线段与有怎样的关系？直接写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是平行四边形，见解析；②，，理由见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形和矩形的各种判定方法是解题关键． （1）根据，，得，根据等腰三角形的三线合一，得，根据角平分线的定义，得，推出，即可证明四边形为矩形； （2）①根据四边形为矩形，得，，根据等腰三角形三线合一，得，推出，即可证明；②根据四边形为矩形，得，根据四边形是平行四边形，得，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，，，， ∴，平分， ∴， ∵是外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． （2）解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②，，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分，，， ∴． 在直角三角形中，由勾股定理得：． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，利用上述结论求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)44 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得：，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：点D，E分别是的中点， ． ， ， ． 同理可得：，， ， 四边形为矩形． （2）解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可知，， ， ． 3．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查矩形的判定以及勾股定理和相似三角形等内容．熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）先得出，进一步进行等量代换得出即可证明四边形是矩形； （2）①由四边形是矩形以及勾股定理得出，即可根据得出的长； ②先证明，得出，进一步由勾股定理，得，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，平分， ∵平分， 即 ∴四边形是矩形． （2）解：① ， 又∵O是的中点， , ． ∵四边形是矩形． ． 在中，由勾股定理，得: ∵O是的中点． ② ， ， 解得 在 中，由勾股定理，得： 解得 ． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度、直角三角形的两个锐角互余、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（江西省景德镇市2025届年九年级第一次质量检测卷数学）如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】解：∵， D为中点， ， ， ． 故选：A． 3．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行内错角相等、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 4．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故A符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； 由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意． 故选D． 5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，故①正确；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，，故②错误；由于，得到，故③正确；由是等腰直角三角形得到，求得，过G作于M，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴设 ∵， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过G作于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】根据矩形性质，求得，利用面积公式解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，矩形的面积，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，对角线， ∴， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点．已知，的面积为，则的长为 ． 【答案】1.5// 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，得出的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，为矩形的对角线的垂直平分线， ∴，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 9．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则长度的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键． 连接，根据矩形的性质可得，则，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】如图，连接，   ∵，，， 四边形是矩形， ， ∵点P是的中点， ∴点P是和的交点， ∵，，， ， ∵， 当时，取得最小值， ， ． ． 即的最小值是． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）矩形中，平分，，则下列结论 ①； ②是等腰三角形； ③； ④， 其中正确结论的序号为 【答案】①②④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形的性质和角平分线的定义得，，进而得，则为等边三角形，从而得，由此可求出的度数，进而可对①进行判断；由为等边三角形得，证为等腰直角三角形得，由此可对②进行判断；先求出，进而得，则，由此可得的度数，进而可对③进行判断；由可对④进行判断． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 平分， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ，故①正确，符合题意； ∵为等边三角形， ， 又，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰三角形，故②正确，符合题意； ，， ， ，， ， ，故③错误，不符合题意； ， ，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 三、解答题 11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)矩形的面积为65 【知识点】利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了矩形的性质，结合了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）证即可，推出，即可证明； （2）连接，由（1），设，在中，列式求解求出，即可解决． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （2）连接， 由（1）知， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即， ∵， ∴ ∴． 12．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）已知：如图，在中，，分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形为矩形，理由见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定即可得证； （2）补充条件为，结合点为的中点，利用三线合一性质可得，由（1）得四边形为平行四边形，利用矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． （2）解：当时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ，点为的中点， ， ， 由（1）得，四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折痕交于点E，交于点F，与对角线交于点O，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由矩形的性质得到，又由已知即可证明； （2）连接，先证明，再证明为等边三角形，得到，在中，，则，由勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点A与点C对折重合， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】此题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明和为等边三角形是解题的关键． 14．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定和性质． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质可知，然后可求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，点F是的中点， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴． 15．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)的值为． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】（）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到求得，得到，根据矩形的判定定理得到结论； （）根据平行四边形的性质得到，求得，，推出 ，得到，由点是边上的中点，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得到，再由等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 16．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题、根据等角对等边证明边相等、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质易证，即得出； （2）连接，易证，得出．设，则，，再根据勾股定理列方程求解即可； （3）分类讨论：①当点F在B点上方时和②当点F在B点下方时，分别根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图． ∵点E是边的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 设，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分类讨论：①当点F在B点上方时，如图， 设，则， 根据（1）可得， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当点F在B点下方时，如图， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上可知的长为或． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程求解是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 矩形的性质和判定的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用矩形的性质求角度 1 类型二、利用矩形的性质求线段长 4 类型三、利用矩形的性质求面积 9 类型四、利用矩形的性质证明 12 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 19 类型六、证明四边形是矩形 24 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 28 压轴能力测评（16题） 34 解题知识必备 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 压轴题型讲练 类型一、利用矩形的性质求角度 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，且，则为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则 ． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 类型二、利用矩形的性质求线段长 例题：（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为 ． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在长方形中，，，，点M是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点A的对称点为，当，M，C三点在同一直线上时，的长为 ． 类型三、利用矩形的性质求面积 例题：（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积，则 ． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是 ．    类型四、利用矩形的性质证明 例题：（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在矩形中，为等腰直角三角形， (1)求证：； (2)若矩形的周长为，，求的面积． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，． (1)求证； (2)若，求矩形的面积． 2．（24-25八年级下·重庆大足·阶段练习）如图，在矩形中，E在延长线上，连接，F在上，连接、， 且． (1)如果，，求的长； (2)如果，求证：． 3．（24-25九年级下·山东淄博·阶段练习）（1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明； （2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 例题：（2024·福建三明·二模）如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论中： ①四边形是矩形； ②当时，点是的中点； ③当，时，线段长度的最大值为2； ④当点在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（    ）    A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 类型六、证明四边形是矩形 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，点D为的斜边的延长线上一点，以为边向上作等边，过点E作交的延长线于点F，若，求证：四边形是矩形． 【变式训练】 1．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，点E是边的中点，延长，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为矩形． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，的对角线，相交于点，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 3．（2025八年级下·广西·专题练习）已知：如图，在中，，，垂足为，是外角的平分线，，垂足为，连接交于． (1)求证：四边形为矩形． (2)①判断四边形的形状，并证明你的结论． ②线段与有怎样的关系？直接写出你的结论． 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 2．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，利用上述结论求的面积． 3．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．（江西省景德镇市2025届年九年级第一次质量检测卷数学）如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 6．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 7．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点．已知，的面积为，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 9．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则长度的最小值是 ． 10．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）矩形中，平分，，则下列结论 ①； ②是等腰三角形； ③； ④， 其中正确结论的序号为 三、解答题 11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 12．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）已知：如图，在中，，分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折痕交于点E，交于点F，与对角线交于点O，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 15．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的值． 16．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$