精品解析：2025年重庆市第八中学校 九年级中考三模数学试题

数学强化练习（三） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 四个有理数，1，0，，其中最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是． 故选A． 2. 书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据各个图形的特征逐项判断即可． 【详解】解：用小篆书写的“志存高远”四个字， 其中可以看作是轴对称图形的是 故选：C． 3. 单项式的次数是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数．单项式的次数是指所有字母的指数之和．直接利用单项式的次数的定义得出答案． 【详解】解：单项式的次数是． 故选：D． 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，判断判别式的符号，即可得到方程根的情况． 【详解】解：， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：B． 5. 下列关于平行四边形的说法中错误的是（ ） A. 平行四边形的对角相等，邻角互补． B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考基础题．根据平行四边形的判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A. 平行四边形的对角相等，正确；根据四边形的内角和为360度结合对角相等，可得邻角互补，正确，故本选项不符合题意； B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题错误错误，故本选项符合题意； C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形正确，由题意可以证明两组对边分别平行，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，根据平行四边形的判定方法，可得结论，故本选项不符合题意． 故选：B 6. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似图形的性质可得，据此可得，即点的坐标是． 【详解】解：∵线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标是， 故选A． 7. 估算的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴即， 故选：C． 8. 在中，直径于点，为弧的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关定理，作出辅助线，先证明，得出，根据为的直径，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 故选：C． 9. 在正方形中，、分别为边、上两点，连接、，，延长交的延长线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，证明A、E、C、F四点共圆，得出，证明，得出，即可得出，设，则，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴A、E、C、F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10. 已知代数式，其中，且为整数，满足且均为整数．则下列说法正确的共有几个（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的代数式共有10个； ③若，则原式的结果可能为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，分式的运算，把2分解为，，可判断①，由，，有10种排列方式，故可判断②；将分式变形为可判断③． 【详解】解：①当时，整数2可分解为，，， 所以，或，故①错误； ②整数2分解为，，有4种排列方式，即有4个代数式； 当整数2分解为时，有6种排列方式，即有6个代数式； 故有10个代数式，故②正确； ③， ∴对应的， ∴，且所有互异 故③正确， 所以，正确的结论有2个， 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某种植物果实的质量只有0.0076克，将0.0076用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字后并把牌放回，再重复这样的步骤，得到数字a，b，则的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中的有6种， ∴的概率是． 故答案为： 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，，是函数与的图象的两个交点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，则四边形的面积为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义．根据题意平行四边形的对角线将四边形分为四个小三角形即可求出面积． 【详解】解：根据正比例函数和反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故答案为：2． 14. 若关于的不等式组有解且至多有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 不等式组有解且至多4个整数解， ， 解得：， 分式方程去分母得：， 解得：， 分式方程的解为整数， 或2或4， 则满足题意整数之和为． 故答案为：6 15. 如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧的中点，若，，则的半径为________；的面积为________． 【答案】 ①. 5 ②. 15 【解析】 【分析】根据，得出，过点作，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理结合，求出，根据圆周角定理得出，即可得，，从而得，求出，即可得；连接交于点，根据点为弧的中点，得出，得出，即可得，求出，，根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 过点作， 则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 连接交于点， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：5；15． 【点睛】该题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点． 16. 对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“临风数”．例如，四位数2367，∵，∴2367是一个“临风数”．若一个四位数是“临风数”，则的值为________；若一个四位数是“临风数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为________． 【答案】 ①. 3 ②. 10917 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的整式的加减运算．根据“临风数”的定义可得，解方程求出的值即可；根据“临风数”定义得，得出是4的倍数，是5的倍数，设，分，，讨论求出最大数和最小数即可． 【详解】解：对于四位数有：， ∵， ∴中，，， ∴， 解得：； ∵ ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴是4的倍数，是5的倍数， ∵，， ∴； 设， 则当时，； 当时，，； 当时，； 要使四位自然数最大，则，都要尽可能地大，且能被7整除， 当，时，， 此时，此时不成立； ， 此时，此时不成立； ， 此时，此时成立； ∴满足条件的最大数为：9738； 要使四位自然数最小，则，都要尽可能地小，且能被7整除， 当，时， 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 若， 此时，此时不成立； 当，时， 若， 此时，此时成立； ∴满足条件的最小数是1179， ∴满足条件的四位数最大值与最小值的和为， 故答案为：10917． 三、解答题：（本大题8个小题，17题8分，18题8分，其他每题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式运用平方差公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并同类项即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（空集）”得到不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：． 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形是菱形． 证明：由知， ． ， 四边形是平行四边形（ ② ） 是斜边上的中线， ③ ． 平行四边形是菱形． 请进一步思考：若，则四边形是 ④ ． 【答案】（1）见解析； （2）(同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，，正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图作、菱形的判定、正方形的判定． 利用尺规作图过点作即可； 根据同位角相等两直线平行可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形是菱形； 若，可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据有一个角是直角的菱形是正方形，可证四边形是正方形． 【小问1详解】 解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点， 以点为圆心，为半径，交前弧于点， 连接交于点， 即为所求； 【小问2详解】 证明：由知， (同位角相等，两直线平行)， ， 四边形是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)， 是斜边上的中线， ， 平行四边形是菱形； 若， 则, ， 点是的中点， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：(同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，，正方形． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 今年劳动节，学校为了普及各种劳动小知识，提高劳动意识，举办了“爱劳动，爱生活”的知识竞赛．某校初一年级有400人、初二年级有800人，现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下： 初一： 68 88 100 100 79 94 89 85 100 88 100 90 98 97 77 94 96 100 92 67 初二： 69 97 96 89 98 100 99 100 95 100 99 69 97 100 99 94 79 99 98 79 根据上述数据，将下列表格补充完成． 整理、描述数据： 分数段 初一人数 2 2 4 12 初二人数 2 2 15 分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如表： 年级 平均数 中位数 满分率 初一 90.1 93 初二 928 得出结论： （1）________；________；________； （2）你认为哪个年级掌握劳动知识的总体水平较好，说明理由； （3）请你估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共多少人． 【答案】（1）1，97.5，25 （2）初二年级掌握劳动知识的总体水平较好，理由见解析 （3）估计该校两个年级在本次测试中可以得到满分的人数共260人 【解析】 【分析】本题考查平均数和中位数，以及利用样本估计总体数量．熟练掌握中位数的确定方法，以及利用平均数和中位数作决策，是解题的关键． （1）用总人数减去一、二、四三个分数段的人数，求出a的值，将初二的学生成绩从小到大进行排序，确定b的值，利用初一成绩为满分的学生人数除以总人数，求出c的值； （2）利用平均数和中位数进行判断即可； （3）分别用各自年级的总人数乘以各自年级的满分率，再将积相加即可得解． 【小问1详解】 解：； 将初二的学生成绩从小到大排列：69，69，79，79，89，94，95，96，97，97，98，98，99，99，99，99，100，100，100，100， ∴， 初一成绩满分的学生人数为5人， ∴， ∴； 故答案为：1，97.5，25； 【小问2详解】 解：初二年级掌握劳动知识的总体水平较好，理由如下： 初二年级成绩的平均数高于初一年级，求中位数高一初一年级，说明高分段的学生数量高于初一年级，所以初二年级掌握劳动知识的总体水平较好． 【小问3详解】 解：人； 答：估计该校两个年级在本次测试中可以得到满分的人数共260人． 21. 为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． （1）请问学校2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ （2）3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 【答案】（1）学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆 （2）九折 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程． （1）由题意：用4000元全部购进A种盆栽的数量比用4000元全部购进B种盆栽的数量少100盆，列出分式方程，解方程即可； （2）根据“学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设B种盆栽的单价为x元，则A种盆栽的单价为元，根据题意，A的数量比B少100盆，则： ， 解得， 故B的单价为20元，A的单价为40元； A的数量：盆，B的数量：盆； 答：学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆； 【小问2详解】 解：3月份A的数量为盆，B的数量为盆， 设A打d折，则A的单价为元，总费用为元， 根据总费用关系得：， 整理得：， 解得：， 所以，种盆栽打了九折． 22. 如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理： （1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称性可得当点P在上时，； 综上所述，； 【小问2详解】 解：列表如下： … 1 2 … … … 1 6 … … … 1 2 … 12 6 … 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大． 【小问3详解】 解：联立得，此时，原方程无解； 联立得，解得或 由函数图象可知，当时，． 23. 今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门出发去参观学校的津之南美术馆．如图，小南选择路线1：，小开选择路线．经勘测，A，D，E三点共线，且点，点在点的北偏东方向上，点在点的正西方向，且在点的北偏西方向；点在点的正北方向，且在点的正东方向，所有点A，B，C，M，D，E都在同一平面内．测量得知，点恰好为中点，米，米． （1）求A，E两地之间的距离（结果保留根号）； （2）已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M（时间精确到0.1）？（参考数据：） 【答案】（1）米 （2）小开先到达M 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质： （1）作于N，交于H，先证四边形是矩形，推出．设，则，利用锐角三角函数解和求出x的值，进而求出，再解即可； （2）通过解直角三角形分别计算出和的长度，再结合二人速度求出二人所用时间，比较大小即可． 【小问1详解】 解：如图，作于N，交于H， 由题意知， ， ， 四边形是矩形， ． 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得，即， ， ， 在中，， A，E两地之间的距离为米； 【小问2详解】 解：在中，， 由（1）知四边形是矩形， ， 在等腰中，， ， ， （米）， （米）， 小南所用时间为：（分钟）， 小开所用时间为：（分钟）， ， 小开先到达M． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，作，垂足为点，点是轴上一动点，连接，．当周长取得最大值时，求的最大值以及点的坐标； （3）在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 【答案】（1） （2）， （3）①在直线上方：；②在直线下方： 【解析】 【分析】（1）令，先求出，得，由，可求出，将代入即可求解； （2）令，求得，求出直线的解析式，得，进而可得，，由轴，可推出轴，得， 进而得，得的周长， 设，则，得，从而得出有最大值时的周长最大，进而可求坐标； 作点关于轴对称点，连接，，求得，，得出当共线时，，此时有最大值 ； （3）由题意推出新抛物线是将向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到的，得， 分两种情况：①当在直线上方时，， ②当在直线下方时，，结合图像分别求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， ， ， ， ， ， 将代入得， 解得， 抛物线的表达式； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， 的周长， 有最大值，周长最大， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时的周长最大， ， ， 作点关于轴对称点，连接，， ，， ， 中，， 当共线时，， 此时有最大值 ； 【小问3详解】 解：由（2）知，，， ， 设直线为， 代入，， 得， ， ， 由题意可知，新抛物线是将即向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到的， ， ①当直线上方时：如图， ， ， 设直线为， 代入， 得， ， ， ， ，（舍去）， 的横坐标为； ②当在直线下方时：如图， ， 设射线与直线交于， ， 设， ， ， ， ， 设直线为， 代入， ， 得， ， ， ， （舍去），， 的横坐标为； 综上所述，当时，符合条件的点的横坐标为或 ． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 25. 如图，在等边中，点为边上一点，点为边上一点，． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，延长至点，，用等式表示、和之间的数量关系，并证明； （3）点从点运动到点的过程中，点为射线上一点，，连接，若为线段上一点，点关于直线的对称点为点，直线与直线交与点，当取得最小值时，，直接写出此时的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，从而可得，证明，由相似三角形的性质求解即可； （2）作交于，在上取一点，使得，令交于，则，，，证明四边形为平行四边形，得出，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，从而可得，即，即可得解； （3）作于，证明，得出，即，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时点与点重合，点与点重合，再分两种情况：当点在线段上时，连接，作于，于；当点在的延长线上时；分别利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，作交于，在上取一点，使得，令交于， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：如图：作于， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时点与点重合，点与点重合，如图所示： ∵为线段上一点，点关于直线的对称点为点，直线与直线交与点， ∴当点在线段上时，连接，作于，于，如图所示： 设，则，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴点在的角平分线上，点在的角平分线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上时，则， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质、角平分线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学强化练习（三） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 四个有理数，1，0，，其中最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 单项式的次数是（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 下列关于平行四边形的说法中错误的是（ ） A. 平行四边形的对角相等，邻角互补． B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 6. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 估算的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 在中，直径于点，为弧的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在正方形中，、分别为边、上两点，连接、，，延长交的延长线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知代数式，其中，且为整数，满足且均为整数．则下列说法正确的共有几个（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的代数式共有10个； ③若，则原式结果可能为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某种植物果实的质量只有0.0076克，将0.0076用科学记数法表示为________． 12. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字后并把牌放回，再重复这样的步骤，得到数字a，b，则的概率是________． 13. 如图，，是函数与的图象的两个交点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，则四边形的面积为_____________． 14. 若关于的不等式组有解且至多有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 15. 如图，是直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧的中点，若，，则的半径为________；的面积为________． 16. 对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“临风数”．例如，四位数2367，∵，∴2367是一个“临风数”．若一个四位数是“临风数”，则的值为________；若一个四位数是“临风数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为________． 三、解答题：（本大题8个小题，17题8分，18题8分，其他每题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）解不等式组： 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形是菱形． 证明：由知， ． ， 四边形是平行四边形（ ② ） 是斜边上的中线， ③ ． 平行四边形是菱形． 请进一步思考：若，则四边形是 ④ ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 今年劳动节，学校为了普及各种劳动小知识，提高劳动意识，举办了“爱劳动，爱生活”的知识竞赛．某校初一年级有400人、初二年级有800人，现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下： 初一： 68 88 100 100 79 94 89 85 100 88 100 90 98 97 77 94 96 100 92 67 初二： 69 97 96 89 98 100 99 100 95 100 99 69 97 100 99 94 79 99 98 79 根据上述数据，将下列表格补充完成． 整理、描述数据： 分数段 初一人数 2 2 4 12 初二人数 2 2 15 分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如表： 年级 平均数 中位数 满分率 初一 90.1 93 初二 92.8 得出结论： （1）________；________；________； （2）你认为哪个年级掌握劳动知识的总体水平较好，说明理由； （3）请你估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分人数共多少人． 21. 为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． （1）请问学校2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ （2）3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 22. 如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门出发去参观学校的津之南美术馆．如图，小南选择路线1：，小开选择路线．经勘测，A，D，E三点共线，且点，点在点的北偏东方向上，点在点的正西方向，且在点的北偏西方向；点在点的正北方向，且在点的正东方向，所有点A，B，C，M，D，E都在同一平面内．测量得知，点恰好为中点，米，米． （1）求A，E两地之间距离（结果保留根号）； （2）已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M（时间精确到0.1）？（参考数据：） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，作，垂足为点，点是轴上一动点，连接，．当周长取得最大值时，求的最大值以及点的坐标； （3）在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 25. 如图，在等边中，点为边上一点，点为边上一点，． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，延长至点，，用等式表示、和之间的数量关系，并证明； （3）点从点运动到点的过程中，点为射线上一点，，连接，若为线段上一点，点关于直线的对称点为点，直线与直线交与点，当取得最小值时，，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $