期末押题卷（一）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

期末押题卷（苏科版）（一） 七年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024苏科版七年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·重庆·一模）下列消防安全标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）若，且，则的值可能是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知长方形P的长为，宽为，面积为，长方 形Q的长为，宽为，面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由a的值确定 5．（23-24八年级下·福建漳州·期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（   ） A．买两件等值的商品可减100元，再打两折，最后不到900元 B．买两件等值的商品可打两折，再减100元，最后不到900元 C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 7．（24-25八年级上·山西运城·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广西来宾·一模）如图，点、分别在长方形纸片的、边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 10．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，中，，将绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习） ． 12．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为 米． 13．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，，将沿直线向右平移2.5个单位得到，连接，，则有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结有 ．（填序号即可） 14．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是 ，的值是 ． 15．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）若代数式是一个完全平方式，则实数 ． 16．（24-25九年级下·福建·期中）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间）如图所示，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，现将报警时间划分为4段，分别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，在自动刹车前汽车以速度（米/秒）匀速运动，通过大数据统计分析得到如表一信息其中系数k随地面混滑程度等路面情况而变化， 阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动 时间 秒 秒 距离 米 米 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在 米/秒以下． 17．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）本周末天气晴朗，小敏和小丽两个家庭共14人相约外出旅游，决定在某特色民宿住宿一晚，该民宿有单人间（可住一人），标间（可住两人），三人间三种房型，她们准备每种房型至少选一间，共预订7间房，如果每个房间都住满，订房方案有 种． 18．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算(1)；(2)． （3）先化简，再求值：，其中． 20．（2025·江苏徐州·一模）解方程组或不等式组： (1) (2) 21．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出向下平移4个单位的； (3)画出，使与关于点成中心对称． 22．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【知识生成】 将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a，b的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得．      （1）若，，则该大正方形的边长为________； 【知识运用】（2）两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为m，正方形边长记为n，点B，C，G在一条直线上，点M为的中点，若，，求图中阴影部分的面积； 【知识拓展】（3）如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． ①利用多项式的乘法法则，证明等式成立； ②已知，，请直接写出的值． 24．（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 25．（24-25七年级下·江苏·期中）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2．(1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 26．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）【综合实践】——折纸中的数学    某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】（2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由；②若，求的度数． 【类别迁移】（3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（苏科版）（一） 七年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024苏科版七年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·重庆·一模）下列消防安全标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 、【详解】解：A、是轴对称图形，则此项符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意；C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意；故选：A． 2．（2025·江苏宿迁·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意；故选：D． 3．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）若，且，则的值可能是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵，且∴，∵，故A符合，故选：A． 4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知长方形P的长为，宽为，面积为，长方 形Q的长为，宽为，面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由a的值确定 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ∴，∴．故选：A． 5．（23-24八年级下·福建漳州·期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立， 所以，正确的步骤是 假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设； ，这与三角形内角和为相矛盾，不成立； 所以一个三角形中不能有两个直角；正确顺序的序号为：，故选：． 6．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（   ） A．买两件等值的商品可减100元，再打两折，最后不到900元 B．买两件等值的商品可打两折，再减100元，最后不到900元 C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 【答案】C 【详解】解：∵小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为， ∴由得出两件商品减100元，以及由得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元．故选：C． 7．（24-25八年级上·山西运城·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，可得．故选：C． 8．（2025·广西来宾·一模）如图，点、分别在长方形纸片的、边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，则，由折叠得， 由折叠可得，，∴，故选：． 9．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解，∴，∴； 得：， ∵，∴，∴，∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个，故选：B． 10．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，中，，将绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设与相交于点，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ， ， 在中，， ，故D选项正确，该选项符合题意； 设， ， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定成立，故B选项不正确，该选项不符合题意； ，， 不一定成立，故A选项不正确，该选项不符合题意； 将绕点顺时针旋转得到，， ，故C选项不正确，该选项不符合题意；故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习） ． 【答案】 【详解】解：故答案为： 12．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为 米． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 13．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，，将沿直线向右平移2.5个单位得到，连接，，则有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结有 ．（填序号即可） 【答案】①②③④ 【详解】解：如图，①经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，则，，成立，故①②正确；③经过平移，对应角相等，则成立，故③正确； 经过平移，对应点所连的线段平行，则，所以，故成立，故④正确．故答案为：①②③④ 14．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 4 5 【详解】解：将和分别代入，得，解得：， 的值是4，的值是5．故答案为：4；5． 15．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）若代数式是一个完全平方式，则实数 ． 【答案】或7 【详解】解：， 则，解得：或；故答案为：或7． 16．（24-25九年级下·福建·期中）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间）如图所示，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，现将报警时间划分为4段，分别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，在自动刹车前汽车以速度（米/秒）匀速运动，通过大数据统计分析得到如表一信息其中系数k随地面混滑程度等路面情况而变化， 阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动 时间 秒 秒 距离 米 米 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在 米/秒以下． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴报警距离， ∵汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米， 即对于任意，均要求，∴恒成立，即恒成立， ∵，∴，化简整理，得，解得：，故答案为：． 17．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）本周末天气晴朗，小敏和小丽两个家庭共14人相约外出旅游，决定在某特色民宿住宿一晚，该民宿有单人间（可住一人），标间（可住两人），三人间三种房型，她们准备每种房型至少选一间，共预订7间房，如果每个房间都住满，订房方案有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了三元一次方程组应用，不等式的整数解的问题，正确理解题意是解题的关键． 设单人间、标间、三人间的数量分别为，由题意得：，然后分类讨论解方程组即可． 【详解】解：设单人间、标间、三人间的数量分别为，由题意得：化简得，， 当，，则，∴订1间单人间，5间标间，1间三人间； 当，，则，∴订2间单人间，3间标间，2间三人间； 当，，则，∴订3间单人间，1间标间，3间三人间， ∴订房方案有三种，故答案为：3． 18．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．∴ ，，，，、、共线， ，， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ，，∴的最小值为．故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算(1)；(2)． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)(2)（3）， 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解： , 当时，原式． 20．（2025·江苏徐州·一模）解方程组或不等式组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，②①得：，把代入②得：， 方程组的解为； （2）解：化解可得 解①得：，解②得：，所以不等式组的解集为 21．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出向下平移4个单位的； (3)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解 【详解】（1）解：如图所示； 为所求作； （2）解：如图所示； 为所求作； （3）解：如图所示． 为所求作． 22．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． (2)该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆∶购进A型汽车11辆，B型汽车4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知：解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出：解得： ∵m为正整数，∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆，此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆，此时利润为：（万元） 综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元． 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【知识生成】 将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a，b的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得．      （1）若，，则该大正方形的边长为________； 【知识运用】（2）两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为m，正方形边长记为n，点B，C，G在一条直线上，点M为的中点，若，，求图中阴影部分的面积； 【知识拓展】（3）如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． ①利用多项式的乘法法则，证明等式成立； ②已知，，请直接写出的值． 【答案】（1）8；（2）；（3）①见解析， 【详解】解：（1）∵，， ∴∴；故答案为： （2）∵点M为的中点，，∴， 阴影面积 （3）① ； ②． 24．（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得：“伴随方程”为： 将点代入得，将点代入得， 将点代入得，将点代入得， ∴点，是数对的“伴随数对”，故答案为：； （2）解：由题意得，，解得：， ∴数对的“伴随方程”为：； （3）解：解不等式组，由①得，，由②得，， ∴不等式组的解集为： ∵n的最大值是t， ∴，则，∴， ∵关于x的不等式组恰好有2024个整数解， ∴这2024个整数解为， ∴，解得：． 25．（24-25七年级下·江苏·期中）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2．(1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【答案】(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数；(2)证明见解析 【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数，∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； ∵，且112是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； （2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数， ∴经过有限步后奇数一定会变为偶数，若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数）， 当（k为整数），则， ，， ∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当（k为整数），则， ，，， ，， 对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设（p为整数），则， ，，， 同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， ∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，∴假设不成立，∴原结论正确． 26．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）【综合实践】——折纸中的数学    某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】（2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由；②若，求的度数． 【类别迁移】（3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②；（3）见解析． 【详解】解：（1）．理由如下：由折叠可得，， ∴，∴，∴； （2）①．理由如下：如图，连接．       由正方形可知，，∴． ∵，∴，∴，即． ②如图，过点作，∴． ∵纸片是正方形，∴．∵，∴， ∴，∴， ∴． （3）证明：∵，∴． ∵纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处， ∴，，∴，∴． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$