2 2.4积化和差与和差化积公式同步练习-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第四章　§2　2.4积化和差与和差化积公式 一、选择题 1．计算sin 105°cos 75°的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 2．利用公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，可得：sin αcos β＝.则化简sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是(　　) A． B． C． D． 3．函数y＝sincos x的最大值为(　　) A． B． C．1 D． 4．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为(　　) A．0 B． C． D．1 5．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于(　　) A．1－cos α B．1－sin α C．1＋cos α D．1＋sin α 6．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 7．函数f(x)＝2sinsin的最大值是(　　) A． B． C．－ D．－ 8．(多选)下列四个关系式中，不正确的是(　　) A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ 9．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于(　　) A．－ B．－ C． D． 10．已知△ABC是锐角三角形，P＝sin A＋sin B，Q＝cos A＋cos B，则(　　) A．P<Q B．P>Q C．P＝Q D．P与Q的大小不能确定 二、填空题 11．sin 105°＋sin 15°＝_________. 12．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝_________. 13．sin·cos化为和差的结果是_________. 14．函数y＝coscos的最大值是_________. 15．＋＝_________. 三、解答题 16．在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围． 17．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)． (1)将f(x)表示成cos x的多项式； (2)求f(x)的最小值． 18．求下列各式的值： (1)cos＋cos－2sincos； (2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°. 第四章　§2　2.4积化和差与和差化积公式 一、选择题 1．B 　sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝. 2．A 　由sin αcos β＝可得，sin 20°cos 70°＝[sin(20°＋70°)＋sin(20°－70°)]＝sin 90°＋sin(－50°)，sin 10°sin 50°＝sin 10°sin(90°－50°)＝sin 10°cos 40°＝＝sin 50°＋sin(－30°)，所以sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝sin 90°＋sin(－50°)＋sin 50°＋sin(－30°)＝sin 90°－sin 50°＋sin 50°－sin 30°＝－＝，故选A． 3．B 　∵y＝sincos x ＝ ＝ ＝sin－. ∴函数y取最大值为. 4．A 原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0. 5．A f(x)＝2sinsin＝－[cos α－cos(x－α)]＝cos(x－α)－cos α.当cos(x－α)＝1时，f(x)取得最大值1－cos α. 6．C 由已知得cos2αcos2β－sin2αsin2β＝，∴cos2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝，即cos2α－sin2β＝. 7．A 　f(x)＝2sinsin ＝－ ＝－cos＋cos ＝cos－. f(x)max＝1－＝. 8．ABCD 　A错误，右边应是2sin 4θcos θ.B错误，右边应是2sin 4θsin θ.C错误，右边应是－2cos 4θsin θ.D错误，左边为异名三角函数，应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin＝2sincos. 9．D 　∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.∴cos β－cos α>0，∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y＝cos x是减函数．∴β<α，∴0<α－β<π，由原式可知：2sincos＝，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝. 10．B P－Q＝(sin A＋sin B)－(cos A＋cos B)＝2sin·cos－2cos·cos＝2cos，由于△ABC是锐角三角形，所以A＋B＝180°－C>90°，所以>45°，sin>cos，0<A，B<90°，所以－45°<<45°，cos>0，综上，P－Q>0，即P>Q，故选B． 二、填空题 11．　 　sin 105°＋sin 15°＝2sincos＝2sin 60°cos 45°＝2××＝. 12．　 　原式＝cos 40°＋cos 80°＋cos 60°－cos 20°＝2cos 60°·cos(－20°)＋cos 60°－cos 20°＝cos 60°＝. 13．　 cos(α＋β)＋ sin(α－β) 　原式＝＝ cos(α＋β)＋ sin(α－β)． 14．　 　由题意知，y＝＝＝－cos 2x，因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝. 15．　 　＋ ＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝＝2cos 30°＝. 三、解答题 16． 　由题意，得cos Asin C＝[sin(A＋C)－ sin(A－C)]＝[sin(π－B)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)． ∵B＝30°，∴－150°＜A－C＜150°， ∴－1≤sin(A－C)≤1， ∴－≤－sin(A－C)≤. ∴cos Asin C的取值范围是. 17． 　(1)f(x)＝＝ ＝2coscos＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1. (2)∵f(x)＝22－且－1<cos x<1， ∴当cos x＝－时，f(x)取最小值－. 18． 　(1)cos＋cos－2sincos ＝2cos·cos－cos ＝2coscos－cos ＝cos－cos＝0. (2)sin 138°－cos12°＋sin 54° ＝sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54° ＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54° ＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18° ＝ ＝ ＝ ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$