专题01 一元一次不等式（考点清单，10考点梳理+12题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题01 一元一次不等式 （考点清单，10考点梳理+12题型解读） 清单01 不等式的概念 1.用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 清单02 不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 清单03 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 清单04 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 清单05 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 清单06 由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 清单07 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 清单08 一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 清单09 一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 清单10 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要 【考点题型一】不等式的性质（） 【例1】（23-24六年级下·上海·期末）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A. 由可得，成立， B.当，时，不能得到，原式子不成立； C.由，，不能得到，原式子不成立； D.由，，不能得到，原式子不成立； 故选A． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，熟知不等式的性质是解题的关键： 不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】取，，则， ，， ，故选项A不成立． ，但未说明a的符号，当 时，不等式 ，故选项B不一定成立． 将不等式 两边同时乘以 得到，然后两边同时加 5，得．故选项C一定成立． 当， 时，，故选项D不一定成立． 故选：C． 【变式1-2】（22-23六年级下·上海杨浦·期末）比较大小：如，那么 ．（填“＜”或“＞”） 【答案】 【分析】根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；熟练掌握不等式的性质是关键. 【变式1-3】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如果，且，那么比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【考点题型二】一元一次不等式的定义（） 【例2】（21-22六年级下·上海普陀·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项不符合题意； B、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项符合题意； D、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列为一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数在分母位置，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 【变式2-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴， 故答案为：4． 【考点题型三】求一元一次不等式的解集（） 【例3】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，把不等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴不等式两边同时除以得：， 故答案为：． 【变式3-1】（22-23六年级下·上海闵行·期末）已知不大于，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式，依据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：根据题意得， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数为化为1，得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式3-2】（23-24六年级下·上海宝山·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式的步骤对所给不等式进行求解即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式3-3】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）（1）解方程：；           （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”，进行计算即可； （2）根据“不等式的性质”进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【考点题型四】在数轴上表示不等式的解集（） 【例4】（22-23六年级下·上海松江·期中）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．      【答案】，见解析 【分析】根据不等式的性质，解不等式的方法即可求解． 【详解】解：去分母，不等式两边同时乘以， 去括号， 移项，合并同类项， 系数化为，， 解集在数轴上表示，如图所示，      【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，掌握不等式的性质，解集在数轴上表示的方法是解题的关键． 【变式4-1】（22-23六年级下·上海宝山·期末）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答； 【详解】解： 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【变式4-2】（22-23六年级下·上海闵行·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】，数轴见解析 【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答，①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1，再在数轴上表示出来． 【详解】解：， 去括号得：， 解得：， 所以，原不等式的解集是， 数轴表示如下：    【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中． 【变式4-3】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】，数轴见详解 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：去括号得： 移项、合并同类项，得： 系数化为1，得：． 数轴表示如下：    【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【考点题型五】求一元一次不等式的整数解（） 【例5】（20-21六年级下·上海·期中）不等式的最小整数解是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出不等式解集，即可求解． 【详解】解： 解得： 所以不等式的最小整数解是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式，求出解集是解决本题的关键． 【变式5-1】（20-21六年级下·上海虹口·期中）求不等式的非负整数解． 【答案】非负整数解是0，1，2 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的非负整数解，最后得出答案即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 所以不等式的非负整数解是0，1，2，共3个． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键． 【变式5-2】（23-24七年级上·上海闵行·期中）解不等式：，并求出最小整数解． 【答案】，最小整数解为0 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的最小整数解，先根据整式的乘法化简，然后根据不等式的性质进行计算即可求解． 【详解】解： 即， ∴， 解得：， ∴最小整数解为 【变式5-3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 【考点题型六】列一元一次不等式（） 【例6】（20-21六年级下·上海青浦·期末）“a与2的差不小于它们的积”用不等式可以表示为 ． 【答案】 【分析】a与2的差不小于它们的积，意思是大于或者等于它们的积，由此可列得相关式子． 【详解】解：a与2的差不小于它们的积，用不等式表示为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是理解“不小于”应用符号表示为“”． 【变式6-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）x与3的和的2倍不小于10用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，读懂题意是解题的关键．根据“x与3的和的2倍不小于10”列出不等式即可． 【详解】解：“x与3的和的2倍不小于10” 用不等式表示为． 故答案为：． 【变式6-2】（20-21六年级下·上海长宁·期末）y与3的和的2倍不大于1，列出的不等式是 ． 【答案】2(y+3)≤1 【分析】首先表示“y与3的和”为y+3，再表示“2倍”为2(y+3)，最后表示“不大于1”可得2(y+3)≤1． 【详解】解：根据题意得： 2(y+3)≤1． 故答案为： 2(y+3)≤1． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，将体现不等关系的文字语言转化为符号语言是解题的关键 【考点题型七】用一元一次不等式解决实际问题（） 【例7】（20-21六年级·上海·期末）敕勒川，阴山下，天似穹庐，笼盖四野．天苍苍，野茫茫，风吹草地见牛羊，河套地区地势平坦、土地肥沃，适合大规模农牧．现有一片草场，草匀速生长，如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完．（假设每只羊每周吃的草量相等） (1)求这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比； (2)如果牧民准备在这片草场放牧8周，那么最多可以放牧多少只羊？ 【答案】(1)这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比为 (2)最多可以放牧225只羊 【分析】（1）设每只羊每周吃的草量为1份，这片草场牧民进驻前原有草量份，这片草场每周生长的草量为份，根据等量关系列出方程组即可； （2）设可以放牧只羊，列出一元一次不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每只羊每周吃的草量为1份，这片草场牧民进驻前原有草量份，这片草场每周生长的草量为份， 依题意得：， 解得：， ． 答：这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比为． （2）设可以放牧只羊， 依题意得：， 解得：． 答：最多可以放牧225只羊． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次不等式的实际应用，找出数量关系，列出方程组和不等式是解题的关键． 【变式7-1】（20-21六年级下·上海松江·期末）今年“六一”前夕，某文具店花费2200元采购了A、B两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如表： 型号 进价（元/个） 售价（元/个） A型 10 12 B型 15 20 若两种型号的文具按表中售价全部售完，则该商店可以盈利600元． (1)问该商店当初购进A、B两种型号文具各多少个？ (2)“六一”当天，A、B两种型号文具各剩下20%还未卖出，文具店老板在第二天降价出售，且两种型号文具每件降了同样的价格，要使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，那么这两种型号的文具每件最多降多少元？ 【答案】(1)该商店当初购进A型号文具100个，B型号文具80个 (2)1.5元 【分析】（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个，根据用2200元购进的A、B两种型号的文具全部售出后可盈利600元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设这两种型号的文具每件降m元，利用这批文具售完后的总盈利＝600﹣剩余文具的数量×每件降低的价格，结合使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个， 依题意得：， 解得：． 答：该商店当初购进A型号文具100个，B型号文具80个； （2）（2）设这两种型号的文具每件降m元， 依题意得：600﹣（100+80）×20%m≥546， 解得：m≤1.5． 答：这两种型号的文具每件最多降1.5元． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意利用方程组或是不等式解决实际问题是解题的关键． 【变式7-2】（20-21六年级下·上海·期末）某企业为了做好“复工复产”期间的人员防护工作，购买了一定数量的一次性防护口罩和N95口罩，这两种口罩的规格．售价如下表所示：（购买时必须整包购买） 数量 售价 一次性防护口罩 50只/包 100元/包 N95口罩 3只/包 60元/包 (1)已知第一批购得两种口罩共80包，其中一次性防护口罩比N95口罩多买了30包，那么N95口罩买了____包． (2)已知第二批购得两种口罩共计3240只，花费10800元，问一次性防护口罩和N95口罩分别购买了多少包？ (3)在第三批购买时，一次性防护口罩价格有所调整，每包降低了10元，N95口罩价格不变，如果该单位第三批总共购买了100包口罩，花费不超过8100元，那么最多能购买一次性防护口罩多少包？ 【答案】(1)25 (2)一次性防护口罩60包，N95口罩80包 (3)最多购买一次性防护口罩70包 【分析】（1）设第一批购得N95口罩x包，则购得一次性防护口罩（x＋30）包，根据第一批购得两种口罩共80包，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设第二批购得一次性防护口罩a包，N95口罩b包，根据第二批购得两种口罩共计3240只且共花费10800元，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设第三批购得一次性防护口罩m包，则购得N95口罩（100−m）包，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设第一批购得N95口罩x包，则购得一次性防护口罩（x＋30）包， 依题意，得：x＋x＋30＝80， 解得：x＝25． 故答案为：25． （2）解：设第二批购得一次性防护口罩a包，N95口罩b包， 依题意，得：， 解得：． 答：第二批购得一次性防护口罩60包，N95口罩80包． （3）解：设第三批购得一次性防护口罩m包，则购得N95口罩（100−m）包， 依题意，得：（100−10）m＋60（100−m）≤8100， 解得：m≤70． 答：第三批最多能购买一次性防护口罩70包． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式7-3】（20-21六年级下·上海浦东新·期末）用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图中竖式和横式的两种无盖纸盒，已知制作一个竖式无盖纸盒的成本比制作一个横式无盖纸盒的成本多1元，制作20个竖式无盖纸盒和30个横式无盖纸盒的总成本是670元． (1)将横式长方体补充完整(遮住部分用虚线表示)． (2)求制作一个竖式无盖纸盒和一个横式无盖纸盒的成本分别是多少？ (3)如果需要制作这两种无盖纸盒共80个，且总成本不超过1100元，竖式无盖纸盒最多可以制作多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)横式13元，竖式14元 (3)60个 【分析】(1)根据长方体的画法，即可补全； (2)根据题意列出一元一次方程即可求得； (3)根据题意列出一元一次不等式即可求得． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：设横式无盖纸盒成本为x元，则竖式无盖纸盒成本为元， 根据题意可列方程为：， 解得：x＝13， 故横式无盖纸盒成本为13元，竖式无盖成本为13＋1＝14元． （3）解：设竖式纸盒可制作a个，则横式纸盒可制作个， 根据题意可列式为：， 解不等式得：． 答：总成本不超过1100元，竖式无盖纸盒最多可制作60个． 【点睛】本题考查了一元一次方程及不等式的实际应用，理解题意列出一元一次方程及不等式是解决本题的关键． 【考点题型八】用一元一次不等式解决几何问题（） 【例8】（20-21六年级下·上海徐汇·期末）长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据的取值范围必须满足两个条件：一个是这个长方形的周长不大于48米，另一个是长方形的边长大于0，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解不等式组得：， 答：x的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，并求不等式组的解，注意不要漏掉长方形的长要大于0这个隐含条件 【变式8-1】（20-21六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 【考点题型九】求一元一次不等式组的整数解（） 【例9】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）不等式组的最大整数解与最小整数解的和是 ． 【答案】15 【分析】分别求出每个不等式的解集，然后求出最大整数解和最小整数解，即可得到答案． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∴x的最小整数为5，最大整数为10， ∴x的最小整数解与最大整数解的和为15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握解不等式的方法进行解题 【变式9-1】（21-22六年级下·上海闵行·期末）不等式组的自然数解是 ． 【答案】0，1，2，3，4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的自然数解是：0，1，2，3，4， 故答案为：0，1，2，3，4． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式9-2】（22-23六年级下·上海黄浦·期末）求不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】根据一元一次不等式组的解法，求出的范围，按要求求出整数解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，解得； 由②得，解得； ∴原不等式组的解集为， ∴整数解为，． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟记一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 【变式9-3】（21-22六年级下·上海·期末）求不等式组的整数解． 【答案】﹣＜x≤，整数解为﹣1，0，1． 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可． 【详解】解：由①得x≤， 由②得x＞﹣， 不等式组的解集为﹣＜x≤， 所以不等式组的整数解为﹣1，0，1． 【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小找不到 【考点题型十】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例10】（20-21六年级下·上海·期末）如果不等式组的解集是，那么a的值可能是（    ） A．-2 B．0 C．-0.7 D． 【答案】A 【分析】根究不等式组解集的确定原则，判定a≤-1，比较大小后，确定即可． 【详解】∵不等式组的解集是， ∴a≤-1， 只有-2满足条件， 故选A． 【点睛】本题考查了不等式组解集，正确理解不等式组解集的确定原则是解题的关键． 【变式10-1】（20-21六年级下·上海长宁·期末）若关于x的不等式组的解集是，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是，且， ∴， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键 【变式10-2】（20-21六年级下·上海宝山·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得不等式的解集，再根据不等式组有解，求解即可． 【详解】解：由不等式可得：，解得 ∵不等式组有解， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了不等式组的求解，已知不等式的解集求参数，解题的关键是正确求得不等式的解集． 【变式10-3】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）若不等式组的解集是． (1)m的取值范围是______； (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集的计算方法进行求解即可得出答案； （2）根据（1）中m的取值范围，根据绝对值的意义进行化简即可得出答案． 【详解】（1）解：∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集及绝对值，熟练掌握不等式的解集的求法及绝对值的意义进行求解是解集本题的关键． 【考点题型十一】由不等式组解集的情况求参数（） 【例11】（20-21六年级下·上海·期末）若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集情况得出关于m的不等式，解之即可．． 【详解】 由①得 ， ， ， 由②得， 不等式组无解， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式11-1】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如果不等式组无解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了，可得关于的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组无解， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则，是解题的关键． 【变式11-2】（20-21六年级下·上海·期末）问：可能是下面哪个不等式的解集？求出所有相应的m，n的值 ① ②   ③   ④ 【答案】或 【分析】由 ，可以得到由此判定只有②符合这种形式，由此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴只有②的形式与相同， ∴与是相同的， ∴或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 【考点题型十二】一元一次不等式组的其他应用（） 【例12】（20-21六年级下·上海长宁·期末）在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）． （1）设初三（1）班有名同学，则这批树苗有多少棵？（用含的代数式表示）． （2） 初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名？ 【答案】（1）（） （2）初三（1）班至少有41名同学，最多有44名同学 【详解】解（1）这批树苗有（）棵 （2）根据题意，得 解这个不等式组，得40<≤44 答：初三（1）班至少有41名同学，最多有44名同学． 【变式12-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A、B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村清理养鱼网箱的人均支出费用是2000元，清理捕鱼网箱的人均支出费用是3000元．为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有几种分配清理人员方案？请你写出你的分配方案．（本题要求列一元一次不等式组解决问题） 【答案】有两种方案，分配18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱，或分配19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱． 【分析】设分配x人清理养鱼网箱，则分配人清理捕鱼网箱，根据题中的已知条件列出不等式组，解不等式组，写成分配方案即可． 【详解】解：设分配x人清理养鱼网箱，则分配人清理捕鱼网箱， 根据题意可得 ， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为，又∵x为整数，∴或19， 故有两种方案，分配18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱，或分配19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的实际应用，准确理解题意，找出题中的不等关系，列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 【变式12-2】（20-21六年级下·上海·期末）某种商品购买100（包含100）件以下的按零售价结算，购买101（包含101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售价低3元，某人欲购买该商品若干件，需付款a元，若多买23件，也需付款a元，求a的值． 【答案】 【分析】设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元，根据题意列出方程，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元， 根据题意得：， 即：， ∵为正整数， ∴为的倍数， 根据题意知：， ∴， 则， 解得：，且为的倍数 ∴时，， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，不等式组的应用，读懂题意找准等量关系，根据题意求出的取值范围是解本题的关键． 【变式12-3】（22-23六年级下·上海静安·期末）某学校组织340名师生进行长途考察活动，参加活动的每位老师均携带了一件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了行李（携带行李的学生每人携带一件），老师学生共带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆，经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件行李． (1)请问参加活动的老师和学生各有多少人？ (2)请你帮助学校列出所有可行的租车方案． 【答案】(1)参加活动的老师136人，学生204人； (2)有四种租车方案：方案一：甲车4辆，乙车6辆；方案二：甲车5辆，乙车5辆；方案三：甲车6辆，乙车4辆；方案四：甲车7辆，乙车3辆． 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据题意的两个不等关系得出不等式组． （1）设参加活动的老师人，学生人，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设租用甲车辆，则乙车辆，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设参加活动的老师人，学生人， 由题意得 解得 答：参加活动的老师136人，学生204人． （2）解：设租用甲车辆，则乙车辆， 解得 所以有四种租车方案： 方案一：甲车4辆，乙车6辆； 方案二：甲车5辆，乙车5辆； 方案三：甲车6辆，乙车4辆； 方案四：甲车7辆，乙车3辆． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式 （考点清单，10考点梳理+12题型解读） 清单01 不等式的概念 1.用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 清单02 不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 清单03 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 清单04 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 清单05 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 清单06 由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 清单07 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 清单08 一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 清单09 一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 清单10 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要 【考点题型一】不等式的性质（） 【例1】（23-24六年级下·上海·期末）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23六年级下·上海杨浦·期末）比较大小：如，那么 ．（填“＜”或“＞”） 【变式1-3】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如果，且，那么比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 【考点题型二】一元一次不等式的定义（） 【例2】（21-22六年级下·上海普陀·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列为一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【考点题型三】求一元一次不等式的解集（） 【例3】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）不等式的解集是 ． 【变式3-1】（22-23六年级下·上海闵行·期末）已知不大于，那么的取值范围是 ． 【变式3-2】（23-24六年级下·上海宝山·期末）解不等式：． 【变式3-3】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）（1）解方程：；           （2）解不等式：． 【考点题型四】在数轴上表示不等式的解集（） 【例4】（22-23六年级下·上海松江·期中）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．      【变式4-1】（22-23六年级下·上海宝山·期末）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式4-2】（22-23六年级下·上海闵行·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．    【变式4-3】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．    【考点题型五】求一元一次不等式的整数解（） 【例5】（20-21六年级下·上海·期中）不等式的最小整数解是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（20-21六年级下·上海虹口·期中）求不等式的非负整数解． 【变式5-2】（23-24七年级上·上海闵行·期中）解不等式：，并求出最小整数解． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 【考点题型六】列一元一次不等式（） 【例6】（20-21六年级下·上海青浦·期末）“a与2的差不小于它们的积”用不等式可以表示为 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）x与3的和的2倍不小于10用不等式表示为 ． 【变式6-2】（20-21六年级下·上海长宁·期末）y与3的和的2倍不大于1，列出的不等式是 ． 【考点题型七】用一元一次不等式解决实际问题（） 【例7】（20-21六年级·上海·期末）敕勒川，阴山下，天似穹庐，笼盖四野．天苍苍，野茫茫，风吹草地见牛羊，河套地区地势平坦、土地肥沃，适合大规模农牧．现有一片草场，草匀速生长，如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完．（假设每只羊每周吃的草量相等） (1)求这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比； (2)如果牧民准备在这片草场放牧8周，那么最多可以放牧多少只羊？ 【变式7-1】（20-21六年级下·上海松江·期末）今年“六一”前夕，某文具店花费2200元采购了A、B两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如表： 型号 进价（元/个） 售价（元/个） A型 10 12 B型 15 20 若两种型号的文具按表中售价全部售完，则该商店可以盈利600元． (1)问该商店当初购进A、B两种型号文具各多少个？ (2)“六一”当天，A、B两种型号文具各剩下20%还未卖出，文具店老板在第二天降价出售，且两种型号文具每件降了同样的价格，要使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，那么这两种型号的文具每件最多降多少元？ 【变式7-2】（20-21六年级下·上海·期末）某企业为了做好“复工复产”期间的人员防护工作，购买了一定数量的一次性防护口罩和N95口罩，这两种口罩的规格．售价如下表所示：（购买时必须整包购买） 数量 售价 一次性防护口罩 50只/包 100元/包 N95口罩 3只/包 60元/包 (1)已知第一批购得两种口罩共80包，其中一次性防护口罩比N95口罩多买了30包，那么N95口罩买了____包． (2)已知第二批购得两种口罩共计3240只，花费10800元，问一次性防护口罩和N95口罩分别购买了多少包？ (3)在第三批购买时，一次性防护口罩价格有所调整，每包降低了10元，N95口罩价格不变，如果该单位第三批总共购买了100包口罩，花费不超过8100元，那么最多能购买一次性防护口罩多少包？ 【变式7-3】（20-21六年级下·上海浦东新·期末）用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图中竖式和横式的两种无盖纸盒，已知制作一个竖式无盖纸盒的成本比制作一个横式无盖纸盒的成本多1元，制作20个竖式无盖纸盒和30个横式无盖纸盒的总成本是670元． (1)将横式长方体补充完整(遮住部分用虚线表示)． (2)求制作一个竖式无盖纸盒和一个横式无盖纸盒的成本分别是多少？ (3)如果需要制作这两种无盖纸盒共80个，且总成本不超过1100元，竖式无盖纸盒最多可以制作多少个？ 【考点题型八】用一元一次不等式解决几何问题（） 【例8】（20-21六年级下·上海徐汇·期末）长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【变式8-1】（20-21六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【考点题型九】求一元一次不等式组的整数解（） 【例9】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）不等式组的最大整数解与最小整数解的和是 ． 【变式9-1】（21-22六年级下·上海闵行·期末）不等式组的自然数解是 ． 【变式9-2】（22-23六年级下·上海黄浦·期末）求不等式组的整数解． 【变式9-3】（21-22六年级下·上海·期末）求不等式组的整数解． 【考点题型十】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例10】（20-21六年级下·上海·期末）如果不等式组的解集是，那么a的值可能是（    ） A．-2 B．0 C．-0.7 D． 【变式10-1】（20-21六年级下·上海长宁·期末）若关于x的不等式组的解集是，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式10-2】（20-21六年级下·上海宝山·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． 【变式10-3】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）若不等式组的解集是． (1)m的取值范围是______； (2)试化简：． 【考点题型十一】由不等式组解集的情况求参数（） 【例11】（20-21六年级下·上海·期末）若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如果不等式组无解，那么的取值范围是 ． 【变式11-2】（20-21六年级下·上海·期末）问：可能是下面哪个不等式的解集？求出所有相应的m，n的值 ① ②   ③   ④ 【考点题型十二】一元一次不等式组的其他应用（） 【例12】（20-21六年级下·上海长宁·期末）在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）． （1）设初三（1）班有名同学，则这批树苗有多少棵？（用含的代数式表示）． （2） 初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名？ 【变式12-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A、B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村清理养鱼网箱的人均支出费用是2000元，清理捕鱼网箱的人均支出费用是3000元．为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有几种分配清理人员方案？请你写出你的分配方案．（本题要求列一元一次不等式组解决问题） 【变式12-2】（20-21六年级下·上海·期末）某种商品购买100（包含100）件以下的按零售价结算，购买101（包含101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售价低3元，某人欲购买该商品若干件，需付款a元，若多买23件，也需付款a元，求a的值． 【变式12-3】（22-23六年级下·上海静安·期末）某学校组织340名师生进行长途考察活动，参加活动的每位老师均携带了一件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了行李（携带行李的学生每人携带一件），老师学生共带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆，经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件行李． (1)请问参加活动的老师和学生各有多少人？ (2)请你帮助学校列出所有可行的租车方案． 3 / 3 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