四川省资阳天立学校2024-2025学年高一下星期5月第九周数学周测试卷（B）

天之骄子 立己达人 2025学年高一下第八九周数学周测（B）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A C D B B ABD ABC 1．B 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可. 【详解】设，其中，则， ∵， ∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴即为圆上动点到定点的距离， ∴的最大值为. 故选：B. 2．A 【分析】根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 故选：A 3．C 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 4．A 【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积. 【详解】，为等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为， 则， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解. 5．C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 6．D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 7．B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 8．B 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题意，设， 则, 因为三点共线， 所以，即， 所以， 所以， 又三点共线， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 9．ABD 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 10．ABC 【分析】画出图形，利用新定义判断A；通过，判断“羡除”一定不是台体，判断B；利用反证法判断C；通过两两不相等，则“羡除”有三个面为梯形，判断D． 【详解】由题意知：，四边形为梯形，如图所示： 对于A：由题意知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确； 对于B：由于，所以：“羡除”一定不是台体，故B正确； 对于C：假设四边形和四边形BCDF为平行四边形，则，且，则四边形为平行四边形，与已知的四边形为梯形矛盾，故不存在，故C正确； 对于D：若，则“羡除”三个面为梯形，故D错误． 故选：ABC． 11． 【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小. 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为： 12．(1)； (2)，. 【分析】（1）求出三棱锥的各条棱长，再求出三棱锥及正方体的表面积即可. （2）求出三棱锥外接球半径，再求出球的表面积和体积. 【详解】（1）正方体的棱长为2，则， 显然三棱锥是正四面体，其表面积为，而正方体的表面积为， 所以三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为 （2）显然三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设球半径为， 则，即， 所以三棱锥的外接球的表面积为，体积为. 13．(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 14．(1)，对称中心为 (2) 【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数周期可得，再借助正弦型函数对称性可得对称中心； （2）得到后，结合换元法可得的单调性，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）， 由的最小正周期为，得，故，所以， 令，得，故函数的对称中心为； （2） 令，由，得， 在递减，在递增，所以， 又，所以有两个解时，. . 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$天之骄子 立己达人 2025学年高一下期5月第九周数学周测（B） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题（每题5分，共40分） 1．已知复数满足：，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 2．已知夹角为，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ）． A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共12分） 9．下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 10．《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，则（    ） A．“羡除”有且仅有两个面为三角形； B．“羡除”一定不是台体； C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除”； D．“羡除”至多有两个面为梯形. 二、填空题（共10分） 11．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 四、解答题（共43分） 12．如图所示，正方体的棱长为2，连接，，，，，得到一个三棱锥.求： (1)三棱锥的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥的外接球的表面积和体积. 13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 14．已知函数最小正周期为. (1)求的值和函数图象的对称中心； (2)将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$