周测4 空间向量的应用-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

因此存在点E,使得OE⊥b, 北时E点金标为E(号，一兰号》 14,解：由题意，得正方体ABCD-A,B,C,D,的授长为2，尉 A(2.0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2).D(0,0,0),C(0,2,0), 设E(0,a,2)(0a≤2)，F(b,2,2)(0≤b≤2)， 尉EF=(b,2-a,0),A1C=(-2.2,-2).AE=(-2.a 2),B=(6-2,02), 所以E京·A,C=4-2(a+b),AE.B=8-26. 选择①，因为(D正+C序)⊥(D-C),所以(D呢+C市)· (DE-CF)=DE-CF=0, 晔DE=CF, 则0+(a-0)2十(2-0)2=(6-0)2+(2-2)+(2-0)2， 故a=b. 因为E京·A,C=4-2(a+6)=0,所以a=6=1, 故存在点E(0,1,2),F(1,2,2), 满足E求.A,C=0,且AE,B京=8-2b=6 选择@.成=平中干-四=号 图为成.AC-=4-2a+6)=0,所以6=受 故存在点E(0,2F(受2,2 满足EF.A,C=0,且AE,Bi=8-2b=5 选择③，EF-=(b,2-a,0).Di=(2,2.0), 国为0<eOs(EF,D)<1,所以E京与D不共线， 所以b≠2一a,即a十b≠2， 则EF·A,C=4-2(a+b)≠0， 故不存在点E,F满是足EF·A,C=0. 15.解：(1)连接0C,由题意知B0= DO.AB=AD. 所以AO⊥BD.又BO=DO, BC=CD, 所以C)⊥BD.义由已知得，AO= 1,OC=√3，AC=2,期A0+ OC2=AC,所以AO⊥CO. 以O为坐标原，点这正空间直角坐标系，如图所示， 则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1), E(合号o小所以花=（合可 所以应-√信》+（慢+-）-。 所以线段AE的长为厄 (2)图为BA=(-1,0,1).Ci=(-1.-5,0), BA.CD=1+0+0=1. BA1=√/-1)+0+(-1)下=2. 1Ci1=√-1)+(-/3)+02=2， 所以os赋，C市=，C或 BA CD4 所以异西直线AB与D所成角的余孩位为只 周周测数学选择性必修第一册A版 ·3 周测4空间向量的应用 1,B解析：因为A(2,3,1),P(4,3,2).所以P=(-2,0, 一1).又因为⊥1，n=(1,0,一1)，所以点P到/的距离d= Pi·n_1E n22 2B解析：以D为原点，建立如图所 示的空间直角坐标系，设正方依的棱 长为1.则A(1.0,0).B(1,1.0), C(0,1,0),D(0,0,0),A1.0,1), (合小 所以主=（侵一是小，花= (-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1j=(-1,0,-1),A,i- (0,0,-1) 图为定，励=(-)×名+(-D×()+0×1=0, 所以CE⊥BD. 3,B解析：如图，以A为原点，分别以 AB,AD,AP所在直线为x轴、￥ 抽、：抽建立空间直角坐标系，则 B(3,0.0),D(0,4,0),P(0,0,2) Q(0,0,1),Qi=(3,0.-1).Bd= (-3,4,0),QP=(0,0.1). 设平面BQD的法向量为n=(x,y,:), n·B5=0, 由 解得 -3x+4y=0, n·Q=0, 3x-x=0. 令x=4,别g=12,y=3,所以n=(4,3,12), 所以P到平面BQD的距离d=Q,ml=12 n -13 4,D解析：如图，设AC门BD=O,连接 OF,国为四边形ABCD为菱形，所以O 为AC的中点，AC⊥BD,图为F为PC 的中点，所以(OF∥PA,国为PA⊥平面 ABCD,所以OF⊥平面ABCD,以O为 原，点，OB,OC,OF所在直线分别为x 抽、y轴、：轴建立空间直角坐标系 0,设PA=AD=AC=l,则BD=F,所以B(停，0,0 F(00,）c(0,号o小D(900小易如心 (0,7,0）为年面BFD的一个法向量.由BC= (安)i=(停0，-)可解得年面CBF的 个法向量为n=1g后.所以0sm,元=耳，时 inn,0心-27 7,所以an(n,0心)-2E 3 5.C解析：作PM⊥B,QN⊥a,垂足分刷 为M,N,分别在平面a,B内作PE⊥1 QF⊥1，垂足分别为E,F,如图所示，连 接ME,NF,剃ME⊥l,所以∠PEM为 二面角a(B的平面角，所以∠PEM=60 在aE中，成---2月 4.又P戒=P啦+E市+F戒，所以P戒1=4+1E+16十 2PE.EF+2PE.F6+2E市.F衣=20+1EF1+2×2× 4cos120°=12+1EF,所以当E京户取最小值0时， P0疑小，北时P01=2/ 6,CD解析：如图，以A为坐标原点， AB,AD,AP所在直线分别为x,y, 抽遮立空间直角坐标系，设BC=1,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2.1,0) D0,2.0.P0,0.2,M,号小6 N(1,0,1),从而Ci=(-2,1,0).AV=(1,0,1),Bi (-2,2,0).P元=(2.1，-2)，Pi=(2,0,-2).AD=(0,2, 0.CD.AN=-2×1中0，∴A错误：：BD·PC=一2X 2十2×1=一2≠0，B错误：设平面ANMD的法向量为 n·Ad=0, 2y=0, #=(x+y,),则由 得 令x=1,得 m,AN=0.lx十=0， n=(1,0,-1),Pi=2n,PB⊥平面ANMD.C正确： ”cos(Bi,m)= 面：”三令BD与年西ANMD所 1B51|n 成的角为30，D正确. 7,AB以C解析：如图，以A为坐标原点， AB,AD,AA,所在的直线分别为x轴，y 轴，：轴，建立空间直角坐标系，则D(0, 2,0),M(0.0,1),C(2,2,0),B(2,0,0),M D,(0,2,2).对于A,Ci=(-2,-2,1), DD=(0,0,2),易知DD,是平面ABCD 的一个法向量，设线CM与平面ABCD所成的角为8，别 血9=C成，D元1-Ci.DD_21 1 CMIIDD.I3X2=3· 0s82A正确：对于B,“点P在侧西ABB,A,内 ∴议P(a,0,b),a,b∈[0,2]，则D,p=(a,-2,b-2), :D,P1=√a+4十(b-2)∈[2,25]，即D,P1的最大 值为2√3，B正确：对于C,连接A:P,c0s∠A,D,P= AD DP +6苏9】 2 [31C正确：对于D, :CM=(-2,-2.1D.Pi=(2-a0.-b).D1P⊥CM :,D,p.CM=-2a十4+b-2=0,p6=2a-2.∴a∈[1. 2:C⊥平面ABB,A∴BC⊥PB,SAm=合BC· PB=2×2×PB=2-a)+不，将6=2a-2代入上 ,可样5m=0-a8-民-）+写 ,当=号时Sm取得最小值：最小值为5D 错误，故话ABC. ·39 8,AD解析：以B为坐标原点，BD,BC 的方向分刷为x抽y轴的正方向建主 空间直角坐标系，如图所示，设BD= 2,别B(0,0,0),D(2.0,0),C(0,23, 0,A(05g).B币=(2,0,0， AC=(0,,-5).C=(0,23,0),Ai=(2,-3, -3).DC=(-2.23,0).BD.AC=(2,0,0)·(0, √尽，一尽)=0，A正确：易得平面BCD的一个法向量为n1= (0,0,√3)，平面ACD的一个法向量为n:=(W3,1,1), n·m:卡0，B错误：四s(BC,A市)1= BC.AD BC1A方- 0250.-@-√晶名C错溪：为得中 2wW3×/10 面ABC的一个法向量为BD=(2,0,0),设直线DC与平面 AC所成的角为9，剥血9=D元·前。4 DC丽X2=z,故 8=30°，D正确. 9,4解析：连接AC,交BD于点O,连接OP,以O为原点， OA所在克线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图， 设PA=AB=2,则A(2,0,0),D(0,-√E,0), M停.号），B0E,0,励=0，-2E,0,ai- (-2,-2,0), 设N(0,b.0),别BN=(0,b-2,0). :Bi=AB,-2反=6-2)b=②A=2E .N(o./a-2.o). 47 m-(2亚，》 2 MN1AD.A市=1-28二=0，解样A= 10.√厄解析：周为AD∥BC,BCC平面PBC,AD亡平面 PBC,所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC 的距离，由己如得AB,AD,AP两两是直，以A为坐标原 点，AB,AD,A户的方向分别为xy:抽的正方向，建立空 间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,00),C(2,2,0),P(0,0, 2),所以Pi=(2,0,-2),BC=(0.2,0).设平面PBC的法 1n⊥Pi,f2a-2c=0, 向量为n=(a,b,c),别 n1BC.中26=0. 所以6= 0,取a=1.则c=1,得n=(1,0,1),又AB=(2,0,0),所以 点A到年面PBC的矩离d=AB,m=反。 答案全解全析 解析：设过点B,D'作BB,DD,分刚与AC套直，叠 足为B,D1,设二面角B-ACD'的大小为8(0<8π)，别 有1试1-，丽-.BD1-D1- 丽=丽+BD+D,D, BD=(BB,+B D,+D D') +号++0+2x@× 2 6 X(-cos 8) =9-5eos8: BD'.CA=(CD-CB).CA=CD.CA-CB.CA =ICD1×|AC|×cos∠ACD'-1CB|×1CA1X cos∠ACB =1×6×1 -3×6×3+W6)-3 =1-3=-2, 2×3×6 所以直线AC与BD'所成角的余被值为 leos(BD'cABD'.cA BD1·ICi√9-5cosB·6 当8=0，即©0s8=1时，直线AC与BD'所成角的余弦值最 大，成大丝 12.23T 17 解析：以D为原点，建立如图所 示的空间直角坐标系，P(0,0,1) A(1.0,0).B(1,1.0).C(0,1,0),所以 c(号，号.（停号- 易如平面ABCD的一个法向量为n= (0,0,1), 则sn0=looe(PG,n> -1 3√17 √倍)+号)+- 17 所以PG与底面ABCD所成角的余弦值为 V- 17 13,解：(1)证明：如图，连接B:A,在四被台中，BC1∥BC∥ AD,又M是AD的中点，则B,C,=AM=2BC 所以四边形AB:CM是平行四边形，即CM∥B,A. 又C,M平面AAB,B,B1AC平面AA,B1B, 所以C,M∥平面AAB,B. (2)取BC中点Q,连接AQ,AC.图为四边形ABCD是菱 形，且∠ABC=60°，所以△ABC是正三角彩，所以AQ⊥ BC,即AQ⊥AD, 所以分别以AQ,AD,AA1所在直线为x轴，y轴，之轴，建 立空间直角坐标系，如烟，则A(0,0,0),A1(0,0,1),D(0, 1,1)Q(/3,0.0). 周周测数学选择性必修第一册A版 ·40 假设存在，点E,设点E的坐标为(3，A,0),一1≤入≤1， AE=(√a.0).AD=(011) 设平面EAD1的法向量n=《x,y,), n·AE-0, 对 :中5工+y=0:可取n=,-后5. n·AD=0,y+x=0, 又平面AD,D的法向堂为AQ=(√尽，0.0)， 所以cas(Ad,n)= 公+6京，解得= 31x1 2 又由于二而角E-AD:D为锐角，由图可知，点E在线段 QC上， 片以A-号即6E=1-号 2 14.解：1)闲为AB=AC=5,BC=2.EF∥BC.AH⊥BC, 所以H为BC中，点，CH=BH=L,AH=AC-CH= 2,AH⊥EF, 所以AO⊥EF,义平面A'EF⊥平面BCFE,所以AO⊥平 面BCFE, 连接OB,所以∠A'BO为直线A'B与平面BCFE所成 的角， 周为品=子南EFC特品盖=音所以A0 尉A0=A0=号，又0B=VO+丽= √)+= 故an∠A'B0=合8=1.又∠A'B0是能商，所以 ∠A'B0=45, (2)分别以OH,OF,OA所在直线为 :y,:轴建立如田所示的空调直商坐 标系， 因为E,F分别为AB,AC中点，则 EF=BC=1.A0=0H=1 E6,-oB1,-1.0.A0.0, ,i=(.-),函=(-11 设平面ABE的法向量为m=(x,y,), m·E范=x-立y=0, 取y=2,则x=1:=一1 m·BA=-x十y十之=0， 肿m=(1,2,-1), 又平面BEC的一个法向量为n=(0,0.1), m·n一1 cos<m,n〉=mn6×1 6· 所以卡面ABE与平面BC大角的余孩位为气。 3)由2.择C(1l,0,F(o,0),F=(1.号0)小 CA=(-1,-1,1), 设平面A'CF的法向量为p■（工1y,1), 则p成=+号=0， p·CA7=-x4-y1十=0 取x1=1,则y:=一2,1=-1，pp=(1,一2，一1)，又 CB=(0,-2,0), 所以点B到平面A'CF的距离为d p 信 15.解：(1)证明：设CP∩DE=G,连接FG.如图， 因为四边形PDCE为矩形，所以G为PC中，点 又F为PA中点，则AC∥FG. 又FGC平面DEF,AC平面DEF, 所以AC∥平面DEF. (2)以D为坐标原点，Di,DC,D币的正方向分别为x,y,2 轴正方向，可遮立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0),B1,1,0),C(0,2.0),P(0,0,2),E(0.2 2), 所以BC=(-1,1,0),CP=(0,-2,2),AE=(-1,2, 2). 设平面BCP的法向量为n=(r,y,:), 则由·武=0祥 -x+y=0, 令y=1.解得x=1, 1n·Cp=0,-2y+厄x=0 x=2,所以n=(11E). 设直线AE与平面BCP所成角为B,所以nB= AE·nl3 AE1·a14 中直线AE与年西CP所或海的正我程为 (3)由(2)知，PA=(1,0,-√2) 设P昨=PA=(以.0，-2A)A∈[0,1]， 由平面BCP的法向量为n=(1,1W2), 样在F到半面P的延高为d=时”-女-行 解得入-号合奥)且币-（仔0，-号）· 阶段检测一空间向量与立体几何 1.D解析：由所建坐标系可得D(0,0,1),A,B错误：B(1,1, 1),B,2,3,4).则1B,B1=√-2)+(1-3)+(1-4F= 可，故选D. 2.A解析：由点M在OB上，且OM=3Mi 得0M=0丽， 由N为AC的中点，得0O=号(O耐+心， 所以N=O成-ON =i-0i+0d =-a+c 1 =-名+b,故选A 1 3,A解析：如图，以C为坐标原点，CA, CB,CC,所在直线分别为x·y,:轴建主 空间直角坐标系， 尉C(0,0,0),A1(3,0,3),B(0,4,0), C1(0,0,3), 所以CA=(3,0,3),BC=(0,-4,3), 所以cos(C,BC= CA·bC CAiI·BCT 3万X行0，所以直线BC,与A,C所成的角的余孩值为 9.32 语选入 4.C解析：如图，设AC与BD相交 于O点，连接OE,,AM∥平面 BDE,且AMC平面ACEF,平面 ACEF∩平面BDE=OE, .AM∥EO, 又O是AC的中点，.M为线段 EF的中点， 在空间直角坐标系中，E(0,0,1),F(W2√区，1). 由中点金标公式，加点M的垒标为停号小 5,B解析：以点C,为坐标原点，分别以C1B,,CD,CC所 在直线为x轴·y轴，：轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， 由于A,M=AN=Ea】 3 M号N(号) m=(号号）) 又C,D1⊥平面BB,CC, 所以C,D=(0,a,0)为平面BB,C,C 的一个法向量。 图为MN·C,D=0, 所以MN⊥CD,又MN丈平面BB,C,C, 所以MN∥平面BB,CC. 6,C解析：取AD的中点O,连接OP, C,则由OP⊥AD,平面PAD⊥平面 ABCD推出(OP⊥平面ACD,从而迷 主空间直角坐标系O以y,如圈所示，设 AD=2a,AB=2b,则O(0,0,0),P(0, 03a),C(a,26,0),.OC=(a.26,D月 0).Pt=(a,2b,-3a).易得心， T心)=30，得ms30°= 心，P心 a十46 ō元心云+6·√4a+G 号解得一所铝-碧厅 答案全解全析周测4空间向量的应用 (时间，G0分钟#值，100分) 一，选择题本题共5小题，每小题得分，具25分，在每小题给出的四个透项中，只有一项是特合驱 日要求的 照⊥.已知胸量m-4,0,一1与直线1垂直，且1经过点A2,3,0.则点P(4,2)用（的距离为 C. 2.在正方体A以D-AB,C,D,中，若E为A,C,的中点，期直线E垂直于 A.AC 品D C.AD D.AA 袋3，如图，已知点P为矩形AD断在平直外一点，PA早直A).Q为线量 AP的中友，A日一3，C一4，PA-2,则点P列平宦Q的肥宽为 5 13 0 4.如图所示，已知点P为菱形A联D外一点，目PA⊥平面ABCD,PA一AD AC,点F为P的中点，则平面CBF与平面FD夹角的正切值为 c n 3 节元已知二雀角为0，鳞点户，Q分消在平国肉，P到》的距离为，厚.Q到的能离为 2,这，则P,Q博点之博距离的最小值为 A.2 队 C,88 4 二，选择要《本恩共3小题，每小题分，共18分，在每小题恰出的四个选项中，有多项暴粹合量日 要求的·全邵选对的得5分，建对但不全的得2分，有透娇的不得分) 签板或如图.在西棱体PACD中，底面为直角格形，D,/BC,∠D-,PA上 底而ACD,且PA一AD=A一2BC,M,N分则为汽，PB的中点，期 A,D⊥AN 装BD⊥PC C.PB⊥平面ANMD D.BD与平重AND断成的角为 1,如周所示，在棱长为2韵正方体AD-A:BC,D,中，M是棱A1,的中点： 点P在制直ABH,A,内，下列结论正确的是 人直线CM与平面AD所议角的余微植为号 BD产的量大值为S 已0%∠A,D,P的取值范围为 我若D,P1CW:超△PBC的面积的最本值为号 气，如图(1)是一图直角三角假的示章图，现将两三角板拼成直二面角，得到四童体A以力，如闭(2) 所示，则下列结论中正确的是 A.BD.Ao 且平面CD的法肉量与平面ACD的法向量垂直 仁，导面直线与AD所成的角为0 D直线D与平直AC所成的角为0 透择题答题栏 醋号 7 答案 三，填空赠〔本题共4小题.每小题5分，共0分) 象.如阁，在正四陵银P-ABCD中，PA一AB.点M为PA的中点，B可-N.若MN⊥AD,雨实 数A 用专题用 多11超用 1O在底直是直角棉形的四按璧P-ABCD中，衢接PA⊥底面ABD,BCAD,∠ABC一o, PA一AI-C-2,AD-1,则AD到平面PBC的师离为 11,如图，已每半面西边形A拟D,14C■3，CD=【,AD延，，∠AC0,沿直拔1C将 △ACD群折所成△ACD',国直线AC与BD'所成角的余城催的最大值是 12如周，在四棱推P-ABD中，PD能雀AB以D,因边形A以D为正方悬，且PD=AB=1,G 为△AC的重心，闻PG与底面ACD断成的角的余装直为 周判4李民向景的度用 四，解答题本题共3小题，共37分，解答皮写出文字说阴，证钥过程成演算多骤》 1(本小题满分13分)如图.直线PD原直于梯那ABD所在的平面，∠AxC'-∠H4D=90°，F ,《本小题满分12分)如周，在四棱台AD-A,B,C,D,中，废面AD是菱形，AA, 为线段PA上一点，PD=E,AB=AD=立CD=,四边形PD(E为距形. A,B,=AB=∠ABC=0dM⊥子ABCD. (1)若F是PA的中点，求正：AC平面DEF: I》若点M是AD的中点，求E,CM平面AA,B:4: (2)求宜线AE与平面CP所我角的止筑值： 《2)棱拟：上是否存在一点E,使得二面角EAD,D的金蕊算为？若存在，求线段(E的长： ()若点F到平面以P的距商为后求PF的长。 若不存在，请说明理山. 14.(木小西满分12分》在△AC中，AB=ACm5,以C=2,E,F分期是边AB.AC上的点。且 F以，AH⊥以于H,AHOEF=算△AEF沿EF折起，使点A到达A',此时是平 南A'EFL平mBFE 诺能-号求直线AB与平程BCFE街皮角大小， (2)若E.F分别为AH,AC中点，求平自AE与平面EC夹角的余弦值： (3)在()的条件下，求点B到平靠AF的距离， 网风测数学建样性必善第一贡A饭 8