临考押题卷01-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（长沙专用）

临考押题卷01（长沙专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义（如果一个图形沿着一个点转后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做中心对称图形）对四个选项进行分析．本题主要考查了中心对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知：A、B、D的图形不能沿着一个点转后两部分完全重合，故都不是中心对称图形，只有C是中心对称图形． 故选：C． 2．截至6月10日，上海世博会累计入园人数已达万．将万人用科学记数法（四舍五入保存3个有效数字）表示约为（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．由于万有8位，所以可以确定．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字． 【详解】解：万人人， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字确实定方法，用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关． 3．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等家整车企业，余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键．根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可． 【详解】解：， ， 可得合格尺寸的范围为， 选项A，B，C都在这个范围内，故不符合题意； 选项D不在这个范围内，故符合题意； 故选：D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可． 【详解】A．，故本选项原说法不符合题意； B．，故本选项原说法不合题意； C．，故本选项原说法不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．在某校举行的“国学经典诵读”比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分和一个最低分后得到的五个有效评分分别为：，，，， (单位：分)，则这五个有效评分的中位数与众数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列可得：，，，，， 这五个有效评分的中位数与众数分别是，， 故选：D． 6．点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移中点的变化规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解答． 【详解】解：点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点 ∴，即， 故选：C． 7．函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 8．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，那么面积的最大值为（　　）    A．64 B．48 C．32 D．24 【答案】C 【分析】过点P作轴于点D，连接，易得，，然后由垂径定理，即可求得的长，继而求得的长，继而求得答案． 【详解】解：过点P作轴于点D，在上方，与⊙P的交点即面积最大时动点的位置，连接，，    ∵点P的坐标为， ∵⊙P与y轴相切于点C， ∴，， ∴， 在Rt中，， ∵， ∴， 当点M位于时，面积最大，最大值为：． 故选C． 【点睛】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，添设辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 10．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键. 过点作，垂足为，先求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：过点作，垂足为，如图， 四边形为矩形， ， ， ， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 （填“甲”或“乙”或“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了根据方差判断数据的稳定性；方差越小，数据的波动程度越小；比较三人训练成绩的方差大小即可判断稳定性． 【详解】解：由于三人的平均成绩都是环，且， 所以乙的训练成绩更稳定； 故答案为：乙． 12．小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 ． 【答案】/0.2 【分析】此题考查概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率(A)．根据概率公式计算即可． 【详解】解：因为总共有5人， 所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是． 故答案为：． 13．函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据开方数的非负性、分式的分母不能为0列出式子求解即可． 【详解】由开方数的非负性、分式的分母不能为0得 解得 故答案为：且． 【点睛】本题考查了开方数的非负性、分式的分母不能为0，掌握理解分式有意义的条件是解题关键． 14．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是切线的性质、三角形外角性质、圆的性质、扇形面积公式，解题关键是熟练掌握扇形面积的求法．先根据切线性质、圆的性质求得，再由三角形外角性质得到，即可利用扇形面积公式求解． 【详解】解：依题得：， ， ， ， ， 是的外角， ， ，且是直径， ． 故答案为：． 15．如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， 是的中线， ， ， ， 在中，，点E是的中点，， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 16．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的弧长以及图形规律，先找出每一步的半径，再运用扇形弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵“黄金螺旋线”是半径大小不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的， 第一步中的扇形的半径是1厘米， ∴（厘米）， ∴它的弧线长是厘米； 结合图形，得第二步中所画的弧线长也是厘米； 第三步，半径是（厘米）， ∴第三步中所画的弧线长为（厘米）； 第四步，半径是（厘米）， ∴第四步中所画的弧线长为（厘米）； 第五步，半径是（厘米）， ∴第五步中所画的弧线长为（厘米）； ∴画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．其中第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算： 【答案】0 【分析】首先化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，然后计算加减． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 18．先化简，再求值：．其中，． 【答案】 【分析】先用平方差公式与完全平方公式计算，再合并同类项，即可化简，然后把m、n值代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握平方差与完全平方公式是解题的关键． 19．银盆岭大桥，原名“湘江二桥”“北大桥”．年月日建成通车，是长沙市第二座沟通湘江两岸的大型桥梁，如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．             (1)求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； (2)求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)大桥立柱在桥面以上的高度为米； (2)大桥立柱在水面以上的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （）先证明米，然后根据正弦的定义求出； （）根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴（米）， 在中，（米） 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米； （2）解：在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴(米) , 答：大桥立柱在水面以上的高度为米． 20．为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：组，组，组，组，组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中_____，A组所在扇形的圆心角的大小是______； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若长沙市共约有6万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 【答案】(1)500，32， (2)见解析 (3)22800 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图，样本估计总体． （1）由组人数及其所占百分比可得样本容量，用组人数除以样本容量即可得出m，用乘以组人数所占比例即可得到A组所在扇形的圆心角的大小； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可． 【详解】（1）解：这次抽样调查的样本容量是， ∴组的占比为：，即， ∴组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：500，32，； （2）解：组人数为（人）， 补全图形如下： （3）解：（名）． 答：估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生有22800名． 21．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 22．时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【答案】任务1：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元；任务2：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，确定当m的最大值，再求解即可． 【详解】解：（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元． 根据题意，，解得， 经检验，是原方程的根， ． 答：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元． （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台， ， 解得． 又型机器人模型要尽可能的多， 取最大值15，此时． 答：满足条件的购买方案是：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台． 23．如图，在矩形中，，分别在，边上，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，再运用勾股定理逆定理即可得出结论； （2）证明，得到，即，求出，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在矩形中，， 在中，， 又， ， 是直角三角形，且． （2）解：在矩形中，，， 又， ， ， ，即， ， ． 24．如图1，非直径的弦，在上运动，连接，，，． (1)如图2，当点，重合时，若，，则______． (2)如图3，当弦在弦所对的优弧上时，延长，交于点，，，． ①求证； ②求半径． (3)如图4，在（2）条件下，连接，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)①见详解；② (3) 【分析】（1）先求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）①连接，由圆周角定理得，，然后利用三角形外角的性质求解即可； ②取上一点，使得，连接，，．证明为等边三角形，作于点．在求出和，进而可求出，然后可求半径； （3）先判断在运动过程中形状不变，当为直径时，最大，然后求出的长即可求出的最大值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴． 故答案为：； （2）解：① 如图1，连接． ∵，， ∴， 又， ∴； ②如图2，取上一点，使得，连接，，． ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴为等边三角形 作于点． ∵ ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴ （3）解：∵为定值， ∴是定值， ∴是定值， ∵， ∴在运动过程中形状不变，当为直径时，最大． ∴， ∴， ∴， 即最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 25．在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线（为常数且），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定： I．若有2个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”； II．若有1个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相切”； III．若没有公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相离”． 请你根据该约定，解决下列问题： (1)若直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，求的取值范围； (2)若直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，请判断轴与该抛物线的位置关系； (3)若直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，记它们的“水平弦”分别为． ①求的长度的取值范围； ②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段） 【答案】(1) (2)函数与轴为“水平相离”． (3)①，②，最小值； 【分析】（1）根据新定义可得有两个不相等的实根，从而可得答案； （2）根据新定义可得有两个相等的实根，可得，再进一步可得答案； （3）①如图，根据新定义可得，求解，可得； ②证明该三角形是等腰直角三角形；求解，，而，结合①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线的位置关系为“水平相交”， ∴即有两个不相等的实根； ∴， 解得：； （2）解：∵直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”， ∴即有两个相等的实根， ∴， ∴， 当（）时， ∴， ∴函数与轴没有交点， ∴函数与轴为“水平相离”． （3）解：①如图， ∵直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”， ∴即有两个不相等的实根， ∴， ∴， ∴即有两个不相等的实根，， ∴，， ∴ ， ∴； ②∵三角形的三个内角的大小之比为， ∴三角形的三个内角的大小分别为，，， ∴该三角形是等腰直角三角形； 结合①同理可得：有两个不相等的实根，， ∴，， ∴， 同理：有两个不相等的实根， ∴， 而， 由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，而， 解得：， ∴函数的最小值为． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，本题的计算量很大，难度大，典型的中考压轴题，灵活应用根的判别式是解本题的关键． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临考押题卷01（长沙专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．截至6月10日，上海世博会累计入园人数已达万．将万人用科学记数法（四舍五入保存3个有效数字）表示约为（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 3．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等家整车企业，余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（     ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在某校举行的“国学经典诵读”比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分和一个最低分后得到的五个有效评分分别为：，，，， (单位：分)，则这五个有效评分的中位数与众数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   8．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，那么面积的最大值为（　　）    A．64 B．48 C．32 D．24 10．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（   ） A．8 B．12 C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 （填“甲”或“乙”或“丙”） 12．小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 ． 13．函数中自变量x的取值范围是 ． 14．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，，则扇形的面积为 ． 15．如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为 ． 16．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是 厘米． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．其中第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算： 18．先化简，再求值：．其中，． 19．银盆岭大桥，原名“湘江二桥”“北大桥”．年月日建成通车，是长沙市第二座沟通湘江两岸的大型桥梁，如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．             (1)求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； (2)求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 20．为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：组，组，组，组，组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中_____，A组所在扇形的圆心角的大小是______； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若长沙市共约有6万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 21．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 23．如图，在矩形中，，分别在，边上，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长． 24．如图1，非直径的弦，在上运动，连接，，，． (1)如图2，当点，重合时，若，，则______． (2)如图3，当弦在弦所对的优弧上时，延长，交于点，，，． ①求证； ②求半径． (3)如图4，在（2）条件下，连接，直接写出的最大值． 25．在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线（为常数且），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定： I．若有2个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”； II．若有1个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相切”； III．若没有公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相离”． 请你根据该约定，解决下列问题： (1)若直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，求的取值范围； (2)若直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，请判断轴与该抛物线的位置关系； (3)若直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，记它们的“水平弦”分别为． ①求的长度的取值范围； ②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$