广东省佛山市顺德区第一中学2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试卷

顺德一中2024-2025学年下学期高二级期中教学质量检测 数学试题 2025年4月 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.数列满足，则其通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.函数的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3. 在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】“至少取到1件次品”分两种情况： 取的1件次品的方法数为：种；取到2件次品的方法数为：种， 由分类加法计数原理知，共有种不同方法数， 4. 设为等比数列的前n项和，若，，则    A. B. 1 C. D. 2 【答案】A  解：设等比数列的公比为q，因为，即，故， 又因为，所以，即，所以，所以 . 5.已知函数在单调递增，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 解析：在单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，易知函数在单调递增，故， ，即. 6.小明从4S店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花  A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】B  解：首付11万元，余款14万元按题意可知是分7次还清， 设每次付款数组成数列，则万元，万元， 万元，…… 万元， 因而数列是首项，公差为的等差数列，万元， 因此购车款最后实际共付万元， 7．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100米接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙两人只能跑第2或3棒，丁不能跑第1棒. 那么合适的选择方法种数为（     ） A．56 B．60 C．84 D．120 【答案】B 当甲抛第1棒时，乙、丙均不参与，有种；乙、丙至少有一人参与，则有种； 当甲跑第4棒时，乙、丙不参与，有种；乙、丙至少有一人参与，则有种。 所以总的方法数有种。 8. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】设，则， ∴时，，在上单调递增． ∴，即，∴，． 设，则， ∴当时，，即在上单调递增． ∴，，∴，即．综上，. 二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.已知数列中，，，下列说法正确的是        A. 若是等比数列，则 B. 若是等差数列，则 C. 若是等比数列，则、的等比中项为 D. 若是等差数列，则、的等差中项为 【答案】BCD  10. 有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ） A. 6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240 B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240 C. 6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种 D. 6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种 【答案】ACD 【详解】对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确； 对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种，故B错误； 对于C，6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则有种，故C正确； 对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法； 若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；共有6种分组方法，再分配到三个活动中，共有种，D正确． 故选：ACD. 11.已知函数，若有两个极值点，，则下面判断正确的是    A. B. C. 且 D. 【答案】ABD  解析：由题意得，函数的定义域是，， 要使得有两个极值点，则在上有两个解， 令，即在上有两个解 则，解得，所以A正确； 因为，所以，所以，故B正确； 由题意，，2， 因为，，所以，， 所以， 0， 所以C错误； -， 令，， 则， 在上单调递增，则，即，D正确. 故选： 三、填空题（每小题5分，共15分. 温馨提示: 请把答案填在答题卷相应横线上.） 12.若，则          . 【答案】5  【解析】解：已知，根据组合数性质可得或， 当时，可得，但因为，舍去， 当时，解得，则成立，也满足的条件.    13. 过点作曲线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为___________. 【答案】 【解析】解：设，由曲线， 得 即切线斜率， 曲线C在A点处的切线方程为， 把代入切线方程，得， 化简得， 同理可得曲线C在B点处的切线方程为， 都满足直线，直线AB的方程为 14.已知数列的前n项和，数列的前前n项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_________. 【答案】682. 解析：由题可知， 设的第m项与的第k项相等，则，即，， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 故数列的前5项和等于 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15.本小题13分已知数列满足， 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和 【答案】解：由，又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列， 故，， 由可得，      则，     所以，       两式相减得，   所以 16.本小题15分已知函数 （1）求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）; （2）求证：. 【答案】解： ， 当 时， ，当时，， 即函数  在  上单调递增，在上单调递减， 因此极小值为  ，无极大值； 当  时，  ；当  时，  ，且 ， 结合单调性，可画出函数  的大致图象，如下图所示： 要证，只要证， 令，则， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，即恒成立， 所以 17.本小题15分已知数列的前n项和为，且. （1）求的值. （2）求数列的通项. （3）求数列的前n项和. 解：（1）由条件知，，-4. （2）当n为奇数且时，，也符合，  所以当n为奇数时，；  当n为偶数时，； 所以数列  （3）由题可知，所以，  所以数列的前n项和为。 18. 本小题17分如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，. （1）若，求证： ； （2）若，，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 由题意知平面平面，平面平面， ，且平面，故平面， 又平面，故； 又，且平面， 故平面，而平面， 故； 【小问2详解】 以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 由于，，则， 设,则， 则， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则可得， 由于直线与平面所成的角为， 故， 解得，结合，则， 所以. 19.本小题17分已知函数 分析函数的单调性. 若，试问是否存在零点.若存在，请求出该零点;若不存在，请说明理由. 若有两个零点，求满足题意的a的最小整数值参考数据：， 【答案】 （1），，， 所以单调递增， 又时，，时，. 所以存在，使得， 所以在上递减，在上递增. ，，的零点个数与的零点个数相同. ①当时，， 当时，，单调递减;当时，，单调递增. 当时，取得最小值无零点，即无零点. ②当时，令又恒成立， 在上单调递增. ，，故存在，使得 当时，，单调递减;当时，，单调递增， 当时，取得最小值 由，得，代入得 若有零点，则必有，即，也即 令，，当时，，单调递增;当时，，单调递减. ，取，，即恒成立，矛盾，故没有零点. 综上所述，当时，没有零点. 若有两个零点，则有两个零点.由可知， 在上单调递增，又，，故存在，使得 当时，，单调递减;当时，，单调递增; 当时，取得最小值 由，得， 代入得 有两个零点，则必有 设，，当时，恒成立， 在上单调递减，， 设，当时，恒成立，在上单调递增， 下证当时，有两个零点，， 在上有两个零点，即在上有两个零点. 综上所述，为满足题意的最小正整数值.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 顺德一中2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学试题 2025年4月 本试卷共19题，共4页，满分150分，考试时长120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号等信息填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案. 3.作图时，先用铅笔作图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.数列满足，则其通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 2.函数的导数（ ） A. B. C. D. 3. 在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ） A. B. C. D. 4 设为等比数列的前n项和，若，，则    A. B. 1 C. D. 2 5.已知函数在单调递增，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.小明从4S店购买了一辆25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项14万元采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花  A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 7．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100米接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙两人只能跑第2或3棒，丁不能跑第1棒. 那么合适的选择方法种数为（     ） A．56 B．60 C．84 D．120 8. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.已知数列中，，，下列说法正确的是        A. 若是等比数列，则 B. 若是等差数列，则 C. 若是等比数列，则、的等比中项为 D. 若是等差数列，则、的等差中项为 10. 有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ） A. 6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240 B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240 C. 6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种 D. 6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种 11.已知函数，若有两个极值点，，则下面判断正确的是    A. B. C. 且 D. 三、填空题（每小题5分，共15分. 温馨提示: 请把答案填在答题卷相应横线上.） 12.若，则          . 13. 过点作曲线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______. 14.已知数列的前n项和，数列的前n项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_______. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.本小题13分已知数列满足， 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和 16.本小题15分已知函数 （1）求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）； （2）求证：. 17.本小题15分已知数列的前n项和为，且. （1）求的值. （2）求数列的通项. （3）求数列的前n项和. 18. 本小题17分如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，. （1）若，求证： ； （2）若，，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 19.本小题17分已知函数 分析函数的单调性. 若，试问是否存在零点.若存在，请求出该零点;若不存在，请说明理由. 若有两个零点，求满足题意的a的最小整数值参考数据：， 学科网（北京）股份有限公司 $$