广东省佛山市顺德区第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

顺德一中2024学年度第二学期期中高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足，则z的虚部为(    ) A. B. 1 C. D. i 2.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则圆锥的高为(    ) A. B. C. D. 5 3.的值为  A. B. C. D. 1 4.，，，则a， b，c的大小关系是    A. B. C. D. 5.平面向量，，若，则(    ) A. B. 1 C. D. 2 6.已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为    A. B. 2 C. D. 7.洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底B在同一平面内的两个测量基点C与D，现测得，在C点测得九龙鼎顶端A的仰角为，在D点测得九龙鼎顶端A的仰角为，则九龙鼎的高度    参考数据：取 A. 44m B. 33m C. 40m D. 30m 8.已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为        A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数为虚数单位，为z的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是  A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. C. 的实部为 D. 的虚部为 10.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是        A. 角C一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 11.已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是        A. 四面体 D 的外接球的表面积为 B. 四面体 D 体积的最大值为 C. 点 D的运动轨迹的长度为 D. 边 AD旋转所形成的曲面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，，点C在内，且，设、，则等于________ 13.在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 求角_______  14.如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为          ；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，，则的最小值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 分已知，， 若，求实数m、n的值； 若，求的最小值． 16.本小题15分 分某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为60 cm的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到. 求石凳的体积与原正四面体的体积之比； 为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 17.本小题15分 分在中，分别为内角所对的边，且满足 求角A的大小； 现给出三个条件：①；②；③试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择_______，并以此为依据求的面积.注：只需写出一个选定方案即可 18.本小题17分 分如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD和BC上的动点，且 若E，F分别是CD，BC的中点，求； 若E，F分别是CD，BC的中点，N是线段EF上的任意一点，求的最大值； 若，求的最小值. 19.本小题17分 分已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. 记向量的相伴函数为，若当且时，求的值; 已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由. 记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 顺德一中2024学年度第二学期期中高一数学试题 副标题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足，则z的虚部为(    ) A. B. 1 C. D. i 【答案】B  【解析】解：由题意得，， 所以z的虚部为 故答案选： 2.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则圆锥的高为(    ) A. B. C. D. 5 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了圆锥的侧面展开图，属于基础题. 设圆锥底面半径为r，由题知，得出r，由勾股定理得出圆锥的高. 【解答】 解：设圆锥底面半径为r，由题知， 解得， 所以， 故选 3.的值为  A. B. C. D. 1 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查两角和与差的正弦函数，考查诱导公式与两角和的余弦公式的逆用，属于中档题． 由诱导公式知， ，逆用两角和的余弦公式即可求得答案． 【解答】 解： ，              故选 4.，，，则a， b，c的大小关系是    A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，余弦函数的性质等，属于中档题. 利用二倍角和同角间的关系化简a，b，c，结合余弦函数的单调性比较即可. 【解答】 解：， ， ， 在上单调递减， 故选 5.平面向量，，若，则(    ) A. B. 1 C. D. 2 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量平行关系的坐标表示，属于基础题. 利用平面向量平行的坐标表示即可求解. 【解答】 解：依题意，，， 则，，解得， 故选 6.已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为    A. B. 2 C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 先利用函数对称轴可得，又由在上为单调函数，列不等式可得间的不等关系，进而可得的最大值. 【解答】 解：函数一条对称轴为，， ，的对称轴可以表示为， 令，则，在上单调， 则，使得，解得，由，得， 当时，取得最大值为 故选 7.洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底B在同一平面内的两个测量基点C与D，现测得，在C点测得九龙鼎顶端A的仰角为，在D点测得九龙鼎顶端A的仰角为，则九龙鼎的高度    参考数据：取 A. 44m B. 33m C. 40m D. 30m 【答案】B  【解析】【分析】 设，，，在中，由余弦定理求解即可. 本题主要考查余弦定理的实际应用. 【解答】 解：设，由题意可得， 由题意知：， 在中，由余弦定理可得， 得：，得： 故选： 8.已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为        A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了向量模长，数量积，坐标运算，圆的性质，属于较难题. 先求出向量，的夹角，建立直角坐标系，设出向量，根据得到点在圆上，因为表示点到x轴上点的距离，利用圆的性质，得到最值. 【解答】 解：设向量，夹角为，则，根据，所以 不妨设， 则，， 因为，所以， 所以点到点的距离为2，故点P在以圆心半径的圆上. 表示点到x轴上的点的距离， 圆心M到x轴距离为，故PQ的最小值为，即的最小值为 故选 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数为虚数单位，为z的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是  A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. C. 的实部为 D. 的虚部为 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查复数的概念，复数的四则运算，共轭复数，复数的模，属于中档题. 根据复数的运算以及共轭复数的定义，求出复数，然后逐项判断即可. 【解答】 解：由，则， 所以， A.在复平面内对应的点为，在第四象限，故A正确； B.，故B正确； C.的实部为，故C正确； D.的虚部为，故D错误. 故选 10.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是        A. 角C一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查正弦定理、余弦定理，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，基本不等式，属于中档题. A.对题干中的式子用二倍角公式化简得，得，故C为钝角； B.由余弦定理化简后可判断； C.由正弦定理和余弦定理化简，结合选项B的结论可判断； D.运用两角和的正切公式化简，再运用基本不等式可判断. 【解答】 解：由题得， ， 对于A，由题可得，，，， ，又，，故C为钝角，A错误; 对于B，由余弦定理， 将代入可得， ，故B正确; 对于C，由正弦定理和余弦定理， ， 由B得，，故， ， 即，故C正确; 对于D，由选项C知， 所以， 由A选项知C为钝角，则A为锐角，有， ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 则的最大值为，故D错误. 故选 11.已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是        A. 四面体 D 的外接球的表面积为 B. 四面体 D 体积的最大值为 C. 点 D的运动轨迹的长度为 D. 边 AD旋转所形成的曲面的面积为 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查空间直线与平面的位置关系，球体表面积，考查折叠前后的变化及最值和运用平面几何知识解决的方法，同时考查棱锥体积的计算，属于较难题. 如图，取AC中点为连接BE，，故AC的中点E为三棱锥外接球的球心，半径为，即可求解A，B，因为的最小值为，所以面与面ABC夹角为，即可得到C，D， 【解答】 解：如图，取AC中点为连接BE，， 对于A，正方形ABCD翻折后，，， 故AC的中点E为三棱锥外接球的球心，半径为， 故四面体的外接球的表面积为，故A正确; 对于B，当面面ABC时，四面体的体积最大，最大值为，故B错误; 因为的最小值为，且，所以面与面ABC夹角为， 所以点 D翻折了，且是半径为的弧长， 所以点 D的运动轨迹的长度为，C正确； 边 AD旋转所形成的曲面的面积为，故D正确. 故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，，点C在内，且，设、，则等于________ 【答案】3  【解析】【分析】 本题考查平面向量基本定理的应用. 利用平面向量基本定理将向量沿与方向进行分解，找出向量在两个基底向量方向上的分量，再对照已知条件即可得到答案;本题还可以建立直角坐标系，运用向量的坐标运算解决问题. 【解答】解：法一：由于，所以，过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为M，N， 则，设，由于，则 ， 又， 法二：由于，可以建立如图所示的直角坐标系． 则，， ， ， 13.在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 求角_______ 【答案】解：由正弦定理得， 因为， 所以 所以， 即， 又，所以， 即，又， 所以，所以   【解析】本题考查三角恒等变换，考查正弦定理的应用，属中档题. 根据正弦定理及两角和与差的三角公式化简即可求解； 设，则，由正弦定理得，又，结合三角形面积公式求解即可. 14.如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为          ；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，，则的最小值为          . 【答案】2 ；   【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积、平面向量基本定理、线性运算和基本不等式求最值，属于一般题. 选取向量，为基底，把，用基底表示出来，再求出数量积即可; 用，表示出，再利用共线向量的推论结合基本不等式求出最小值. 【解答】 解：在DABC中，，， 设， 则， 由D，P，C三点共线，得，解得，因此， 因为，，， 于是 ，解得 因为，，，，则有， 而M，P，N三点共线，因此， 则， 当且仅当，即取等号， 所以当，时，取得最小值 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 分已知，， 若，求实数m、n的值； 若，求的最小值． 【答案】解：由，，； 且， ， 解得，； 设，则， 又， 由知， ， 即， ， 即的最小值为  【解析】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，属于综合性题目． 由平面向量的线性运算与坐标表示，列出方程组求出m、n的值； 设，根据平面向量的共线定理求出x、y的关系，再求的最小值． 16.本小题15分 分某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为60 cm的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到. 求石凳的体积与原正四面体的体积之比； 为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 【答案】解：被截得的一个小正四面体与原正四面体的底面三角形边长之比为， 高之比也为， 所以体积之比为， 因此石凳的体积与原体积之比为； 因为72a7e501c724e6ab2bb96a933e5ae511， ， 所以几何体的表面积为： 31eabb7873b9185bcfaa0181c6027a39， 而元， 所以粉刷一个石凳需要元.  【解析】本题考查几何体的体积和表面积，属于中档题. 计算出正四面体与原正四面体的底面三角形边长之比为，可得石凳的体积与原体积之比； 计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳需要多少钱. 17.本小题15分 分在中，分别为内角所对的边，且满足 求角A的大小； 现给出三个条件：①；②；③试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择_______，并以此为依据求的面积.注：只需写出一个选定方案即可 【答案】解:由，得， 即，即， 即，即    ，，，故   选择①②.    由正弦定理，得      【解析】本题主要考查了正弦定理，三角形面积的应用． 利用两角和公式，二倍角公式，辅助角公式，对已知等式化简求得的值，进而求得A； 选择①②，先求得b和的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积； 18.本小题17分 分如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD和BC上的动点，且 若E，F分别是CD，BC的中点，求； 若E，F分别是CD，BC的中点，N是线段EF上的任意一点，求的最大值； 若，求的最小值. 【答案】解：以点A为原点建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，，， 由E，F分别是CD，BC的中点， ， ，， 由知，设， 则， ，， ， ， 当时，取得最大值为 设，由，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值是   【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，三角恒等变换的综合应用，考查正弦型函数的最值，属于较难题. 构建平面直角坐标系，写出对应点的坐标，应用向量数量积的坐标运算求即可； 设，由求N关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求出的最大值； 设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及正弦函数的性质求出的最小值. 19.本小题17分 分已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. 记向量的相伴函数为，若当且时，求的值; 已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由. 记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】解：向量的相伴函数为， ， ，， 由为的相伴特征向量知： 所以 设，，，，， 又， ， ，， 又， 当且仅当时，和同时等于，这时式成立. 在图像上存在点，使得 向量的相伴函数为 当时，，即， 恒成立. 所以当，时，，所以 即，由于，所以的最小值为， 所以 当，，不等式化为成立. ⅲ当，时，，所以，即 ，由于，所以的最大值为， 所以 综上所述， k的取值范围是  【解析】本题主要考查三角函数和向量的综合应用，根据伴随向量的定义，以及利用辅助角公式，两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，属于较难题． 根据方程，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可； 根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合向量垂直建立方程关系进行求解； 建立的不等式关系，讨论满足不等式成立的k的取值范围，注意不等式运算中的变号. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$