云南省西双版纳傣族自治州景洪市曲靖一中景洪学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷第 1 页，共 4 页 曲靖一中景洪学校 2024-2025 学年下学期高一年级期中考试 数学 试卷 试卷满分：150 分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 第 I 卷（选择题，共 58 分） 一、单选题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合 2{0, ( 1)i}( )A m m m= + − R ， {1, 2i}B = − ，若 {1}A B = ，则（ ） A． 1m = − B． 0m = C． 1m = D． 2m = 2．已知 ,m n是两条不重合的直线， ,  是两个不重合的平面，下列说法错误的是（ ） A．若m ⊥ ，则“ n ∥ ”是“ m n⊥ ”的必要条件 B．若m  ，n  ，则“ m n∥ ”是“ m ∥ ”的充分条件 C．若m ⊥ ，则“ m ⊥ ”是“ ∥ ”的充要条件 D．若m ∥ ，则“ m n∥ ”是“ n ∥ ”的既不充分也不必要条件 3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C   ，且 //O A B C   ， 2 2 4O A B C A B     = = = .则该平面图形的面积为（ ） A．12 2 B．9 2 C．8 2 D． 6 2 4．如图，已知 AB a= ， AC b= ， 4BC BD= ， 3CA CE= ，则DE =（ ） A． 3 1 4 3 b a− B． 5 3 12 4 b a− C． 3 1 4 3 a b− D． 5 3 12 4 a b− 5．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱 1 18AA = ，底面 ABC 边 AB上的 高为 h .当底面 ABC水平放置时水面高度为 16（如图①）.当侧面 1 1AA B B水 平放置时（如图②），水面高度为（ ） A． 1 3 h B． 1 2 h C． 2 2 h D． 2 3 h 6．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲 塔的高度，在地面C 处测得塔在南偏东30 的方向上，向正南方向行走15 2后到达 D处， 测得塔在南偏东75 的方向上，D处测得塔尖A 的仰角为60 ，则可得龙洲塔高度为（ ） A．15 2 B． ( )15 6 2 2 + C．15 3 D． ( )15 6 2 2 − 答案第 2 页，共 4 页 7．下列选项错误的是（ ） A．复数6 5i+ 与 3 4i− + 分别表示向量OA与OB ，则向量BA表示的复数为9 i+ B．若复数 z 满足 1 2i 1z + − = ，则 z 的最大值为1 5+ C．若复数 1 2,z z ，满足 1 1 2 2 1 i, 2 i z z z z = − = + ，则 2 2 1 2 3 10 2 z z+ = D．若2i 3− 是方程 ( )22 0 ,x px q p q+ + = R 的一个根，则 12, 26p q= − = 8．已知 ( )f x 是定义在R 的奇函数，且 ( ) ( )2 2f x f x+ = − ．若 ( )1 2f = ，则 ( ) 10 1k f k = = （ ） A． 2− B．0 C．2 D．4 二、多选题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选 对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9．下列说法正确的是（ ） A．若 | | 2a = ， | | 2b = ，则a b B．在 ABC 中，若 AB AC= ， 4BC = ，则 8BA BC = C．已知向量 (2, 1)a = − ， ( ,1)b x= ， a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是 1 ( , 2) 2, 2   − −  −    D．已知 a ，b ， c 为 ABC 的内角A ， B ，C 的对边，则“ sin sinA B ”的充要条件是“ A B ” 10．欧拉公式 ie cos isinx x x= + 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立 了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式， 下列选项中正确的是（ ） A． 2π i 3e 对应的点位于第二象限 B． π i 2e 为纯虚数 C． πie 3 i+ 的模长等于 1 2 D． π i 6e 的共轭复数为 1 3 i 2 2 − 11．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的棱长为2, ,E F 分别是 1,AD DD 的中点，点 P 是底面 ABCD内一动点，则下 列结论正确的为（ ） A．存在点 P ，使得FP∥平面 1 1ABC D B．过 , ,B E F 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C．三棱锥 1 1 1C A B P− 的体积不为定值 D．三棱锥F ACD− 的外接球表面积为9π 试卷第 3 页，共 4 页 第 II 卷（非选择题，共 92 分） 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12．若向量 ( ) ( )4,2 , 1,3a b= − = ，则 a 在 b 方向上的投影向量的坐标为 . 13．如图，已知一个半径为 2 的半圆面剪去了一个等腰三角形 ABC，将剩余部分绕着直径 AB所 在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 . 14．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c，若 3a = ，且 2 2 23b c bc a+ = + ，则 A = ， ABC 的面积最大值是 ． 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13 分）（题源：必修二 P171 第 14 题） 如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，E， F 分别是棱 1AA ， 1CC 的中点． (1) 证明：E， B ， F ， 1D 四点共面； (2) 求平面 1EBFD 与平面 ABCD夹角的正弦值． 16．（15 分）（题源：必修二 P54 第 22 题） 在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知 4a = ， 2π 3 C = ，D为 AB边上一点． (1) 若D为 AB的中点，且 3CD = ，求b ； (2) 若 ABC 的面积为 4 3，且CD平分 ACB ，求CD的长． 17．（15 分）（题源：必修二 P171 第 13 题） 如图，在四棱锥P ABCD− 中，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，PA⊥平面 ABCD，Q为棱PD的中点. (1) 求证： / /PB 平面 ACQ； (2) 已知： AQ PD⊥ ： ①求直线 PC 与平面 ACQ所成角的正弦值； ②求点 P 到平面 ACQ的距离. 答案第 4 页，共 4 页 18．（17 分）（题源：必修二：P45 和 P53 第 13 题） （1）请写出正弦定理，并利用已经学过的知识来证明正弦定理． （2） 如下图是西双版纳州花卉园的精心规划. 如图所示，将展区中扇形空地 AOB分隔成三部分建成花卉观 赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60 米， π 3 AOB = ，动点 P 在扇形 AOB的弧上，点Q在 半径OB 上，且 //PQ OA . (i) 当 40OQ = 米时，求分隔栏 PQ的长； (ii) 综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角OPQ的面积S的 最大值. 19．（17 分）（题源：必修二 P37 第 15 题） 设平面内两个非零向量m ， n 的夹角为 ，定义一种运算“ ”：m n = sinm n ．试求解下列问题： (1) 已知向量 a ， b 满足 ( )3, 2a = ， 4b = ， 8a b = ，求a b 的值； (2) 在平面直角坐标系中，已知点 ( )1, 2− −A ， ( )4, 1B − − ， ( )3,1C − ，求 AB BC 的值； (3) 已知向量 1 3 , cos sin a     = −    ， 3 1 , sin cos b     =     ， π 0, 2        ，求a b 的最小值．