精品解析：山东省青岛第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

青岛二中2024-2025学年第二学期期中考试一高一数学试题 满分：150分 时间：120分钟 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得，进而利用复数的乘法运算得，最后利用共轭复数的概念及虚部的概念求解即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点坐标为，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：D 2. 已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（ ） A. B. C. D. 不存在这样的向量 【答案】A 【解析】 【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出. 【详解】由零向量与任意向量平行，故满足条件； 若，由且，得，这与条件矛盾，故排除； 综上所述，. 故选：A. 3. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得：， 所以， 因为，所以， 所以或， 故选：C 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若a，b是两条相交直线，且平面，则与相交 B. 若a，b是两条平行直线，且平面，则 C. 若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 D. 若a，b是两条平行直线，，是两个不同的平面，，，，则， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，若，是两条相交直线，且平面，则与相交，或，故A错误； 对于B，若，是两条平行直线，且平面，则平面，或，故故.错误； 对于C，若，是两条异面直线，与，都相交两条直线可能相交， 如，是异面直线，在上取一点，在上取两点、，连接，则与相交于点，并非异面直线，故错误； 对于D，因为，所以，， 又因为，，则；同理，，，可得，故正确.  故选：D. 5. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值. 【详解】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形. 根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故选：D. 6. 一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对角线组成的面称为对角面，易得正方体的对角面是一个矩形，而球截面在矩形正中间，与矩形的两条边相切，据此即可判断 【详解】由组合体的结构特征可知球与正方体的各面相切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有B符合 故选：B 7. 若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥的组合几何体的体积. 【详解】由题意，，，，， ， 所以原图形中，，，，， ， 所以梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体， ． 故选：D． 8. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数性质计算得出解析式，再结合三角形应用二倍角公式计算范围. 【详解】由图象相邻对称轴间的距离可知，，， 且，即， 是钝角三角形， 或（舍去），， ，，， ， 令，，， 由函数单调性可知在上单调递增，，且都取不到， 综上. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数（其中，，）部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. C. 函数在的值域是 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合“五点法”作图求出解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，，函数的最小正周期，即，解得， 由，可得，即，得， 因为，所以，因此. 对于A，函数的最小正周期，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，可得，所以值域是，故C正确； 对于D，令，可得，函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】先设出复数的表达式，根据纯虚数的性质得到满足的条件，再据纯虚数的定义、复数的运算、复数的模以及复数的几何意义等知识逐一分析选项. 【详解】化简，设，，则. 为了将分母实数化，给分子分母同时乘以，得到：  因为为纯虚数，所以其实部为，虚部不为，即，整理可得且.  对于选项A，，由可知，所以选项A正确.  对于选项B，，，则，所以，选项B正确.  对于选项C，由且可知，在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点，选项C错误.  对于选项D，表示所对应的点到点的距离. 点到原点的距离为，因为的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点，所以的最小值为，选项D错误.  故选：AB 11. 在直平行六面体中，，M为棱上的动点，四点均在球O的球面上，则（ ） A. 存在点M，使平面 B. 无论M的位置如何，三棱锥的体积为定值 C. 存在点M，使的周长为 D. 球O的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理得出平面，判断A，根据等体积计算判断B，根据展开图计算判断C，根据截面计算求解外接球半径判断D. 【详解】 A:由题意知直平行六面体的底面为菱形，且为等边三角形，连接，四边形为平行四边形， 所以，平面，不在平面内，平面，所以当点M与点D重合时，平面，A选项正确； B.同体换底思想，，不随M的位置发生变化， 其高即A到平面的距离不变，B选项正确； C.将平面与平面沿展开， 可得当三点共线时，最小，且最小值为， 所以周长的最小值为，故C错误； D.设为的外心，连接，，，过作平面的垂线，球心在此垂线上， 要满足到B，的距离相等，球心在垂线段的中点上.所以球O的半径为， 所以球O的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，满足，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的数量积的运算律求出，再由向量夹角公式求得，进而求得. 【详解】， ，， 所以， 因，则， 所以， 所以. 故答案为： 13. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥， 同时几何体是由8个底面边长为的等边三角形和边长为的6个正方形组成的一个14面体， 所以该几何体的表面积为： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中正确判定几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题. 14. 已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】延长AC，使得，进而得到B，G，D三点共线，再取取NC中点为H，得到得到求得最小值即可求解. 【详解】延长AC，使得， 令可知B，G，D三点共线， 时为AG最小值， 在中，，得， 又因为，所以是等边三角形，所以， 在中，， 取NC中点为H， ，, 所以 所以. 即求的最小值， 当时，有最小值， 在中，，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中i是复数单位. （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，a是正实数，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法法则及复数相等的条件列式求解即可. （2）利用除法运算化简，根据纯虚数的概念知，则然后根据的周期性求和即可. 【小问1详解】 因，，， 所以，即， 所以，解得实数a的值为2. 【小问2详解】 由题意得， 因为是纯虚数，所以，解得或， 又因为a是正实数，所以，所以， 所以 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. （1）求B； （2）若，，求a、c. 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式求出，即可得解； （2）首先求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理求出，最后解得即可. 【小问1详解】 因为， 即， 即， 由正弦定理可得， ，， ，，， ，. 【小问2详解】 由（1）可得. ，， ，又， 即， ，由，解得或. 17. 如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，. （1）求证：平面SCE； （2）若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接CE，先根据平行四边形的定义及性质证明，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG，利用基本事实得B，C，G，F四点共面，然后利用线面平行的性质定理得，然后利用平行四边形的性质确定点的位置. 【小问1详解】 连接CE，因为，即， 又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以， 又因为平面，平面SCE，所以平面SCE. 【小问2详解】 连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG， 因为，所以，所以B，C，G，F四点共面， 因为平面，平面BCGF，平面平面， 所以，所以四边形BCGF是平行四边形， 所以，所以，所以F为线段SE的中点. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，. （1）求a； （2）求的面积； （3）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由利用二倍角公式得，再由正弦定理即可得解； （2）由余弦定理和已知得，由等式两边的取值范围可得，，利用余弦定理得，从而可得三角形面积； （3）以B为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点轨迹方程，即（为变量），代入利用辅助角公式即可解决问题. 【小问1详解】 根据题意，， 因为，所以， 由正弦定理得，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，， 代入，得， 两边同除以2bc，， 由于，当且仅当时等号成立，而， 当且仅当时等号成立，即， 由余弦定理，即， 的面积； 【小问3详解】 由（1）（2）可知，，，所以， 以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则，，，， ， ， 故可设（为变量）， ，当且仅当 所以的最小值为. 19. 已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. （1）求元素个数最小的数环； （2）记，证明：是数域； （3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）不一定是数域，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先证为数环，再证其为元素最少的数环； （2）设，，，再利用数环、数域的定义证明即可； （3）先取，说明是数域；再证为数域，接着取，即可得出是不是数域. 【小问1详解】 因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为. 【小问2详解】 设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：数域. 【小问3详解】 不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中2024-2025学年第二学期期中考试一高一数学试题 满分：150分 时间：120分钟 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 2. 已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（ ） A. B. C. D. 不存在这样向量 3. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若a，b是两条相交直线，且平面，则与相交 B. 若a，b是两条平行直线，且平面，则 C. 若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 D. 若a，b是两条平行直线，，是两个不同平面，，，，则， 5. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（ ） A. B. C. D. 7. 若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. C. 函数在的值域是 D. 函数的图象关于直线对称 10. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆 D. 的最小值为 11. 在直平行六面体中，，M为棱上的动点，四点均在球O的球面上，则（ ） A. 存在点M，使平面 B. 无论M的位置如何，三棱锥的体积为定值 C. 存在点M，使的周长为 D. 球O表面积为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，满足，且，则________. 13. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________. 14. 已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中i是复数单位. （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，a是正实数，求值. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. （1）求B； （2）若，，求a、c. 17. 如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，. （1）求证：平面SCE； （2）若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 18. 在中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，且，. （1）求a； （2）求的面积； （3）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 19. 已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. （1）求元素个数最小的数环； （2）记，证明：是数域； （3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $