专题06 计数原理与概率统计（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题06 计数原理与概率统计 题型概览 题型01随机变量及其分布列 题型02统计 题型03计数原理 题型04概率 随机变量及其分布列题型01 1．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知随机变量与服从正态分布，则 . 2．（2025·辽宁·一模）随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观的表示，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·三模）甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. (1)当时，求甲第二局获胜的概率. (2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 4．（2025·辽宁·一模）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求和； (2)求证：是等比数列； (3)求的数学期望（用表示）. 5．（2025·辽宁沈阳·二模）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 6．（2025·辽宁辽阳·一模）亚冬会于年月日至月日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为分、分、分.已知分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内. (1)已知甲回答分、分、分题目正确的概率分别为、、，求甲抽取次，抽到种不同分值的题目，且累积得分不低于分的概率； (2)若甲抽取次，记表示甲次抽取的题目分值之和，求的分布列和数学期望. 7．（24-25高三下·辽宁·开学考试）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁·一模）在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. (1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； (2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 10．（2025·辽宁·一模）心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态．某中学的学习研究小组设计创新性学习活动，用来研究学生在创新性学习活动中体验到心流是否与性别有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生在创新性学习活动中体验到心流”，“抽取的学生为女生”，． (1)求和，并解释所求结果大小关系的实际意义； (2)为进一步验证（1）中的判断，该研究小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值． 参考公式及数据：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 11．（2025·辽宁沈阳·一模）下列命题中正确的是（    ） A．已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C．已知，则中至少有一个为0 D．袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则 12．（2025·辽宁·一模）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. (1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； (2)从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明） 13．（2025·辽宁·一模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.            年龄次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； (3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14．（2025·辽宁沈阳·一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 统计题型02 15．（2025·辽宁沈阳·一模）若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·辽宁·一模）二项式的展开式中的常数项为 ． 17．（2025·辽宁辽阳·一模）某工人给排成一排的块地砖上色，可用颜色为固定的第号至第号，共种颜色，其中，.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第号至第号颜色（每种颜色至少使用一次，，），则称此方案为一种上色方案.当时，不同的上色方案共有 种. 18．（2025·辽宁·三模）下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·辽宁·一模）设，则（    ） A． B． C． D．若表示正数的整数部分，则 20．（2025·辽宁·一模）学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·辽宁葫芦岛·一模）5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由6个数字组成，则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·辽宁·一模）如图1，把一个圆分成n（）个扇形，每个扇形用k种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法． 如图2，有4种不同颜色的涂料，给图中的12个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答） 23．（2025·辽宁·一模）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·辽宁·三模）在正方体中，从直线以及该正方体的12条棱所在直线中任取2条直线，则这2条直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·辽宁·一模）数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（要想一笔画成，若有奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助上述内容一笔画完成图③的不同路径方法有 种. 26．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 计数原理题型03 27．（2025·辽宁沈阳·二模）为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（   ） A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.4 28．（2025·辽宁·一模）已知实数，则使和最小的实数分别为的（   ） A．中位数；平均数 B．中位数；中位数 C．平均数；平均数 D．平均数；中位数 29．（2025·辽宁·一模）有一组样本数据、、、，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，则（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值），则（    ） A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48 31．（2025·辽宁辽阳·一模）为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（    ） A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的众数大于乙得分的众数 C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 概率题型04 32．（2025·辽宁葫芦岛·一模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营． 高昂 较高 低廉 总计 DeepSeek 36 14 50 100 OpenAI 46 24 30 100 (1)请填写如下列联表，并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异； 高成本运营 低成本运营 DeepSeek OpenAI (2)对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知DeepSeek发布前openAI高成本运营占比为，设为DeepSeek发布后这两家公司抽取的个客户使用时的高成本运营占比，若，则可以认为DeepSeek的技术水平高于openAI，根据抽取的200个客户信息，是否能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI． 附：      0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 33．（2025·辽宁·三模）已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表： 去云南旅游 去河南旅游 合计 东小组 60 40 100 西小组 70 30 100 合计 130 70 200 由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为 （用百分数表示）， （填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关. 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 计数原理与概率统计 题型概览 题型01随机变量及其分布列 题型02统计 题型03计数原理 题型04概率 ( 题型01 ) 随机变量及其分布列 1．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知随机变量与服从正态分布，则 . 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布的特征求解即可. 【详解】解：设， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故答案为： 2．（2025·辽宁·一模）随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观的表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、二项分布的方差 【分析】由频率分布直观图可得A错误；由二项分布的概率公式令可得B正确；由二项分布的概率公式可得C正确；由二项分布的方差公式可得D正确. 【详解】对于A，由频率分布直观图可得可以取0，1，2，3，4，所以，故A错误； 对于B，由，所以，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：BCD 3．（2025·辽宁·三模）甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. (1)当时，求甲第二局获胜的概率. (2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，期望为. 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式即可求解, （2）①②根据全概率公式即可求解概率，进而根据期望公式求解. 【详解】（1）设“甲第局获胜”，其中，依题意得， 当时，由全概率公式得. ， 所以甲第二局获胜的概率为. （2）①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为， 依题意得，解得. ②的可能取值为2，3. ， 所以的分布列为 2 3 . 4．（2025·辽宁·一模）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求和； (2)求证：是等比数列； (3)求的数学期望（用表示）. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【知识点】由递推关系证明等比数列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）结合独立事件乘法公式出求，再利用全概率公式求. （2）利用全概率公式求得、与、的关系，再利用构造法证明等比数列. （3）求出的分布列及期望，再利用由（2）求出通项公式. 【详解】（1）依题意，，， ， . （2）设表示次取球后甲口袋有2个黑球，表示次取球后甲口袋有1个黑球， 表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球， 表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球， 当时， 则， ， ， ， 因此，即，， 所以是为首项为公比的等比数列. （3）依题意，的分布列为 0 1 2 期望，由（2）得， 所以. 5．（2025·辽宁沈阳·二模）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向左，向右，向上，向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 6．（2025·辽宁辽阳·一模）亚冬会于年月日至月日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为分、分、分.已知分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内. (1)已知甲回答分、分、分题目正确的概率分别为、、，求甲抽取次，抽到种不同分值的题目，且累积得分不低于分的概率； (2)若甲抽取次，记表示甲次抽取的题目分值之和，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）对甲抽取的个题目的分值进行分类讨论，确定每种情况下答题累积得分不低于分，利用独立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的所有可能取值为：、、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）若甲次答题累积得分不低于分，则甲抽取的个题目的分值可以是、、， 当甲抽取的个题目的分值是时，概率为， 要使得累积得分不低于分，则个题要全答对，所以，概率为； 当甲抽取的个题目的分值是时，概率为， 要使得累积得分不低于分，则个分题要答对，概率为； 当甲抽取的个题目的分值是时，概率为， 要使得累积得分不低于分，则个分题要答对，概率为. 故甲次答题累积得分不低于分的概率为. （2）的所有可能取值为：、、、、、、， ，， ， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 7．（24-25高三下·辽宁·开学考试）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】由独立重复事件概率公式即可求解； 【详解】由题意“莎头”组合以获胜，即前四局胜三局，负一局，第五局获胜， 所以获胜概率为：， 故选：D 8．（2025·辽宁·一模）在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. (1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； (2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 【答案】(1)可靠度   (2)见解析. 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据图表中的数据即可求出甲型部件的可靠度，再根据条件概率的定义即可求得这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； （2）根据题干可得一共有两种分配方案，分别计算出他们的概率比较大小即可得到优化方案. 【详解】（1）（i）甲型部件的总数为，根据题中表格统计指标在的甲型部件个数为， 故甲型部件的可靠度； （ii）又一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且， 故乙型部件的可靠度为，设“系统试验成功”为事件A,“两个甲型部件同时工作”为事件B， 设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件C， 则, 设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件D， 则, 设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件E， 则, , , , （2）（2）优化后系统可靠度提高了. 原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正常工作或三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所以可靠度提高了. 按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法： 方法一：（1）（2）放同型部件，（3）（4）放同型部件，不妨设（1）（2）放甲型部件（3）（4）放乙型部件，设此时可靠度为； 方法二：（1）（2）放不同型部件，（3）（4）放不同型部件，不妨设（1）（3）放甲型部件，（2）（4）放乙型部件，设此时可靠度为. ； 因为，所以，，即， 所以当时，两个方案都可以； 当时，方案二可靠度更高. 9．（2025·辽宁沈阳·二模）某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台APP的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在APP上推出了A和B两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券．下图是该商品日销售量y（单位：千件）与日访问量x（单位：万人次）的散点图：    (1)求出y关于x的回归方程，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品； (2)A款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有n次挑战机会，第n次无论成功与否都结束游戏．设X为游戏结束时，进行挑战的次数，X的数学期望为，证明：； (3)B款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的m值． 参考数据：，． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)，千件 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】错位相减法求和、求回归直线方程、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据最小二乘法可求线性回归方程，从而可求预测值； （2）先求出的分布列，再利用错位相减法求出期望后可得不等式成立； （3）就和分类讨论，对于后者，结合超几何分布可得，利用不等式组可得取何值时概率最大. 【详解】（1）由题意可得：，， ，， 所以回归方程，时，， 所以日访问量12万人时销售千件商品； （2）X可取值为， ，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 … n P … 故① 因为② 由①②得 ， 所以； （3）当时，Y只能取n，故m只能取n，有； 当时，整数m满足，其中t是0和中的较大者． 两次抽球包含的基本事件总数为， 事件“”所包含的基本事件数为， 此时， 当时，令， 整理得到：， 解得， 因为，所以， 当时，显然， 当时，， 所以， 故当时，取得最大值的整数或， 当时，取得最大值的整数， 其中为不超过的最大整数． 10．（2025·辽宁·一模）心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态．某中学的学习研究小组设计创新性学习活动，用来研究学生在创新性学习活动中体验到心流是否与性别有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生在创新性学习活动中体验到心流”，“抽取的学生为女生”，． (1)求和，并解释所求结果大小关系的实际意义； (2)为进一步验证（1）中的判断，该研究小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值． 参考公式及数据：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)4 【知识点】完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由对立事件的概率公式结合条件概率、全概率公式计算即可；实际意义由题干中结合所求概率可得； （2）完成列联表，计算卡方可得. 【详解】（1）因为， 所以由对立事件概率公式关系可得 代入， 所以， 由全概率公式可得， 即， 所以. 说明学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关. （2）完成列联表如下： 学生体验到心流 学生未体验到心流 合计 男生 女生 总计 ， 所以，所以的最值小值为4. 11．（2025·辽宁沈阳·一模）下列命题中正确的是（    ） A．已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C．已知，则中至少有一个为0 D．袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则 【答案】BCD 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、计算条件概率、复数代数形式的乘法运算、超几何分布的分布列 【分析】根据条件概率的概念，可判断A的真假；利用“插空法”判断B的真假；根据复数的运算，判断C的真假；根据超几何分布的表示方法判断D的真假. 【详解】对A：家庭由两个小孩的样本空间为：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），已知两个小孩中有女孩的条件下，样本空间为：（男，女），（女，男），（女，女），所以两个小孩中有男孩的概率为，而不是，故A错误； 对B：问题相当于在7盏亮的路灯间插入3盏不亮的灯，7盏灯之间有6个空，所以满足条件的不同的关灯方法有：种，故B正确； 对C：设，，由，得：，即. 当时，则，若，则；若，则，即. 当时，由①得：，代入②得：，所以，，即. 所以中至少有一个为0，故C正确； 对D：超几何分布，其中是总体个数，是总体中的黑球数，是抽取的个数，所以黑球个数，故D正确. 故选：BCD 12．（2025·辽宁·一模）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. (1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； (2)从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【知识点】用频率估计概率、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）用样本频率估计总体概率即可求解； （2）用样本频率估计概率，求出“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”的概率为，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解； （3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出的数学期望，再比较大小即可. 【详解】（1）记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”， 则估计. （2）记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”， 根据题中数据，. 的可能取值为， ， ， ． . 的分布列为 0 1 2 3 . （3）由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120， 则易求， ，故. 13．（2025·辽宁·一模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.            年龄次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； (3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关 (2)分布列见解析；期望为 (3) 【知识点】卡方的计算、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案； （3）利用全概率公式即可得到答案. 【详解】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列：： 0 1 2 所以的数学期望为. （3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件，则， ， 所以 所以小明星期天选择跑步的概率为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解. 14．（2025·辽宁沈阳·一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、独立重复试验的概率问题、3δ原则 【分析】（1）分析可知，，利用正态分布原则可求得的值； （2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后的可得出结论； （3）利用泊松分布得出，由，得出，然后构造函数，结合函数的单调性比较与的大小，以及与的大小，即可得出的最大值. 【详解】（1）因为当，且时，可近似地认为，即， 这里，， 所以， . （2）①若，则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. （3）由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 又因为，需要比较与的大小， 而，所以，相当于比较与的大小， 构造函数， 所以，对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且， 所以，，所以，， 即， 且，需要比较与的大小关系，而， 所以相当于比较与的大小， 构造函数，其中，且， ， 当时，，所以，函数在上单调递增， 即，即，即， 因此，的最大值为. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. ( 题型02 ) 统计 15．（2025·辽宁沈阳·一模）若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据给定条件，利用二项式定理变形，再逐项判断得解. 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 16．（2025·辽宁·一模）二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】60 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 17．（2025·辽宁辽阳·一模）某工人给排成一排的块地砖上色，可用颜色为固定的第号至第号，共种颜色，其中，.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第号至第号颜色（每种颜色至少使用一次，，），则称此方案为一种上色方案.当时，不同的上色方案共有 种. 【答案】 【知识点】涂色问题、其他排列模型 【分析】不妨将块排成一排的地砖从左至右依次记为、、、，分析可知，一定有块地砖同色，列举出同色的情况，结合排列计数原理与分步乘法计数原理可得结果. 【详解】不妨将块排成一排的地砖从左至右依次记为、、、， 用种颜色给地砖上色，每种颜色至少使用一次，相邻地砖不能同色，所以一定有块地砖同色， 同色的情况有、、，共种， 所以，共有种不同的上色方案. 故答案为：. 18．（2025·辽宁·三模）下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项展开式的通项公式求常数项即可. 【详解】设二项展开式的第为常数项. 对A：由，由，所以展开式的第6项为常数项，即的展开式有常数项； 对B：由，由，所以展开式的第5项为常数项，即的展开式有常数项； 对C：由，由，所以的展开式的第9项为常数项，即的展开式有常数项； 对D：由，由，所以的展开式不存在常数项. 故选：D 19．（2025·辽宁·一模）设，则（    ） A． B． C． D．若表示正数的整数部分，则 【答案】ACD 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、整除和余数问题 【分析】令可得A正确；令可得B错误；令，再由偶数项的和可得C正确；由二项式定理的整除可得D正确. 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，令，可得，故B错误； 对于C，令，可得， 所以， 所以，所以，故C正确； 对于D， 所以，故D正确； 故选：ACD 20．（2025·辽宁·一模）学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】先用分步乘法计数原理得到共有6种选择，其中甲乙选择同一天的情况有2种，从而得到概率. 【详解】甲同学有3种选择，乙同学有2种选择，故共有种选择， 其中甲乙选择同一天的情况有2种，故甲乙选择同一天的概率为. 故选：C 21．（2025·辽宁葫芦岛·一模）5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由6个数字组成，则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型以及分步乘法计数原理计算可得概率. 【详解】根据题意可知某信号的6位数字均有“0”和“1”两种选择， 因此可以编码出种信号； 若信号编码中恰好有3个“1”，则其余三个数字是0，共有种信号， 因此该信号编码中恰好有3个“1”的概率为. 故选：B 22．（2025·辽宁·一模）如图1，把一个圆分成n（）个扇形，每个扇形用k种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法． 如图2，有4种不同颜色的涂料，给图中的12个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答） 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】利用已知条件可计算八个空格染色问题，剩下的可用分步分类计数即可. 【详解】染色问题按以下步骤进行： 第一步：给染色有4种方法； 第二步：给染色， 若与的颜色均不同，则可用颜色有3种， 根据已知条件可知：种； 若与其中一个的颜色相同，则有种方法； 若与两个的颜色相同，则有种方法 若与其中三个的颜色相同，则有种方法； 若与的颜色都相同，则有种方法： 第三步：给染色，因为已经染了色，所以分以下两类: 当与同色，给染色有：种； 当与不同色，给染色有：种； 利用分类分步原理可得：总有：种， 故答案为：. 23．（2025·辽宁·一模）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、组合数的计算 【分析】利用古典概型概率公式结合组合数计算可得. 【详解】10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级， 共种走法， 若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级， 共， 所以第二步走两级台阶的概率为. 故选：C 24．（2025·辽宁·三模）在正方体中，从直线以及该正方体的12条棱所在直线中任取2条直线，则这2条直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何组合计数问题 【分析】根据正方体的特点及古典概型的概率公式、组合计数求解即可. 【详解】因为， ，， ，， 所以这2条直线平行的概率为. 故选：D. 25．（2025·辽宁·一模）数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（要想一笔画成，若有奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助上述内容一笔画完成图③的不同路径方法有 种. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、其他计数模型 【分析】做出图形，两个奇点和分别做起点，求出与之间的途径的情况，再求出一笔完成的画法，，进而可得出答案. 【详解】如图，两个奇点和分别做起点，有两种情况， 与之间有三种途径：①，②，③， 其中一笔完成有种画法：， ， ， 若做起点，从出发有三种不同的路径能到达，从返回有两种不同的路径， 所以不同路径方法有种. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：求解分类、分步计数原理需要注意以下几点： （1）处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准； （2）分类时要满足要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定一个合理的分类标准； （3）分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续型. 26．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 【答案】D 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用的通项可得答案. 【详解】， 的通项为， 所以的系数是. 故选：D． ( 题型03 ) 计数原理 27．（2025·辽宁沈阳·二模）为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（   ） A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.4 【答案】A 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据频率分布直方图性质求解, 【详解】由题意成绩在区间内学生的频率为，因此， 故选：A 28．（2025·辽宁·一模）已知实数，则使和最小的实数分别为的（   ） A．中位数；平均数 B．中位数；中位数 C．平均数；平均数 D．平均数；中位数 【答案】A 【知识点】计算几个数的中位数、用中位数的代表意义解决实际问题、计算几个数的平均数 【分析】结合绝对值的几何意义和二次函数，根据中位数和平均数的定义判断即可. 【详解】，表示11个绝对值之和， 根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值， 因为11为奇数，所以取的中位数时，有最小值； 为关于的一元二次函数， 故当时，有最小值， 即为的平均数时，有最小值. 故选：A 29．（2025·辽宁·一模）有一组样本数据、、、，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为、、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】计算几个数的中位数、平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】利用平均数的性质可判断A选项；利用中位数的性质可判断B选项；利用方差的性质可判断C选项；分、两种情况讨论，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由平均数的性质可得，A对； 对于B选项，不妨设， 若为奇数，设，则数据、、、的中位数为， 若，新样本数据由小到大依次为、、、， 这组数据的中位数为； 当，新样本数据由小到大依次为、、、， 这组数据的中位数为； 若为偶数，同理可知，，B对； 对于C选项，由方差的性质可得，C对； 对于D选项，若、是、、、中最大值、最小值， 当时，则为、、、中的最大值， 为、、、中的最小值， 此时，； 当时，则为、、、中的最小值， 为、、、中的最大值， 此时，，D错. 故选：ABC. 30．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值），则（    ） A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48 【答案】B 【知识点】残差的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】先根据回归直线估计得出预测值，再残差计算求解计算求参. 【详解】因为y关于x的经验回归方程为， 所以预测值为，又因为残差=观测值-预测值， 所以， 所以. 故选：B. 31．（2025·辽宁辽阳·一模）为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（    ） A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的众数大于乙得分的众数 C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】BCD 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、由茎叶图计算平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】运用平均数、中位数及众数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可. 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲：，乙：， 甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲得分的众数，乙得分的众数为，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确； 甲得分的平均数，乙得分的平均数，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误； 由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确. 故选：BCD ( 题型04 ) 概率 32．（2025·辽宁葫芦岛·一模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营． 高昂 较高 低廉 总计 DeepSeek 36 14 50 100 OpenAI 46 24 30 100 (1)请填写如下列联表，并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异； 高成本运营 低成本运营 DeepSeek OpenAI (2)对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知DeepSeek发布前openAI高成本运营占比为，设为DeepSeek发布后这两家公司抽取的个客户使用时的高成本运营占比，若，则可以认为DeepSeek的技术水平高于openAI，根据抽取的200个客户信息，是否能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI． 附：      0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异 (2)能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI 【知识点】独立性检验解决实际问题、用频率估计概率 【分析】（1）根据题意完成列联表，根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论； （2）利用频率估计概率求得，根据已知条件求得，故可知，从而得出结论. 【详解】（1）根据题意可得列联表： 高成本运营 低成本运营 DeepSeek 50 50 OpenAI 70 30 可得 因为， 所以有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异． （2）由题意可知：DeepSeek发布后这两家公司的高成本运营占比， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以，能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI． 33．（2025·辽宁·三模）已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表： 去云南旅游 去河南旅游 合计 东小组 60 40 100 西小组 70 30 100 合计 130 70 200 由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为 （用百分数表示）， （填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关. 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】 没有 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率 【分析】由表中数据，利用古典概型，可得空1的答案；由表中数据，根据独立性检验的解题思想，可得空2的答案. 【详解】由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为. 因为， 所以没有的把握认为游客的选择与所在的小组有关. 故答案为：，没有. 9 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$