专题05 平面解析几何（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题05 平面解析几何 题型概览 题型01圆锥曲线 题型02圆与方程 题型03直线与方程 圆锥曲线题型01 1．（2025·辽宁辽阳·一模）对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆且，则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点. (1)求椭圆的标准方程. (2)不过点的直线与椭圆交于、，且直线与直线的斜率之积为. ①证明：直线过定点. ②试问在轴上是否存在点，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由. 2．（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·一模）在正三棱台中，分别是线段上的点，是上、下底面的中心，是底面内一点，下列结论正确的是（    ） A． B．若平面，则点的轨迹长等于 C． D．当时，四点构成的图形为直角梯形 4．（2025·辽宁·一模）的最大值为 . 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 (1)求抛物线的标准方程； (2)线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 7．（2025·辽宁·一模）已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则 . 8．（2025·辽宁辽阳·一模）设抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，记点到直线的距离为，且.若点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁·一模）已知圆为坐标原点，过圆上一动点作圆的切线交圆于两点，直线交圆于两点. (1)四边形的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明； (2)对平面上所有点进行如下变换，（即：原坐标在这个变换下的新坐标为），圆、圆、直线分别变换成，点变换成. ①写出的方程，与是否相切，证明你的结论； ②四边形的面积是否是定值，请说明理由. 10．（2025·辽宁葫芦岛·一模）若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是 ． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 12．（2025·辽宁·一模）已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”． (1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆，对应的分别为，如图所示，直线与椭圆依次交于M，N，P，Q四点，证明：． (2)当时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设． （i）求证：为等比数列，并求出其通项公式； （ii）令数列，求证． 13．（2025·辽宁·三模）已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 14．（2025·辽宁大连·一模）在平面内，存在定圆M和定点A，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q轨迹叙述正确的是（   ） A．当点A与圆心M重合时，点Q的轨迹为圆 B．当点A在圆M上时，点Q的轨迹为拋物线 C．当点A在圆M内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆 D．当点A在圆M外时，点Q的轨迹为双曲线 15．（2025·辽宁沈阳·二模）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 16．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知，，直线，交于点，且直线，的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)设直线与曲线相切，是否存在使得相应的为整数?若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)设直线与曲线交于点，两点，点为弦的中点，满足，且直线，与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程． 17．（2025·辽宁·三模）如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉璧长，宽，玉璧中心的椭圆形孔长，宽，设该玉璧的外轮廓为椭圆，玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆，则（    ） A．的离心率等于的离心率 B．的离心率小于的离心率 C．的离心率大于的离心率 D．与的离心率无法比较大小 18．（2025·辽宁·一模）已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（   ） A．记的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 19．（2025·辽宁抚顺·一模）若抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 20．（2025·辽宁·一模）已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为 . 22．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比． (1)已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程； (2)已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程； (3)已知抛物线作“伸缩变换” ，得到﹐对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，其中，若，求数列的通项公式． 23．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知过点的直线l与抛物线交于点A，B两点.若A，B的横坐标分别为.则（    ） A． B． C．0 D．2 25．（2025·辽宁·一模）已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·辽宁·一模）若抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4，则的值为（    ） A．18 B．4 C．2或18 D．4或9 27．（2025·辽宁·一模）在棱长为1的正方体中，为平面内一点（含边界），为平面内一点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若，则点轨迹为圆的一部分 B．若，则点轨迹为椭圆的一部分 C．若点到与到的距离相等，则点轨迹为抛物线的一部分 D．若点到的距离为1，则点轨迹为双曲线的一部分 28．（2025·辽宁·一模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点. （i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 29．（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求C的方程； (2)若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程； (3)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 31．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 圆与方程题型02 32．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ． 33．（2025·辽宁辽阳·一模）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，记的轨迹为曲线，直线与交于两点，当取得最小值时，的值为 . 34．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 35．（2025·辽宁·一模）已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（    ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为 D．点在底面内，且，则点轨迹的长度为 直线与方程题型03 36．（2025·辽宁抚顺·一模）函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． 37．（2025·辽宁·一模）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面解析几何 题型概览 题型01圆锥曲线 题型02圆与方程 题型03直线与方程 ( 题型01 ) 圆锥曲线 1．（2025·辽宁辽阳·一模）对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆且，则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点. (1)求椭圆的标准方程. (2)不过点的直线与椭圆交于、，且直线与直线的斜率之积为. ①证明：直线过定点. ②试问在轴上是否存在点，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②答案见解析. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的标准 方程； （2）①设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据求出的值，化简直线的方程，可得出直线所过定点的坐标； ②设点，利用韦达定理结合斜率公式化简，结合为定值求出的值，即可结论. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 故椭圆的标准方程为. （2）①设、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 因为，， 所以， ， 整理可得，即，解得或， 若，则直线的方程为，此时，直线过点，不合乎题意， 所以，，所以，直线的方程为，则直线过定点； ②由①可知，，， 设点，则，， 所以， ， 要使得直线、的斜率之积为定值，只需，解得， 当时，； 当时，. 故在轴上存在点，使得直线、的斜率之积为定值， 当点的坐标为时，直线、的斜率之积为定值； 当点的坐标为时，直线线、的斜率之积为定值. 2．（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 3．（2025·辽宁·一模）在正三棱台中，分别是线段上的点，是上、下底面的中心，是底面内一点，下列结论正确的是（    ） A． B．若平面，则点的轨迹长等于 C． D．当时，四点构成的图形为直角梯形 【答案】AC 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题 【分析】A选项，作出辅助线，建立空间直角坐标系，设，，写出点的坐标，计算出，A正确；B选项，作出辅助线，得到线面平行，得到的轨迹长度为，并根据余弦定理求出轨迹长度；C选项，利用等体积法和大减小求出，C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】A选项，显然⊥底面，取的中点，连接， 过点作，交于点，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 则， 所以， 故，A正确； B选项， 取的中点，连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 故当在上时，满足平面， 故的轨迹长度为，其中， 由余弦定理得， 点的轨迹长不等于，B错误； C选项，，， ，， 又棱台的体积为 ， 所以，C正确； D选项，四边形为等腰梯形，当与重合，时， ，但此时与平行，故与不平行， 此时四点构成的图形不为直角梯形，D错误. 故选：AC 4．（2025·辽宁·一模）的最大值为 . 【答案】25 【知识点】利用平方关系求参数、定点到圆上点的最值（范围）、求椭圆中的最值问题 【分析】将等式转化为点到点的距离问题，然后再得到两动点的轨迹，找到两点之间的最大距离即可. 【详解】设. 则在椭圆上，在圆上. . 设是上一点， ， ∵，∴，即， ∴当共线的时，取最大值，此时最大，最大值为5， ∴. 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于第三边且三点共线时能取得最值，即得结果. 【详解】依题意，抛物线中，，点到准线的距离， 故点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和为： ， 当且仅当A,P,F三点共线时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 (1)求抛物线的标准方程； (2)线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)①证明见解析;②9 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出即可； （2）①设分别求得的方程，求得和，根据，得到，再由的方程，求得的表达式，即可得证； ②由①，得到和，由和，分别求得和，两式相减得，结合和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为抛物线焦点为， 则，即， 所以直线， 代入抛物线方程可得：， 即， 则，由题意，解得， 所以所求抛物线方程为. （2）①证明：设. 若，则直线斜率不存在， 由对称性，可知均在轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：方程：， 方程：.设， 因，则. 则直线与轴平行，设直线与线段交点为. 将代入直线方程， 则； 将代入直线方程， 则. 注意到 ，又，则两点重合， 即为线段与交点，且点三点共线； ②由（2），直线与轴平行， 则. 又，同理可得， 又由（2）， 则， 由，则， 即. 则 如图， 过作平行线，交为，则四边形为平行四边形， 结合，则. 因，则，结合， 则，又M为中点，则E为NC中点.则， 则四边形的面积 7．（2025·辽宁·一模）已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则 . 【答案】2 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据焦半径公式得到方程，求出. 【详解】由焦半径公式得，点到抛物线的焦点的距离，解得. 故答案为：2 8．（2025·辽宁辽阳·一模）设抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，记点到直线的距离为，且.若点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】由抛物线的定义可得，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，根据抛物线的焦点弦长公式可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得， 设点、，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立，可得， 则，由韦达定理可得， 所以，，故， 所以，，整理可得， 即，因为，解得. 故选：C. 9．（2025·辽宁·一模）已知圆为坐标原点，过圆上一动点作圆的切线交圆于两点，直线交圆于两点. (1)四边形的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明； (2)对平面上所有点进行如下变换，（即：原坐标在这个变换下的新坐标为），圆、圆、直线分别变换成，点变换成. ①写出的方程，与是否相切，证明你的结论； ②四边形的面积是否是定值，请说明理由. 【答案】(1)是， (2)①，与相切，证明见解析；②四边形的面积是定值，理由见解析 【知识点】圆的弦长与中点弦、讨论椭圆与直线的位置关系、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）四边形对角线垂直，且对角线长不变； （2）①代入原方程后整理得到，讨论直线的斜率不存在，得到直线方程，证明是否相切；讨论的斜率存在时，设直线方程，由切线的性质建立关系，从而得到直线方程，联立后由判别式判断是否相切； ②讨论直线斜率存在时设，联立方程组，消得关于的一元二次方程，由韦达定理和交点弦长公式求得，得到到的距离，从而求出，由线段的比例得到的关系，然后得到四边形面积.讨论当斜率不存在时，直接得到点四边形定点坐标，求得四边形面积.从而证明面积为定值. 【详解】（1）由与垂直，四边形的面积， 四边形对角线互相垂直，且对角线长不变，所以四边形的面积为定值. （2）①由已知得的方程分别为为 若的斜率不存在时，的方程为，此时显然与相切 若的斜率存在时，设的方程为与相切得， 即 的方程为，代入， 得， 此时 所以只有一个交点，显然与相切 ②设，联立， 消得 将代入得，到的距离为， 所以 显然所以 所以四边形的面积 当直线的斜率不存在时，的斜率也不存在，此时 （或） 此时四边形的面积 所以四边形的面积是定值 【点睛】方法点睛： 证明直线为曲线的切线，只需联立方程组，消元得到一元二次方程后由判别式来判断方程解的个数即交点个数，即可证明切线关系. 10．（2025·辽宁葫芦岛·一模）若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线渐近线方程以及斜率范围，利用离心率表达式可得结果. 【详解】易知双曲线的一条渐近线的斜率为， 依题意可得，所以 所以双曲线离心率，又， 可知双曲线离心率的取值范围是. 故答案为： 11．（2025·辽宁沈阳·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、抛物线的对称性的应用 【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案. 【详解】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C． 12．（2025·辽宁·一模）已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”． (1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆，对应的分别为，如图所示，直线与椭圆依次交于M，N，P，Q四点，证明：． (2)当时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设． （i）求证：为等比数列，并求出其通项公式； （ii）令数列，求证． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析. 【知识点】由定义判定等比数列、裂项相消法求和、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意联立方程组，利用韦达定理表示交点横坐标之和，可发现线段的中点与线段中点重合，根据线段长度的减法可证得结论； （2）（i）根据题意联立方程组，求出点和的横坐标，利用两点间距离公式求得，即证得结论并得到通项公式；（ii）由已知条件得到，利用放缩法构造出新数列的不等式，利用裂项相消法求前项和即可证得结论. 【详解】（1）由题意，联立方程可得， ，即， 由图可知，椭圆与直线的交点为点，设，则， 同理，将与直线联立可得：， ，即， 可得，则线段的中点与线段中点重合，设为点， 即有，所以，即. （2）（i）由题意，联立方程可得，即. 因为交点在第一象限内，所以点的横坐标，同理可得点的横坐标， 则. 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为. （ii）由（i）可知，，则. 设， 设， 由时，，可得， ， 即. ， 即得证. 13．（2025·辽宁·三模）已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 【答案】(1)2 (2)①；②证明见解析 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的直线过定点问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和离心率公式，即可求解； （2）①直线方程与双曲线方程联立，根据向量共线的条件，结合韦达定理，即可求解； ②首先设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明定点问题. 【详解】（1）由题意可知， 则. （2）①解：直线的方程为， 联立得， . 设，则， 由，得， 代入，得， 则的方程为. ②证明：设的方程为. 联立得， ，且， . 因为， 所以， 即， 则， 整理得， 即. 因为点不在直线上，所以，则， 则， 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示坐标运算. 14．（2025·辽宁大连·一模）在平面内，存在定圆M和定点A，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q轨迹叙述正确的是（   ） A．当点A与圆心M重合时，点Q的轨迹为圆 B．当点A在圆M上时，点Q的轨迹为拋物线 C．当点A在圆M内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆 D．当点A在圆M外时，点Q的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【知识点】双曲线定义的理解、轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 【分析】根据选项中点A的位置，分析判断各选项即可. 【详解】当点A与圆M的圆心重合时，线段PA的中垂线与直线PM的交点Q， 即Q为PM的中点，因此点Q的轨迹为圆，故A选项正确； 当点A在圆M上时，PA的中垂线恒过圆心M，即点Q的轨迹为一个点M，故B选项错误； 当点A在圆M内且非圆心时，，则（其中r为圆M的半径）， 因此点Q的轨迹为以为焦点的椭圆，故C选项正确；    当点A在圆M外时，，则或（其中r为圆M的半径）， 因此点Q的轨迹为以为焦点的双曲线，故D正确.    故选：ACD． 15．（2025·辽宁沈阳·二模）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)（ⅰ）；（ⅱ）， 【知识点】求平面轨迹方程、根据方程表示双曲线求参数的范围、求直线与双曲线的交点坐标、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由化为，根据曲线为双曲线可得答案； （2）方法一：（ⅰ）由题意得，，设点，由求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程与双曲线方程联立， 由韦达定求出、，且可得答案；（ⅱ）由（ⅰ）得、，结合的范围可得求出的范围可得答案；方法二：（ⅰ）由题意得，，设点，由．求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程， 将两式作差，将直线BG方程代入并化简得可得答案；（ⅱ） 由（ⅰ）得的范围，可得答案． 【详解】（1）由，得， 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 则，则， 所以当，且时，曲线为双曲线； （2）方法一：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，，设点，由， 即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为，即， 联立，得， 由直线BG与双曲线有2个交点，则， 又因为满足， 由韦达定得，解得， 因为，且， 得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为，所以， 所以，可得，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以， 因为，则，则， ； 方法二：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，， 设点，由．即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为， 设点（，），因为， 所以，所以，， 同理，由， 两式作差得， 将直线BG方程代入并化简得（*） 所以，所以， 可得，即的取值范围为； （ⅱ）由（*）式可得， 所以， 由（ⅰ）得， 所以． 16．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知，，直线，交于点，且直线，的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)设直线与曲线相切，是否存在使得相应的为整数?若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)设直线与曲线交于点，两点，点为弦的中点，满足，且直线，与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）设点，，利用，求出曲线的方程； （2）联立直线与曲线的方程得，由直线与曲线相切可得，即，分别讨论，，时，的取值情况，从而得解； （3）设，，，，联立直线与曲线的方程得，由是弦的中点，可知，即，故列式可得或，分类讨论的取值情况，从而求得直线的方程． 【详解】（1）设点，则 于是， 整理得：. （2）由，消去得， 由，化简得， 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，．符合题意； 所以在该集合中存在，使得为整数，且 （3）设，，， 由，消去得 ， 由是弦的中点，可知， ， 整理得：， 因式分解：， 所以或． 当时，直线的方程为，过定点，即必过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，过定点． 因为为等腰三角形，且为底边，可求得， 所以当时，，即直线l的方程为， 当时，，即直线l的方程为． 【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去x或y建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. 17．（2025·辽宁·三模）如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉璧长，宽，玉璧中心的椭圆形孔长，宽，设该玉璧的外轮廓为椭圆，玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆，则（    ） A．的离心率等于的离心率 B．的离心率小于的离心率 C．的离心率大于的离心率 D．与的离心率无法比较大小 【答案】B 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆离心率公式，计算比较. 【详解】依题意可得的长轴长为，短轴长为的长轴长为1.6cm，短轴长为. 因为，所以， 又，所以越大，离心率越小，所以的离心率小于的离心率. 故选：B. 18．（2025·辽宁·一模）已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（   ） A．记的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、定点到圆上点的最值（范围）、求平面轨迹方程、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A选项；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断B选项；由抛物线的性质化简得，由的范围求得结果判断C选项；由图可知当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，即可判断D选项. 【详解】由题意可知，设，过点作轴于点，如图：    则，， ∴，即，∴，A选项正确； ∵由对称性可假设点在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号， 所以，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； 当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，，∴的最小值为：7，D选项正确. 故选：ACD. 19．（2025·辽宁抚顺·一模）若抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 【答案】3 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】将点代入抛物线方程，得，抛物线的焦点到准线的距离为. 【详解】将点代入抛物线方程， 得. 所以抛物线的焦点到准线的距离为3. 故答案为：3 20．（2025·辽宁·一模）已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】根据题目条件建立方程化简即可求解. 【详解】设， 则， 则由得：， 化简得：， 即点的轨迹是， 故选：C 21．（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由椭圆的定义和离心率的定义可得. 【详解】由可得复数在复平面内对应点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆， 所以， 所以离心率为. 故答案为： 22．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比． (1)已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程； (2)已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程； (3)已知抛物线作“伸缩变换” ，得到﹐对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，其中，若，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)或； (3). 【知识点】累乘法求数列通项、求椭圆中的弦长、求直线与椭圆的交点坐标、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）由伸缩变换的定义计算即可； （2）先由伸缩变换求得方程，分别与射线联立方程求A、B坐标，根据两点距离公式解方程即可； （3）由伸缩变换的定义计算，结合条件及累乘法，等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）由条件得，整理得，所以的方程为； （2）因为，关于原点“伸缩变换”， 对作变换，得， 联立，解得点的坐标为， 联立，解得点的坐标为， 所以，所以或， 所以或； 因此椭圆的方程为或； （3）对作变换， 得抛物线，得， 又因为，所以，即， 当时，， 得，适用上式， 所以数列的通项公式. 【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，学会将已经学习过的知识方法迁移到新的问题中. 23．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知过点的直线l与抛物线交于点A，B两点.若A，B的横坐标分别为.则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】由题意设出直线方程，联立抛物线方程，消去并写出韦达定理，代入所求代数式，可得答案. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为， 联立可得，消去可得， 由， 则，， 所以. 故选：D. 24．（2025·辽宁辽阳·一模）若双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 . 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由点在渐近线上可求得，再根据双曲线的性质计算实轴长即可. 【详解】由点在双曲线的一条渐近线上，可得， 则双曲线的渐近线方程为； 记坐标原点为，则，即． 因为，所以，，故实轴长为． 故答案为：；. 25．（2025·辽宁·一模）已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】解：设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故选：B. 26．（2025·辽宁·一模）若抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4，则的值为（    ） A．18 B．4 C．2或18 D．4或9 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出点的坐标，再代入抛物线方程即可得解. 【详解】因为抛物线的准线方程为， 因为抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4， 所以点的坐标为， 代入抛物线方程得，解得. 故选：B. 27．（2025·辽宁·一模）在棱长为1的正方体中，为平面内一点（含边界），为平面内一点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若，则点轨迹为圆的一部分 B．若，则点轨迹为椭圆的一部分 C．若点到与到的距离相等，则点轨迹为抛物线的一部分 D．若点到的距离为1，则点轨迹为双曲线的一部分 【答案】AC 【知识点】抛物线定义的理解、双曲线定义的理解、椭圆定义及辨析、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据各个选项的条件，结合圆，椭圆，抛物线，双曲线的定义逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若， 则点轨迹为平面内以为圆心，以1为半径的圆，故A项正确； 对于B，若， 则点为平面与以为轴、为底面半径的圆锥面的公共点， 轨迹为双曲线的一部分，故B项错误； 对于C，设与交于点，点到的距离等于， 若点到与到的距离相等，即点到点的距离与到的距离相等， 则轨迹为抛物线的一部分，故C项正确； 对于D，若点到的距离为1， 则点为平面与以为轴、为底面半径的圆柱面的公共点， 轨迹为椭圆的一部分，故D项错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：理解圆，椭圆，抛物线，双曲线的定义是解决本题的关键. 28．（2025·辽宁·一模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点. （i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）存在，，理由见解析；（ii）. 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、圆锥曲线新定义 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线，设为曲线上点旋转后的对应点，设，进而可求出的坐标，再代入曲线的方程，即可求出求出曲线的方程，进而可得出结论； （ii）根据题意问题可转化为：直线过定点与曲线交于，直线过定点与曲线交于，且，求四点构成四边形面积的最小值.分直线是否与重合讨论，当直线与重合时，设直线，联立方程，理由韦达定理求出，再根据弦长公式求出，同理求出，列出面积的表达式，进而可得出答案. 【详解】（1）因为，即， 绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点， 则，所以； （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线， 设为曲线上点旋转后的对应点， 设， 则， 又因为， 所以， 整理得， 点到点和点的距离之和为， 旋转时，曲线形状不变，所以为定值， 定点的坐标分别为； （ii）由（i）知曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线， 定点为曲线的两个焦点，在曲线对应点和点， 在旋转过程中图形不变，问题可转化为：直线过定点与曲线交于，直线过定点与曲线交于，且，求四点构成四边形面积的最小值. 与交点满足，且在椭圆内部， 当与重合时，； 当与不重合时，设直线， 联立，整理得， 则， 所以， 同理可得， ， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以四点构成四边形面积的最小值为， 即四点构成的四边形面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 29．（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】先确定椭圆的基本参数，根据，，结合二次函数的值域，可判断A的真假；取特殊点，可判断B的真假；数形结合，可判断C的真假；根据，可判断D的真假. 【详解】对椭圆，易得，，，因为为短轴的一个端点，不妨设.设为椭圆上一点.    对A选项：因为，所以，且. 所以. 所以当时，取得最小值1，；当时，取得最大值4.所以.故A正确； 对B选项：当点与点重合时，，， ，所以不正确，故B错误； 对C选项：显然，因为，所以当，，三点共线时，，所以错误，故C错误； 对D选项：设，又，所以，. 又. 又. 所以成立，故D正确. 故选：AD 30．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求C的方程； (2)若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程； (3)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题、根据弦长求参数 【分析】（1）将点的坐标代入方程可得，结合离心率算出a、b即可求解； （2）设l的方程为，联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求解即可； （3）设直线PA的方程为，直线PB的方程为，进而求出，再由正弦定理知，，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意得，将代入椭圆方程得， 又，解得， 故椭圆的方程为 （2）设l的方程为，则. 联立方程组，整理得， 则，即， 所以， 则， 解得，满足题设， 所以l的方程为. （3）设直线PA的方程为，则直线PB的方程为. 令，得，同理得，则. 在中，由正弦定理知，    同理可得. 因为，所以， 从而， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 31．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求抛物线的轨迹方程、数量积的坐标表示 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D ( 题型02 ) 圆与方程 32．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ． 【答案】 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、圆的弦长与中点弦、过圆内定点的弦长最值（范围）、直线过定点问题 【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式，得到弦长，计算即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径， 过定点 则圆心到直线的距离为， 可得截得弦长为， 弦长取得最小值时，. 故答案为：. 33．（2025·辽宁辽阳·一模）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，记的轨迹为曲线，直线与交于两点，当取得最小值时，的值为 . 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦 【分析】设，由有，由点到直线的距离公式有，即，分析的取值即可求解. 【详解】设，则由有， 即，则曲线是以圆心为，半径为的圆， 则圆心到直线的距离为， 则，当取最大值时，取得最小值， 所以，要使取最大值则，， 当取最小值时，取最大值， 所以当时，， 当时，等号成立， 所以，， 当时，取得最小值， 所以， 故答案为：. 34．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】AC 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆心到直线的距离可以列出关于方程，再解方程即可得到的取值. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为， 又因为点到直线的距离为， 所以，解得或. 故选：. 35．（2025·辽宁·一模）已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（    ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为 D．点在底面内，且，则点轨迹的长度为 【答案】BCD 【知识点】正棱锥及其有关计算、求二面角、空间共面向量定理的推论及应用、轨迹问题——圆 【分析】本题考查正四棱锥的性质、空间向量、正方体与四棱锥的内切关系以及点的轨迹问题.对于A，可以利用正四棱锥的性质以及线面角的定义求解；对于B，根据平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理，再利用垂线段的性质求解即可；对于C，根据正四棱锥和正方体的性质进行求解；对于D，根据平面向量的模长运算，再利用圆的定义进行求解即可. 【详解】如图， 对于A，∵正四棱锥的棱长为2，∴正四棱锥的高为， 设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得，， 则平面与平面的夹角为，则，故A错误； 对于B，∵，， 根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上， ∴当平面时，最小， 此时根据等体积法可求出，即 可求得，即的最小值为，故B正确； 对于C，设正方体的棱长为，则正方体的体积为， 正方体可以在正四棱锥内部任意转动，所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径， 设内切球的半径为r，正四棱锥的体积为， 根据另一个体积公式，可得， ∴正方体对角线，， ∴正方体表面积，故C正确； 对于D，如图，以A为原点，，所在直线为，轴， 过点A向上作垂线为轴建立空间直角坐标系，则，， 设，∵， ∴，即， 化简整理可得，∴点的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图， 由于， 则点Q的轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于选项D的判断，解答时要注意判断动点的轨迹形状，进而求解. ( 题型03 ) 直线与方程 36．（2025·辽宁抚顺·一模）函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】坐标法的应用——点到直线的距离 【分析】当时，将函数转化为直线上点P到直线的距离与到点的距离之和，作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可. 【详解】当时，，可视为与两点间的距离，则P是直线上的动点，，可视为点到直线的距离，设与y轴交于点，过点P作，垂足为B，画出示意图如下： 则待求为的最小值，当三点共线，且时，点A到直线的距离为所求的最小值，此时，. 故选：B. 37．（2025·辽宁·一模）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】先由直线平行求出参数k，再由两平行直线的距离公式即可求解. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，所以， 所以直线：即， 所以这两条直线间的距离为. 故选：B. 6 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$