专题04 立体几何（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题04 立体几何 题型概览 题型01点线面的位置关系 题型02空间向量与立体几何 点线面的位置关系题型01 1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在直三棱柱中，为的中点，.    (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2025·辽宁·一模）如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 3．（24-25高三下·辽宁·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，M为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若，求二面角的正弦值. 4．（2025·辽宁沈阳·二模）斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． (1)求证：； (2)若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 5．（2025·辽宁·三模）如图，在高为6的直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点. (1)若，证明：平面. (2)求的最小值. (3)若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值. 6．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． (1)求函数的解析式； (2)在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； (3)如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 8．（2025·辽宁·三模）已知顶点为的圆锥有且仅有一条母线在平面内，是母线的中点，点.若与圆锥底面所成的角为，圆锥外接球的表面积为，且圆锥底面圆心到直线的距离为，则与圆锥底面所成角的正弦值为 . 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知圆心角为的扇形面积为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 11．（2025·辽宁·一模）如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点位于底面两侧，底面边长为是棱的中点，平面平面，且正四棱锥的体积是正四棱锥体积的3倍. (1)求证：； (2)若点满足，求平面与平面所成角的正弦值. 12．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平行六面体的底面为正方形，所有棱长为2，点和O分别为上、下底面的中心，且． (1)求证：平面平面ABCD； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 13．（2025·辽宁沈阳·一模）三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·辽宁·一模）已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（    ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为 D．点在底面内，且，则点轨迹的长度为 空间向量与立体几何题型02 15．（2025·辽宁·一模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点．的面积为；请从条件①、②中选择一个条件作为已知，并解答下面的问题： 条件①：；条件②：点到平面的距离为． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)点是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（2025·辽宁·一模）在正三棱台中，分别是线段上的点，是上、下底面的中心，是底面内一点，下列结论正确的是（    ） A． B．若平面，则点的轨迹长等于 C． D．当时，四点构成的图形为直角梯形 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 立体几何 题型概览 题型01点线面的位置关系 题型02空间向量与立体几何 ( 题型01 ) 点线面的位置关系 1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在直三棱柱中，为的中点，.    (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）先连接，再根据中位线得出，最后应用线面平行判定定理证明平面； （2）求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）连接， ∵E为中点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面；    （2）以点C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则，取，则， 设与平面所成角为， 则与平面所成角的正弦值为： ． 2．（2025·辽宁·一模）如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角、面面角的向量求法 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的正切值； 解法二：过在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出为平面与平面所成的角，求出、的长，即可得出平面与平面所成角的正切值. 【详解】（1）在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以，， 因为，，，、平面，所以，平面. （2）解法一：因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 所以，，. 因此，平面与平面所成角的正切值为； 解法二：过在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 由（1）知平面，因为平面，则， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，为平面与平面所成的角，设. 在中，，，，， 所以，，， 在中，，，，， 所以，，则， 在中，， 所以，平面与平面所成角的正切值为. 3．（24-25高三下·辽宁·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，M为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）由三角形中位线与平行四边形的性质，可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示： 为棱的中点，， ， 四边形是平行四边形，， 又平面平面， 平面. （2），，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又，平面， ，又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图： 则， 为棱的中点， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，, 平面的一个法向量为， ， 则二面角的正弦值为. 4．（2025·辽宁沈阳·二模）斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． (1)求证：； (2)若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）取中点，连接，易得，结合题设关系得，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求平面法向量及平面的法向量，再利用空间向量求解即可. 【详解】（1）取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得， 所以有，即，所以， 又因为，平面，平面， 平面，又因为平面，所以； （2）由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面， 则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，， 设，， ，， 设平面法向量为， ，， 可取， 平面的法向量为， 所以有，化简得， 所以有（舍）或者，所以． 5．（2025·辽宁·三模）如图，在高为6的直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点. (1)若，证明：平面. (2)求的最小值. (3)若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由已知，可得，利用勾股定理的逆定理可得，由线面垂直的判定定理即可证得； （2）将侧面沿展开成矩形，则其对角线即为所求； （3）设的中点分别为，连接，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算分别求得平面和底面的一个法向量，利用公式由表示出，利用二次函数的性质求出的最大值，即为所求. 【详解】（1）因为底面的周长为12，且，所以， 则，所以. 在直三棱柱中，底面， 又平面，则， 又，平面，所以平面. （2）将直三棱柱的侧面沿剪开展平成矩形，如图所示， 其中，所以， 所以的最小值为. （3）设的中点分别为，连接， 因为三棱柱是直三棱柱，则. 因为，底面的周长为， 所以，所以，则. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 又， 则，， 则. 设平面的一个法向量为，则， 即， 取，得. 易得底面的一个法向量为， 则， 当时，取得最小值， 则取得最大值，且最大值为， 所以平面与底面夹角的余弦值的最大值为. 6．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】利用面面平行性质可得A正确，再由线面垂直、面面垂直性质可得B正确，根据线面平行性质可判断C错误，D正确. 【详解】对于A，根据线面垂直的性质可得若，则，即A正确； 对于B，易知若可得或，又可知，即B正确； 对于C，若，则或，因此C错误； 对于D，如果直线平行于平面和，且和的交线为，那么直线必须平行于； 假设不平行于，它必将与其中一个平面相交，这与平行于两个平面的条件相互矛盾， 所以若，则，故D正确。 故选：ABD 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． (1)求函数的解析式； (2)在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； (3)如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1) (2)可确定存在两个点满足条件，理由见解析 (3) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求二面角、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）由题意：，，利用绘有图像的纸片折叠前，存在关系，以及折叠后存在关系，列方程组求得：与的值，从而求得，再由与轴的交点为，求得，从而求得解析式； （2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为，连线的斜率，连线的斜率，过点作交轴于，则直线斜率为-2，由可得直线一定交的图像于，②在平面上，过作平行于的交于，连接．可证得平面平面，从而证得平面，故可确定存在两个点满足条件. （3）以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设二面角，，通过空间向量法求得二面角的余弦值为，令，，则，即可得解. 【详解】（1）由题意：，， 当绘有图像的纸片折叠前，有， 于是① 又当二面角的值为时，可得 ，代入上式：② 联立①②，解得：，． 所以， 又与轴的交点为，可得，解得(舍)或， 所以. （2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为， 又点，， 故连线的斜率，连线的斜率， 于是，过点作交轴于，则直线斜率为-2， 因为，故直线一定交的图像于， ②在平面上，过作平行于的交于，连接． 由，，且，可得平面平面， 又平面， 从而平面， 综上，可确定存在两个点满足条件，即，平面． （3） 根据题意，依图3，以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设二面角，， 于是，，，， 所以，， 设平面的法向量 于是 令，得 设平面的法向量 于是 令，得 结合法向量方向可判断，二面角的余弦值为 令 化简得： 令，， 于是． 易知，该函数为定区间上的单调递增函数，所以，， 二面角的余弦值的取值范围是． 【点睛】方法点睛：对于折叠问题，要注意折叠前后不变的量以及其内在联系. 8．（2025·辽宁·三模）已知顶点为的圆锥有且仅有一条母线在平面内，是母线的中点，点.若与圆锥底面所成的角为，圆锥外接球的表面积为，且圆锥底面圆心到直线的距离为，则与圆锥底面所成角的正弦值为 . 【答案】/0.75 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、线面角的概念及辨析 【分析】由与圆锥底面所成的角为，易得圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥外接球的半径为，结合正弦定理可得，进而结合外接球的表面积可得，过点作，易得平面，设在内的射影为，过点作的垂线，分别交于点，分析易得，进而求出，，再结合线面角的定义求解即可. 【详解】因为与圆锥底面所成的角为，所以圆锥的轴截面为正三角形， 设圆锥外接球的半径为，则圆锥的轴截面外接圆的半径为， 由正弦定理得， 所以，解得. 过点作，由题意知平面与圆锥相切于直线， 则平面，设在内的射影为，则为的中点， 过点作的垂线，分别交于点， 即，，又，则，， 因为，且平面， 则平面，又平面，平面， 所以，，即， 从而， 又，，， 所以， 由，得， 所以，， 设与圆锥底面所成的角为，因为与圆锥底面垂直， 又，， 所以. 故答案为：. 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知圆心角为的扇形面积为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、圆锥表面积的有关计算、求线面角 【分析】利用圆锥侧面展开图以及扇形面积公式求出圆锥母线长和底面圆半径，即可得出结果. 【详解】根据题意设围成的圆锥为，如下图： 设扇形的半径为，则，解得； 可知圆锥母线为4 又扇形弧长为, 设圆锥底面半径为，则，因此； 所以圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于. 故选：D 10．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示：      因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 11．（2025·辽宁·一模）如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点位于底面两侧，底面边长为是棱的中点，平面平面，且正四棱锥的体积是正四棱锥体积的3倍. (1)求证：； (2)若点满足，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）易得平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）连接交平面于点，连接，利用勾股定理求出，再以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）由正四棱锥的对称性，又平面平面， 可得平面平面， 因为是棱的中点，，所以， 又平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）连接交平面于点，则为正方形的中心，连接， 因为平面，平面， 所以， 设， 因为正四棱锥的体积是正四棱锥体积的3倍， 所以， 在种，有，解得， 以点为圆心，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 12．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平行六面体的底面为正方形，所有棱长为2，点和O分别为上、下底面的中心，且． (1)求证：平面平面ABCD； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理，利用线面垂直判定以及面面垂直判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用面面角的夹角向量公式，可得答案. 【详解】（1）连接，如下图： 由平行六面体的棱长为，则， 在中，由，则， 同理可得， 在正方形中，由，则为的中点，易知， 在中，由，则， 在中，易知， 在中，，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）可知平面，因为平面中，所以，， 在正方形中，易知，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，，， 在平面中，取，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量； 在平面中，取，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量. 设平面与平面所成角为，则. 13．（2025·辽宁沈阳·一模）三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直 【分析】先取的中点，且,进而得出三棱锥的外接球的球心，再计算体积得出，最后计算外接球的表面积即可. . 【详解】 取的中点，因为，连接，所以,三棱锥的外接球的球心， 因为和都是等边三角形，设， 因为平面，所以平面， 所以，所以是直角三角形； 又因为， 所以所以外接球的表面积为. 故选：C. 14．（2025·辽宁·一模）已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（    ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为 D．点在底面内，且，则点轨迹的长度为 【答案】BCD 【知识点】轨迹问题——圆、空间共面向量定理的推论及应用、求二面角、正棱锥及其有关计算 【分析】本题考查正四棱锥的性质、空间向量、正方体与四棱锥的内切关系以及点的轨迹问题.对于A，可以利用正四棱锥的性质以及线面角的定义求解；对于B，根据平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理，再利用垂线段的性质求解即可；对于C，根据正四棱锥和正方体的性质进行求解；对于D，根据平面向量的模长运算，再利用圆的定义进行求解即可. 【详解】如图， 对于A，∵正四棱锥的棱长为2，∴正四棱锥的高为， 设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得，， 则平面与平面的夹角为，则，故A错误； 对于B，∵，， 根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上， ∴当平面时，最小， 此时根据等体积法可求出，即 可求得，即的最小值为，故B正确； 对于C，设正方体的棱长为，则正方体的体积为， 正方体可以在正四棱锥内部任意转动，所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径， 设内切球的半径为r，正四棱锥的体积为， 根据另一个体积公式，可得， ∴正方体对角线，， ∴正方体表面积，故C正确； 对于D，如图，以A为原点，，所在直线为，轴， 过点A向上作垂线为轴建立空间直角坐标系，则，， 设，∵， ∴，即， 化简整理可得，∴点的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图， 由于， 则点Q的轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于选项D的判断，解答时要注意判断动点的轨迹形状，进而求解. ( 题型02 )空间向量与立体几何 15．（2025·辽宁·一模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点．的面积为；请从条件①、②中选择一个条件作为已知，并解答下面的问题： 条件①：；条件②：点到平面的距离为． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)点是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知条件，确定底面三角形得边长，再利用空间向量的方法求二个平面所成角即可； （2）根据已知条件分析确定点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设出点坐标，根据已知条件求出，利用空间向量的方法求出与平面所成角的正弦值表达式，根据范围即可求解. 【详解】（1） 根据题意建立如图所示以为坐标原点， 、、为、、轴的空间直角坐标系， 设，， 因为三棱柱为直三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为直角三角形，， 因为三楼柱为直三棱柱，所以平面， 平面，所以，又因为， 平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 所以为直角三角形，因为的面积为， 所以， 若选条件①：， ，，，，， ，，因为， 所以，即，解得， 代入，解得， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， ，设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角余弦值为：. 若选条件②：点到平面的距离为， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 解得，所以， 因为点到平面的距离为， 所以，即，解得， 代入，解得， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， ，设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角余弦值为：. （2） 取中点，连结、，则， 因为，，所以， 在，，所以，， 平面，平面，所以， 平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则,，， 因为，，所以， 整理得：， 由（1）知，平面的法向量为， 设与平面的夹角为，则 ， 因为，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为. 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量的坐标运算可得线面平行； （2）利用空间向量坐标运算分别得到平面与平面一个法向量，计算面面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，， 以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，点是棱上靠近端的三等分点 则. ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 又，可得， 因为平面，所以平面. （2）易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17．（2025·辽宁·一模）在正三棱台中，分别是线段上的点，是上、下底面的中心，是底面内一点，下列结论正确的是（    ） A． B．若平面，则点的轨迹长等于 C． D．当时，四点构成的图形为直角梯形 【答案】AC 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题 【分析】A选项，作出辅助线，建立空间直角坐标系，设，，写出点的坐标，计算出，A正确；B选项，作出辅助线，得到线面平行，得到的轨迹长度为，并根据余弦定理求出轨迹长度；C选项，利用等体积法和大减小求出，C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】A选项，显然⊥底面，取的中点，连接， 过点作，交于点，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 则， 所以， 故，A正确； B选项， 取的中点，连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 故当在上时，满足平面， 故的轨迹长度为，其中， 由余弦定理得， 点的轨迹长不等于，B错误； C选项，，， ，， 又棱台的体积为 ， 所以，C正确； D选项，四边形为等腰梯形，当与重合，时， ，但此时与平行，故与不平行， 此时四点构成的图形不为直角梯形，D错误. 故选：AC 27 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$