专题03 导数及其应用（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题03 导数及其应用 题型概览 题型01导数及其应用 导数及其应用题型01 2025年5月10日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2025·辽宁·一模）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·一模），不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A． B． C． D． 3．（2025·辽宁辽阳·一模）已知球的半径为，则在球的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 二、多选题 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．在单调递增 C．有且仅有1个零点 D．的最小值为 6．（2025·辽宁·一模）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数在上单调递减 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 7．（2025·辽宁·一模）已知函数，则（   ） A．有两个零点 B．在上是增函数 C．有极小值 D．若， 8．（2025·辽宁·三模）已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（    ） A． B． C． D．当时，可能为偶函数 三、填空题 9．（2025·辽宁·一模）已知函数，若，则的最大值为 . 10．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是 ． 11．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为 ． 四、解答题 12．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 13．（2025·辽宁·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 14．（2025·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 15．（2025·辽宁沈阳·一模）函数﹒ (1)当时，求函数的极值和极值点； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 16．（2025·辽宁·一模）已知函数． (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 17．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 18．（2025·辽宁辽阳·一模）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若的最大值为，证明：，. 19．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数的值． 20．（2025·辽宁·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； (3)若为函数的极值点，求证：． 21．（2025·辽宁沈阳·一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 22．（2025·辽宁·一模）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数及其应用 题型概览 题型01导数及其应用 ( 题型01 ) 导数及其应用 2025年5月10日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2025·辽宁·一模）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 2．（2025·辽宁·一模），不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，分析函数的单调性，则所求不等式即为，可得出，由参变量分离法可得出对恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出正实数的最大值. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得，则有， 又，即可得，即对恒成立，因此即可， 令，，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，因此正实数的最大值是. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 3．（2025·辽宁辽阳·一模）已知球的半径为，则在球的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】面积、体积最大问题 【分析】设球的内接圆锥的底面半径为，取圆锥的轴截面，取线段的中点，连接，设，则，可得出，，设圆锥的体积为，求出函数的解析式，利用导数求出函数取最大值时对应的值，即可求得对应的值，即为所求. 【详解】如下图所示，设球的内接圆锥的底面半径为， 显然当球心在圆锥的内部时，圆锥的体积才会最大， 取圆锥的轴截面，取线段的中点，连接，则，且在线段上， 设，则，且，， 设圆锥的体积为， 则， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，函数在时取最大值，此时，. 故选：A. 4．（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】找到的零点可得，构造函数，由导数分析单调性找到最小值即可. 【详解】当时，，不满足恒成立； 当时，令，可得或， 函数的零点为和， 因为恒成立，所以， 所以， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则， 所以的最小值为1. 故选：D 二、多选题 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．在单调递增 C．有且仅有1个零点 D．的最小值为 【答案】ABC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据解析式以及函数奇偶性定义可判断A正确，对函数求导并由对勾函数性质以及三角函数值域可判断B正确，结合函数单调性可知C正确，由指数函数性质可得D错误. 【详解】对于A，易知的定义域为，定义域关于原点对称， 可知，即为奇函数，可得A正确； 对于B，当时， 可得恒成立， 因此在单调递增，即B正确； 对于C，由B可知在上单调递增，且， 因此有且仅有1个零点，即C正确； 对于D，当时，可得趋近于，因此D错误. 故选：ABC 6．（2025·辽宁·一模）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数在上单调递减 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 【答案】AB 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据图象，结合函数的单调性与其导函数正负的关系，先判断两个图象 中哪个是的图象，哪个是的图象，进而列出关于的方程组 求解，再结合特殊点求解参数，由此确定函数和的解析式， 再判断各个选项的正误即可． 【详解】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而． 又，所以，由得， 故，． 选项A：的最小正周期为，故，A正确． 选项B：令，解得， 故函数在上单调递减，B正确． 选项C：由于，， 故的图象不关于点中心对称，故C错误． 选项D：， 其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误． 故选：AB 7．（2025·辽宁·一模）已知函数，则（   ） A．有两个零点 B．在上是增函数 C．有极小值 D．若， 【答案】BCD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、求已知函数的极值、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，得到出方程解的个数，然后判断A选项；对函数求导，然后得到函数的递增区间，判断B选项；由函数的单调区间得到函数的极值判断C选项；构造函数，由导函数得到函数的单调性，从而求出当时，的最小值，即能判断D选项. 【详解】令，即，∵，∴只有一个解，即函数有一个零点，A选项错误; ，令，，∵，∴，∴在上是增函数，B选项正确； 在上单调减，在上单调递增，∴函数有极小值，C选项正确； 令，，， 令，则，，， ∴当时，，即在单调递增，∴， 即，在单调递增，∴，即，D选项正确. 故选：BCD. 8．（2025·辽宁·三模）已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（    ） A． B． C． D．当时，可能为偶函数 【答案】BCD 【知识点】求函数值、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】采用赋值法，令，可判断A的真假；利用赋值法先求，设辅助函数，根据函数的单调性可得，可判断B的真假；利用B的结论，结合可判断C的真假；取函数，可判断D的真假. 【详解】对A：令，得，即，A错误. 对B：令，得，得. 由，得，构造函数， 则，则为减函数，则， 即，则，所以，故B正确； 对C：令，得. 根据B的结论，得：， 所以，故C正确； 对D：若，则可取满足， 则为偶函数，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（2025·辽宁·一模）已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】1 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由函数不等式恒成立可得，再构造函数，求导分析单调性，得到最值即可. 【详解】， 因为恒成立，所以恒成立，所以， 所以， 令，，则，令， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 所以， 所以的最大值为1. 故答案为：1 10．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得的关系，结合锐角三角形条件可求的范围，然后结合二倍角及和差公式对进行化简，构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，进而可求. 【详解】因为， 由正弦定理可得, 即， 所以，而三角形为锐角三角形， 所以或(舍去)， 所以， 由题意得， 所以，， 令，， 则， 易得，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故当时，函数取得最大值， 又，， 所以. 故答案为：. 11．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据基本（均值）不等式求出的取值范围，再结合对变形成，设函数，则问题转化成函数在给定区间上的最小值问题.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】因为x，y为正实数，且， 所以，且（当且仅当时取“”）. 又因为. 设函数（）.问题转化为求函数的最小值. 因为， 由，又，所以； 由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化成函数求最小值问题，还要结合基本不等式，确定所设函数的定义域. 四、解答题 12．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数求得切线斜率，由函数解析式求得切点，根据切线方程，建立方程组，可得答案； （2）由函数解析式求导，根据极值与导数的关系，结合函数解析式，建立方程组，可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 因为切线方程为， 所以，解得， 所以. （2）函数在处有极值 且或 恒成立，此时函数无极值点， 此时1是极值点，满足题意， 所以. 13．（2025·辽宁·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程. （2）分析函数的单调性，求函数的最小值，根据可证. 【详解】（1）因为，所以， 则，则. 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 令，得. 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增. . 因为，所以，即. 14．（2025·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用导数的几何意义由可计算，由可计算； （2）利用导数求出的单调性，判断的奇偶性，利用奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】（1）， 所以， 由题意可得，所以， 所以，所以. 所以. （2）由（1）知，所以， 所以在上单调递增， ， 所以为奇函数， ，即， 即， 所以，即， 即，解得, 所以不等式的解集为. 15．（2025·辽宁沈阳·一模）函数﹒ (1)当时，求函数的极值和极值点； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值点，极大值；极小值点，极小值； (2). 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值点 【分析】（1）求出函数的导数，并把代入，利用导数求出极值点及对应的极值. （2）由（1）中导数，按分类讨论函数在上的单调性即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，，， 由，得或，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数极大值点为，极大值为；极小值点为，极小值为. （2）由（1）知，， 当时，，由，得，函数在上单调递增， 则当时，，即不等式在恒成立，因此； 当时，由，得或， ①当，即时，，恒有成立， 函数在上单调递增，不等式在恒成立，因此； ②当，即时，恒有成立，当且仅当时取等号， 函数在上单调递增，不等式在恒成立，因此； ③当，即时，而，， 函数在区间上单调递减，，，不符合题意， 所以实数a的取值范围是. 16．（2025·辽宁·一模）已知函数． (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 【答案】(1)在单调递增，在单调递减． (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负求解， （2）根据三角函数的性质，结合导数即可求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得， 当时，令，可得， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在单调递增，在单调递减． （2）， 则， 当时，故，此时在单调递增， 当时，记，则， 由于，则故，因此在单调递减，由于，故存在唯一的使得， 当单调递增，当单调递减， 综上知：在单调递增，在单调递减， 且， 因此在上有两个零点. 17．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 18．（2025·辽宁辽阳·一模）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若的最大值为，证明：，. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、已知函数最值求参数 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）由函数的最大值可求出的值，将所证不等式变形为，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，可证得，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为. （2）由（1）知，，解得， 要证，即证，即证， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 所以，，，即. 19．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导，分别讨论，当以及当时，导函数的正负情况，从而得到函数的单调区间； （2）由（1）得，当时，，则要使不等式成立， 即需使不等式成立，令，利用导数分析函数的单调性，从而得到恒成立，故若要使，则，从而求得的值. 【详解】（1）因为，定义域为， 求得， 所以，当时，成立，此时在上单调递减； 当时， ，，在上单调递减； ，，在上单调递增． 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）得，当时， ， 要使不等式成立，即需使不等式成立，即不等式成立， 令，，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立， 若，则, 所以. 20．（2025·辽宁·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； (3)若为函数的极值点，求证：． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． (2) (3)证明见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出，然后对分类讨论求解函数的单调区间； （2）由题意得即可求得，得到的解析式．对任意恒成立，即对任意恒成立，令，问题转化为求的最小值，利用导数求解即可； （3）因为为函数的极值点，所以．要证明不等式成立，只需证．令，证得，．分两种情况证明：当时，由即证得结论；当时，得，只需证，即证对成立，构造函数，结合函数的单调性证明即可． 【详解】（1），定义域为， 所以， 当时，，故在上单调递增， 当时，由，得；由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）因为，曲线在处的切线垂直于直线， 则在处的切线的斜率为，即，解得：， 则. 对任意恒成立，即对任意， 即对任意恒成立， 令， ，令，得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； ， ，则实数b的最大值． （3）函数， 因为为函数的极值点，所以，所以， 要证明不等式：成立，只需证， 令， 当时，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以， 当时，因为，所以． 当时，因为，所以，所以， 要证成立，只需证， 即证对成立． 令，因为， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，即时，成立． 综上所述，原不等式成立． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个，其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得不等式；其三先利用放缩、等量代换等方法做适当的变换后再做差构造函数，利用导数证明. 21．（2025·辽宁沈阳·一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】独立重复试验的概率问题、3δ原则、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）分析可知，，利用正态分布原则可求得的值； （2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后的可得出结论； （3）利用泊松分布得出，由，得出，然后构造函数，结合函数的单调性比较与的大小，以及与的大小，即可得出的最大值. 【详解】（1）因为当，且时，可近似地认为，即， 这里，， 所以， . （2）①若，则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. （3）由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 又因为，需要比较与的大小， 而，所以，相当于比较与的大小， 构造函数， 所以，对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且， 所以，，所以，， 即， 且，需要比较与的大小关系，而， 所以相当于比较与的大小， 构造函数，其中，且， ， 当时，，所以，函数在上单调递增， 即，即，即， 因此，的最大值为. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 22．（2025·辽宁·一模）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求得，分，，和，四种情况讨论，结合的解集，即可求得函数的单调递增区间； （2）由（1）知：当时，求得，令求得；当时，利用在的单调性，得到，令函数，求得，再令，利用导数，结合函数的单调性，得到在上单调递减，结合，求得，进而得到答案. 【详解】（1）解：由函数，其中， 可得， 当时，令，解得，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或， 所以的单调递增区间为及； 当时，恒成立，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或， 所以的单调递增区间为及. 综上可得：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为及； 当时， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为及. （2）解：由（1）知，当，在单调递增，所以， 令，可得，所以； 当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以， 令，可得， 令，可得，所以为单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数的取值范围为. 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$