专题09 数列（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题09 数列 题型概览 题型01等比数列 题型02等差数列 题型03数列综合 等比数列题型01 1．（2025·辽宁·一模）已知等比数列中，，，则 . 2．（2025·辽宁沈阳·一模）对于函数，下列结论中正确的是（    ） A．任取，都有 B．，其中 C．对一切恒成立 D．方程有两个相异实根，则 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则 ． 4．（2025·辽宁·一模）已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”． (1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆，对应的分别为，如图所示，直线与椭圆依次交于M，N，P，Q四点，证明：． (2)当时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设． （i）求证：为等比数列，并求出其通项公式； （ii）令数列，求证． 5．（2025·辽宁·一模）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求和； (2)求证：是等比数列； (3)求的数学期望（用表示）. 6．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知数列，不为常数列且各项均不相同，设，，下列正确的是（   ） A．若为等差数列且为等比数列，则方程最多有三个解 B．若，均为等差数列，则方程最多一个解 C．单调递增，单调递减，则方程最多有一个解 D．若，均为等比数列，则方程最多有三个解 8．（2025·辽宁大连·一模）已知是无穷数列，是数列的前n项和，对于，给出下列三个条件：①；②；③； (1)若，对任意的，数列是否恒满足条件②，并说明理由； (2)若，数列同时满足条件①②，且，求数列的通项公式； (3)若，数列同时满足条件①③，求证： 数列为常数列. 9．（2025·辽宁沈阳·一模）已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 10．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·辽宁·开学考试）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数. (1)证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设（1）中“平方递推数列”的前n项积为，即，求； (3)在（2）的条件下，记，求数列的前n项和，并求使的n的最小值. 12．（2025·辽宁沈阳·二模）已知数列满足，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 等差数列题型02 13．（2025·辽宁·一模）若同时满足：①三个内角成等差数列，②三边长成等差数列，则（    ） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 14．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 15．（2025·辽宁·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．4 B．60 C．68 D．52 16．（2025·辽宁沈阳·一模）已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 数列综合题型03 17．（2025·辽宁·三模）已知正数的整数部分记为，例如. (1)若，求数列的前项和. (2)设. ①求； ②求数列的通项公式； ③求数列的前100项和. 18．（2025·辽宁沈阳·二模）某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台APP的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在APP上推出了A和B两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券．下图是该商品日销售量y（单位：千件）与日访问量x（单位：万人次）的散点图：    (1)求出y关于x的回归方程，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品； (2)A款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有n次挑战机会，第n次无论成功与否都结束游戏．设X为游戏结束时，进行挑战的次数，X的数学期望为，证明：； (3)B款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的m值． 参考数据：，． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 19．（2025·辽宁·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式. (1)求及数列的通项公式； (2)令，求数列的前项积. 20．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比． (1)已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程； (2)已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程； (3)已知抛物线作“伸缩变换” ，得到﹐对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，其中，若，求数列的通项公式． 21．（2025·辽宁·一模）已知在数列中，，则的前项中的最大项为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·辽宁·一模）设数列满足，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 数列 题型概览 题型01等比数列 题型02等差数列 题型03数列综合 等比数列题型01 1．（2025·辽宁·一模）已知等比数列中，，，则 . 【答案】 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比中项的性质和等比数列的性质计算即可. 【详解】由等比中项的性质可得， 设等比数列的公比为， 因为， 所以， 故答案为：6. 2．（2025·辽宁沈阳·一模）对于函数，下列结论中正确的是（    ） A．任取，都有 B．，其中 C．对一切恒成立 D．方程有两个相异实根，则 【答案】ACD 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求等比数列前n项和 【分析】分析函数的性质并作出图象，利用其图象性质，结合数列相关知识逐项分析判断即可. 【详解】当时，函数在时取最大值1，在时取最小值， 当时，可视为的图象向右每2个单位一平移， 其函数值为相邻上一个区间对应值的，因此， 作出函数的图象，如图， 对于A，当时，，任取， ，A正确； 对于B，，数列是 以为首项，为公比的等比数列，， 因此，B错误； 对于C，由，得，则，， 因此，C正确； 对于D，方程有两个相异实根，则， 由，解得或，于是， 所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题选项BC，利用函数的性质，构造数列，再利用数列相关知识求解是关键. 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则 ． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】设等差数列的公差为，由题意得，从而可求出，进而可求出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，所以， 化简整理得，解得（舍去），或， 所以． 故答案为：． 4．（2025·辽宁·一模）已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”． (1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆，对应的分别为，如图所示，直线与椭圆依次交于M，N，P，Q四点，证明：． (2)当时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设． （i）求证：为等比数列，并求出其通项公式； （ii）令数列，求证． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析. 【知识点】裂项相消法求和、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由定义判定等比数列、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意联立方程组，利用韦达定理表示交点横坐标之和，可发现线段的中点与线段中点重合，根据线段长度的减法可证得结论； （2）（i）根据题意联立方程组，求出点和的横坐标，利用两点间距离公式求得，即证得结论并得到通项公式；（ii）由已知条件得到，利用放缩法构造出新数列的不等式，利用裂项相消法求前项和即可证得结论. 【详解】（1）由题意，联立方程可得， ，即， 由图可知，椭圆与直线的交点为点，设，则， 同理，将与直线联立可得：， ，即， 可得，则线段的中点与线段中点重合，设为点， 即有，所以，即. （2）（i）由题意，联立方程可得，即. 因为交点在第一象限内，所以点的横坐标，同理可得点的横坐标， 则. 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为. （ii）由（i）可知，，则. 设， 设， 由时，，可得， ， 即. ， 即得证. 5．（2025·辽宁·一模）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求和； (2)求证：是等比数列； (3)求的数学期望（用表示）. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）结合独立事件乘法公式出求，再利用全概率公式求. （2）利用全概率公式求得、与、的关系，再利用构造法证明等比数列. （3）求出的分布列及期望，再利用由（2）求出通项公式. 【详解】（1）依题意，，， ， . （2）设表示次取球后甲口袋有2个黑球，表示次取球后甲口袋有1个黑球， 表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球， 表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球， 当时， 则， ， ， ， 因此，即，， 所以是为首项为公比的等比数列. （3）依题意，的分布列为 0 1 2 期望，由（2）得， 所以. 6．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，结合数列为递减数列可求得、的值，即可得出等比数列的通项公式；推导出，结合可求得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，化简的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，则， 因为数列是等比数列，解得，所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以， ，故. （2）当为奇数时，，令， 则， 所以，， 两个等式作差可得 ， 化简得； 当为偶数时，， 令，则 ， 故. 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知数列，不为常数列且各项均不相同，设，，下列正确的是（   ） A．若为等差数列且为等比数列，则方程最多有三个解 B．若，均为等差数列，则方程最多一个解 C．单调递增，单调递减，则方程最多有一个解 D．若，均为等比数列，则方程最多有三个解 【答案】ABC 【知识点】函数与方程的综合应用、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】首先，选项A利用反证法与导数可判断，选项B中两等差数列对应的一次函数至多一个交点，选项C由单调性结合反证法可判断，选项D举反例可判断. 【详解】对于A，等差数列的通项公式是线性的，可表示为（其中为公差）， 而等比数列的通项公式是指数型的，可表示为（其中为公比且）， 由得，令， （1）当时，， 若，则，所以是增函数， 若恒大于零或恒小于零，则单调，至多有一个零点， 若既不恒大于零又不恒小于零，则恰有一个零点，不妨记为， 那么，当单调递减，当单调递增，是的极小值点,所以，至多有两个零点（在和至多各有一个零点）. 当时，同理至多有两解； （2）当公比为负时，记为， 当为偶数时，，由（1）知方程至多有两解； 当为奇数时，由（1）知方程至多有两解； 为偶数时，与为奇数时，它们的单调性相反， 直线与，至多有三个交点（可见C的推理）， 下面举例如下，方程恰有三解时，方程无解,故A正确; 对于B，因为当和均为等差数列时，它们的通项公式分别为 和（其中，且数列不为常数列）， 方程可化简为， 若两数列公差不同，方程等价于关于的一元一次方程， 解为，由于方程至多有一个实数解，且题目中为自然数， 因此方程要么存在唯一的自然数解，要么无解（例如解为负数或非整数）， 若两数列公差相同，方程化简为， 由于题目规定两数列不为常数列且各项均不同， 若，则方程无解，若，则两数列完全相同（即对所有成立）， 但题目明确要求数列“不为常数列且各项均不相同“，因此这种情况被排除. 综上，无论公差是否相等，方程在自然数范围内最多存在一个解，故B正确； 对于C，首先，取，方程只有一解， 当时，，当时，方程无解， 所以，方程只有一解， 假设方程方程有两个不同的解，记为， 所以，，，因为数列单调递增，，即①， 又因为数列单调递减，得②， 则①与②矛盾，所以方程至多有一个解，故C正确； 对于D，取，方程， 即为偶数都是方程的解，方程可以有无数多个解，故D错误. 故选：ABC. 8．（2025·辽宁大连·一模）已知是无穷数列，是数列的前n项和，对于，给出下列三个条件：①；②；③； (1)若，对任意的，数列是否恒满足条件②，并说明理由； (2)若，数列同时满足条件①②，且，求数列的通项公式； (3)若，数列同时满足条件①③，求证： 数列为常数列. 【答案】(1)不恒满足条件②，理由见解析 (2)或 (3)证明见解析 【知识点】数列新定义、利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）由，求得，令取特殊值验证即可说明； （2）由②可得，可推得数列是等差数列，求出和，即可求得的通项公式； （3）由已知，通过条件③可得，进行递推，即可证得数列为常数列. 【详解】（1），则数列是以为首项，2为公比的等比数列， ， 不防令， 则， ， 则， 所以数列不恒满足条件②. （2）若，由②得，即， 当时，， 两式相减得， 即，， 两式相减得，即，，又， 时，，即， 数列是等差数列， 设数列的公差为， 是无穷数列，， 或， 或. （3）当时，由③得， 即， 所以， 若，由①不妨设，则，则数列为常数列. 若，当时，，与矛盾. 当时，令， 则， ， ， 则， 各式相加得. 当时，，与矛盾. 综上所述，只有当，即，且时满足①③， 所以数列为常数列. 9．（2025·辽宁沈阳·一模）已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 【答案】8 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】分析数列的单调性，确定时，的值，即可求的最大值. 【详解】因为为等比数列，且，所以， 由. 所以， 所以为的最大值，且. 故答案为：8 10．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的列方程，由此求得的值. 【详解】由于， 若，则， 而，则，所以不符合题意. 当且时，， 即， 即， 则. 故选：A 11．（24-25高三下·辽宁·开学考试）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数. (1)证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设（1）中“平方递推数列”的前n项积为，即，求； (3)在（2）的条件下，记，求数列的前n项和，并求使的n的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)，n的最小值为2025. 【知识点】求等比数列前n项和、数列不等式能成立（有解）问题、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义列方程，再结合对于运算以及等比数列的知识来证得结论成立. （2）先求得，然后结合对数运算、等比数列前项和公式来求得. （3）先求得，利用分组求和法求得，由此化简不等式来求得的最小值. 【详解】（1）由题意得：，即，则是“平方递推数列”. 对两边取对数得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， . （3）， ， 又，即， 又，所以. 【点睛】思路点睛：遇到证明数列性质的问题，先根据已知条件找到数列相邻两项的关系，再通过变形和相关定义进行证明. 求对数形式的数列前项积的对数，先将其转化为对数的和，再结合数列通项和求和公式计算. 对于由等差数列和等比数列组成的数列求和，采用分组求和法，求解不等式时结合数列特点和取值范围确定的值. 12．（2025·辽宁沈阳·二模）已知数列满足，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 【答案】BCD 【知识点】由递推关系式求通项公式、判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】根据题意给出的条件进行化简，并结合等差数列、等比数列知识进行逐项求解判断. 【详解】对于A，当时，若，则 所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，当时，， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是等差数列，故B正确； 对于C，当时，有， 因为，所以，即 所以是等比数列，故C正确； 对于D，当时，有， 因为，所以，即， 因为， 所以是等比数列，故D正确； 故选：BCD． 等差数列题型02 13．（2025·辽宁·一模）若同时满足：①三个内角成等差数列，②三边长成等差数列，则（    ） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、等差中项的应用 【分析】设，结合等差中项和余弦定理可得. 【详解】不妨设， 由①三个内角成等差数列可得， 又因为②三边长成等差数列，所以， 由余弦定理可得， 整理可得， 又，所以是等边三角形. 故选：B 14．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数列不等式能成立（有解）问题、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据已知条件求出和，即可求出的通项公式； （2）先求出，可得为等差数列，利用等差数列求和公式求出，根据题意可得，即可求出的取值范围. 【详解】（1），，解得，； 由，可知，； ，， 又， ， 即，解得或（舍去）， ． （2）由（1）知： 可知，，解得， 所以为等差数列，故， 存在，有即 又 所以 故，整理解得． 所以的取值范围是. 15．（2025·辽宁·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．4 B．60 C．68 D．52 【答案】D 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和 【分析】由等差中项的推理求得，由等差数列的前项和与等差中项求得. 【详解】，∴，∴， 故选：D. 16．（2025·辽宁沈阳·一模）已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、利用等差数列的性质计算 【分析】结合等差数列和常数数列的性质，分别从充分性和必要性两个方面分析即可. 【详解】当数列是等差数列时，根据等差数列的性质，当时，有，所以是的充分条件； 当数列是等差数列且为常数数列时，由于是恒成立的，所以未必成立，所以是的不必要条件. 综上可知：是的充分不必要条件. 故选：A 数列综合题型03 17．（2025·辽宁·三模）已知正数的整数部分记为，例如. (1)若，求数列的前项和. (2)设. ①求； ②求数列的通项公式； ③求数列的前100项和. 【答案】(1) (2)①；②；③ 【知识点】分组（并项）法求和、数列新定义 【分析】（1）将化简，得，该表达式第一项恒为整数，则只需考虑的取值情况可得解； （2）①将代入直接求解即可；②令，则，而，则可平方脱根，判断整数部分可得解；③已知，则可表达数列的前100项,，应用并项求和即可. 【详解】（1）， 当时，. （2）①， 因为，且，所以. ②令，则， 则， 所以. 因为，所以， 又为正整数，所以. ③方法一： 因为 ， 所以数列的前100项和为. 方法二： 数列的前100项和为 . 【点睛】本题考查新定义与数列的交汇，考查数学抽象，逻辑推理与数学运算的核心素养. 18．（2025·辽宁沈阳·二模）某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台APP的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在APP上推出了A和B两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券．下图是该商品日销售量y（单位：千件）与日访问量x（单位：万人次）的散点图：    (1)求出y关于x的回归方程，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品； (2)A款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有n次挑战机会，第n次无论成功与否都结束游戏．设X为游戏结束时，进行挑战的次数，X的数学期望为，证明：； (3)B款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的m值． 参考数据：，． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)，千件 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】错位相减法求和、求回归直线方程、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据最小二乘法可求线性回归方程，从而可求预测值； （2）先求出的分布列，再利用错位相减法求出期望后可得不等式成立； （3）就和分类讨论，对于后者，结合超几何分布可得，利用不等式组可得取何值时概率最大. 【详解】（1）由题意可得：，， ，， 所以回归方程，时，， 所以日访问量12万人时销售千件商品； （2）X可取值为， ，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 … n P … 故① 因为② 由①②得 ， 所以； （3）当时，Y只能取n，故m只能取n，有； 当时，整数m满足，其中t是0和中的较大者． 两次抽球包含的基本事件总数为， 事件“”所包含的基本事件数为， 此时， 当时，令， 整理得到：， 解得， 因为，所以， 当时，显然， 当时，， 所以， 故当时，取得最大值的整数或， 当时，取得最大值的整数， 其中为不超过的最大整数． 19．（2025·辽宁·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式. (1)求及数列的通项公式； (2)令，求数列的前项积. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、数列综合 【分析】（1）由题干得到递推公式，可证明数列是公差为1的等差数列，代入可求通项公式； （2）由（1）可知，各项相乘即可求出前n项积. 【详解】（1）由已知， 令代入得，即，解得或（舍去）， 令代入得，即，解得或（舍去）， 已知是各项都为正数的递增数列，且，故从第二项开始每一项都大于1，故， 对式子两边开根号得， 即，整理得，故：， 又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故，所以 （2）因为 所以 故 20．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比． (1)已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程； (2)已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程； (3)已知抛物线作“伸缩变换” ，得到﹐对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，其中，若，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)或； (3). 【知识点】求椭圆中的弦长、累乘法求数列通项、根据双曲线过的点求标准方程、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）由伸缩变换的定义计算即可； （2）先由伸缩变换求得方程，分别与射线联立方程求A、B坐标，根据两点距离公式解方程即可； （3）由伸缩变换的定义计算，结合条件及累乘法，等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）由条件得，整理得，所以的方程为； （2）因为，关于原点“伸缩变换”， 对作变换，得， 联立，解得点的坐标为， 联立，解得点的坐标为， 所以，所以或， 所以或； 因此椭圆的方程为或； （3）对作变换， 得抛物线，得， 又因为，所以，即， 当时，， 得，适用上式， 所以数列的通项公式. 【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，学会将已经学习过的知识方法迁移到新的问题中. 21．（2025·辽宁·一模）已知在数列中，，则的前项中的最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】根据指数函数是减函数，结合递推公式分析即可得解. 【详解】因为，所以函数是减函数， 因为，所以，即， 由函数是减函数，， 得，即， 由函数是减函数，， 得，即， 由函数是减函数，， 得，即， 以此类推，可知数列的最大项为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据指数函数是减函数，结合递推公式类推，是解决本题的关系. 22．（2025·辽宁·一模）设数列满足，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】累乘法求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项、数列不等式恒成立问题 【分析】结合二次函数的性质可判断A；由放缩法可得即可判断B；由放缩法可得，再由累乘法可得，可判断C；由累加法可得，即可判断D. 【详解】对于A，，因为， 根据二次函数的性质，所以，所以，故A正确； 对于B，， 所以， ，，所以，故B正确； 对于C，， ， 所以，累乘可得：， 所以， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以，数列的前项和为， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是通过由放缩法得到，对不等式两边取对数可得，再由累乘法得到，进而证得. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$