专题08 平面向量与不等式（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题08 平面向量与不等式 题型概览 题型01平面向量 题型02不等式 ( 题型01 ) 平面向量 1．（2025·辽宁·一模）已知向量， ，若，则 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】先利用，求出的值，然后再求解. 【详解】因为向量， ， ，所以，即； . 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，利用向量垂直求出的值是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2．（2025·辽宁·一模）若非零向量与单位向量共线，且，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、已知数量积求模 【分析】根据向量共线得，将两边同时平方，化简求出即可求解. 【详解】因为非零向量与单位向量共线，则，且， 因为，则，即， 整理得，解得（舍）或， 所以. 故答案为：. 3．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、求抛物线的轨迹方程 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 4．（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、用基底表示向量、已知数量积求模 【分析】（1）先根据条件求角，结合平面向量的数量积求的长. （2）设，利用列式可求的长. 【详解】（1）由 所以，又，所以. 因为为中点，所以， 所以. 所以，即. （2）因为平分，所以. 设， 由. 所以. 故. 5．（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】先确定椭圆的基本参数，根据，，结合二次函数的值域，可判断A的真假；取特殊点，可判断B的真假；数形结合，可判断C的真假；根据，可判断D的真假. 【详解】对椭圆，易得，，，因为为短轴的一个端点，不妨设.设为椭圆上一点.    对A选项：因为，所以，且. 所以. 所以当时，取得最小值1，；当时，取得最大值4.所以.故A正确； 对B选项：当点与点重合时，，， ，所以不正确，故B错误； 对C选项：显然，因为，所以当，，三点共线时，，所以错误，故C错误； 对D选项：设，又，所以，. 又. 又. 所以成立，故D正确. 故选：AD 6．（2025·辽宁沈阳·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、抛物线的对称性的应用 【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案. 【详解】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C． 7．（2025·辽宁·一模）已知，点D满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由图形结合向量的加法法则可得. 【详解】 . 故选：B 8．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标表示，结合基本不等式求出最大值及最小值即得. 【详解】在中，，则，即， 以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，， 由点P，Q是线段AB上的动点，设， 于是， 因此，当且仅当时取等号， 而，则当，即时，， 又，当且仅当或时取等号， 所以的取值范围是. 故选：D 9．（2025·辽宁·一模）已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、平面向量共线定理的推论 【分析】延长至，使，依题意可得共线，则是等边三角形，取的中点，求出，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】延长至，使，则， 所以共线，又的最小值为，且， 所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则，    所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：C 10．（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 11．（2025·辽宁大连·一模）点为圆上的一个动点，点，则向量在方向上的投影数量的最大值为 . 【答案】2 【知识点】几何中的三角函数模型、数量积的坐标表示、圆的参数方程 【分析】设点，即可求出，，再由在方向上的投影数量为及余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为点为圆上的一个动点， 所以设点，则, 又， 所以，， 所以在方向上的投影数量为， 又，所以在方向上的投影数量的取值范围为， 即在方向上的投影数量的最大值为. 故答案为：. 12．（2025·辽宁沈阳·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、数量积的运算律、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理可得答案； （2）由余弦定理、基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 再由正弦定理得， 又 ，所以， 在中，所以，， 所以，所以，又，所以； （2）由余弦定理可得， 即， 所以，， 所以， 当且仅当时“”成立. 13．（2025·辽宁抚顺·一模）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】因为，所以，因为，所以. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故选：B. 14．（2025·辽宁葫芦岛·一模）平面向量，，则在上的投影为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】依题意由向量数量积的坐标表示以及投影向量定义计算可得结果. 【详解】根据题意可知， 在上的投影为. 故选：A 15．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. ( 题型02 ) 不等式 16．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，，所以，， 又因为，所以， ， ，， ，， ，， ，， ，， ， 故C正确，A错误，且无证据表明BD正确. 故选：C. 17．（2025·辽宁·一模）记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、由不等式的性质比较数（式）大小、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】先由值域为得到不等式，再利用不等式的性质比较三者大小，再借助分数的性质及不等式放缩求解最值可得. 【详解】若函数的值域为， 记， 则，故， 由，得，且， 所以，又， 所以， 故. 则由且， 可得， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值. 18．（2025·辽宁·一模）已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（   ） A．记的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、定点到圆上点的最值（范围）、求平面轨迹方程、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A选项；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断B选项；由抛物线的性质化简得，由的范围求得结果判断C选项；由图可知当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，即可判断D选项. 【详解】由题意可知，设，过点作轴于点，如图：    则，， ∴，即，∴，A选项正确； ∵由对称性可假设点在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号， 所以，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； 当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，，∴的最小值为：7，D选项正确. 故选：ACD. 19．（24-25高三下·辽宁·开学考试）设正实数m，n满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为，故A正确； 由， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为2，故B正确； 由，当且仅当时等号成立， 则的最大值为1，故C错误； 由， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为2，故D错误. 故选：AB. 20．（2025·辽宁·三模）若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】根据求解一元二次不等式和基本不等式判断关于的不等式在上是否恒成立，即可得解. 【详解】的解集为，A错误； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，B正确； 的解集为，在上恒成立，C正确； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，D正确. 故选：BCD. 21．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式得出解集，再根据集合之间的包含关系可得出结论. 【详解】解不等式，可得或，因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 22．（2025·辽宁·一模）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 【答案】3或4（写对一个即可） 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、分式不等式 【分析】根据为幂函数，得到，再解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得，则， 不等式可化为， 解得，所以符合条件的自然数可以是3或4. 故答案为：3或4（写对一个即可） 23．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、区间的定义与表示、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式可求得，再由交集运算可得结果. 【详解】易知，又， 可得. 故选：A 24．（2025·辽宁·一模）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得. 【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为2. 故选：B. 25．（2025·辽宁·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】分别求出集合和，然后，利用交集的运算可得答案. 【详解】， ， . 故选：C 26．（2025·辽宁·一模）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 【答案】 / / 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、锥体体积的有关计算 【分析】根据体积关系可得的面积，由三角形面积公式和余弦定理，使用基本不等式可得. 【详解】因为，则， 记， 因为，即。 又因为， 当且仅当，即时，取等号. 所以a的最小值为. 故答案为：；. 27．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据基本（均值）不等式求出的取值范围，再结合对变形成，设函数，则问题转化成函数在给定区间上的最小值问题.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】因为x，y为正实数，且， 所以，且（当且仅当时取“”）. 又因为. 设函数（）.问题转化为求函数的最小值. 因为， 由，又，所以； 由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化成函数求最小值问题，还要结合基本不等式，确定所设函数的定义域. 28．（2025·辽宁·一模）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】高度测量问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据题意建立几何模型，求解正弦值最大转化成求解正切值最大，结合基本不等式求解最大值即可. 【详解】 如图所示：最佳视角,且当最大时，最大，     且最大，又， 又设所以 当且仅当时取等号， 此时 解得： 故选：A. 29．（2025·辽宁·一模）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平面向量与不等式 题型概览 题型01平面向量 题型02不等式 平面向量题型01 1．（2025·辽宁·一模）已知向量， ，若，则 A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·一模）若非零向量与单位向量共线，且，则 . 3．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 5．（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 7．（2025·辽宁·一模）已知，点D满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁·一模）已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁大连·一模）点为圆上的一个动点，点，则向量在方向上的投影数量的最大值为 . 12．（2025·辽宁沈阳·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的最大值． 14．（2025·辽宁葫芦岛·一模）平面向量，，则在上的投影为（   ） A． B． C．1 D． 15．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 不等式题型02 16．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·辽宁·一模）记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ． 18．（2025·辽宁·一模）已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（   ） A．记的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 19．（24-25高三下·辽宁·开学考试）设正实数m，n满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 20．（2025·辽宁·三模）若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（    ） A． B． C． D． 21．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（2025·辽宁·一模）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 23．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·辽宁·一模）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2025·辽宁·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．（2025·辽宁·一模）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 27．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为 ． 28．（2025·辽宁·一模）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·辽宁·一模）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$