河北省沧衡联盟2024-2025学年高三下学期5月模拟考试数学试题

绝密★启用前 沧衡联盟2025届高三5月模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 断 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.在复平面内，复数z一为度数单位)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={xly=√9-z},B={yly=2x十1，x∈N),则A∩B= A.{3,5,7,9》 B.{1,3,5,7,9} 驰 C.{3,5,7} D.(1,3,5,7} 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,且a2=3,as十as=20,则Ss= A.9 B.16 C.25 D.36 4假定风力等级与风速的关系清足方程：lg=号g十六（其中v为风速，单位：m/s,m为风力 2 等级)，2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预警，某地区风速达到10m/s,则该地区 此次大风的风力等级约为（注：10°.2≈5） A.2级 B.3级 C.4级 D.5级 毁 5.已知函数f(x)=(x一a2)(x一1)2在x=1处取得极小值，则实数a的取值范围为 A.-1<a<1 B.a<-1或a>1 C.-1<a<0 D.0<a<1 6.已知函数f(x)=sin2wx十cos wx(w>0)在区间[0，l]上恰好有3个零点，则w的取值范围为 A.) , c劉 n.( 高三数学第1页（共4页） 圆 7.甲、乙两人进行投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中 则换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为}，乙每次投篮的命中率 均为号若第一次由甲开始投篮，则第五次是乙投篮的概率是 A B号 c号 8.已知椭圆C:之 十知=1(a>b>0)的上焦点为F(0,c)(b>c),右顶点为B,斜率为4，的直 线1交椭圆C于P、Q两点，若F恰好为△BPQ的重心，则椭圆C的离心率为 A号好 B号 c D号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某次花样滑冰比赛的计分规则如下：共有9名裁判进行打分，打分后，再去掉一个最高分与一 个最低分，取剩余的7个分数的平均值作为该选手的成绩.比较去掉分数前、后两组数据的数 字特征，下列可能变小的是 A.中位数 B.极差 C.平均数 D.方差 10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E、F在四边形A1B1C1D1所在的平面内，若 |AE1=3② ，且AC⊥DF,则下列结论正确的是 A.异面直线AE与DD,所成角的正弦值为号 B.二面角F-BD-C,的余弦值为5 C.|EF的最小值为3y区 2 D.直线AE与平面ABD,所成角的正弦值的最大值为5 11.对于定义在区间D上的函数f(x),若满足：Vx1,x2∈D,且x1<x2,都有f(x1)≥f(x2), 则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”，若f(x)为区间[一2,1]上的“非增函数”，且 f(-2)=0,fz-1D+(-x)=-2,又x∈[侵]时，f:)≥-2=恒成立，则下列命题中 正确的有 A.f(1)=-2 B3,∈[侵1]f>-1 c.f(-)+f(-)+f()+f()=-4 D.x∈[-2，-1]，f(f(x))=-1 高三数学第2页（共4页） 器 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量a=(x,1),b=(1,一1)，若(a+2b)⊥b,则|a|= 13.在平面直角坐标系xOy中，动点M(x,y)到A(一1,0)、B(1,0)两点的距离的平方和为10， 则2}的取值范围为 14.已知球O与圆台O1O2的上、下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1、r2,且 3,≤…若球和圆台的表面积分别为S,和S2,则的最大值为 S2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2(A+C)=(sinA+ sin C)2-sin Asin C. (1)求角B的大小； (2)若b=4,求2a十c的取值范围. 16.(本小题满分15分)如图，已知多面体ABCD-A1B1C1D1,其中A1,B1,C1,D1四点共面， AA1,BB1,CC1,DD1均垂直于平面ABCD,四边形ABCD为菱形且∠ABC=120°，AA1=4, AB=BB=2CC=2. (1)求证：AB1⊥平面A1B1C1D1； 2 (2)求二面角B1-AC-D1的余弦值. ! D 高三数学第3页（共4页） 屬 17.(本小题满分15分)已知双曲线C,三-=1(a>0,b>0)的两条渐近线为y=土5 2x,且顶 点到渐近线的距离为25 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若过点P(停，0的直线1与双曲线C交于A,B两点，已知0为坐标原点，当S6= 405时，求直线1的方程. 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=ae+】-31nx-3,a>0. (1)求f(3)的最小值； (2)已知曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原 点，若0<a<3,求△AOB面积的最小值： (3)证明：V0e(0,),f(sin6)+f(cos0)>-1. 19.(本小题满分17分)设{a.}是整数数列，m是某个取定的正整数，若b。是an(n≥1)除以m的 余数，则称数列{bn)是{a.}关于m的模数列，记作{an(modm)).斐波那契数列{F.}是常见 的整数数列，满足F1=1,F2=1,Fm+2=F。十Fm+1,n∈N”. (1)写出数列{F.(mod3)}的第3项、第4项和第5项； (2)斐波那契数列{F,}有许多非常好用的性质，比如：Fm+m=FnF-1十Fm+1F。,请利用这个 性质解决以下问题： (i)证明数列{F,(mod3)}是周期为8的周期数列； (i)求F+F十F?十…十F员626的个位数字。 参考数据：F61=2504730781961,F62=4052739537881. 高三数学第4页（共4页） 露g 沧衡联盟2025届高三5月模拟考试 数学参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 B C D A A B D BCD ABD ACD 1.A 【锅标】：本中×日+导对应的点为传，)，在第一象限，放毒入 i 2.B【解析】A={xly=√9-x={x1x≤9)，B={yy=2x+1,x∈N}=1,3,5,7,…},则A∩B={1, 3,5,7,9},故选B. 五C【的】由萄可得C十十对=，邮路亿所以8-，十-点放适C 4D【解标】将=10代人公式gn-号g+易得1ga-号g10+铝所以n=1010=5,即 该地区此次大风的风力等级约为5级，故选D. 5A【解标】/）--13-2a-D.令)=0，得=1度-20中，由题意得2a中1<1，解 3 得一1<a<1,故选A. 6.A【解析】因为f(x)=2sin.rcos wr十cosw.r=cosr·(2sinr十1)，令f(x)=0,得cos仙x=0或 sin or=- 名所以or-受十k元或er=-君+2kr或or=一 r+2kπ，k∈N”.可知满足f(x)=0的 3∠ 非负根依次为无.红.江.x因为在区何[0，门上恰好有3个零点，所 11π 2w'6w'2u'6u 1171 6 故选A 7.B【解析】由题意可分两类情况，第1类为第四次甲投篮，第2类为第四次乙投篮. 类别 2 P 甲 甲 甲 乙 甲 甲 甲 乙 3×3 第1类 甲 甲 甲 1、1、1、2 3X3X3×3 分 甲 甲 乙 ×号××号 3×3 甲 甲 甲 乙 ××号×号 第2类 甲 乙 甲 乙 乙 甲 乙 乙 乙 所以第五次由乙投篮的概率是P= 3,放选B 高三数学参考答案第1页（共6页） 霸巴任 8.D【解析】延长BF交PQ于点M,所以点M为PQ的中点，设P(x1y1),Q(xt,y:),B(b,0),F(O.c), xi+x:+b yi xi =0, =1, 3 a 因为F为△BPQ的重心，所以 +x:=-b 即 y1+y:十0 y1+y=3c, 所以M(》由 两 =c, =1. 3 + 式相减得k·o=一名，因为o一4 9kw=-3c」 ，所以3a=4hc,所以3(b'+c2)-4c=0.解得 -5c或(=56，又因为>6，所以b=5c.即a-2c,所以e-号故选D 9.BCD【解析】因为删去的数据是最大值和最小值，所以极差、平均数、方差均有可能减小，中位数不变，故 选BCD. 10.ABD【解析】在直角三角形AA,E中，A,E1=√AE-AA,下= 4② 9 2 2 所以点E的轨迹是以A,为圆心，A,E- 2为半径的圆， 因为AC⊥平面BB,D,D,又因为DFC平面BB,D,D,所以点F在直线B,D1上. B B ② 对于A.因为n∠AAE=A正E=2= 3√2 一3，且DDAA,所以异面直线AE与DD,所成角的正弦 值为号，故A正确：对于B.设AC交BD于O.设点F为B,D,的中点则∠FOC为二面角F-BD-C的 平面角，所以cOs∠FOC二OC一后=3，故B正确：对于CEF的最小值即为点A,到直线 BD的距离与A,E的差，即为号放C错误：对于D,分别以AD1A,B1A,A所在直线为r,c细 建立空间直角坐标系，因为A=(0,0,2),B,=(0,2,0),D1=(2,0,0),则AB,=(0,2,一2)，B,D,=(2, -20,设E=(停e号me0小，所以正=（侵e号ne,-2小设平面ABD,的法向量为 2y1-2x1=0 n=（x1·y11),则 则n=(1.1,1).设AE与平面AB,D1所成角为0，则in0= 2x1-2y1=0, AE·n 1eos(A.n1=AE1·n sin(a+)-2 27 ,当。-要时n0有最大值为气，故D正确，故 4 √2 选ABD. 高三数学参考答案第2页（共6页） 巴任 11.ACD【解析】对于A,令x=-1,则f(-2)+f(1)=一2，又因为f(-2)=0,所以f(1)=-2,故A正 确.对于B.因为fú-1)+了-)=一2，所以y=f)的图象关于（←2-）对称，当x=时. ）=-1,当x∈[}时x)≥-2x恒成立，令x-2:所以（兮）≥-1，又因为1x)为区间 [-2门上的非增函数”则（合）<）=-1，所以分)=-1.所以xe[吕)≤-1 故B错误.对于C.因为f:-1)+f(-x)=-2.()+f(任)=-2.由B知f(-多）=f(号） -1.当x∈司时/（份）<f)<(》所以f)=-1.因为-∈【是引 [是引则(-)=但)=-1.所以(）+(+付)+(）=-4：故C正确对 于D,x∈[-2，-1]，f(-1)≤f(x)≤f(-2).即f(x)∈[-1,0]，所以由C知f(f(x)=-1.故D正 确.故选ACD, 12.√10【解析】因为a=(x,1),b=(1,-1),所以a+2b=(x+2,-1), 因为(a+2b)⊥b,所以x十2+1=0，即x=一3，所以a=√10. 18.(一，2U唱十）【解折】因为动点M,y)A(-1,0),B1.0)两点的距离的平方和为10，所 以(x+1)2+y+(x一1)+y=10,化简上述等式得到动点M的轨迹方程为x+y=4,点M(x,y)的 轨迹是以原点0,0)为圆心半径r=2的圆，2红十之=一牛十2=2+，设直线：y+2 x一1 x-1 k一1)，即kr一y-k-2=0,由(0,0)到直线1的距离d=一-2 ,因为直线与圆有公共点，所以圆 R+1 心到直线的距离d-<2.所以子的取值花偶为(-四，2]U[+) √k+1 x一1 14号【解折】因为球0与圆台0,0，的上、下底面和侧面都相切。 圆台上下底面半径分别为r1、r:,且3r1≤r:, 0inA 由切线长定理有圆台O,O:的母线长为r1十r:, 设球O的半径为R,几何体轴截面上右端点为A,下右端点为B, 过点A作AA1⊥BO于A1,则圆台O:O,的高AA1=2R,A,B=r:一r1· 则由勾股定理有(r1十r2)=(r:一r)2十4R,化简得R=r1r:, 因为球O与圆台O,O2的表面积分别为S,和S, 所 4πR 2r1r1 2 i+r+2+2a)+i+r+rn++1 2 因为3，<r所以∈o, 令行-1，y1++1,由对勾函数可知4∈0，时y随：的增大面减小， r: 当会-号时，片+片+1取得最小值，最小值为兮+3+1一号 rr 所以的最大值为后-号 高三数学参考答案第3页（共6页） 露巴全王 15.【解】(1)在△ABC中，有sin(A+C)=sin(π-B)=sinB, 所以sinB=(sinA十sinC)2-sin Asin C=sinA+sinC十sinA·sinC,…2分 由正弦定理得b2=2十a十aG,……3分 由余弦定理得b2=c+a2一2 ac cos B,所以cosB= 2 因为0<B<元，所以B=2 3 ……6分 (2)由正弦定理得a b 83 sin A sin C sin B 3 …8分 所以2a+c=85 852sinA+smC)-8g52sn(-c+sm=8cosC.…1分 因为0<C<买，所以。<cosC<1,故2a+c的取值范围为(4,8).……13分 16.【解】(1)因为AA1=4.AB=BB,=2CC,=2. 由题意可知，在直角梯形AA,B,B和直角梯形CC,B,B中，AB=BB,=2CC,=2, 所以AB1=B1A1=22,B,C,=5,又因为AA1=4.所以B1A1⊥AB1,…2分 在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=BC=2, 所以AC=23,又因为CC,=1 则AC,=√13，又因为B,C,=√5，即B,C+AB=AC1, …5分 又B,C1∩AB,=B1 所以AB⊥平面A,BCD,…6分 (2)连接BD交AC于点O,分别以OA,OD所在直线为x·y轴，以过点O且垂直于平面ABCD的直线 为之轴建立如图所示的空间直角坐标系，由A,B,C,D四点共面得四边形A,B,C,D1为平行四边形，所 以DD1=3, 则A(W3.0,0).C(-3,0,0),B1(0,-1,2),D1(0,1,3), 所以AC=(-23,0,0),CD=(W5,1,3),AB=(-√5，-1,2)，…8分 D 设平面B1AC的一个法向量为n1=(x1y1,21): n1·AC=-2√3x1=0. 所以 取n1=(0,2,1).…10分 B n1·AB1=-5x1-y1十2x1=0, C 设平面D,AC的一个法向量为n,=(x:·y:,), n:·AC=-23x:=0. 所以 取n2=(0,3,一1).…12分 n2·CD1=3x:+y:+3x:=0, n1·n:l16-1|2 所以cos(n1n:)=mn:5×√0 2 …………14分 √2 所以二面角B1AC-D,的余弦值为 ……15分 高三数学参考答案第4页（共6页） 霸巴 17.【解】1)双曲线的顶点(a,0)到渐近线，5r士2y=0的距离为5 · 所以- 2,即阳=2，…2分 又因为-⑤ 2,所以b=5,… 所以双曲线C的标准方程为子 =1. …5分 45 (2)解法1：因为P(停0小设直线AB的方程为x=my十亭A).B x=my十 3 由 消去x化简得(45m一36)y2十120my一100=0，…6分 x:y 由45m2-36≠0且4=3600(9m2-4)>0,解得m2>4 且m' 5 一120m -100 由根与系数关系得：y1十y:= 5m-36yy:45m-36 …8分 所以AB=1+my,-y,=201+m,9m-4 35m2-4 ………10分 4 3 原点O到直线AB的距离d= 4…11分 √m+1 所以Saw=g15m一4 40√9m2-4 12分 所以40,5_40V9m-4 9 95m-4,化简得125m-209m2+84=0. 即（125m-84(m-D=0,解得m-25或m=1 84 2/105或m=士1，……14分 所以m=土 25 所以直线（的方程为十2酒，-专-0攻x2,专0攻+y号-0或y音-心 ………15分 解法2：因为P(信o),设直线AB的方程为x=my+号A1y.By 4 x=my十 3 消去x化简得(45m-36)y”+120my一100=0， 45 =1. 由45m-36≠0且4=360(9m-)>0.解得m>号且m≠ 5· -120m 由根与系数的关系得： y1+y:-45m-36 -100 y1y:-45m-36 所以Saaw-×1OPX,-4 40√9m2-4 915m2-4 下面同解法1. 高三数学参考答案第5页（共6页） 霸巴怎 18.【解】1)因为f(3)=ae+1-31n3-3≥2e-3n3-3,当且仅当ac=1,即a=1时等号成立，… 所以f(3)的最小值是2e一3n3一3。………………………………4分 2f）-a+日-3f)=ae-是.所以f0)=a-3、5分 所以曲线y=f)在D)处的切线方程为y-(a+】-3)=(a-3(x-1D,…6分 当y=0时以a8a当x=0时y- 111 因为0<a<3,所以Saww-2·a‘a(3-a)6a2-2a” …”8分 令g(a)=6a-2a'.则g'(a)=12a-6a=6a(2-a), 所以g(4)在(0,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，………………………10分 所以ga)n=g(2)=8所以Sm的最小值为分 (3)因为-1=-sin0-cos0.所以只需证f(x)>-x,x∈(0,1)， 因为fx)=ae1+】-3n工-3≥2e号-3nx-3,…13分 20号3nx3+则A'()=e-5+2rh'x)2e宁 因为h”(x)>0,h'(1)=0,所以h(x)在(0,1)上单调递减，所以h(x)>h(1)=0,…15分 所以2e号-3nx-3>一x,所以f(x)>一x2,x∈(0.1)…16分 所以V0e(0,2）/八sn0)+f(cos0>-in0-cos0=-l.…17分 19.【解】(1)由递推关系得F,=2,F,=3,F影=5，………………2分 所以F,(m0d3)=2.F,(m0d3)=0,F,(m0d3)=2.…4分 (2)(i)由题中给的性质，可得F。+w=FF,十F+1F。,…5分 因为F,=13,F.=21, 所以F,(m0d3)=1,F,(m0d3)=0,…4……7分 所以F.+(mod3)=F.F,(mod3)=F。·(3×4+1)(mod3)=F.(mod3), 所以数列{F.(m0d3)》是周期为8的周期数列。………9分 (i)因为要计算个位数字.所以考虑数列(F.(mod10)》的周期， 由参考数据，猜想数列(F.(mod10))的周期为60，证明如下： 因为F.+=F,Fg十F.+1F,又由参考数据易得F(mod10)=1,Fo(mod10)=0, 所以F.+o(mod10)=F,Fs(mod10)=F.·(10×a+1)(mod10)=F.(mod10), 所以数列{F.(m0d10)》是周期为60的周期数列.………11分 因为F,=1,F,=1,F+a=F.十F。+1n∈N°， 所以F+1=F+1·(F+:一F,)=F+:F.+1一Fw+F。…13分 所以F十F程十F十…十F =F+(F,F2一F,F,)+(F,F,一F,F:)十(F,F,-F,F,)++(F,F16-F1sF1s) =1一F:F,十F阳F16=FgF1636·15分 又因为该数列的个位数字是以60为周期，所以F1m(mod10)=F,(mod10)=3, F1s(mod10)=F,(mod10)=8, 所以F:F,(mod10)=3X8(mod10)=4. 所以F十F十F十…十F6的个位数字为4.…17分 高三数学参考答案第6页（共6页） 霸巴