北京交通大学附属中学第二分校2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

北京交大附中2024—2025学年第二学期期中练习

高二数学

2025.04

说明：本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知函数，则（   ）

A. 2 B.  C.  D.

2. 已知，则等于（    ）

A. 1 B. 3 C. 1或4 D. 1或3

3. 二项式的展开式中常数项是（    ）

A. 1 B. 4 C. 6 D. 0

4. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（    ）

A. 60种 B. 50种 C. 40种 D. 30种

6. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ）

A. 36种 B. 42种 C. 54种 D. 72种

8. 设，，则是的（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

9. 已知，如果过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 若对函数的任意一条切线，均存在唯一一条切线使得，则称该函数为正交函数.给出下列四个函数：

①，②，③，④.

其中正交函数的个数为（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11. _______.（用数字表示）.

12. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则____________.

13. 写出“使函数在上存在最值”的实数的一个值为_________.

14. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使

得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为_________.

15. 已知函数，下列命题：的增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于x的不等式恒成立，则k的最大值为1.其中正确的命题是________.

三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知，，若的展开式中，所有二项式系数的和为32.

（1）求的值；

（2）求的系数；

（3）求的值.

17. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对恒成立.求实数的取值范围.

18. 已知函数，，直线分别交曲线和于点，，当时，设的面积为，其中是坐标原点.

（1）写出的函数解析式；

（2）求的最大值.

19. 已知函数,其中.

(Ⅰ)若,求的单调区间;

(Ⅱ)若的最小值为1,求的取值范围.

20. 已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，求证：是上的单调递减函数；