专题08 空间几何体结构特征、表面积、体积与斜二测画法6种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题08 空间几何体结构特征、表面积、体积与斜二测画法6种常考压轴题归类 知识点1.构成空间几何体的基本元素—点、线、面 1.空间中，点动成线，线动成面，面动成体． 2.空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）． 知识点2.简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台 1.棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． （1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； （2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； （3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； （4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； （5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； （6）长方体：底面是矩形的直平行六面体； （7）正方体：棱长都相等的长方体． 2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． （1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心； （2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示． 知识点3.简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球 1.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2.圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4.球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 知识点4.组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 知识点5.表面积与体积计算公式 1.表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 知识点6.空间几何体的直观图 1.斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： （1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使∠=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面． （3）画出对应图形．在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． （4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为． 2.平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 压轴题型一：空间几何体的结构特征 满分技法 准确识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等基本几何体的结构特征,包括面、棱、顶点的数量与性质,以及它们之间的联系与区别；判断组合体是由哪些基本几何体构成。 解题方法 1.定义法：严格依据各类几何体的定义进行判断,如棱柱需满足有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱锥要有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形。 2.特征分析法：通过分析几何体的面、棱、顶点等特征来确定其类型。例如,棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得,所以棱台的侧棱延长后必交于一点。 3.实物对照法：借助生活中的常见实物,如长方体形状的盒子对应棱柱,金字塔对应棱锥,帮助理 解和识别抽象的几何体结构。 易错点与规避 容易混淆相似几何体的特征,比如棱台和一般的棱台状物体,要注意棱台的上下底面是相似多边形且侧棱延长线相交于一点；多面体中面的数量计算错误,可通过逐步分析每个部分的面来避免。 1．（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体是球 2．（24-25高一下·福建福州·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间的弯曲性．规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体每个顶点的曲率为，故其总曲率为．根据曲率的定义，下列选项正确的是（    ） A．正三棱柱每个顶点的曲率为 B．正三棱柱每个顶点的曲率为 C．正三棱锥的总曲率为 D．棱锥的总曲率为 3．（24-25高一下·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 压轴题型二：空间几何体的表面积 满分技法 掌握柱体、锥体、台体和球的表面积计算公式,对于组合体,能正确分析其表面积由哪些部分组成不重复、不遗漏地计算。 解题方法 1.公式法：直接运用已知的表面积公式,如圆柱的表面积公式 ( 为底面半 径, 为高),圆锥的表面积公式 ( 为母线长)等进行计算。 2.割补法：对于不规则几何体,将其分割成几个规则的几何体,分别计算表面积后相加；或者补方规则几何体,用补成后的几何体表面积减去补上部分的表面积。 3.展开法：将几何体的表面展开成平面图形,通过计算平面图形的面积来得到几何体的表面积,适用于多面体和部分旋转体。 易错点与规避 在计算组合体表面积时,容易忽略面与面重合部分的面积,要仔细分析组合方式,明确重合部分； 使用公式时,混淆公式中的参数,如混淆圆锥母线长和高,需准确理解每个参数的含义并代入正确 数值。 4．（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 6．（23-24高一下·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 7．（浙江省浙南名校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河北邢台·期中）某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（    ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 压轴题型三：空间几何体的体积 满分技法 牢记柱体、锥体、台体和球的体积公式,理解体积公式的推导过程,能灵活运用公式解决复杂几何体的体积问题,包括等体积法的应用。 解题方法 1.公式法：根据几何体类型选择相应公式,如柱体体积公式 ( 为底面积, 为高), 锥体体积公式 等。 2.等体积法：当直接求几何体体积困难时,通过转换顶点和底面,利用体积不变的性质求解,常用于三棱锥体积的计算。 3.割补法：与求表面积类似,将不规则几何体分割或补成规则几何体,再计算体积。 易错点与规避 计算体积时,忘记乘以锥体体积公式中的 ；在使用等体积法时,选错顶点和底面,导致计算错 误,需要根据题目条件合理选择。 9．（2025·河南·模拟预测）已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，侧棱与下底面所成角的正弦值为，则该正四棱台的体积为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 10．（2025·福建南平·三模）已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·江苏·一模）已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（ ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为（   ） A．342 B．351 C．456 D．608 13．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（    ）    A．9π B．10π C．12π D．14π 压轴题型四：几何体的直观图 满分技法 掌握斜二测画法的规则,能根据几何体的直观图还原其实际形状和尺寸,以及根据实际几何体画出正确的直观图。 解题方法 1.斜二测画法步骤: 在已知图形中建立直角坐标系 ,画直观图时,把 轴和 轴画成对应的 轴和 轴, 两轴夹角为 (或 )。已知图形中平行于 轴或 轴的线段,在直观图中分别平行于 轴或 轴；平行于 轴的线段长度不变,平行于 轴的线段长度变为原来的一半。对于 轴,保持垂直关系,长度不变。 2.还原法：根据斜二测画法的逆过程,将直观图还原为实际几何体,注意长度和角度的变化规律。 易错点与规避 在斜二测画法中,混淆 轴和 轴方向上线段的长度变化规则；还原直观图时,错误判断角度和长度,可通过多练习典型例题来加深理解。 14．（天津市部分区2024-2025学年高一下学期期中练习数学试卷）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 15．（24-25高一下·福建·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ） A． B． C．8 D． 16．（24-25高一下·陕西西安·期中）将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·浙江·期中）如图的平面直角坐标系中，线段长度为2，且，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为，则（   ） A．4 B． C． D． 18．（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 压轴题型五：最短路径问题 满分技法 在空间几何体表面求两点之间的最短路径,通常转化为在展开图上求两点之间的线段长度。 解题方法 1.展开法：将几何体表面展开成平面图形,根据 “两点之间,线段最短”,在展开图上连接两点, 出线段长度,即为最短路径。 2.分类讨论法：当几何体有多种展开方式时,分别计算不同展开方式下两点间的距离,比较得出最小值。 易错点与规避 遗漏可能的展开方式,导致求出的不是最短路径；在展开过程中,错误判断面与面的拼接关系,造 成展开图错误,需仔细分析几何体的结构。 19．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，点P为对角线上的动点，点N为棱上的动点（不含端点），点M为线段的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 21．（24-25高一下·河北·期中）如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·江苏泰州·二模）在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 24．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B．6 C． D． 25．（2025高三·全国·专题练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 压轴题型六：球相关问题 满分技法 掌握球的表面积公式 和体积公式 ( 为球的半径),解决与球的内接、外切几何体相关的问题,确定球的半径。 解题方法 1.构造直角三角形法：对于球的内接或外切几何体,通过找出球心与几何体关键顶点、面的关系, 构造直角三角形,利用勾股定理求出球的半径。例如,球内接长方体,其体对角线就是球的直径。 2.等体积法：在一些复杂的球与几何体组合问题中,通过等体积变换来建立关于球半径的方程求解。 3.补形法：将不规则的几何体补成规则的几何体,使其与球的关系更加明确,便于求出球的半径。 易错点与规避 在确定球的半径时,找错几何关系,导致半径计算错误；混淆球的表面积和体积公式,需加强对公式的记忆和理解。 26．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 27．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）在边长为2的正方形中，点分别是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 28．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 29．（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 30．（2025高三·全国·专题练习）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，且该正四棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·湖南·期中）棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·江苏·二模）一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·湖南湘潭·三模）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京大兴·期中）如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴．某同学将一个直角三角形硬纸板绕斜边所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体．测量出为2，上、下旋转面的面积比是，则的长度是（    ） A． B． C．3 D． 6．（2025·天津河北·二模）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 7．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 8．（2025·安徽芜湖·二模）已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外），所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东·一模）已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·浙江·期中）水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一下·河北邢台·期中）已知某圆台的上，下底面的半径分别是和，且该圆台的上，下底面的圆周都在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·山东·期中）在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A．四面体的表面积为40 B．四面体的体积为 C．四面体外接球的表面积为 D．记四面体内切球的球心为，则 13．（2025高三下·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径等于3，高等于4，则（   ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的面积为 C．圆锥外接球的半径为3.2 D．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为0.8 三、填空题 14．（2025高三·全国·专题练习）《茶花开了》是一首具有独特魅力的歌曲，充满了生活气息和乡土情怀，能让许多听众产生共鸣，找到心灵的归属.在这首歌曲中提到了一种采茶工具竹篓，如图是一个形如两个圆台叠放在一起的竹篓，该竹篓上、下底面半径分别为、，高为50cm（即上、下底面间的距离），环结的半径小于上底面半径，已知装满这只竹篓需要5kg新鲜茶叶，1kg新鲜茶叶的体积为，则该竹篓的环结的半径（单位：cm）的取值范围为 .（取近似值3） 15．（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 . 16．（2025·浙江温州·三模）已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于 ；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为 ． 17．（24-25高一下·山东·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍，其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一刍甍，∥，侧面和为等边三角形，，则该刍甍的体积为 . 18．（24-25高一下·福建福州·期中）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为r的球面上，且， ，则球的表面积为 四、解答题 19．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知圆锥的半径，母线长为． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 20．（24-25高一下·浙江·期中）据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；（直接写结果） (2)在该“球锥”中，当球缺的体积是圆锥的体积2倍时，求的值； (3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. 21．（24-25高一下·浙江丽水·期中）祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，. (1)写出，，三者之间的关系； (2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题： （i）求截得的“球缺”的体积； （ii）求截得的“球缺”的表面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 空间几何体结构特征、表面积、体积与斜二测画法6种常考压轴题归类 知识点1.构成空间几何体的基本元素—点、线、面 1.空间中，点动成线，线动成面，面动成体． 2.空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）． 知识点2.简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台 1.棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． （1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； （2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； （3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； （4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； （5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； （6）长方体：底面是矩形的直平行六面体； （7）正方体：棱长都相等的长方体． 2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． （1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心； （2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示． 知识点3.简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球 1.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2.圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4.球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 知识点4.组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 知识点5.表面积与体积计算公式 1.表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 知识点6.空间几何体的直观图 1.斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： （1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使∠=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面． （3）画出对应图形．在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． （4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为． 2.平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 压轴题型一：空间几何体的结构特征 √满分技法 准确识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等基本几何体的结构特征,包括面、棱、顶点的数量与性质,以及它们之间的联系与区别；判断组合体是由哪些基本几何体构成。 解题方法 1.定义法：严格依据各类几何体的定义进行判断,如棱柱需满足有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱锥要有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形。 2.特征分析法：通过分析几何体的面、棱、顶点等特征来确定其类型。例如,棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得,所以棱台的侧棱延长后必交于一点。 3.实物对照法：借助生活中的常见实物,如长方体形状的盒子对应棱柱,金字塔对应棱锥,帮助理 解和识别抽象的几何体结构。 易错点与规避 容易混淆相似几何体的特征,比如棱台和一般的棱台状物体,要注意棱台的上下底面是相似多边形且侧棱延长线相交于一点；多面体中面的数量计算错误,可通过逐步分析每个部分的面来避免。 1．（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体是球 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台及球体的结构特征判断各项的正误. 【详解】对于A，由棱柱的结构特征知，棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，正确； 对于B，当截面与棱锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是棱台，错误； 对于C，由棱台的结构特征知，棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点，正确； 对于D，以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度， 相当于以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆面旋转360度，由球的定义知，正确. 故选：B 2．（24-25高一下·福建福州·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间的弯曲性．规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体每个顶点的曲率为，故其总曲率为．根据曲率的定义，下列选项正确的是（    ） A．正三棱柱每个顶点的曲率为 B．正三棱柱每个顶点的曲率为 C．正三棱锥的总曲率为 D．棱锥的总曲率为 【答案】BCD 【分析】由曲率的概念逐项判断即可； 【详解】易知正三棱柱每个顶点有3个面角，其中两个面角是，一个面角为，所以每个顶点的曲率为：，故A错，B对， 对于C：易知正三棱锥每个顶点有3个面角，每个面角为，所以每个顶点的曲率为：，所以正三棱锥的总曲率为，C对， 由多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差， 可知：总曲率等于乘以顶点个数减去各个面的内角和， 所以棱锥，由个面为三角形，一个面为边行，共个顶点， 所以棱锥的总曲率为，故D正确， 故选：BCD 3．（24-25高一下·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 【答案】D 【分析】根据圆锥，棱台，棱锥的定义及结构特征，逐一分析判断各个选项得解. 【详解】对于A，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的几何体不是一个圆锥，故A错误； 对于B，把两个相同的棱台底面重合在一起，就不是棱台，故B错误； 对于C，由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，才是棱锥，故C错误； 对于D，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥， 由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故D正确. 故选：D. 压轴题型二：空间几何体的表面积 √满分技法 掌握柱体、锥体、台体和球的表面积计算公式,对于组合体,能正确分析其表面积由哪些部分组成不重复、不遗漏地计算。 解题方法 1.公式法：直接运用已知的表面积公式,如圆柱的表面积公式 ( 为底面半 径, 为高),圆锥的表面积公式 ( 为母线长)等进行计算。 2.割补法：对于不规则几何体,将其分割成几个规则的几何体,分别计算表面积后相加；或者补方规则几何体,用补成后的几何体表面积减去补上部分的表面积。 3.展开法：将几何体的表面展开成平面图形,通过计算平面图形的面积来得到几何体的表面积,适用于多面体和部分旋转体。 易错点与规避 在计算组合体表面积时,容易忽略面与面重合部分的面积,要仔细分析组合方式,明确重合部分； 使用公式时,混淆公式中的参数,如混淆圆锥母线长和高,需准确理解每个参数的含义并代入正确 数值。 4．（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的内切球，求出圆柱的底面半径和母线长，根据圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】由题意知，圆柱底面半径，母线长， 所以圆柱的表面积. 故选：C 5．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 【答案】A 【分析】根据正四棱锥及其外接球的特征，利用勾股定理求得底面对角线的一半的长，再求得底面正方形的边长和正四棱锥的侧棱长，利用余弦定理求得侧面的顶角余弦值，计算正弦值，利用三角形面积公式计算一个侧面的面积，进而求得全面积. 【详解】如图，在正四棱锥中，设底面的中心为，外接球的球心为， 则，，则， 在中，， 则在正方形中，，则， 又， 则， 所以， 则， 正方形的面积为， 则正四棱锥的表面积为. 故选：A. 6．（23-24高一下·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【答案】A 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 7．（浙江省浙南名校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作平面于，连接，由题意可知球心在上，求得球的半径，可求球的表面积. 【详解】过作平面于，连接， 因为，可得， 所以为的外心，所以三棱锥的外心在上， 因为，由正弦定理可得， 所以， 设外接球的半径为，则可得，所以， 所以该三棱锥的外接球表面积为. 故选：B. 8．（24-25高一下·河北邢台·期中）某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（    ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】求出正三棱锥的表面积与体积，由题意可知，这个球形饰品为正三棱锥的内切球时，表面积最大，然后由球的表面积公式求解即可. 【详解】 如图，在正三棱锥中底面正三角形中，，， 所以， 在中，，，所以， 所以该木材的表面积平方厘米， ，所以， 所以体积立方厘米. 要使这个球形饰品的表面积最大，则这个球形饰品是该木材的内切球. 设内切球的半径为厘米，则，所以. 设这个球形饰品的半径为厘米，则，故这个球形饰品的表面积平方厘米. 故选：B 压轴题型三：空间几何体的体积 √满分技法 牢记柱体、锥体、台体和球的体积公式,理解体积公式的推导过程,能灵活运用公式解决复杂几何体的体积问题,包括等体积法的应用。 解题方法 1.公式法：根据几何体类型选择相应公式,如柱体体积公式 ( 为底面积, 为高), 锥体体积公式 等。 2.等体积法：当直接求几何体体积困难时,通过转换顶点和底面,利用体积不变的性质求解,常用于三棱锥体积的计算。 3.割补法：与求表面积类似,将不规则几何体分割或补成规则几何体,再计算体积。 易错点与规避 计算体积时,忘记乘以锥体体积公式中的 ；在使用等体积法时,选错顶点和底面,导致计算错 误,需要根据题目条件合理选择。 9．（2025·河南·模拟预测）已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，侧棱与下底面所成角的正弦值为，则该正四棱台的体积为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】设该正四棱台的侧棱长为，然后根据已知条件求出上下底面对角线的长，再结合正四棱台的性质表示出正四棱台的高，然后根据题意列方程可求出，从而可求出正四棱台的高，进而可求出其体积. 【详解】设该正四棱台的侧棱长为． 因为正四棱台的上、下底面面积分别为1，16， 所以正四棱台的上、下底面边长分别为1，4， 所以正四棱台上、下底面的对角线长分别为，， 所以该正四棱台的高， 因为侧棱与下底面所成角的正弦值为， 所以，可得， 所以， 故所求体积． 故选：B 10．（2025·福建南平·三模）已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可. 【详解】设点到平面的距离为，四边形的面积为， 显然有，所以， 因此剩余部分几何体的体积为， 故选：C 11．（2025·江苏·一模）已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点为，连接，根据长方体的性质可知平面割成的体积较小部分为三棱台，利用台体的体积公式计算即可得出答案. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因为是棱的中点，所以由长方体性质可得， 所以四点共面， 根据长方体性质，与相似，相似比为，且平面平面， 所以交于同一点， 所以长方体被平面割成的体积较小部分为三棱台， 设长方体的各棱长为，则长方体的体积为， 再由棱台体积公式可得 ， 较大部分的体积为； 所以体积较大部分与体积较小部分的体积之比为， 故选：C 12．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为（   ） A．342 B．351 C．456 D．608 【答案】B 【分析】根据题意，设棱台的高为，结合棱台的体积公式即可得到的值，再由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设四棱台的高度为，记图1、图2液体体积分别为、， 图1中间液面四边形的边长为8，图2中间液面四边形的边长为10， 则， 即，所以． 故选：B 13．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（    ）    A．9π B．10π C．12π D．14π 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为，由于为定值，所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值，从而可求出，进而可求出其侧面积. 【详解】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的母线长为， 因为为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径， 所以， 所以当点到平面的距离最大时三棱锥的体积取得最大值， 所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值， 所以，解得， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：C 压轴题型四：几何体的直观图 √满分技法 掌握斜二测画法的规则,能根据几何体的直观图还原其实际形状和尺寸,以及根据实际几何体画出正确的直观图。 解题方法 1.斜二测画法步骤: 在已知图形中建立直角坐标系 ,画直观图时,把 轴和 轴画成对应的 轴和 轴, 两轴夹角为 (或 )。已知图形中平行于 轴或 轴的线段,在直观图中分别平行于 轴或 轴；平行于 轴的线段长度不变,平行于 轴的线段长度变为原来的一半。对于 轴,保持垂直关系,长度不变。 2.还原法：根据斜二测画法的逆过程,将直观图还原为实际几何体,注意长度和角度的变化规律。 易错点与规避 在斜二测画法中,混淆 轴和 轴方向上线段的长度变化规则；还原直观图时,错误判断角度和长度,可通过多练习典型例题来加深理解。 14．（天津市部分区2024-2025学年高一下学期期中练习数学试卷）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得. 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对. 故选：D 15．（24-25高一下·福建·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解. 【详解】因为， 所以是直角三角形且，可得， 所以的面积， 则的面积． 故选：D 16．（24-25高一下·陕西西安·期中）将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据斜二测画法得出相应边的长度和角的大小；再利用余弦定理分别求出和，进而可求出 【详解】设正三角形的边长为， 则. 根据斜二测画法可得：；；；. 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得： ； 故选：A 17．（24-25高一下·浙江·期中）如图的平面直角坐标系中，线段长度为2，且，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】在中求出，的值，根据斜二测画法，得到，的值，在中，根据余弦定理求出. 【详解】因为，， 所以，， 由斜二测画法得，， 因为， 所以在中， ， 故选：C. 18．（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D，因轴，轴，则， 又轴，则四边形为平行四边形，故. 又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为， 因四边形面积是四边形的面积的倍， 则四边形OABC的面积为. 故选：B 压轴题型五：最短路径问题 √满分技法 在空间几何体表面求两点之间的最短路径,通常转化为在展开图上求两点之间的线段长度。 解题方法 1.展开法：将几何体表面展开成平面图形,根据 “两点之间,线段最短”,在展开图上连接两点, 出线段长度,即为最短路径。 2.分类讨论法：当几何体有多种展开方式时,分别计算不同展开方式下两点间的距离,比较得出最小值。 易错点与规避 遗漏可能的展开方式,导致求出的不是最短路径；在展开过程中,错误判断面与面的拼接关系,造 成展开图错误,需仔细分析几何体的结构。 19．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，点P为对角线上的动点，点N为棱上的动点（不含端点），点M为线段的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将沿翻折，使得与在同一个平面，作于Q，作于J，则的最小值为，转化为求出的值，在中求解即可. 【详解】将沿翻折，使得与在同一个平面，如下图所示：    因为， 所以与全等， 作于Q，作于J，则的最小值为， 且． 因为，且，， 所以， 所以， 故， 故选：C． 20．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】将与同时展平形成一个四边形，对角线即为所求得答案，利用勾股定理和余弦定理求出答案. 【详解】连接， 将与同时展平形成一个四边形，如图， 则此时对角线达到最小， 在等腰直角三角形中，，， 在直角中，， 在中，，，， 所以，即， 对于展开形成的四边形，在中，，，， 由余弦定理有． 故选：A． 21．（24-25高一下·河北·期中）如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】沿展开，由平面图形结合余弦定理即可求解. 【详解】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、， 则，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，又， 根据余弦定理，. 故选：A. 22．（2025·江苏泰州·二模）在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将展开到与共面，根据三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时等号成立.根据题干条件，在中由余弦定理即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，设点为线段的中点，连接. 由题易知：，，平面. 在中，，故， 所以是边长为2的等边三角形. 将展开到与共面，如图所示， 则，当且仅当三点共线时等号成立，即取得最小值. 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以， 即的最小值为. 故选：A. 23．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    24．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示， 则，，， 由，有，，， 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示， 质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦， ，，有. 故选：A 25．（2025高三·全国·专题练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 【详解】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 压轴题型六：球相关问题 √满分技法 掌握球的表面积公式 和体积公式 ( 为球的半径),解决与球的内接、外切几何体相关的问题,确定球的半径。 解题方法 1.构造直角三角形法：对于球的内接或外切几何体,通过找出球心与几何体关键顶点、面的关系, 构造直角三角形,利用勾股定理求出球的半径。例如,球内接长方体,其体对角线就是球的直径。 2.等体积法：在一些复杂的球与几何体组合问题中,通过等体积变换来建立关于球半径的方程求解。 3.补形法：将不规则的几何体补成规则的几何体,使其与球的关系更加明确,便于求出球的半径。 易错点与规避 在确定球的半径时,找错几何关系,导致半径计算错误；混淆球的表面积和体积公式,需加强对公式的记忆和理解。 26．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点为E，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算. 【详解】设是中点，连接，设的外心为，的外心为， 是四面体外接球球心， 由于和都是边长为的正三角形， 所以， 且分别在靠近E的三等分点处. 根据二面角的大小为及球的性质可知： 平面，平面，所以， 由于，所以四边形是正方形， ，， 设四面体外接球的半径为，则. 所以外接球的表面积为. 故选：A 27．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）在边长为2的正方形中，点分别是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两两垂直，三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径，得到表面积. 【详解】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥的外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：D 28．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为，高为， 故， 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，所以球心与点重合， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 所以球心与点重合， 综上所述，，故，所以. 故选：C. 29．（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据球内切于正三棱柱求出高，然后内切球的性质求得底面正三角形的边长，最后利用柱体体积公式求解即可. 【详解】因为半径为2的球内切于正三棱柱， 所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图. 由正三角形及其内切圆的性质，得， 所以的面积为， 所以正三棱柱的体积为. 故选：A 30．（2025高三·全国·专题练习）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，且该正四棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式求出高，再结合正四棱台的结构特征、球的截面圆性质求解. 【详解】设该正四棱台的高为，上、下底面的外接圆的半径分别为， 依题意，，， 该正四棱台的体积，得， 设该正四棱台外接球球心到该正四棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为， 则或，于是，即， 当时，无解；当时，解得，，则， 所以所求球的表面积为. 故选：A 31．（24-25高二下·湖南·期中）棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中利用余弦定理求出，即可求出，从而求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，从而得解. 【详解】依题意可得，， 在中由余弦定理， 所以， 则外接圆的半径， 又且平面， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积. 故选：D 32．（2025·江苏·二模）一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用棱柱的体积可得面积之比，进而得长度比例关系，结合勾股定理，联立方程可求解半径，由表面积公式求解，或者利用余弦定理求解长度，进而根据正弦定理求解外接圆半径，即可利用勾股定理求解球半径得解. 【详解】方法一： ， 如图，， 而， ，，即， 由于到距离，则到距离， 设正方形外接圆圆心，则 设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径 ，，故外接球表面积为， 故选;A. 方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图： 设圆的半径为，由余弦定理可得， 故，故， 所以外接球的半径为，所以球的表面积为. 故选：A. 一、单选题 1．（2025·湖南湘潭·三模）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该正三角形与底面的相似比为k，结合正四面体的性质，根据相似比求得截面面积为，根据正三棱台的表面积公式和正四面体的表面积列式求出，即可得解. 【详解】由正四面体木料知，底面为边长为2的正三角形，故底面面积为， 因为平面平行于该木料底面，故该平面在木料上的截面也为正三角形， 设该正三角形与底面的相似比为k，则该平面在木料上的截面面积为， 截下部分一部分为小四面体，一部分为正三棱台，其中小四面体部分的表面积即， 正三棱台表面积为， 故，解得，所以该平面在木料上的截面面积为. 故选：D． 2．（24-25高一下·北京大兴·期中）如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，推导出，可求出的取值范围，则点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部，计算出点到距离的最小值，可求出面积的最小值，结合锥体的体积公式可求得结果. 【详解】连接，因为平面，平面，所以， 所以，， 所以，点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部， 连接交于点，因为四边形为正方形，所以为的中点，且， 因为正方形的边长为，则，所以， 设点到的距离为，则， 所以，面积的最小值为， 故， 即三棱锥体积的最小值为. 故选：C. 3．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥的组合几何体的体积. 【详解】由题意，，，，， ， 所以原图形中，，，，， ， 所以梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体， ． 故选：D． 4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求出，在平面直角坐标系中还原，计算即可 【详解】由斜二测画法知，， 所以由余弦定理得， ，代入上式解得，， ， ,， 还原平面图如图， 即，， ， 四边形的周长为． 故选：C. 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴．某同学将一个直角三角形硬纸板绕斜边所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体．测量出为2，上、下旋转面的面积比是，则的长度是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题先通过设未知数表示出相关线段的长度，再利用勾股定理得到一个关于未知数的方程，接着根据旋转面面积比得到另一个关于未知数的方程，最后联立这两个方程求解出未知数的值，进而求出BC的长度. 【详解】设与的交点为，，，则，，． 由是直角，得，即，得．① 又由上、下旋转面的面积比是，得，即，所以．② ①②两式联立，整理得，解得（舍负值），可得，则． 故选:A． 6．（2025·天津河北·二模）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】若正八面体的棱长为2，根据正八面体的结构特征易得外接球半径，应用等体积法求得内切球半径，最后由面积比为即可得. 【详解】若正八面体的棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为，且， 由各侧面的面积，且构成八面体的两个正四棱锥的高为， 则正八面体的体积，所以， 所以外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 7．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 【答案】B 【分析】先分析得出正二十面体的面、顶点以及棱的个数，进而结合图象得出足球截面体各个面的性质，即可得出答案. 【详解】易知正二十面体有20个面，每个面都是三角形，每个顶点都是5条棱的交点，每条棱都是两个面的公共边， 所以，正二十面体的棱数为，顶点的个数为. 由图象可知，正二十面体的每个顶点截角后为一个正五边形，即每个顶点处增加了5条棱； 原来的30条棱数量不变，所以，足球截面体的棱数为. 故选：B. 8．（2025·安徽芜湖·二模）已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外），所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆锥的轴截面，得到内切圆均切于各边的中点，从而得到交线为（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆，求出上部分圆锥与圆锥的体积之比，即可得解. 【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设的内切圆的圆心为， 切、、于、、， 因为为等边三角形，所以、、分别为、、的中点， 设与交于点，的边长为，则，，， 则圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆， 所在的平面将圆锥分成上下两部分，此时上部分圆锥的底面半径为，高为， 又圆锥的底面半径为，高为， 所以上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为， 所以所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为. 故选：B 9．（2025·山东·一模）已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设正四面体的棱长为，得到其高为，结合题意可判断出正四面体的棱长取最值时球和正四面体的位置关系，再利用球半径、截面圆半径、球心到截面圆心距离之间的关系求解即可. 【详解】如图所示，设在底面的投影为，连接并延长交于，易知E为中点， 正四面体的棱长为， 则由正四面体的特征知，， 正四面体的高为. 当正四面体内接于球时，即时，最小， 此时，得. 当球与正四面体的每条棱都相切时，即，最大， 因为球的球心到正四面体的四个面的距离都相等， 所以当球与正四面体的每条棱都相切时， 借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点， 且球心到正四面体的顶点的距离为， 利用勾股定理可得，得. 故正四面体的棱长的取值范围为. 故选：A. 10．（24-25高一下·浙江·期中）水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，画出4个球的外接球的示意图，根据图中的几何关系求解. 【详解】 如图，4个小球球心构成的正方形为，中心为N， 由题意，， 半球形容器的球心为O， 显然当半球形容器与4个小球都相切时球O的半径最小，半球形容器与球的切点为A， 连接ON，则小球的半径， 球O的半径； 所以半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为， 故选：B 二、多选题 11．（24-25高一下·河北邢台·期中）已知某圆台的上，下底面的半径分别是和，且该圆台的上，下底面的圆周都在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据旋转体的性质可得外接球半径与圆台轴截面外接圆半径相等，即可得解. 【详解】旋转体的性质可得外接球半径与圆台轴截面外接圆半径相等， 如图所示， 当球的球心在圆台外时，设圆台的高为， 则，解得， 圆台的体积为； 当球的球心在圆台内时， 则，即圆台的高， 则圆台的体积为. 综上，该圆台的体积为或， 故选：AC. 12．（24-25高一下·山东·期中）在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A．四面体的表面积为40 B．四面体的体积为 C．四面体外接球的表面积为 D．记四面体内切球的球心为，则 【答案】ACD 【分析】利用该四面体的几何特征，将四面体补形成长方体，再利用长方体的几何特征求解表面积、体积以及外接球表面积和内切球的问题. 【详解】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为, ,解得，，. 每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确. 体积计算:长方体体积为,减去四个三棱锥体积(每个为), 得四面体体积为.选项B错误. 四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确. 因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确. 故选：ACD. 13．（2025高三下·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径等于3，高等于4，则（   ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的面积为 C．圆锥外接球的半径为3.2 D．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为0.8 【答案】ABD 【分析】根据圆锥的体积公式即可判断A；根据圆锥的侧面积公式即可判断B；利用勾股定理即可判断C；结合C选项即可判断D. 【详解】对于A，圆锥的体积，故A正确； 对于B，由题意圆锥的母线， 所以圆锥的侧面展开图的面积为，故B正确； 对于C，如图设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，为底面上两点且为直径, 设圆锥外接球的半径为，球心为，则球心在上，如图所示， 则，， 由勾股定理有，解得，故C错误； 对于D，设圆锥母线与底面所成的角为，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（2025高三·全国·专题练习）《茶花开了》是一首具有独特魅力的歌曲，充满了生活气息和乡土情怀，能让许多听众产生共鸣，找到心灵的归属.在这首歌曲中提到了一种采茶工具竹篓，如图是一个形如两个圆台叠放在一起的竹篓，该竹篓上、下底面半径分别为、，高为50cm（即上、下底面间的距离），环结的半径小于上底面半径，已知装满这只竹篓需要5kg新鲜茶叶，1kg新鲜茶叶的体积为，则该竹篓的环结的半径（单位：cm）的取值范围为 .（取近似值3） 【答案】 【分析】设环结的半径为，环结与上底面之间的距离为，根据圆台的体积列出与的关系，利用解不等式即可. 【详解】设环结的半径为，环结与上底面之间的距离为，由题知该竹篓的容积为，则， 化简得，其中， 令，得， 故该竹篓的环结的半径（单位：cm）的取值范围为. 故答案为: . 15．（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 . 【答案】 【分析】设圆台的底角为，上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，球的半径为，根据台体球体体积公式计算体积，再得到比值，令，换元，结合对勾函数性质得解. 【详解】设圆台轴截面如图，等腰梯形底角为，上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，球的半径为， 则圆台体积，球体积，已知，. 由，得，把代入，，所以.   则. .   则 ，化简得.   令，.当，；靠近时，变得很大，趋近正无穷，所以范围是，即. 故答案为：. 16．（2025·浙江温州·三模）已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于 ；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】先求出圆台的高，再根据圆台的体积公式直接计算即可求出体积；绘制出爬行的最短距离计算求解即可爬行的最短距离. 【详解】设圆台高为，已知，，母线长， 则， 所以圆台体积为； 圆台侧面展开图是一个扇环，设其所在扇形所对圆心角为半径为,则且 解得如图，， 过作与小半圆切于点连接并延长至， 过作与小半圆切于点，且两切线交于点连接并延长至， 则， 由题意知爬行过程中必然经过线段中某一点和中某一点， 所以是爬行的最短距离时的部分路径. 所以是爬行最短路径时经过的点，则也是爬行的最短路径的另一部分， 由上可知，，故，， 同理，， 所以所以， 所以爬行的最短距离为 故答案为：；. 17．（24-25高一下·山东·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍，其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一刍甍，∥，侧面和为等边三角形，，则该刍甍的体积为 . 【答案】 【分析】作辅助线，可知：为柱体，四棱锥的侧棱长相等，为矩形，结合锥体、柱体的体积公式运算求解即可. 【详解】分别在取点，使得， 由题意可知：为柱体，四棱锥的侧棱长相等，为矩形， 则点在底面的投影为矩形的外心，即为对角线的交点， 因为，则， 可得四棱锥的体积； 设点到平面的距离为， 因为，且， 即，解得， 可知点到平面的距离为，即柱体的高为， 所以柱体的体积， 综上所述：该刍甍的体积为. 故答案为：. 18．（24-25高一下·福建福州·期中）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为r的球面上，且， ，则球的表面积为 【答案】 【分析】根据给定条件，确定三棱锥的特性，再补形成正方体，借助正方体外接球求得答案. 【详解】三棱锥中，由及， 得侧棱两两垂直且等长，则三棱锥的外接球与以为共点棱的正方体的外接球相同， 而此正方体的外接球直径为其体对角线长，为，因此三棱锥的外接球半径为， 所以所求外接球的表面积为：. 故答案为： 四、解答题 19．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知圆锥的半径，母线长为． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 【答案】(1)表面积，体积 (2)体积，表面积 【分析】（1）设圆锥的高为h，分别应用表面积和体积公式，求出表面积和体积即可得到答案. （2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，根据圆锥表面积和圆柱侧面积即可得到剩下几何体的表面积，即可得到答案. 【详解】（1）设圆锥的高为h， 由题意得： 圆锥侧面积， 圆锥的底面积， 圆锥的表面积； 圆锥的体积为． （2）由（1）可得：圆锥的体积为 又圆柱的底面半径为，高（母线）为 圆柱的体积为    剩下几何体的体积为； 由（1）得圆锥的表面积； 20．（24-25高一下·浙江·期中）据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；（直接写结果） (2)在该“球锥”中，当球缺的体积是圆锥的体积2倍时，求的值； (3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，结合锥体体积公式得“球锥”的体积. （2）根据球缺体积是圆锥体积的2倍这一条件，结合球缺和圆锥体积公式列出等式，通过化简求解的值. （3）根据正四面体与“球锥”的内接关系，利用正四面体的外接圆半径和高的性质，分析得出存在棱长唯一的正四面体内接“球锥”时的取值范围. 【详解】（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为， 所有小锥体的底面积之和即球冠面积， 结合锥体体积公式得“球锥”的体积为. （2）设圆锥半径为，则， 当球缺的体积是圆锥的体积的2倍时，， 即 消去，得 整理得，因为，所以 （3）设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为， 则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件. 注意到，当顶点在圆锥底面圆周上时，，得， 当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体， 所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”. 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则， 且顶点在球冠上.即，且. 又因为，所以. 21．（24-25高一下·浙江丽水·期中）祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，. (1)写出，，三者之间的关系； (2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题： （i）求截得的“球缺”的体积； （ii）求截得的“球缺”的表面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由圆柱、圆锥和球的体积公式，分别求得圆柱、圆锥和半球的体积，即可得出结论；可得，，，所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）（i）根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积，所以小球缺的体积为，令，代入计算，即可求解；（ii）将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体，连接球心O和每个小网格的顶点，整个几何体就被分割成n个“小锥体”，求得球缺曲面部分的面积为，进而得到球缺的表面积. 【详解】（1）解：根据题意，利用圆柱、圆锥和球的体积公式， 可得，，， 所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）解：（i）图（1）中，截面圆的半径为，所以截面圆的面积为， 图（2）中，截面为圆环，其中小圆的半径为，大圆的半径为， 所以截面圆环的面积为， 根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积， 所以小球缺的体积为， 令，可得. （ii）类比球的表面积和体积的求法，将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体， 把球缺的曲面部分分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点， 整个几何体就被分割成n个“小锥体”，记球缺曲面部分的面积为S， 则，可得，， 所以该球缺的表面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$