精品解析：北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

北京师大二附中2024-2025学年高一年级第二学期 数学期中测试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 函数的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质可得. 【详解】可得是由向上平移1个单位得到， 根据余弦函数的性质可得的图象关于轴对称. 故选：B. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到，再结合二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以，则， 由二倍角公式得，故，故D正确. 故选：D 3. 若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出的最大值． 【详解】解：把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 若函数在区间，上单调递增， 在区间，上，，， 则当最大时，，求得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 4. 在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数在复平面表示的方法，结合共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】在复平面内，复数对应的点如图所示，所以，因此， 故选：B 5. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象确定出，由周期求出，然后由图象过点，求出，从而得到函数的解析式即可. 【详解】由图象可知，，所以， 故，所以， 由图象过点，所以，即， 所以， 由于，所以， 所以. 故选：A 6. 函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于原点对称 D. 关于y轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出函数的定义域，化简函数的解析式，由正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】由得：， 所以的定义域为：， ， 对于A，，所以关于点对称，故A错误； 对于B，，所以关于直线对称，故B错误； 对于C，D，为奇函数，所以的图象关于原点对称，故C正确；D错误. 故选：C 7. 在中，，，则等于（ ） A. B. － C. D. － 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再利用及和角公式进行求解. 【详解】因为且，所以， 又， 所以. 故选：A 8. 某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作图,先求出，再求出，即得这栋小高层的高度. 【详解】依题意作图所示：，仰角，俯角， 在等腰直角中，， 在直角中，， ， 小高层的高度为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9. 已知向量，则夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，过原点作圆的切线，结合长度关系可求得，由此可得所求范围. 【详解】因为，说明点C为以为圆心，半径为的圆上的动点， 由于点，那么可知过原点作圆的切线，那么得到两条切线， 这两个切线与OA所成的角一个是最大角一个是最小角， 由于，， 则， 所以， 因此可知的夹角的范围是. 故选：C. 10. 已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由定义在，上的函数的最大值为，可得：，解得，因此：．分类讨论：①时，，利用图象以及函数零点定理即可判断出结论．②，，必须，．即可得出结论． 【详解】解：定义在，上的函数的最大值为， ，解得， ． ①当时，即时，， 令，， 如图，易知与的图象有两个交点，， 由图可知，令， ，， 因此存在唯一实数，，使得． ②当时，即，，必须． 综上可得：正实数的取值个数最多为2个． 故选：． 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、函数零点存在判定定理、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力． 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 求函数的图象与直线及轴围成的封闭图形的面积 ． 【答案】 【解析】 【分析】用挖补法将所求面积转化为长方形面积求解即可. 【详解】如图，由于的图象关于点对称， 所以区域Ⅰ和区域Ⅲ的面积相等，区域Ⅱ和区域Ⅳ的面积相等， 则所求的封闭图形即区域Ⅰ和Ⅳ，面积是大矩形面积的一半． 由图易知大矩形的长为6，宽为，故所求面积为． 故答案为： 12. 若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 【答案】（均可） 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出. 【详解】因为， 所以，解得，故可取. 故答案为：（均可）. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题. 13. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值. 【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知，是函数的最大值， 当时，，， 解得：，， 所以当k=0时，取最小值为1. 故答案为：1 14. 函数y＝sin2x＋2cosx在区间[－，a]上的值域为[－，2]，则a的取值范围是__. 【答案】[0，] 【解析】 【分析】应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于cosx的解析式，令t＝cosx，则原函数可化为y＝﹣（t﹣1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解． 【详解】解：由已知得y＝1﹣cos2x+2cosx＝﹣（cosx﹣1）2+2，令t＝cosx，得到：y＝﹣（t﹣1）2+2，显然当t＝cos（）时，y，当t＝1时，y＝2，又由x∈[，a]可知cosx∈[，1]，可使函数的值域为[，2]，所以有a≥0，且a，从而可得a的取值范围是：0≤a． 故答案为[0，]． 【点睛】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题． 15. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在上单调可知－＝≤＝，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解. 【详解】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴， 所以－＝＋，即＝T＝· (k∈Z)， 所以ω＝2k＋1(k∈Z)， 又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12， ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立， ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9. 故答案为：9 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 用“五点法”画出函数的图像，并求出函数的单调性. 【答案】 函数的递减区间为，函数的递增区间为. 【解析】 【分析】五点法作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的分别取，，，，，然后求出相应的值，作出图象，利用整体代换解不等式即可得单调区间.. 【详解】列表时，的取值分别为，，，，，再求出相应的值和值. ①列表. ②描点. ③用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示. 由得， 所以函数的递减区间为， 由得， 所以函数的递增区间为. 17. 计算的值． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用诱导公式变形，再利用两角和的正弦公式计算可得； 【详解】解： ． 18. 设，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】由已知变形可得，可得，则可求出，进而可得，代入可得答案. 【详解】解：由得 ， 即， 不能同时成立， 则， ，即， 联立得， 则， ， . 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查倍角公式的运用，考查学生的计算能力，是中档题. 19. 在中，，．若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值． 【答案】当，即时，最大，其最大值为0． 【解析】 【分析】以直角顶点为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，设点的坐标为，则建立与与的夹角的函数关系式进行求解． 【详解】解：以A为坐标原点，、为x、y轴建立平面直角坐标系， 设，，则，，， 设点，则 ∴，，，， ，， ∴， ∵， ∴，∴， 故当，即（，方向相同）时，最大，其最大值为0． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，考查函数思想，属于中档题． 20. 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，． （1）求索道的长； （2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min） 【解析】 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 从而． 由正弦定理，得（）． （2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处， 所以由余弦定理得， 由于，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理， 得（）． 乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用. 21. 设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. （1）当时，判断函数和是否具有性质？（结论不要求证明） （2）若，函数具有性质，且当时，，求不等式的解集； （3）已知函数具有性质，，且的图像是轴对称图形.若在上有最大值，且存在使得，求证：其对应的. 【答案】（1）具有性质，不具有性质； （2）； （3） 已知函数具有性质，则存在常数，使得，都有，所以， 所以函数的图像端点为和 由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线： ①若，因为时， 所以对任意，有 由基本不等式得，有 所以对任意，有 根据图像的对称性，得对任意，有 这样与存在矛盾. ②若，由，得 又，由图像的对称性知， 且，所以 这与在上有最大值矛盾. 综上：. 【解析】 【分析】（1）由函数具有性质判断即可； （2）若，函数具有性质，当时，，可确定的值，再利用性质求出在上的解析式，按分段函数解不等式即可； （3）根据函数具有性质，且函数图像是轴对称图形，在区间上有最大值，分别讨论，时，函数的最值情况，得出矛盾，即可证明. 【小问1详解】 解：函数具有性质；函数不具有性质； 【小问2详解】 解：若，函数具有性质，则存在常数，对任意，使得，又当时， 故当时，有，即，所以 所以当时，，， 即时， 故当时，不等式为，无解； 当时，不等式为，又， 故不等式解得：，即解集为：. 【小问3详解】 略 【点睛】本题是函数新定义问题，需要注意的是定义域与区间上函数所具有的性质，可以利用端点处函数值所具有的性质求解参数，与对称性和最值结合时，可以利用反证法，证明与矛盾，从而得证结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大二附中2024-2025学年高一年级第二学期 数学期中测试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 函数的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）． A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于原点对称 D. 关于y轴对称 7. 在中，，，则等于（ ） A. B. － C. D. － 8. 某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量，则夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 求函数的图象与直线及轴围成的封闭图形的面积 ． 12. 若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 13. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为___________． 14. 函数y＝sin2x＋2cosx在区间[－，a]上的值域为[－，2]，则a的取值范围是__. 15. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 用“五点法”画出函数的图像，并求出函数的单调性. 17. 计算的值． 18. 设，求的值. 19. 在中，，．若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值． 20. 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，． （1）求索道的长； （2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 21. 设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. （1）当时，判断函数和是否具有性质？（结论不要求证明） （2）若，函数具有性质，且当时，，求不等式的解集； （3）已知函数具有性质，，且的图像是轴对称图形.若在上有最大值，且存在使得，求证：其对应的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $