辽宁省多校联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二、三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 如 1.2cos(-840)= A.-√5 B./3 C.1 D.-1 郡 2.设集合A={-2,一1,0,1,3}，B={一3，一1,0,4}，则AUB的元素个数是 A.9 B.8 C.7 D.2 长 3.已知扇形AOB的周长为12，面积为9，则扇形AOB的圆心角为 8 A号 B.2 c D.3 都 4.若角a=k·180°一2025°，k∈Z,则符合条件的角a的最大负角为 A.-30 B.-45° C.-2259 D.-405 郝 已知E(o,》则如。-停是血2a-2的 3 韵 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数f(x)=2sim(2z+号)，则下列结论正确的是 A.f(x一子)是奇函数 Bf:)的图象关于直线x=登对称 C.f(x)+f(5-x)=0 D.fx)在[-誓，-]上单调递减 【高-数学第1页（共4页）】 7.三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个 几何图形，其中AB⊥BC,AC⊥AD,AB=BC=2,AD=AC,若BD=xAC+ yAD,则xy= A号 B3 4 c D-8 8.某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研 发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记 2025年1月为第1个月，第n(n∈N+)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元， 则n的最小值是（参考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477） A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列表达式的最小值为2的是 A.x+1 Br+园 7 Cx+1 D.v2a+3+1 =(a∈R) 2a+3 10.某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件A表示取出的2个球都是白 球，事件B表示取出的2个球都是红球，事件C表示取出的2个球中至少有1个白球，事件 D表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是 AA与B B.A与D C.B与C D.C与D 11.已知关于x的方程sin2ax十cos(ax一于)=0(aw>0)在(0，T)上恰有5个实数根，则w的 值可能为 A号 B号 C.14 D.13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2温- ▲ 13.小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3,1,5,2,3,4,1,4,6.若从这组数据中随机删 除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 14.已知不共线的三个平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a=1,|b|=2,|c|=3,则|2a一b 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中 国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄 (都在[15,65]内)，按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]进行分组，得到如图所 示的频率分布直方图. (1)求m的值； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）： (3)求这500名中国AI大模型用户的年龄在[45,65]内的人数 频率 组距 0.040 003 0010 0005 0152535455565年龄/岁 1 16.(15分) 已知向量a=(3,2),b=(t,2),c=(4,1)满足(9a一5b)/c. (1)设d=2(a-c)+b,求|d; (2)若(a十kb)⊥(2b一c),求实数k的值. 17.(15分) 已知am2a=-是 (1)求tana的值， (2)已知a为第四象限角. ①求sina,cosa的值； ②求cos(2a-买)的值， 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 在△ABC中，D是线段BC的中点，点E在线段AC上，线段AD与线段BE交于点P (1)已知AC=6,AB=4,∠BAC=60,AE=2EC. ①用向量AB,AC表示向量AD,BE; ②求AD·BE的值. @老离-号求离 的值 努 学 19.(17分)》 已知函数f(x)=2sin(w1x十8)(w1>0,一π<0<0)，g(x)=cos(w2x十p)(au2>0,0<p< 蠕 π)的部分图象如图所示 (1)求w1,w2,0,p. & (2)若将g(x)的图象向左平移 |个单位长度后，所得图象关于原点对称，证明：≥13， (3)若函数h(x)=f(mx)+f(mx+2)(常数m>0)在区间[1,2]上是单调函数，求m的 相 最大值。 鸣 陶 只粥口 【高一数学第4页（共4页）】高一数学试卷参考答案 1.D2c0s(-840°)=2c0s840°=2c0s(360°×2+120°)=2cos120°=-1. 2.C由题意可得AUB={一3，一2，一1,0,1,3,4}，则AUB有7个元素. 2r+1=12, 3.B设扇形AOB的半径为r,弧长为1，则 解得r=3.1=6,故扇形AOB的圆心 2l=9, 角0--2 4.B由k·180一2025<0，得k<11.25.又k∈Z,所以角a符合条件的最大负角为a=-11× 180°-2025°=-45. 或A由如8-号.且0Ca<号，得os&-5则如2a-2 由sin2a=2v2 0<a<受 得na- 号或。一气故n。-号是血2么-2号的充分不必要条件 6.D由题意可得f(x-)-2sin(2x-)不是奇函数，则A错误.因为f(-)- 2sin(-+号）=2sim(-）=-1≠土2.所以(x)的图象不关于直线x=- 侣对称故B 错误.因为f(xr)=2sin(2x+),所以f(5-x)=2sin(r-2x)=2sin2x≠-2sin(2x+ ),所以fx)+(答-)≠0，故C错误由x∈[-，-]得2x+号∈[-红，- [-,-],则fx)在[--]上单调递减，放D正确 7.B以B为坐标原点，BC,B入的方向分别为x,y轴的正方向，建立如图所示 的直角坐标系.作DF⊥AB,交BA的延长线于点F,由题中数据可得A(O, 2),B(0,0),C(2,0),D(2,4),则BD=(2,4),AC=(2,-2),AD=(2,2).因 2x+2y=2, 为BD=xAC+AD,所以(2,4)=(2x+2y,-2x十2y),则 -2x+2y=4, 2 解得 y= 2 8.C由题意可得20×(1+20%)"-1≥40.则1.2-1≥2，所以(n一1)1g1.2>1g2,所以n一1≥ 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 1g 2 1g2 0.301 g1,21g3+21g2-10.477+2X0.301≈3.810，所以n>≥4.810.因为n∈N,所以n 的最小值为5. 2≥2， 9.BC对于A,当x<0时，x+上<0，则A不符合题意.对于B,因为2>0，所以2+ 当且仅当2-是，即x=0时，等号成立，则B符合题意.对于C,因为x+1>0,所以x十 中十1≥2，当且仅当+1=中即x=0时，等号成立，则C符合题意.对于D. 2a+3+1≥2，当且仅当√2a+3=1 时，等号成立，由√2a2+3= /2a2+3 √2a+3 ,得2a2+3=1,即a2+1=0,所以a∈0，即等号不成立，则D不符合题意。 √2a2+3 10.BC由题意可知A与B是互斥事件，但不是对立事件，A与D是对立事件，B与C是对立 事件，C与D不是互斥事件. 1.ABC由题意得sin2ar+cos(r-不）=cos(2ax-受)+cos(wr--千）=2cos(ar-开) +cos(r-天）-1=[2os(ar-开)-1][cos(ar-)+1]=-0, 得cos(ar一开）=2或-1，得ar-年--号+2次m或号+2kx或x+2次xk∈Z》. 由x∈(o,牙）得ax-开∈(-开，开w-开)，因为方程sin2x+cos(ox-开)=0在(0， )上恰有5个实数根，所以结合余弦函数的图象得x+2x<草。一<一号+4，得13<@ 12.-5 tan155-tan35°tan155°-tan35 1-tan155an145-1+1anl551an35=tan155°-35)=tam120°--3. 13.号 将这组数据按照从小到大的顺序排列为1,1,2,3,3,4,4,5,6，则这组数据的中位数为 3,若删除的数字是4或5或6，所得新数据的中位数也是3，若删除的数字是1或2或3，所 得新数据的中位数是3.5，故所求概率为 14v团由题意可得向量ab,c两两的夹角为120，则a·b=-1,a·c=一号b·c=-3。 所以(2a-b-c)3=4a2+b2+c2-4a·b-4a·c+2b·c=21,故2a-b-c1=2I. 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 15.解：(1)由题意可得(0.01十0.03十0.04十m十0.005)×10=1,2分 解得m=0.015.…4分 (2)由题意可得这500名中国AI大模型用户年龄的平均数的估计值为20×0.1十30×0.3 十40X0.4十50X0.15十60×0.05=37.5岁.…8分 (3)由频率分布直方图可知中国A1大模型用户的年龄在[45,65]内的频率为0.15+0.05= 0.2,……11分 则这500名中国A1大模型用户的年龄在[45,65]内的人数为500×0.2=100.…13分 16.解：(1)因为a=(3,2),b=(t,2), 所以9a-5b=(27-51,8). …1分 又(9a-5b)c,c=(4,1), 所以27-5l=8X4,……3分 解得(=一1，…4分 所以d=2(a一c）十b=2(-1,1)十（一1,2）=（一3,4），…6分 所以|d=√（一3）十4=5. …8分 (2)因为a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 所以a十b=(3-k,2十2k),2b一c=(-6,3),…11分 因为(a十kb)⊥(2b-c),所以-6(3-k)十3(2+2k)=0, 13分 解得k=1.…15分 2tan a3 17.解：1)由tan2a-1-tan2a …2分 得3tana-8tana一3=(3tana+1)(tana-3)=0,解得tana= 3或3 …4分 (2)①由题意得tana= 3,且sina<0,cosa>0. …6分 1 tan a= sin a 由 cos a 3, …8分 sin'a+cos a=1, 10 sin a=- 10 得 00年0年00年0年年年年年年年年年年年年年年里年0年年年年0年年年用年年年用年0年80年8080年用0000 10分 cos a=- 3/10 10 ②com(a-）-9osa+ 2 sin 2a 12分 √ 2 -(2cos'a-1)++2 sin acos a..... 14分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 10 …15分 18.解：)0因为D是线段BC的中点，所以AD-号A店+号A …1分 因为A它=2E式，所以A应-号AC 2分 因为BE=AE-AB,… …3分 所以B配=号AC-A店 …4分 ②由①可知市.配-（号店+号C)·(号AC-)=号AC-号A-专A心.店. 6分 因为AC=6,AB=4,∠BAC=60,所以AC·A店=6X4X2=12, ………8分 则d.B匝-号×62-号×4-×12-2.… …9分 @因为离-所以正-而-苑+汉 …10分 因为B,P,E三点共线，所以AP=AB+(1一)AE, …12分 设A它=AC.则A产-AB+k(1一)AC,所以 …14分 k(1-t)=7 解得6= 5' 16分 放@运 2 04004000040000000000000000000000000004000000000040000000000000004000000000004000000t ECI 3· 17分 19.(1)解：设f(x),g(x)的最小正周期分别为T1,T2 由f(x)=2sin(w1x十0)，g(x)=cos(w2x十9)可知f(x),g(x)的最小值分别为一2，一1. 由图可知，2=号-(-）=3，号--(-名）=3，…2分 则T1-2红=2，T,-红-6，解得m1=x,:=号 …4分 由图可知)gc)的图象都经过点（一音0）则一号+0=x1∈Z,一吾十g -受+：x:∈Z0.因为-x<0<0,0<9<,所以0=-晋，p-7 69=9 …6分 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 (2)证明：由1)知|=将gx)的图象向左平移个单位长度后，得到y一g女十 )的图象，一 …7分 +l）)=o+）+-o(停+g+. 依题意可得售+号-受+x,∈、… …9分 则k|=一5+18k(k∈Z),所以k|>≥一5+18=13.…10分 (3)解：h(x)=2sin(mxx-若)+2sim[x(mx+号）-若]-2sin(m元x-晋)+2cos(mr 君)=22sim(m元r-君+)=22sim(m元x+》. …12分 因为m>0,所以由x∈[1,2，得mx+是∈[mx+是，2mx+引： …13分 因为4(x)在区间1,2]上是单调函数，所以2mx+音一(mx+ =mr≤π， 则0<m≤1. …14分 由题意可得 其中k∈Z,…15分 2mx+臣+6 -17 解得号十k,m≤十7水，(k1Z0, 16分 又0<m≤1，所以m的最大值为号 …17分 ▣只 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】