2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（春季高考适用）

2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为, 所以. 故选：C. 2．“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由. 故选：B 4．下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案. 【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误； 对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确； 对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误； 对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的性质和对数函数的单调性可比较三者的大小. 【详解】，而， ，故， 故选：C 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求得，进而根据可求值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 7．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 8．某美妙音乐的模型函数为有下叙述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递减 ③在上有3个零点 ④周期是，其中所有正确的结论的编号是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】A 【分析】先根据奇偶函数定义得偶函数，结合正弦函数图象和偶函数图象性质得到函数图象，然后逐个命题判断即可. 【详解】易知的定义域为R，且，所以偶函数，①对； 当时，，所以当时，的图像与一致， 再结合偶函数的对称性可得整体图象如下图： 由图象可知：在区间单调递减；②对； 在上有1个零点为0，③错；函数不具有周期性，④错； 所以所有正确的结论的编号是①②. 故选：A 9．在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 10．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成的角的定义，利用平行线转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成的角为. 故选：B 11．甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 则下列说法错误的是（   ） A．甲组数据的第75百分位数是255 B．乙组数据的众数是245 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为 D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 【答案】A 【分析】利用总体百分位数的估计判断A，利用众数的特征判断B，分别设出事件，表示概率，结合独立事件的概率公式判断C，求出两个组的平均数后判断D即可. 【详解】对于A，由题意得甲组数据共有个数字， 而，则第百分位数是第个数和第个数的平均数， 为，故A错误， 对于B，我们发现出现了次，其它数据只出现了次， 则乙组数据的众数是，故B正确， 对于C，甲组中跳远成绩在厘米以上的有7人，其概率为， 乙组中跳远成绩在厘米以上的有人，其概率为， 而从甲，乙两组各随机选取一个成员，设从甲组抽取为事件， 从乙组抽取为事件，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为， 得到，，而相互独立， 由独立事件概率公式得，故C正确； 对于D，甲组的平均成绩为厘米， 乙组的平均成绩为厘米， 则将乙组中跳远成绩为厘米或厘米或厘米的成员调派到甲组后， 甲，乙两组的跳远平均成绩都有降低，故D正确. 故选：A 12．一个骰子投掷两次，两次点数之和等于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型的概率公式计算可得所求的概率. 【详解】根据题意，两次点数之和等于8的情况有，，，，，共5种， 一个骰子投掷两次的所有情况为（种）．所以所求概率为. 故选：B． 13．“缤纷艺术节”的表演比赛中，某节目结束后，100位观众评委的打分情况如下图所示（仅有一个最低分）.计算该节目最终得分时，需去掉一个最高分和一个最低分，关于处理后的打分数据，下列说法一定正确的是（   ）. A．中位数不变，极差变小 B．极差不变，平均数变小 C．平均数变大，方差变小 D．方差变小，中位数变大 【答案】A 【分析】根据去掉最大最小值的影响求解即可. 【详解】去掉一个最大值和一个最小值，所以中位数没有变化， 因为极差为极大值与极小值之差，所以极差会变小. 所以BD错误； 由于去掉最大值与最小值，平均值的变化不确定，故C错误. 故选：A 14．一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先判断分位数的位置，然后根据题意列方程求解即可. 【详解】因为， 所以该组数据的分位数是第4、第5位数的平均数， 所以，解得， 故选：C. 15．函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将变形为，从而转化为研究的性质判断零点个数. 【详解】易知0不是函数的零点，故， 令，则在，上单调递减， 又，，，， 故在，上各有一个零点，即零点个数为2， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的周期性求出周期即得. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 17．已知向量，向量，则在上的投影向量是 （注：本题答案用坐标表示） 【答案】 【分析】根据题意，求得且，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，可得且， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 18．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，随机抽查了该地区100名年龄为17.5~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名男生中体重在的人数为 【答案】40 【分析】先求出体重在的频率，再求出人数即可. 【详解】由频率分布直方图得，体重在的频率为， 所求人数为． 故答案为：40. 19．在中，角A，B，C所对的边分别为的面积 . 【答案】/ 【分析】由三角形的面积公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 20．已知函数则 ；若，则 ；不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据分段函数的特点求值和分情况解不等式即可求解，解法二：结合函数图像求值与分情况解不等式即可 【详解】解法一 ：由题意得，所以． 当时，，得（舍去）， 当时，，得， 所以若，则． 当时，由，得， 当时，由，得， 故不等式的解集为． 解法二：由题意得，所以． 作出的大致图象，如图所示， 结合图象可知在时无解，当时，，解得． 所以若，则． 当时，由，解得， （舍去）， 当时，由，解得， 结合图象得不等式的解集为． 故答案为：，， 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21.（本小题满分8分） 已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系式得，，结合两角差的余弦公式计算得出答案； （2）利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果； 【详解】（1）因为，， 所以，. 所以 . （2） . 22.（本小题满分9分） 已知向量，满足， (1)求； (2)求与的夹角余弦值； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出坐标，再根据模长公式计算即可； （2）应用夹角余弦公式计算求解； （3）应用投影向量公式及向量数量积公式计算求解. 【详解】（1）因为向量，满足，， 所以， 故； （2）因为，， 所以， 又，， 所以， 故与的夹角余弦值为； （3）因为，则， 所以向量在向量上的投影向量坐标为. 23.（本小题满分10分） 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形.，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥与四棱锥的体积比； (3)求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，结合等体积法及锥体体积公式求解. （3）作出异面直线所成的角，再求解三角形即可得解. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接， 由梯形，，得， 由点是棱上靠近端的三等分点， 得，则， 而平面，平面，所以平面. （2）在梯形中，， 则， 由（1）知，平面，而点是棱上点， 则点到平面的距离相等， 由，得点到平面的距离是点到平面的距离， 则， 所以三棱锥与四棱锥的体积比. （3）在上取点，使，连接，则，即， 因此是异面直线与所成的角或其补角，， 由平面，平面，得， ，， 在中，， 由余弦定理得， 在等腰中，， 所以异面直线与夹角的余弦值是. 24.（本小题满分12分） 已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案； （3）由题意可得二次函数图象与轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案. 【详解】（1）由函数为偶函数，则，可得， 解得. （2）由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线， 由函数在上单调，则或，解得或. （3）由题意可得，解得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年7月天津市高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷·答题卡 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 1 0 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 1 2 [A] [B] [C] [D] 1 3 [A] [B] [C] [D] 1 4 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，共 1 5 分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 16 ． _______________________ 17 ． _______________________ 18 ． _______________________ 19 ． _______________________ 20 ． 三、解答题（本题共 3 小题，共 27 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 2 1 . （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续 2 1 题） 2 2 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 1 0 分） 2 4 ． （ 1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 8．某美妙音乐的模型函数为有下叙述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递减 ③在上有3个零点 ④周期是，其中所有正确的结论的编号是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 9．在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 11．甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 则下列说法错误的是（   ） A．甲组数据的第75百分位数是255 B．乙组数据的众数是245 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为 D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 12．一个骰子投掷两次，两次点数之和等于8的概率为（   ） A． B． C． D． 13．“缤纷艺术节”的表演比赛中，某节目结束后，100位观众评委的打分情况如下图所示（仅有一个最低分）.计算该节目最终得分时，需去掉一个最高分和一个最低分，关于处理后的打分数据，下列说法一定正确的是（   ）. A．中位数不变，极差变小 B．极差不变，平均数变小 C．平均数变大，方差变小 D．方差变小，中位数变大 14．一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 15．函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．函数的最小正周期是 ． 17．已知向量，向量，则在上的投影向量是 （注：本题答案用坐标表示） 18．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，随机抽查了该地区100名年龄为17.5~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名男生中体重在的人数为 19．在中，角A，B，C所对的边分别为的面积 . 20．已知函数则 ；若，则 ；不等式的解集为 ． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21.（本小题满分8分） 已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 22.（本小题满分10分） 已知向量，满足， (1)求； (2)求与的夹角余弦值； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标. 23.（本小题满分10分） 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形.，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥与四棱锥的体积比； (3)求异面直线与夹角的余弦值. 24.（本小题满分12分） 已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 参考答案 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 C C B B C D B A D B A B A C B 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16、 17、 18、40 19、 20、 三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系式得，，结合两角差的余弦公式计算得出答案； （2）利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果； 【详解】（1）因为，， 所以，. 所以 . （2） . 22.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出坐标，再根据模长公式计算即可； （2）应用夹角余弦公式计算求解； （3）应用投影向量公式及向量数量积公式计算求解. 【详解】（1）因为向量，满足，， 所以， 故； （2）因为，， 所以， 又，， 所以， 故与的夹角余弦值为； （3）因为，则， 所以向量在向量上的投影向量坐标为. 23.（本小题满分10分） 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，结合等体积法及锥体体积公式求解. （3）作出异面直线所成的角，再求解三角形即可得解. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接， 由梯形，，得， 由点是棱上靠近端的三等分点， 得，则， 而平面，平面，所以平面. （2）在梯形中，， 则， 由（1）知，平面，而点是棱上点， 则点到平面的距离相等， 由，得点到平面的距离是点到平面的距离， 则， 所以三棱锥与四棱锥的体积比. （3）在上取点，使，连接，则，即， 因此是异面直线与所成的角或其补角，， 由平面，平面，得， ，， 在中，， 由余弦定理得， 在等腰中，， 所以异面直线与夹角的余弦值是. 24.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案； （3）由题意可得二次函数图象与轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案. 【详解】（1）由函数为偶函数，则，可得， 解得. （2）由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线， 由函数在上单调，则或，解得或. （3）由题意可得，解得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$