2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02（春季高考适用）

( ) ( ) 2025年7月天津市高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷·答题卡 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 1 0 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 1 2 [A] [B] [C] [D] 1 3 [A] [B] [C] [D] 1 4 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，共 1 5 分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 16 ． _______________________ 17 ． _______________________ 18 ． _______________________ 19 ． _______________________ 20 ． _______________________ 三、解答题（本题共 3 小题，共 27 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 2 1 . （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续 2 1 题） 2 2 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 1 0 分） 2 4 ． （ 1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 7．若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 9．已知夹角为，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 10．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 11．已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 12．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 13．从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 15．热干面最早起源于20世纪初的武汉，由街头小摊贩开始流行.最初被称作“红油胡麻汁面”，清朝时成为武汉受欢迎的风味小吃.热干面是武汉人生活中不可或缺的一部分，代表着武汉独特的饮食文化和生活态度.某商家为了调研顾客对本店热干面的满意度，从吃过该店热干面的顾客中随机抽取100名进行评分.整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间 B． C．这100名顾客评分的中位数小于80分 D．这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．若函数的最小正周期为，则 ． 17．已知向量满足，，则 ． 18．某校高中部高一、高二、高三人数之比为5:4:3，其中女生有600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本.若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为n个人；若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为m个人，且，则该校高中部学生人数为 . 19．在中，，则的值为 . 20．已知，，且，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21.（本小题满分10分） 已知， (1)求，的值； (2)求，的值 (3)求的值. 22.（本小题满分10分） 已知复数，，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，，求的值． 23.（本小题满分10分） 如图，在直三棱柱中，，为的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直三棱柱的表面积． (3)求三棱锥的体积； 24.（本小题满分10分） 已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年7月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合并集运算即可求解. 【详解】,则. 故选：. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即可判断. 【详解】由可知，或，，此时， 即“”“”； 但当时，取，，此时， 即“” “”， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题给条件可判断，再根据对应方程的两根与系数关系可得关系，即可判断. 【详解】因为的解集为，所以， 对应方程，， 则，所以. 故选：D. 4．下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式的形式，直接判断函数的性质. 【详解】AB的两个函数都是奇函数，故不正确； C.，所以在区间单调递减，故不正确； D.是偶函数，且在区间单调递增，故正确. 故选：D 5．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数定义可求. 【详解】因为角的终边过点，故. 故选：D. 6．已知，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据指数、对数运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以. 故选：A. 7．若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性与值域可得，再由对数函数的单调性可得，由此可得结果. 【详解】因为，所以， ，， 所以. 故选：D. 8．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦型函数的对称轴公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，，则，. 当时，， 故选：C. 9．已知夹角为，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 故选：A 10．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】将切化弦，再结合正弦定理得到，进而有，即可判断. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得 ∴， ∵，∴， 所以是等腰三角形 故选：A. 11．已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有即可得，再求高，进而得圆锥的体积即可求解. 【详解】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有， 又，所以， 故选：B. 12．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【答案】D 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶； ②只有一次中靶；③两次都没有中靶， 所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶. 故选：D． 13．从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出样本空间个数及满足条件的基本事件，再应用古典概型计算即可. 【详解】记三名男生为A，B，C，两名女生为1，2， 任意选出两人的样本空间为，，共10个样本点， 恰好一男生和一女生的样本点有6个， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为. 故选：B. 14．已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在定理判断函数的零点范围比较即可. 【详解】由复合函数的单调性易知三个函数均连续且在定义域内单调递增. 对于，由零点存在定理知. 对于. 对于，可知的零点. 故选：B 15．热干面最早起源于20世纪初的武汉，由街头小摊贩开始流行.最初被称作“红油胡麻汁面”，清朝时成为武汉受欢迎的风味小吃.热干面是武汉人生活中不可或缺的一部分，代表着武汉独特的饮食文化和生活态度.某商家为了调研顾客对本店热干面的满意度，从吃过该店热干面的顾客中随机抽取100名进行评分.整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间 B． C．这100名顾客评分的中位数小于80分 D．这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间 【答案】B 【分析】根据直方图，结合极差、频率和为1、中位数、平均数的定义判断各项的正误即可. 【详解】由频率分布直方图，这100名顾客评分的极差最小不低于，最大不高于，A错误； 由，解得，B正确； 顾客评分不低于80的人数为，所以顾客评分的中位数不低于80，C错误； 100名顾客评分的平均值为，D错误. 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．若函数的最小正周期为，则 ． 【答案】 【分析】由正弦型函数最小正周期计算公式计算即可. 【详解】因为的最小正周期为， 所以. 故答案为：. 17．已知向量满足，，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量满足，， 所以， ，解得． 故答案为： 18．某校高中部高一、高二、高三人数之比为5:4:3，其中女生有600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本.若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为n个人；若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为m个人，且，则该校高中部学生人数为 . 【答案】1800 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的定义列式计算得解. 【详解】设该校高中部高一、高二、高三人数分别为5k，4k，3k， 依题意，，，， 所以该校高中部人数为1800. 故答案为：1800 19．在中，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理得到边长之比，设出边长，再由余弦定理得到角的余弦值. 【详解】设内角的对边分别为 因为，所以， 设， 则. 故答案为：. 20．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将变形为，再利用“1”的代换，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为    ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21.（本小题满分10分） 已知， (1)求，的值； (2)求，的值 (3)求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据二倍角公式求解即可； （3）根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）， ； （3）. 22.（本小题满分10分） 已知复数，，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可； （2）根据题意得出复数及共轭复数，利用复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意，因为z是纯虚数，所以有， 解得. （2）因为，所以，， 则， 所以，. 则. 23.（本小题满分10分） 如图，在直三棱柱中，，为的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直三棱柱的表面积． (3)求三棱锥的体积； 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)1. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理推理得证. （2）分别求三棱柱每个面的面积相加即可. （3）由（2）中信息求出点到平面的距离，再利用锥体体积公式求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接交于点，连接， 由四边形为矩形，得为的中点，而为的中点，， 又平面，平面，所以平面． （2）在直三棱柱三棱柱中，侧面，，均为矩形， 又，则底面，均为直角三角形， 由，，得， 所以三棱柱的表面积为 . （3）依题意，平面，平面，则，又， 平面，于是平面， 由为的中点，得点到平面的距离等于点到平面距离的一半，为， 而的面积， 所以三棱锥的体积. 24.（本小题满分10分） 已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值； （2）任取，利用作差法证明即可； （3）分析函数在上的单调性和最值，发现当时，单调递减；当时，单调递增，计算的值，由此可得函数在上的图象，进而得到实数a的取值范围. 【详解】（1）因为，将代入函数，可得， 解得． （2）设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． （3）在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点， 因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号， 即当时，， 由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增， 又， 因为函数与直线在上有两个交点， 所以实数a的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 参考答案 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A A D D D A D C A A B D B B B 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16、 17、 18、1800 19、 20、 三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据二倍角公式求解即可； （3）根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）， ； （3）. 22.（本小题满分10分） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可； （2）根据题意得出复数及共轭复数，利用复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意，因为z是纯虚数，所以有， 解得. （2）因为，所以，， 则， 所以，. 则. 23.（本小题满分10分） 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)1. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理推理得证. （2）分别求三棱柱每个面的面积相加即可. （3）由（2）中信息求出点到平面的距离，再利用锥体体积公式求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接交于点，连接， 由四边形为矩形，得为的中点，而为的中点，， 又平面，平面，所以平面． （2）在直三棱柱三棱柱中，侧面，，均为矩形， 又，则底面，均为直角三角形， 由，，得， 所以三棱柱的表面积为 . （3）依题意，平面，平面，则，又， 平面，于是平面， 由为的中点，得点到平面的距离等于点到平面距离的一半，为， 而的面积， 所以三棱锥的体积. 24.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值； （2）任取，利用作差法证明即可； （3）分析函数在上的单调性和最值，发现当时，单调递减；当时，单调递增，计算的值，由此可得函数在上的图象，进而得到实数a的取值范围. 【详解】（1）因为，将代入函数，可得， 解得． （2）设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． （3）在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点， 因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号， 即当时，， 由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增， 又， 因为函数与直线在上有两个交点， 所以实数a的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$