吉林省松原市吉林油田高级中学等三校2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷

高一年级期中检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第八章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若点A在直线m上，直线m在平面a内，则下列关系表示正确的是 A.ACm B.m∈a C.A∈a D.ACa 2.若(x-i)i=y+5i(x,y∈R),则x+y A.6 B.5 C.-6 D.-5 3.在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，则AB+AD+C正= A.2CE B.号AD C.BE D.-ZAD 4.已知向量a,b满足a=1,b=2,向量a与b的夹角为60°，则4a一b= A.12 B.4 C.23 D.2 5.已知m,n,l为三条不同的直线，a,3为两个不同的平面，若a∩3=l,mCa,nC3,且m与n异 面，则 A.l至多与m,n中的一条相交 B.l与m,n均相交 C.l与m,n均平行 D.l至少与n,n中的一条相交 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,则“cosB=是"是“△ABC为直角三角形"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【高一年级期中检测·数学第1页（共4页）】 7.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，可抽象为如图2所示的几何体，该几何 体是上、下底面周长分别为32cm,24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm,忽略收纳罐的厚 度，则该香料收纳罐的容积为 入些 cm B.74 cm2 C.148 cm 图】 图 D.298 cm 8.如图，已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2√3，侧面等腰三角形的顶角 为30°，则从A点出发环绕表面一周后回到A点的最短路程为 A.26 B.2√3 C.√6 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数：满足(2十3i)=1十8i,则下列说法正确的是 A.z=2+i B.|x=5 C.复数之在复平面内对应的点位于第一象限 D.z的共轭复数为一2一i 10.已知三个非零向量a,b,c,则下列命题正确的是 A若a=动则日-合 B.若a+b=a一b,则a⊥b C.若a>|b,则a>b或a<-b D.若a∥b,则(b·c)a=(a·c)b 11.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△PAB是等边三角形，AB=AC=2, BC=2√2，点D是棱PB的中点，且CD=√7，则下列说法正确的是 A.PC=2√2 B.PB⊥AC C点D到平面ABC的距离为 D球0的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12若复数24为纯虚数，则实数：的值为 1) 13.已知向量a在向量b上的投影向量u=(一3,4)，b=2,则a·b=4 14.在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD中，M是棱AA的中点，过C, Di-- M,D作正方体的截面，则截面的面积是 【高一年级期中检测·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知点A(1,2),B(-2,3),C(m,2-m). (1)若AC∥BC,求实数m的值： (2)若AC⊥BC,求实数m的值. 16.(本小题满分15分)》 如图所示，OA'B'C为四边形OABC的直观图，其中OA'∥CB',OA'=3,OC=1,BC=1. (1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积： (2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，D,E分别是AB,AB1的中点 (1)证明：平面BCE∥平面ADC: (2)若三棱柱ABC-A,B,C为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线 AD与BC,所成角的正弦值 D 【高一年级期中检测·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 如图，A,B是海上相距30+10√3海里的两个观测塔，B位于A的正南方向.A观测塔发现 其南偏东30°方向C处有一艘轮船发出求救信号，同时，B观测塔也发现其北偏东45°方向上 C处发出求救信号.此时位于A观测塔南偏西30°方向且与A相距40√3海里的D处有一艘救 援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求C处到A观测塔的距离； 北 (2)D处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往C处救援？ 东 至少航行多长时间才能到达C处？ 19.(本小题满分17分)》 如图，三棱锥A-BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，CD=2√3，平面ABD⊥平面 BCD,AD⊥CD,P,M分别为AD,CD的中点. (1)证明：BP⊥平面ACD; (2)求MP与平面BPC所成角的余弦值： (3)求二面角P-BM-D的正弦值. 【高一年级期中检测·数学第4页（共4页）】 高一年级期中检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由点、线、面关系的表示方式知A、BD错误，C正确.故选C 2.A因为(x-i)i=1+xi=y+5i,所以x=5,y=1,x+y=6.故选A 3.B+A+C市-AC+C求-A花=号AD.故选B 4.C因为a=1,b|=2,向量a与b的夹角为60°，所以a·b=|a|bcos60°=1，所以|4a-b|= /(4a-b)2=√16a-8a·b+bz=√16-8+4=23.故选C. 5.D由题意知与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线1与m,n不能同时平行，若直线1与m,n同时平 行，则m与n平行，与两直线异面矛盾，所以1与m,n中的一条相交或与m,n都相交.故选D. 6A因为asB=是，由正弦定理可得名osB.所以n(B叶O=-sin Cs B,所以mBsC叶sin Cs B sin Ceos B,所以sin BeosC=0,因为0<B<,0<C<,所以sinB≠0，cosC=0,则C=受，△ABC为直角 三角形，但△ABC为直角三角形时不一定是C一交，所以“cosB=日”是“△ABC为直角三角形”的充分不必 要条件.故选A 7.C由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为8cm,6m,故该香料收纳罐的容积为了×3×(8+62+ √/8×6)=148cm3.故选C 8.D把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图（如图）.要使路程最短，必须沿着线段AA前行.在 △SA4中，∠ASA=30×4=120,SA=SA=23,则∠SAA=30.作SH1AM于H,则SH=号SA=5, AH=3,.AA=2AH=6.故选D 1) (2) .AC因为复数：满足(2+3=1+81，所以=士8=8g别=2+i.故A正确：= 2+3i(2+3i)(2-3i) √22十1严=√5，故B错误：复数之在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限，故C正确：x的共轭复数为2 一i,故D错误.故选AC 10AD因为a≠0.所以日=动=合，故A正确：因为a+b=a一b,所以(a+b)=(a一-b,即 a+b+2a·b=a十b一2a·b,所以a·b=0,所以a⊥b,故B正确：因为向量不能比较大小，故C错误；因 为a∥b,且a≠0，所以存在实数A,使得b=a,所以(b·c)a=(a·c)a=λ(a·c)a,(a·c)b=(a·c)Aa =入(a·c)a,所以(b·c)a=(a·c)b,故D正确.故选ABD. 11.ABD因为点D是棱PB的中点，所以PD=DB=1,又CD=√7，BC=2√2，所以BC=CD+DB,所以 【高一年级期中检测·数学参考答案第1页（共4页）】 CD⊥PB,所以PC-√CD+PD-22,故A正确：因为BC=AB+AC,PC-PA+AC,所以CAL AB,CA⊥AP,又AB∩AP=A,AB,APC平面PAB,所以CA⊥平面PAB,又PBC平面PAB,所以PB⊥ AC,故B正确；在平面PAB内，过点D作AB的垂线，垂足为E,又CAL平面PAB,DEC平面PAB,所以 CA⊥DE,又AB⊥DE,AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,所以DE⊥平面ABC,所以点D到平面ABC的 距离为DE,又DE=DBsn∠DBA-,故C错误：设球O的半径为R,△PAB的外接圆的半径为r,所以 2r= AP sin∠ABP 是，解得=2，所以R=√（受）+产√下+（零）-√写，所以球0的表面积 2 S=4X(√)广-，放D正确故选AD 3 12.213.10或-10 14.2 9 D 在正方体ABCD-A1B,C1D1中，因为平面MCD∩平面DCCD,=CD,所以 平面MCD,∩平面ABB,A=MN,且MN∥CD,所以N为AB的中点，所以该截 面为等腰梯形MNCD,因为正方体的棱长为2，易知，MN=√2，CD=2√2，MD, 5,所以等腰梯形MNCD,的高MH=/5)-(】 =32 .所以截面面积为 合2+22)×8号-号 2 15.解：由题知，AC=(m-1,-m),BC-(m十2，-m-1).…3分 (1)若AC∥BC,则(m-1)(-m-1)-(-m)(m十2)=0，…6分 解得m=一之，故实数m的值为一 …8分 (2)若AC⊥BC,则(m-1)(m十2)十(-m)(一m-1)=0,整理得m2十m一1=0，.11分 解得m=1或m后 2 13分 16.解：(1)在直观图中OA'=3.OC'=1,B'C'=1,OA'∥CB', 则在平面图形中OA=3,BC=BC'=1,OC=2OC'=2,CO⊥OA,CB∥OA. 于是AB=V22十22=2Z, 3分 所以平面四边形OABC的平面图形如下图所示： 5分 由上图可知，平面四边形OABC为直角梯形，所以面积为1+3)X2=4. 2 …7分 (2)直角梯形OABC以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，…9分 由(1)可知几何体底面圆半径为r=2,圆柱母线长和高都为1，即h1=41=1: 【高一年级期中检测·数学参考答案第2页（共4页）】 圆锥的高为2=2，母线长为l2=2√2， 所以体积V=V生+V=h十号矿=4x+号x-婴： 13分 所以表面积S=πr2十2xrl1十xrl=4x十4π十4√2π=(8十4√2)π 15分 17.(1)证明：因为D,E分别是AB,AB的中点，所以A1E=DB,AE∥DB, 所以四边形ADBE是平行四边形，所以A,D∥BE, 又ADC平面ADC,BE过平面ADC,所以BE∥平面ADC,…3分 连接DE,由棱柱的性质，易得DE∥CC,DE=CC, 所以四边形DECC是平行四边形，所以EC∥DC, 又DC汇平面ADC,EC士平面ADC,所以EC∥平面A1DC,…6分 因为BE∩EC=E,BE,EC1C平面BCE,所以平面BCE∥平面ADC.…7分 (2)解：由(1)知AD∥BE,所以异面直线AD与BC所成角为∠EBC(或其补角)，…9分 因为三棱柱ABC-A,BC为直三棱柱，所以BB,⊥平面A,BC, 因为BE,BCC平面ABC,所以BB⊥BE,BB⊥BC, 所以BE=√22十1P=5,BC=2√2，EC=√5，… 11分 所以BE十EC=BC胥，即BE⊥EC1,… …13分 所以在R△BEC,中，sin∠EBC= 4， 即异面直线AD与5C所成角的正弦值为. 15分 18.解：(1)由C在A的南偏东30°，在B的北偏东45方向， 得在△ABC中，∠ABC=45°，∠CAB=30,∠ACB=105,…2分 由正弦定理，得n2x所以3018 AC AC in1050in45,…4分 又sin105=sin(45+60')=sin45cos60°+cos45°sin60°=6+2 …6分 4 所以AC=20√3海里，即C处到A观测塔的距离为20√海里。…8分 (2)在△ACD中，AC=20√3，AD=403,∠DAC=60°， 由余弦定理，得DC=AD+AC-2 ADXACXc0s60°=4800+1200-2×40W3×20V3×号=3600， 所以DC=60海里，航行时间至少为0三2小时，………………12分 又cos∠ADC=AD+DCAC-40v3)P+602-(203)- 2AD·DC 2×40/3×60 2 且0°<∠ADC<180°，所以∠ADC=30°，所以C在D的北偏东60方向.… …15分 故D处的救援船应该朝北偏东60的方向沿直线前往C处救援，至少航行2小时才能到达C处.·17分 I9.(1)证明：取BD中点E,连接AE. 因为△ABD是等边三角形，所以AE⊥BD,1分 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AEC平面ABD,所以AE⊥平面BCD, 【高一年级期中检测·数学参考答案第3页（共4页）】 又CDC平面BCD,所以AE⊥CD. 又因为CD⊥AD,AD∩AE=A,AD,AEC平面ABD,所以CD⊥平面ABD. 而BPC平面ABD,所以CD⊥BP.…3分 因为P为AD的中点，所以BP⊥AD, 又CD∩AD=D,CD,ADC平面ACD,所以BP⊥平面ACD.…5分 B- (2)解：过点M作MH⊥PC,垂足为H. 因为BP⊥平面ACD,MHC平面ACD,所以BP⊥MH, 又BP∩PC=P,BP,PCC平面BPC,所以MH⊥平面BPC, 所以∠MPC为MP与平面BPC所成的角.…7分 因为ADLCD..MD=CM=2CD-3,PD=AD=1, 所以PM=√PD+MD=√12+(3)2=2，PC=PD+CD=√1+(2√3)2=V13,…8分 在△CPM中，由余弦定理得cos∠MPC-PC十PM一CM=3)2+2-(B)_7正 2PC·PM 2×V13×2 26 所以MP与平面BPC所成角的余弦值为7国 26 …11分 (3)解：取ED的中点O,连接PO,易知PO/AE.PO=2AE=号 2 过点P作PG⊥BM,垂足为G,连接OG. 由(1)知，AEL⊥平面BCD,所以PO)⊥平面BCD. 又OG,BMC平面BCD,所以POBM,PO⊥OG. 因为PO∩PG=P,PO,PGC平面POG,所以BM⊥平面POG. 又因为OGC平面POG,所以BM⊥OG, 所以∠PGO为二面角P-BM-D的平面角. …14分 由(1)知CD⊥平面ABD,BDC平面ABD,所以CD⊥BD, 所以在Rt△BDM中，BM=√BD+DM=√22+(W3)=√7， 由(2)知，BP⊥平面ACD,又PMC平面ACD,所以BP⊥PM. 在R△BPM中，Samw=2BP·PM=BM·PG, 即号×3X2=号X7×PG.解得PG=2 7 …16分 在Rt△POG中，sin∠PCO= 2 PG 2 V2T 41 7 所以二面角P-BM-D的平面角的正弦值为 4 17分 【高一年级期中检测·数学参考答案第4页（共4页）】