函数零点、恒成立与存在性问题学历案-2026届高三数学一轮复习

学员姓名：                          年  级：高二、高三                      课 时 数：3

辅导科目：数学                      学科教师：贺老师                        讲义审核：

授课主题

函数零点、恒成立与存在性问题

教学目标

1、复习函数图像的几种典型画法、特别是利用导数方法画图

2、学会函数零点、最值、曲线交点个数的求法

教学重难点

重点： 复杂函数的图像画法

难点： 分析讨论含参数零点、极值个数的讨论

教学内容

1．函数的零点

(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．

(2)函数有零点的几个等价关系：

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴________⇔函数y＝f(x) ________．

由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．

2．函数的零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈________，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

3．函数的零点与单调性的关系

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有零点，并且是严格单调的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]内仅有唯一零点。

4.恒成立问题

不等式恒成立问题常见处理方法：

① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；

② 数形结合(图象在 上方即可)；

③ 讨论最值或恒成立；

④ 讨论参数.

【利用导数研究函数零点】

1．（2021春•沈阳期中）函数f（x）＝2x3﹣6x+m有三个零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣4，4） B．[﹣4，4] 

C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

2．（2021秋•四川月考）已知函数f（x）＝lnx﹣x+a恰有两个零点，则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）

3．（2021秋•裕安区校级月考）若函数f（x）＝ex﹣ax2（a∈R）在（0，+∞）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）

4．（2021秋•保定月考）若函数f（x）＝2lnx﹣x2+m在上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（　　）

A．1 B．e C． D．

5．（2021•南岗区校级三模）已知函数f（x），若函数y＝f（x）﹣a有4个零点，则a的取值范围是（　　）

A． B． 

C． D．

6．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是

A．  B． C． D．

【总结】利用导数研究函数零点或方程根的方法

（1）通过最值（极值）判断零点个数的方法.

借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.

（2）数形结合法求解零点.

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图，数形结合确定其中参数的范围.

【利用导数讨论恒成立问题】