第3章 概率初步章末重点题型复习（12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大2024版）七年级下册数学 第3章：概率初步章末重点题型复习 题型一 事件的分类 1．（24-25七年级下·四川雅安·期中）下列成语反映的事件为确定事件的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．喜从天降 D．旭日东升 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生，可能不发生的事件叫做随机事件，其中必然事件和不可能事件统称为确定事件，据此可得答案． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意； B、大海捞针是随机事件，不符合题意； C、喜从天降是随机事件，不符合题意； D、旭日东升是必然事件，为确定事件，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．期中考试数学得满分 B．购买一张电影票，座位号正好是偶数 C．水往高处流 D．367人中至少有两人的生日相同 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类．解题的关键在于正确理解必然事件与随机事件的定义．必然事件是在一定条件下，一定会发生的事件；根据定义对选项进行判断，得出结果． 【详解】解：A. 期中考试数学得满分，是随机事件，故该选项不符合题意；     B. 购买一张电影票，座位号正好是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意；     C. 水往高处流，是不可能事件，故该选项不符合题意；         D. 367人中至少有两人的生日相同，是必然事件，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）在下列事件中，随机事件是（    ） A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C．通常情况下，自来水在结冰 D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，解题的关键是掌握相关概念判断． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，故此选项符合题意； B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意； C、通常情况下，自来水在结冰，是不可能事件，故此选项不符合题意； D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．掷一枚骰子，朝上的点数为7 B．掷一个瓶盖，盖口朝上 C．在只有红球的袋中摸球，摸出一球是红球 D．运动员射击命中靶心 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件，随机事件，不可能事件，掌握在一定条件下，一定能发生的事件叫必然事件，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，一定不发生的事件是不可能事件是解答此题的关键． 根据事件分类，逐项判断即可． 【详解】解：A、掷一枚骰子，朝上的点数为7，是不可能事件，故此选项不符合题意； B、掷一个瓶盖，盖口朝上，是随机事件，故此选项不符合题意； C、在只有红球的袋中摸球，摸出一球是红球，是必然事件，故此选项符合题意； D、运动员射击命中靶心，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（2025·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（  ） A．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 B．“射击运动员射击一次，命中八环”是必然事件 C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D．“某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是必然事件 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，必然事件与不可能事件．解题的关键在于明确各名词的含义．依据各选项中事件的可能性进行判断即可． 【详解】解：A．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故选项正确，符合要求； B．射击运动员射击一次，命中八环是随机事件，故选项错误，不符合要求； C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是随机事件，故选项错误，不符合要求； D．“某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是随机事件，故选项错误，不符合要求． 故选：A． 题型二 判断事件可能性的大小 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是（   ）． A．一样大 B．“站在中间”的可能性大 C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了可能性大小的判断，要求小亮“站在中间”与小亮“站在两端”这两个事件发生的可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可得到相应的可能性，比较即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：3个人站成一排，小亮站在哪个位置都有可能，“小亮站在正中间”的可能性为，“小亮站在两端”的可能性有，这两个事件发生的可能性不相等， ∵ ∴“站在两端”的可能性大， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键； 本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解； 【详解】解：A、摸出红球的概率为； B、摸出红球的概率为； C、摸出红球的概率为； D、摸出红球的概率为； ∵， ∴A选项摸出红球可能性最大， 故选：A； 3．盒子里有红球4个、白球3个、黄球8个（这些球除颜色外完全相同）．从盒子里任意摸出一个球，下面说法错误的是（   ） A．不可能摸出黑球 B．摸出黄球的可能性最大 C．摸出红球的可能性最小 D．摸出球的颜色是红、白、黄中的一种 【答案】C 【分析】本题考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．由于盒子里有三种颜色的球，所以从盒子里任意摸出一个球是什么颜色的是不确定事件，再根据不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，据此解答． 【详解】解：A、盒子里没有黑球，故不可能摸出黑球，故A选项说法正确，不符合题意； B、黄球数量最多，故摸出黄球的可能性最大，故B选项说法正确，不符合题意； C、白球数量最少，故摸出白球的可能性最小，故C选项说法错误，符合题意； D、任意摸出一个球，摸出球的颜色是红、白、黄中的一种，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最大． 【答案】红 【分析】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多．哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就最大． 【详解】解：因为转盘分成6个大小相同的扇形，绿色的有1块，红色的有3块，黄色的有2块， 所以转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性最大， 故答案为：红． 5．（24-25七年级下·江西吉安·期中）为了提高学生阅读能力，恩江中学倡议七年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有___________人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； (3)若学校七年级共有1500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？___________．（直接写出结果） 【答案】(1)100，图见解析 (2)“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数 (3)“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大 【分析】本题主要考查了条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数，可能性的大小， 对于（1），先根据阅读时间1小时的人数和百分比求出抽查的总人数，再补全统计图； 对于（2），用乘以“小时”所占的百分比即可； 对于（3），先求出各自的可能性，再比较得出答案． 【详解】（1）解：阅读时间是1小时的有30人，占抽查人数的， 所以本次调查的学生有（人）． 所以阅读时间是小时的人数为（人）， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； （2）解：， 即“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； （3）解：“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”的可能性为； “抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性为， “抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 故答案为：抽到周末阅读时间不高于1小时的学生． 题型三 求事件可能性的大小 1．口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：计算出取得黄球的概率即可． 解：取得黄球的概率==， 所以随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小． 故选A． 2．抛掷一枚骰子，骰子落地时点数朝上的数是2的倍数可能性的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】骰子6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，共6个数字，其中，点数是2的倍数的是2，4，6共3个数，根据可能性的求法，即求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答即可． 【详解】解：一枚骰子中点数是2的倍数的是2，4，6共3个数， 所以骰子落地时点数朝上的数是2的倍数可能性为：， 故选A． 3．（2025•通州区一模）北京城市中心的绿心公园的步行道上有“二十四节气”，每个节气都有独特的设计和标识．在一个不透明的盒子中放了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立春”，3张“立夏”，1张“立秋”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立春”的可能性大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵共有6张卡片，有2张“立春”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立春”的可能性为 = ． 故选：B． 4．一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选中一个翻牌，请解决下面的问题： （1）直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小； （2）每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的可能性的大小； （3）请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 【分析】（1）用“手机”的数量除以总数量即可； （2）第二次的抽取机会一共有8种可能，第二次抽到“手机”奖品的结果有2种，根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由图可得，抽到“手机”奖品的可能性是：； （2）由题意可得，第二次的抽取机会一共有8种可能，第二次抽到“手机”奖品的结果有2种， 即第二次抽到“手机”奖品的可能性是； （3）设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一）． 5．抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为1﹣6点）1次，落地后： （1）朝上的点数有哪些结果？他们发生的可能性一样吗？ （2）朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数，这两个事件的发生可能性大小相等吗？ （3）朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4，这两个事件的发生可能性大小相等吗？如果不相等，那么哪一个可能性大一些？ 【分析】（1）根据题意得出落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，再根据概率公式即可得出答案； （2）根据概率公式先分别求出朝上的点数是奇数和朝上的点数是偶数的概率，再进行比较即可； （3）先求出朝上的点数大于4的概率和朝上的点数不大于4的概率，再进行比较即可． 【详解】解：（1）因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为1﹣6点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6， 所以它们的可能性相同； （2）因为朝上的点数是奇数的有1，3，5，它们发生的可能性是，朝上的点数是偶数的有2，4，6，它们发生的可能性是 所以发生的可能性大小相同； （3）因为朝上的点数大于4的数有5，6，发生可能性是＝， 朝上的点数不大于4的数有1，2，3，4，发生可能性是＝， 所以朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4可能性大小不相等，朝上的点数不大于4发生的可能性大． 题型四 求某件事件的频率 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在某学校秋季运动会上，参加男子跳高的12名同学的成绩（单位：m）记录如下：．在这12名同学的成绩中，跳高成绩为出现的频率为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查简单概率计算．根据题意数出出现的个数，再由概率公式计算即可． 【详解】解：∵根据题意出现的个数为3次， ∴跳高成绩为出现的频率为：， 故选：A． 3 . 某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（       ）A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键. 直接利用频率求法，频数:总数=频率，进而得出答案. 【详解】解:∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次出现反面的频率是 =0.4. 故选:C 4 . 今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是______． 【答案】0.25 【分析】本题考查了频率的计算，掌根频率的计算方法成为解题的关键据日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用频率公式计算即可. 【详解】解:日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是 =故答案为:2 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键． 根据频率公式计算即可求解． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为： ． 题型五 概率意义的理解 1．（江苏省徐州市多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）下列说法正确的是（   ） A．从装满红球的袋子中随机换出一个球，是白球 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续掷出次正面，则第次一定掷出背面 C．若某种彩票中奖的概率是，则买张该彩票一定会中奖 D．标准大气压下，加热到时，水沸腾 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义逐项判断即可求解，理解概率的意义是解题的关键． 【详解】解：、从装满红球的袋子中随机换出一个球，一定不是白球，该选项说法错误，不合题意； 、抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续掷出次正面，则第次不一定掷出背面，该选项说法错误，不合题意； 、若某种彩票中奖的概率是，则买张该彩票不一定会中奖，该选项说法错误，不合题意； 、标准大气压下，加热到时，水沸腾，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 2．（2025·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（   ） A．“明天降雨的概率为”表示明天有半天时间都在降雨 B．成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件 C．太阳从东方升起是必然事件 D．了解全国中学生的视力情况应采用全面调查 【答案】C 【分析】本题考查全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键．利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义即可作出判断． 【详解】解：A．“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，原说法错误，故该选项不符合题意； B．成语“刻舟求剑”所描述的事件是不可能事件，原说法错误，故该选项不符合题意； C．太阳从东方升起是必然事件，说法正确，故该选项符合题意； D．了解全国中学生的视力情况应采用抽样调查，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025·湖北咸宁·二模）下列说法正确的是（    ） A．打开电视机，正在播放“新闻联播”是随机事件 B．天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 C．要调查某品牌新能源汽车的最大续航里程可采用全面调查 D．要调查即将发射的气象卫星的零部件质量可采用抽样调查 【答案】A 【分析】本题考查了调查的方式、事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件；调查方式分为抽样调查和全面调查，如果调查一个事件工作量太大或具有破坏性，则需要采用抽样调查的方式；如果被调查对象的要求比较高则需要采用全面调查． 【详解】解：A选项：打开电视机可能正在播放“新闻联播”也可能在播放其他节目，所以打开电视机正在播放“新闻联播”是随机事件，故A选项正确； B选项：天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天可能下雨也可能不下雨，故B选项错误； C选项：要调查某品牌新能源汽车的最大续航里程采用全面调查工作量太大且具有破坏性，应采用抽样调查，故C选项错误 D选项：要调查即将发射的气象卫星的零部件质量必须采用全面调查，故D选项错误 故选：A． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）有下列说法：①可能性很小的事情是不可能发生的；②一个事件发生的可能性是，这个事件是必然事件；③若某彩票的中奖机会是，则买100张一定会中奖．其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件，随机事件，概率的意义，根据必然事件，随机事件，的特点逐一判断即可． 【详解】解：①可能性很小的事情是有极小概率可能发生的，故①错误； ②一个事件发生的可能性是，这个事件不是必然事件，但发生的可能性很大，故②错误； ③若某彩票的中奖机会是，则买100张不一定会中奖，故③错误． 故选：A． 5．（24-25九年级下·山东济宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚瓶盖10次，若落地后盖口向上的次数为6，则落地后盖口向上的概率为0.6 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，抽到偶数的可能性比抽到奇数的可能性大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D．连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚瓶盖10次，若落地后盖口向上的次数为6，则落地后盖口向上的概率为0.6，说法错误，因为试验次数少，且瓶盖抛掷并非等可能事件，故不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故原说法错误，不符合题意； C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，原说法正确，符合题意； D、连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，应为有可能有1次正面朝上，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型六 用频率估计概率 1．（2025·江苏泰州·一模）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（    ） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到附近，所以可估计“钉尖不着地”的概率为， A. 根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”不具有等可能性，不符合题意； B. 若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次，符合题意； C. 若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； D. 若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为，错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西·期中）某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在0.90附近， ∴可估计这种树苗移植成活的概率约是0.90， 故选：B． 3．（24-25八年级下·全国·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　） A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此求解即可． 【详解】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率逐步稳定在0.90附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90， 故选：D． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117 (2) (3)棵 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：117；； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为， 所以这种油菜籽发芽的概率估计值是， （精确到）； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 5．（24-25七年级下·广东佛山·期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4)6；14 【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图及用频率估计概率， （1）利用频率频数摸球次数计算数据即可； （2）根据表格提供的数据作出折线统计图即可； （3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可； （4）根据摸到红球的概率，估计红球的个数，再求出白球的个数即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：频率折线统计图，如图所示： （3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为； （4）解：估计盒子里有红球（个）， 白球有：（个）． 题型七 根据概率公式计算概率 1．（2025·广东清远·二模）北京时间2024年10月30日04时27分，在酒泉卫星发射中心发射神舟十九号载人飞船，执行此次飞行任务由蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员组成，其中航天员宋令东和王浩泽为首次执行飞行任务的“90后”．现从中随机采访一位飞行员，首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式，根据执行此次飞行任务由蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员组成，则其中首次执行飞行任务的“90后”飞行员共有2位，再结合概率公式列式，即可作答． 【详解】解：依题意，从中随机采访一位飞行员，共有3种等可能的结果，其中首次执行飞行任务的“90后”飞行员共有2位， ∴首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为． 故选B． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（   ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球 【答案】C 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，先求出总球数，再分别求出概率，即可得解． 【详解】解：由题意可得：总球数为， ∴摸出白球的概率为， 摸出红球的概率为， 摸出绿球的概率为， 摸出黑球的概率为， 故选：C． 3．（2025·广东珠海·一模）某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学的概率是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 让习惯用左手写字的学生数除以学生总数即为所求的概率． 【详解】解：根据题意，某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字， 而习惯用左手写字的同学被选中的有2种； 故其概率为； 故选：B 4．（2025·浙江绍兴·一模）将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张不透明卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取一张，则抽到卡片正面上的文字是“巳”的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵有正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张不透明卡片， ∴任意抽取一张，则抽到卡片正面上的文字是“巳”的概率是． 故答案为：． 5．（2025·浙江·二模）某班级组织内部抽奖活动，共准备50张奖券，设一等奖5个，二等奖10个，三等奖20个，每张奖券获奖的可能性相同，则一张奖券中奖的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，随机事件的概率等于事件可能出现的结果数除以所有的可能出现的结果数．直接利用概率公式求解． 【详解】解：根据随机事件概率公式得； 1张奖券中奖的概率为， 故答案为：． 6．（2025年湖南省郴州市初中学业水平考试第二次监测数学试卷）将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率．根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：摸出小球上的汉字为“美”的概率是， 故答案为：． 题型八 根据概率作判断 1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（  ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．让比赛更有挑战性 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，如果一个事件的发生有n种可能，而且这些事件发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.抛掷一枚硬币，可出现正面朝上或反面朝上，两种结果发生的可能性相同，从而可得答案. 【详解】解：其主要原因是体现比赛的公平性．因为抛掷一枚硬币， 正面向上的概率和反面向上的概率各为， 所以采用这种方法确定哪一队首先开球是公平的， 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·期中）从一副去掉大、小王的扑克牌中任意选取若干张设计一个翻牌游戏，使它同时满足下列两个条件： （1）翻到“2”与“3”的可能性相同： （2）翻到“黑桃”的可能性比翻到“红桃”的可能性大． 【答案】把一副去掉大、小王的扑克牌中再去掉“红桃8”和“红桃9”即可（答案不唯一） 【分析】本题考查翻牌游戏设计，熟练掌握解题方法是解答本题的关键．翻到“2”与“3”的可能性相同说明2与3的数量相同，翻到“黑桃”的可能性比翻到“红桃”的可能性大说明“黑桃”的张数比“红桃”的多，根据这个设计即可． 【详解】解：由题意得，翻到“2”与“3”的可能性相同说明2与3的数量相同， 翻到“黑桃”的可能性比翻到“红桃”的可能性大说明“黑桃”的张数比“红桃”的多， 所以把一副去掉大、小王的扑克牌中再去掉“红桃8”和“红桃9”即可．（答案不唯一） 3．一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌． (1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是________； (2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据概率公式用方片的张数除以总张数即可． （2）根据题意求出摸到大王的概率和摸到4的概率，进而比较大小求解即可． 【详解】（1）∵共有54张扑克牌，其中方片有13张， ∴从中任选一张，恰好是方片的概率是； 故答案为：； （2）∵一副扑克牌共有54张，其中大王有1张，4有4张， ∴从中任选一张，恰好是大王的概率是， 从中任选一张，恰好是4的概率是， ∵ ∴摸到大王的机会比摸到4的机会小． 【点睛】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）已知以下四个事件：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上；事件B：在1小时内步行80千米；事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数． (1)随机事件有______，必然事件有______； (2)请你把相应事件发生的概率用对应的字母A，B，C，D表示在数轴的对应点上． 【答案】(1)A、C；D (2)见解析 【分析】本题考查事件的分类及可能性，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可；必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．它发生的可能性是1；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．它发生的可能性是0；不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．它发生的可能性是大于0，而小于1． （2）根据事件的类型确定可能性的大小即可． 【详解】（1）解：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上，属于随机事件； 事件B：在1小时内步行80千米，属于不可能事件； 事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球，属于随机事件； 事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数，属于必然事件， ∴随机事件有A、C，必然事件有D． 故答案为：A、C （2）解：A发生的可能性为，B发生的可能性为0，C发生的可能性为0.3，D发生的可能性为1． 在数轴的对应点位置如下： 题型九 已知概率求数量 1．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意正确列式计算是解题的关键． 根据题意得到男生有名，则女生有名，即可得到第一批次确定的人员中女生的人数为名． 【详解】解：根据题意得到男生有名， 女生有名， 第一批次确定的人员中女生的人数为名， 故选：A． 2．（2025·四川资阳·一模）一袋中装有若干个球，它们除颜色外无其他差别，其中有8个白球，从盒子中任意摸出一个，摸到白球的概率是，则该袋中球的总个数为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．利用白色球的数量除以其概率求得答案． 【详解】解：（个） 故答案为：36． 3．在一个不透明的口袋里装有除颜色不同外，其余都相同的4个红球和若干个绿球，袋中的球已被搅匀，若从中任意取出一个小球为绿球的概率是，则口袋里绿球个数是 个． 【答案】2 【分析】首先设袋中的绿球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，解方程即可求得答案； 【详解】解：设袋中的绿球个数为x个， ∴， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解， ∴袋中绿球的个数2个； 故答案为：2． 【点睛】考查了概率公式解分式方程的知识，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，难度不大． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【答案】(1)0.39、390 (2)0.4 (3)4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）总个数乘以黑球的概率估计值即可． 【详解】（1）解：， 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 故答案为：0.39、390； （2）解：估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （3）解：（个， 答：袋中有4个黑球． 5．（24-25七年级下·四川雅安·期中）一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，每个球除颜色外都相同． (1)求从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率； (2)从口袋中取走 x个红球后，再放人 x 个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用红球的个数除以球的总数即可得到答案； （2）根据题意可得球的总数不变，但是白球的数量为个，据此根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，且每个球被摸到的概率相同， ∴从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率为； （2）解：由题意得，， 解得． 题型十 游戏的公平性 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 2．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）（1）小阳、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色不同外其余都相同），得到红球为“看”，得到白球为“不看”，小阳先摸，另一球留给小刚，这个游戏对双方是 （填“公平”或“不公平”）的． （2）小敏所在的班级中有位同学的身高是5m，这是 事件． 【答案】 公平 不可能 【分析】本题考查了游戏公平性，事件的分类知识点，利用概率公式求出是解题关键． （1）利用概率公式求出各自摸到红球的概率是否相等即可； （2）根据事件分类的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）∵袋中有两个球，除颜色不同外其余都相同， ∴每个人摸到红球的概率都是相等的， ∴游戏对双方是公平的； （2）这是不可能发生的事，所以是不可能事件． 故答案为：公平，不可能． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）小杨、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色外其他都相同），现从袋子中任意摸出1个球，若是红球，小杨去看电影，否则，小刚去．这种方法对双方是 （填“公平的”或“不公平的”）． 【答案】公平的 【分析】本题考查了游戏的公平性，掌握概率的计算是关键． 运用概率公式计算出摸出红球的概率即可判定． 【详解】解：袋中有1个红球和1个白球（除颜色外其他都相同），现从袋子中任意摸出1个球， ∴摸出红球的概率为，则不是的概率为， ∴摸出的是红球的概率与摸出不是红球的概率相等， ∴这种方法对双方是公平的， 故答案为：公平的 ． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）小明设计了一个游戏：任意抛掷一枚图钉，若钉尖着地则甲胜，若钉尖不着地则乙胜．你认为这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题主要考查了随机事件的概率，通过事件的发生判断概率是否相等是解题的关键． 根据事件发生的概率是否相等可得出结果． 【详解】解：∵图钉的质地不均匀，钉尖着地和不着地的概率不相等， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 题型十一 几何概率 1．（2025·河北廊坊·一模）如图，向甲、乙两个正方形飞镖盘中各随机投掷一枚飞镖，投中阴影区域的概率分别为和，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定的大小 【答案】A 【分析】本题考查几何概率模型，由图及题意可知，甲正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比为；乙正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比也为；即可得到答案．熟记几何概率模型问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 甲正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比为；乙正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比也为； 由几何概率模型可知，投中阴影区域的概率 ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，其“落在海洋里”发生的可能性（    ）“落在陆地上”的可能性． A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率的求法，理解题意是解题的关键．将地球总面积分为10份，海洋占7份，分别求出落在海洋里的概率和陆地上的概率，从而得到答案． 【详解】解：已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，即相当于将地球总面积分为10份，海洋占7份，所以落在海洋里的概率是，落在陆地上的概率是，所以 “落在海洋里”的可能性更大． 故答案为：A． 3．（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，正六边形转盘被分成六个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在涂色部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，直接用涂色的三角形个数除以三角形总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在涂色部分的概率是， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是铺有黑白两色地砖的地面，小明向地面上随意抛一块小石子，小石子落在 色地砖上的可能性大．（填“黑”或“白”，砖缝忽略不计） 【答案】白 【分析】本题考查了可能性大小的判断．由图可知，总共有块方砖，且白色方砖有块，黑色方砖有块，即可判断． 【详解】解：总共有块方砖，且白色方砖有块，黑色方砖有块， 小石子落在黑色地砖上的可能性为，小石子落在白色地砖上的可能性为， ， 小石子落在白色地砖上的可能性大， 故答案为：白． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在灰色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，落在灰色区域的概率等于灰色区域面积在整个圆中的占比，据此可得答案． 【详解】解：， ∴转动转盘，当转盘停止时，指针落在灰色区域的概率是， 故答案为：． 题型十二 概率在转盘中的应用 1．（2024秋•温州期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【解答】解：∵由题中给出的信息分析可得：圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率． 故选：A． 2．（2024•钟楼区校级二模）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需要计算出白色区域面积在整个转盘的面积的占比即可得到答案． 【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，其中白色区域有两个扇形， ∴任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是， 故选：C． 3．（2024春•岱岳区期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值解答即可得解． 【详解】解：∵阴影部分占36°， ∴阴影部分占整个圆面积的：， 该顾客获奖的概率为：， 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）转动如图所示的转盘甲和转盘乙，如果想让指针停在阴影区域，两个转盘成功的概率相比（   ） A．转盘甲更大 B．转盘乙更大 C．两个一样大 D．无法确定哪个更大 【答案】C 【分析】本题考查几何概率模型，用阴影部分的面积除以总面积得到相应指针停在阴影区域的概率，比较即可得到答案．熟记几何概率模型求概率的方法：概率阴影部分面积总面积． 【详解】解：虽然两圆面积不同，但是阴影部分均占， 故指针指向黑色部分的概率相同， 故选：C． 5．综合与探究 【问题再现】 （1）课本中有这样一道概率题：如图①，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？请你解答． 【类比设计】 （2）在元旦晚会上班长想设计这样一个摇奖转盘：在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．请你帮忙设计． 【拓展运用】 （3）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红（1份），黄（2份），绿（4份）区域，分别奖励50元，30元，20元、其他区域无奖励．则转动1次获奖金的概率是 　 ． 【分析】（1）用红色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在红色区域的概率；用白色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在白色区域的概率； （2）把圆分成8等份，然后把红色占3份，白色占三份，黄色占2份即可； （3）根据概率的概念求解即可． 【详解】解：（1）根据几何概率的意义可得： P（红色区域）， P（白色区域）； （2）如图②， （3）． 故答案为：． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大2024版）七年级下册数学 第3章：概率初步章末重点题型复习 题型一 事件的分类 1．（24-25七年级下·四川雅安·期中）下列成语反映的事件为确定事件的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．喜从天降 D．旭日东升 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．期中考试数学得满分 B．购买一张电影票，座位号正好是偶数 C．水往高处流 D．367人中至少有两人的生日相同 3．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）在下列事件中，随机事件是（    ） A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C．通常情况下，自来水在结冰 D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．掷一枚骰子，朝上的点数为7 B．掷一个瓶盖，盖口朝上 C．在只有红球的袋中摸球，摸出一球是红球 D．运动员射击命中靶心 5．（2025·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（  ） A．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 B．“射击运动员射击一次，命中八环”是必然事件 C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D．“某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是必然事件 题型二 判断事件可能性的大小 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是（   ）． A．一样大 B．“站在中间”的可能性大 C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A．B．C． D． 3．盒子里有红球4个、白球3个、黄球8个（这些球除颜色外完全相同）．从盒子里任意摸出一个球，下面说法错误的是（   ） A．不可能摸出黑球 B．摸出黄球的可能性最大 C．摸出红球的可能性最小 D．摸出球的颜色是红、白、黄中的一种 4．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最大． 5．（24-25七年级下·江西吉安·期中）为了提高学生阅读能力，恩江中学倡议七年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有___________人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； (3)若学校七年级共有1500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？___________．（直接写出结果） 题型三 求事件可能性的大小 1．口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小是（ ） A． B． C． D． 2．抛掷一枚骰子，骰子落地时点数朝上的数是2的倍数可能性的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（2025•通州区一模）北京城市中心的绿心公园的步行道上有“二十四节气”，每个节气都有独特的设计和标识．在一个不透明的盒子中放了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立春”，3张“立夏”，1张“立秋”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立春”的可能性大小为（　　） A． B． C． D． 4．一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选中一个翻牌，请解决下面的问题： （1）直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小； （2）每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的可能性的大小； （3）请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 5．抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为1﹣6点）1次，落地后： （1）朝上的点数有哪些结果？他们发生的可能性一样吗？ （2）朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数，这两个事件的发生可能性大小相等吗？ （3）朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4，这两个事件的发生可能性大小相等吗？如果不相等，那么哪一个可能性大一些？ 题型四 求某件事件的频率 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在某学校秋季运动会上，参加男子跳高的12名同学的成绩（单位：m）记录如下：．在这12名同学的成绩中，跳高成绩为出现的频率为（   ） A． B． C． D．3 3 . 某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（       ）A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 4 . 今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是______． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 题型五 概率意义的理解 1．（江苏省徐州市多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）下列说法正确的是（   ） A．从装满红球的袋子中随机换出一个球，是白球 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续掷出次正面，则第次一定掷出背面 C．若某种彩票中奖的概率是，则买张该彩票一定会中奖 D．标准大气压下，加热到时，水沸腾 2．（2025·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（   ） A．“明天降雨的概率为”表示明天有半天时间都在降雨 B．成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件 C．太阳从东方升起是必然事件 D．了解全国中学生的视力情况应采用全面调查 3．（2025·湖北咸宁·二模）下列说法正确的是（    ） A．打开电视机，正在播放“新闻联播”是随机事件 B．天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 C．要调查某品牌新能源汽车的最大续航里程可采用全面调查 D．要调查即将发射的气象卫星的零部件质量可采用抽样调查 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）有下列说法：①可能性很小的事情是不可能发生的；②一个事件发生的可能性是，这个事件是必然事件；③若某彩票的中奖机会是，则买100张一定会中奖．其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25九年级下·山东济宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚瓶盖10次，若落地后盖口向上的次数为6，则落地后盖口向上的概率为0.6 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，抽到偶数的可能性比抽到奇数的可能性大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D．连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 题型六 用频率估计概率 1．（2025·江苏泰州·一模）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（    ） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为 2．（24-25七年级下·陕西·期中）某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 3．（24-25八年级下·全国·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　） A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 5．（24-25七年级下·广东佛山·期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 题型七 根据概率公式计算概率 1．（2025·广东清远·二模）北京时间2024年10月30日04时27分，在酒泉卫星发射中心发射神舟十九号载人飞船，执行此次飞行任务由蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员组成，其中航天员宋令东和王浩泽为首次执行飞行任务的“90后”．现从中随机采访一位飞行员，首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（   ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球 3．（2025·广东珠海·一模）某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学的概率是（   ） A．0 B． C． D．1 4．（2025·浙江绍兴·一模）将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张不透明卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取一张，则抽到卡片正面上的文字是“巳”的概率是 ． 5．（2025·浙江·二模）某班级组织内部抽奖活动，共准备50张奖券，设一等奖5个，二等奖10个，三等奖20个，每张奖券获奖的可能性相同，则一张奖券中奖的概率是 ． 6．（2025年湖南省郴州市初中学业水平考试第二次监测数学试卷）将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是 ． 题型八 根据概率作判断 1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（  ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．让比赛更有挑战性 2．（24-25八年级下·全国·期中）从一副去掉大、小王的扑克牌中任意选取若干张设计一个翻牌游戏，使它同时满足下列两个条件： （1）翻到“2”与“3”的可能性相同： （2）翻到“黑桃”的可能性比翻到“红桃”的可能性大． 3．一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌． (1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是________； (2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）已知以下四个事件：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上；事件B：在1小时内步行80千米；事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数． (1)随机事件有______，必然事件有______； (2)请你把相应事件发生的概率用对应的字母A，B，C，D表示在数轴的对应点上． 题型九 已知概率求数量 1．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·四川资阳·一模）一袋中装有若干个球，它们除颜色外无其他差别，其中有8个白球，从盒子中任意摸出一个，摸到白球的概率是，则该袋中球的总个数为 ． 3．在一个不透明的口袋里装有除颜色不同外，其余都相同的4个红球和若干个绿球，袋中的球已被搅匀，若从中任意取出一个小球为绿球的概率是，则口袋里绿球个数是 个． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 5．（24-25七年级下·四川雅安·期中）一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，每个球除颜色外都相同． (1)求从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率； (2)从口袋中取走 x个红球后，再放人 x 个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值． 题型十 游戏的公平性 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 2．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）（1）小阳、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色不同外其余都相同），得到红球为“看”，得到白球为“不看”，小阳先摸，另一球留给小刚，这个游戏对双方是 （填“公平”或“不公平”）的． （2）小敏所在的班级中有位同学的身高是5m，这是 事件． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）小杨、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色外其他都相同），现从袋子中任意摸出1个球，若是红球，小杨去看电影，否则，小刚去．这种方法对双方是 （填“公平的”或“不公平的”）． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）小明设计了一个游戏：任意抛掷一枚图钉，若钉尖着地则甲胜，若钉尖不着地则乙胜．你认为这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 题型十一 几何概率 1．（2025·河北廊坊·一模）如图，向甲、乙两个正方形飞镖盘中各随机投掷一枚飞镖，投中阴影区域的概率分别为和，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定的大小 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，其“落在海洋里”发生的可能性（    ）“落在陆地上”的可能性． A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能 3．（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，正六边形转盘被分成六个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在涂色部分的概率是 ． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是铺有黑白两色地砖的地面，小明向地面上随意抛一块小石子，小石子落在 色地砖上的可能性大．（填“黑”或“白”，砖缝忽略不计） 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在灰色区域的概率是 ． 题型十二 概率在转盘中的应用 1．（2024秋•温州期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（　　） A． B． C． D．1 2．（2024•钟楼区校级二模）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•岱岳区期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）转动如图所示的转盘甲和转盘乙，如果想让指针停在阴影区域，两个转盘成功的概率相比（   ） A．转盘甲更大 B．转盘乙更大 C．两个一样大 D．无法确定哪个更大 5．综合与探究 【问题再现】 （1）课本中有这样一道概率题：如图①，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？请你解答． 【类比设计】 （2）在元旦晚会上班长想设计这样一个摇奖转盘：在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．请你帮忙设计． 【拓展运用】 （3）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红（1份），黄（2份），绿（4份）区域，分别奖励50元，30元，20元、其他区域无奖励．则转动1次获奖金的概率是 　 ． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$