空间向量及其运算课时专练-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮复习  课时专练

空间向量及其运算

基础巩固练

1.在棱长为2的正四面体ABCD中,点E是AD的中点,则=(　　)

A.1 B.-1 C. D.-

2.已知向量p以{a,b,c}为基底时的坐标为(2,-3,3),则p以{a-2b,a+b,2c}为基底时的坐标为(　　)

A.(,-) B.()

C.(1,3,2) D.(1,-3,2)

3.(2024·河南郑州模拟)在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,,点N为BC的中点,则=(　　)

A.a-b+c B.-a+b+c

C.a+b-c D.a+b-c

4.(多选题)(2024·吉林通化模拟)已知向量a=(m-1,2m,2),b=(2m-5,m,1),则下列结论正确的是(　　)

A.若a∥b,则m=3

B.若a⊥b,则m=-

C.|a|的最小值为

D.|a|的最大值为4

5.(2024·天津河东模拟)已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,则x=　　　　　.

6.(13分)(2024·江苏扬州模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以为邻边的平行四边形的面积.

(2)试判断点P(-3,-3,11)与点A,B,C是否共面?请说明理由.

 

综合提升练

7.(2024·福建泉州模拟)已知O为原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则取得最小值时,点Q的坐标为(　　)

A.() B.()

C.() D.()

8.(多选题)(2024·山东淄博二模)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列说法正确的是(　　)

A.=-a-b+c

B.<>=

C.=a+b+c

D.=1

9.(15分)(2024·江西南昌模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,

∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.

(1)求证:四边形BDD1B1为正方形;

(2)求体对角线AC1的长度;

(3)求异面直线AB1与BD1所成角的余弦值.

 

创新应用练

10.(17分)(2024·江苏扬州模拟)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法,其运算法则如下:

=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c2.若a×b=,则称a×b为空间向量a与b的外积,其中a=x1i+y1j+z1k(x1,y1,z1∈R),b=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2∈R),{i,j,k}为单位正交基底.以O为坐标原点,分别以i,j,k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,已知A,B是空间直角坐标系中异于O的不同两点.

(1)①若A(1,2,1),B(0,-1,1),求;

②证明=0.

(2)记△AOB的面积为S△AOB,证明:S△AOB=|.

(3)证明:的几何意义表示以△AOB为底面、||为高的三棱锥体积的6倍.