精品解析： 山东省济宁市泗水县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中质量监测 八年级数学试题 （测试时间：120分钟 满分：100分） 第 I 卷 (选择题 共24分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是( ) A 6，7，8 B. 0.6，0.8，1 C. 5，12，13 D. 2，4，5 3. 若，则等于（　　） A. 1 B. 5 C. D. 4. 如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为－1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取，则点E所表示的数为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ） A 1 B. C. 2 D. 6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. 12≤b≤13 B. 12≤b≤15 C. 13≤b≤16 D. 15≤b≤16 7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它矩形 D. 当时，它是正方形 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（　　） A B. C. 2 D. 9. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将沿向右折叠，与交于点F，的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 11. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A. 2.5 B. 2 C. D. 4 12. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1 B. 2026 C. 2025 D. 2024 第 II 卷 (非选择题 共76分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分．) 13. 使代数式有意义，则a的取值范围为______． 14. 三角形的三边长分别为3、m、5，化简_______． 15. 如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离_______ 16. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为，则的长为______． 17. 在平面直角坐标系中，已知，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标为______________________． 18. 如图，菱形，P为对角线上一动点，E为边的中点，连接．若菱形的面积为，，则的最小值为___________． 三 、解答题(本大题共8个小题，共58分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 19. 计算： （1） （2） 20. 如图， 已知四边形中，， （1）尺规作图∶ 过点D作， 交于点 E(保留作图痕迹， 不要求写作法)； （2）若， 当满足什么条件时，（1）中作出的四边形为正方形？ 并证明你的结论． 21. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 22. 如图，四边形是平行四边形，E、F是对角线上的两点，∠1＝∠2． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，折痕为，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）求折痕的长． 24. 先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简 解：首先把化为，这里m=7，n=12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， ∴＝＝＝ 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 25. 综合与实践 【基本问题】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，常常需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形），考虑到点是的中点，小明想到的方法是：如图，取的中点，连接，证明，从而得到． （1）小明的证法中，证明的条件可以为____________． A．      B．      C．      D． 【类比迁移】 （2）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）已知，四边形是正方形，点是射线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，则长为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期中质量监测 八年级数学试题 （测试时间：120分钟 满分：100分） 第 I 卷 (选择题 共24分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，判定即可． 【详解】解：A、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，所以分母中含有根号，不是最简二次根式，故C不符合题意； D、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是( ) A. 6，7，8 B. 0.6，0.8，1 C. 5，12，13 D. 2，4，5 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴6，7，8不是一组勾股数，本选项不符合题意； B、∵0.6，0.8不是正整数， ∴0.6，0.8，1不是一组勾股数，本选项不符合题意； C、∵， ∴5，12，13是一组勾股数，本选项符合题意； D、∵， ∴2，4，5不是一组勾股数，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 3. 若，则等于（　　） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及不等式组的解法，正确掌握被开方数的符号是解题关键．直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故， 则． 故选：D． 4. 如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为－1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取，则点E所表示的数为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，再根据求出点E所表示的数． 【详解】解：， ， 表示的数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是是利用勾股定理求出． 5. 如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，由中位线定理得到，，再由角平分线和平行线的性质得到，则，即可得到的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵D、E分别为的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】此题考查了中位线定理、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. 12≤b≤13 B. 12≤b≤15 C. 13≤b≤16 D. 15≤b≤16 【答案】D 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是解直角三角形，根据题目中底面半径是5，高是12，可以算出另一边，吸管在罐外部分剩余3，不同放置就可以算出总长 【详解】底面半径是5，高是12，则吸管最长放在罐里的长度为13，加上罐外的3，总长为16；如果吸管竖直放置，则罐里最短长为12，加上罐外3总长为15，所以吸管总长范围为： 故选D 【点睛】此题重点考查学生对直角三角形的解的应用，勾股定理是解题的关键 7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接CE，利用垂直平分线的性质可得EC=AE，设DE=x，利用勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：连接EC，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC． ∵EO⊥AC， ∴OE为线段AC的垂直平分线． ∴EC=AE． 设DE=x，则AE=12-x． ∴EC=12-x， 在Rt△ECD中， ∵EC2=DE2+DC2， ∴（12-x）2=x2+92． 解得：x=． ∴DE=． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理．利用勾股定理列出方程是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到． 10. 如图，有一矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将沿向右折叠，与交于点F，的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质，由折叠的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 11. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A. 2.5 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质求出AC、CF，并判断出△ACF是直角三角形，再利用勾股定理列式求出AF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解． 【详解】如图，连接AC、CF， 在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC＝BC＝2，CF＝CE＝6， ∠ACD＝∠GCF＝45°， 所以，∠ACF＝45°+45°＝90°， 所以，△ACF是直角三角形， 由勾股定理得，AF＝＝4， ∵H是AF的中点， ∴CH＝AF＝×4＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形． 12. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知，“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和=原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和=第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026； 故选：B． 第 II 卷 (非选择题 共76分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分．) 13. 使代数式有意义，则a取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件求出a的取值范围即可． 【详解】解：由题意得为了使代数有意义， 则， ， ∴a的取值范围为：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是负整数指数幂的运算法则，二次根式及分式有意义的条件，根据题意得出关于a的不等式组是解答此题的关键． 14. 三角形的三边长分别为3、m、5，化简_______． 【答案】2m-10 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可知，，根据m的取值范围对代数式进行化简． 【详解】解：由题意可知： ∴原式=m-2-8+m=2m-10． 故答案为2m-10． 【点睛】本题考查三角形的三边关系；二次根式的化简． 15. 如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离_______ 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题．将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将盒子侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求， 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：10． 16. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∵大正方形的面积为 ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握该知识点是本题解题的关键． 17. 在平面直角坐标系中，已知，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标为______________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、中点坐标公式的应用，正确分三种情况讨论是解题关键．分三种情况：①为对角线，②为对角线，③为对角线，利用中点坐标公式和平行四边形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：设，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 如图，①当为对角线时，，，， ∴ 解得：， ∴； ②当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； ③当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标是或或． 故答案为：或或． 18. 如图，菱形，P为对角线上一动点，E为边的中点，连接．若菱形的面积为，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称一最短问题、菱形的性质，勾股定理等知识，作于，交于，连接，首先证明与E重合，因为A、C关于对称，所以当P与重合时，的值最小，由此求出即可解决问题． 【详解】如图，作于，交于，连接， ∵菱形的面积为，， ， ， 在中，， ， 与重合， ∵四边形是菱形， 垂直平分， 关于对称， 当P与重合时，的值最小， 最小值为， 故答案为：． 三 、解答题(本大题共8个小题，共58分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，积的乘方的应用； （1）先计算二次根式的乘法与除法运算，化简二次根式，再合并即可； （2）先把原式化为，再进一步的计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 20. 如图， 已知四边形中，， （1）尺规作图∶ 过点D作， 交于点 E(保留作图痕迹， 不要求写作法)； （2）若， 当满足什么条件时，（1）中作出的四边形为正方形？ 并证明你的结论． 【答案】（1）作图见解析； （2）当时，四边形为正方形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，正方形的判定，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，过点作直线的垂线即可； （2）先证明四边形为矩形，再证明，即可证得四边形为正方形． 【小问1详解】 解：在的下方任取一点，以为圆心，的长度为半径画圆，交于点，再分别以为圆心，的长度为半径画圆，交于点，连接，交于点，则，即为所求，如图： 【小问2详解】 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 21. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【答案】（1）是直角三角形，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 22. 如图，四边形是平行四边形，E、F是对角线上的两点，∠1＝∠2． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据证明即可； （2）连接交于点O，根据平行四边形的性质得出，，根据三角形全等的性质得出，求出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； ∴； 【小问2详解】 证明：连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，折痕为，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）求折痕的长． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，可知，进而可得，根据折叠的性质可知，则，进而可得，又，根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）连接，先根据折叠的性质，利用勾股定理求得，进而勾股定理求得，根据菱形的面积即可求得． 【详解】（1）四边形是矩形， ， ， 根据折叠的性质，可知，， ， ， ， 四边形是菱形； （2）连接，如图， 四边形是矩形， ， ，， ， 折叠， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ， ， 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的性质与判定，灵活晕用勾股定理是解题的关键． 24. 先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简 解：首先把化为，这里m=7，n=12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， ∴＝＝＝ 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解． （2）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解． （3）先把各题中无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． 25. 综合与实践 【基本问题】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，常常需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形），考虑到点是的中点，小明想到的方法是：如图，取的中点，连接，证明，从而得到． （1）小明的证法中，证明的条件可以为____________． A．      B．      C．      D． 【类比迁移】 （2）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）已知，四边形是正方形，点是射线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，则长为____________． 【答案】（1）C （2）成立；证明见解析 （3）5或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． （1）作中点，连接，根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上截取，连接，同（2）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得． （3）分两种情况：点是线段上的一点时和是边延长线上的任意一点，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：取的中点，连接． 正方形中，， ∴ ∵ ∴ ∴ 又点E是边的中点 ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∵是正方形外角平分线 又． ， 在和中， ， ， 故选：C． （2）成立． 证明：如图，在上截取，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴． ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （3）解：分两种情况：当点在边上时，如图1，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由勾股定理，得 由（2）知，； 当点是射线上的一点且在点C右侧时，如图所示，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，如图，      ∵四边形正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上，的长为5或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$